Señales de falta de control en gráficos X.

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 35. Núm. 134, 1993, págs. 665 a 682
Señales de falta de contro! en gráficos X
CARMEN CAPILLA ROMA
RAFAEL ROMERO VILLAFRANCA
Departamento Estadística e Inv. Operativa
Universidad Politécnica de Valencia
RESUMEN
Se compara la efectividad del gráfico X estándar, gráfico X con señales adicionales de falta de control y gráfico CUSUM, asumiendo cambios constantes y
progresivos en la media del proceso. Aunque las señales adicionafes mejoran la
potencia del gráfico frente a desviaciones pequeñas, su empleo incrementa
considerablemente la cantidad de falsas alarmas. EI gráfico CUSUM es, en este
caso, el procedimiento más efectivo. Si el cambio es progresivo, las diferencias
entre los tres gráficos son poco relevantes. La frecuencia de aparición de cada
señal depende de 1a magnitud de desviación, y para aiguna de ellas resulta
prácticamente cero incluso con cambios pequeños, por lo que no está justificada
su utilización.
Palabras clave: Controf Estadístico de Procesos; Gráficos de Shewhart; Gráficos
CUSUM; Longitud de Recorrido Medio.
Clasificación AMS: 62N 1 O, 62P99.
1.
INTRODUCCION
Los gráficos de control de Shewhart constituyen hoy en día una de las herramientas más utiliZadas para control on-line de procesos industriales. Su objetivo
es detectar la existencia de causas especiales de variabilidad y ayudar a su
posterior e{iminación, manteniendo así el proceso bajo control.
Cuando la característica de calidad toma valores en una escala continua, _el
procedimiento más usual para control de 1a posición del proceso es el gráfico X.
6^f:i
f'^^,^1 ADI`^^T It ,r^, E`^F'^hNOt A
Básicamente consiste en ir registrando ei valor medio de cada muestra de tamaño
n; tiene lugar una señal de falta de control cuando aparece un punto fuera de los
iímites, situados en el caso estándar a una distancia ±3 6/ n de la media del
proceso.
Este procedimiento presenta el inconveniente de ser poco efectivo frente a
desviaciones críticas de pequeña magnitud. En la práctica habitual se utilizan,
además de la estándar, señales de falta de control basadas en rachas, con el fin
de incrementar la sensib^lidad del gráfico en ese contexto.
Estas señales suponen una complejidad de manejo mayor y un cambia en las
propiedades estadísticas del gráfico. Tiene interés cuantificar la magnitud de esta
modificación para determinar si el incremento de potencia que pueden suponer,
compensa la dificultad de su utilización en planta y el aumento de falsas alarmas
que, en principio, cabe esperar.
EI gráfico CUSUM es una herramienta empleada también para controlar la
media del proceso y se caracteriza, en general, por una mayor efectividad que
el gráfico X estándar en el rango de desviaciones pequeñas. En su versión
tabulada, consiste en registrar las sumas acumuladas:
_
S; = max(o, S; _ ^ +_X; - mo - k6/^In )
T;=min(o, T;_^ +X;-mo+ka/^)
Con S; se detectan incrementos en la media mo del proceso y con T; disminuciones. La señal de falta de control ocurre cuando S; > h o T; ^-h. EI valor de
referencia k y el intervalo de decisión h son elegidos en función de la magnitud
de desviación crítica en la media y la frecuencia de falsas alarmas deseada.
En el presente trabajo se aborda, mediante el recursa a técnicas de simulación,
el estudio compar_ativo de los tres procedimientos antes señalados: gráfico X
estándar, gráfico X con señales adicionales y gráfico CUSUM. Se analiza su
comportamiento en los casos de desviación constante y progresiva en la media
del proceso, asumiendo situaciones que difieren en la magnitud de la salida de
control. Con el fin de precisar la contribución de cada señal en el cambio de
propiedades, se estudia también la frecuencia de aparición de cada una de ellas.
2.
ANTECEDENTES Y METODOEOGIA
Diversos autores han estudiado las propiedades estadísticas del gráfico X con
señales adicionales (Western Electric, 1956) cuando la desviación en la media
del proceso es constante (Wheeler, 1983; Champ et al., 1987; Walker et al. 1991)
o progresiva (Bissell, 1984; Davis et al., 1987). En el segundo caso, la compa-
SF.NAL.E :.i UF FALTA UE_ C;t::)NTRC^L EN OFZAF I(;t );^ x
_
_
__
FjF^ %
ración de pracedimientos se ha realizado en alguna referencia sin ajustar sus
parámetros para tener un porcentaje de falsas alarmas similar.
En el presente trabajo se va a considerar un conjunto de señales propuesto
por Ishikawa (1976), utilizado muy frecuentemente en el contexto de la industria
española:
Señal 1: Punto fuera de los límites de control mo ±3 a/^ñ ( señal estándar).
Señai 2: Dos de tres puntos seguidos en la zona comprendida entre
mo±2 0/^ y mo±3 a/^, pudiendo estar los dos puntos a distinto lado de la iínea
central mo.
Señal 3: Siete puntos seguidos por encima o por debajo de la línea central.
Señal 4: Racha creciente o decreciente de siete puntos consecutivos.
Las señales 2, 3 y 4 difieren de las analizadas en las referencias anteriores.
Resulta relevante estudiar si este hecho supone alguna modificación en relación
con las conclusiones recogidas en la bibliografía existente sobre el tema. Respecto a ia Señal 2, algunos autores consideran sólo el caso de «2 de 3» al mismo
lado de la línea central, situación únicamente relevante para detectar cambios de
nivel en la media. Sin embargo, la práctica industrial más frecuente incluye
también como señal la presencia de «2 de 3» aunque sea a distintos lados de la
línea central, dado que podría indicar aumento de variabilidad o mezcla de
poblaciones. Puesto que el objetivo de este trabajo es analizar las consecuencias
que el empleo de las señales más habituales tiene sobre las propiedades estadísticas del gráfico X, se ha considerado también esta úftima situación de falta
de control.
Adicianalmente, en ninguna de las referencias se ha evaluado la contribución
de cada señal a la modificación constatada en las propiedades del gráfico X frente
a distintas desviaciones. Esta cuestión se aborda en el presente articulo.
Un gráfico de control es equivalente a un contraste de hipótesis sobre la media
del proceso. Sin embargo, cuando la señal de falta de control se basa también
en la información contenida en un cierto número de muestras anteriores, la
interpretación del riesgo de primera especie oc no resulta tan evidente, ya que no
es un valor constante y depende del inst_ante en que nos encontremos (Adams
et al., 1990). Este es el caso del gráfico X con señales adicionales o del gráfico
CUSUM. La efectividad de estos procedimientos se cuantifica, en la práctica, a
través del ARL (Average Run Length), o valor promedio del número de muestras
a tomar desde que se produce la salida de control en el proceso hasta que se
detecta. Estando bajo contro! este parámetro es igual a 1/oc, siendo a la frecuencia relativa de falsas alarmas.
E^ E7F^
E `'^ ^ A^71^TIi,A E `^^^^f^1^.)l. r^
EI estudi0 del ARL de los dos gráficos se ha realizado mediante simulación en
ordenador de distintas situaciones de cambio en la media. Cuando se incluye t
señales_de falta de control independientes entre sí, es posible evaluar a para el
gráfico X con la expresión (Duncan, 1986):
a=
t
-- Ii (1 - «^)
en la que a; es la proporción de falsas alarmas correspondientes a la señal i.
Sin embargo, no se puede aplicar esta aproximación a la combinación de las
cuatro señales antes definidas, ya que no son independientes entre sí. Por otro
lado, la señal de racha imposibilita cualquier otro enfOque analítico, siendo la
simulación el único procedimiento existente para evaluar las propiedades del
gráfico resultante.
La determinación de las propiedades del gráfico CUSUM también se ha realizado mediante^ simulación. Esta aproximación es más sencilla que los métodos
analíticos abordados en la bibliografía sobre el tema (Van Dobben de Bruyn,
1968), y produce resultados similares en cuanto a precisión.
Para ambos gráficos, se han realizado 10.000 simulaciones con cada carnbio
de la rnedia del proceso, asumiendo distribución normal e independencia entre
las observaciones. EI lenguaje empleado es el APL, puesto que los procedimientos na requieren la utilización de un lenguaje específico. Los programas utilizados
están disponibles, previa solicitud a los autores.
Teniendo en cuenta que la desviación típica de la variable Longitud de Recorrido es aproximadamente del mismo orden de magnitud que su media (ARL),
con este número de simulaciones el coeficiente de variación no supera en_ningún
caso el 1 por 100 del valor a estimar. En el caso concreto del gráfico X se ha
registrado en cada prueba la señal que indicó la falta de control.
Para el gráfico X estándar, es decir, incluyendo sólo la señal 1, el cálculo del
ARL se ha realizado analíticamente, asumiendo que las medias muestrales X;
son independientes y siguen una distribución normal.
3.
^
EFECTO DE LAS SENALES ADICIONALES SOBRE EL ARL
En el gráfico X estándar el riesgo de primera especie es igual a 1/ARLbajo ^ontro,,
y a partir de esto se puede determinar directamente la posición de los límites de
control. Análogamente para el gráfico CUSUM, una vez elegidos el valor de
referencia k y el ARLba^o ^ontfo^^ es posible encontrar el intervalo de decisión h
correspondiente.
^
5E NAL_E ^[)E= ^ A[_ TA C)E C;f7N T f^0[ f N C^^f If .f:)^^ x
Sin embargo, en el gráfico X con las señales adicionales antes definidas na
existe forma analítica de determinar la posición de los límites para un ARLbajo
contro^ dado. Se ha procedido, por tanto, estimando mediante simulación el ARLbajo
control con los límites en la posición estándar mo ±3 6/^Ín (es decir, asumiendo
desviación cero en las simulaciones).
En este caso, el ARLbajo ^ontro^ resultó aproximadamente igua! a 60. Esto indica
que en promedio 1 de cada 60 observaciones registradas en e! gráfico resulta
en una falsa alarma, lo que expresado en frecuen^ia relativa es igual a a= 0,017.
Este primer resultado tiene implicaciones importantes. En el gráfico X con la
Señal 1 y límites de control a mo ±3 6/^, la frecuencia relativa de falsas alarmas
es a= 0,0027, o expresado de otra forma, ARLbajo contro^ = 3E0.
Comparando estos dos valores, se abserva que la mayor efectividad frente a
desviaciones pequeñas que puede suponer el empleo de estas señales se
consigue, en parte, a costa de incrementar de forma notable la cantidad de
situaciones de falsa alarma.
Con el fin de tener procedimientos de controf comparables, se determinó la
posición de los límites del gráfico X con la Señal 1 y los parámetros k y h del
gráfico CUSUM, de forrna que el ARLbajo ^ontro, fuese aproximadamente igual
a 60.
Para !a elección de los parámetros k y h del gráfico CUSUM se ha seguido el
procedimiento indicado en varias referencias bibliográficas (Goel et al., 1971;
Gan, 1991). Como regla práctica se recomíenda un valor de k pequeño, puesto
que a medida que éste aumenta las propiedades estadísticas del gráfico CUSUM
se aproximan más a las del gráfico X de Shewhart, con la desventaja ya mencionada para el rango de desviaciones pequeñas.
Distintos autores ( Ewan y Kemp, 1960; Gan, 1991) indican como óptimo
k=^/2, siendo b la magnitud de desviación mínima cuya detección precoz es
relevante. Con este valor de referencia, el gráfico resultante, tras fijar h para un
determinado ARLbajo ^ontro,, presenta un ARL mínimo cuando la desviación en la
media es ó.
En el presente trabajo se va a estudiar la efectividad dei gráfico CUSUM para
un rango de desviaciones amplio. Por tanto, no existe un valor b que se pueda
considerar crítico. EI criterio seguido a la hora de eiegir k, se ha basado en la
recomendación k= 0,5 cs/^ contemplada como estándar en diversos trabajos
( Ewan et al., 1960). EI intervalo de decisión h correspondiente a ARLba^o ^o^tro, _
= 60 y este valor de referencia se ha obtenido a partir del nomograma proporcionado por Goel y Wu ( 1971).
E`;TAUISTI(_:A E^^SF'AhJC)LA
FIGURA 1
ARL en función de la magnitud de desviación constante
100
L
0
g
a
R
L
0,5
1
2,5
2
3
1,5
Desviación (Ud cT/V'ir }
a- - Q1
^ C32
3,5
4
4,5
^ C33
G1: Gráfico X
_ estándar
G2: Gráfico X con señales adicionales
G3: Gráfico CUSUM
Los gráficos a comparar son los siguientes:
G^1: Gráfico X con Señal 1 y límites de control en la posición mo ±2,39 6/^lñ .
G2: Gráfico X con las 4 señales definidas en el apartado anterior, y límites de
control en la posición mo ±3 c^/^J ñ.
G3: Gráfico CUSUM con k= 0,5 6/^1n y h- 3,04 a/^ñ .
^a Figura 1 representa los resultados obtenidos para estos tres gráficos en
función de la magnitud S de desviación constante ocurrida en la media, expresada
en unidades de a/^. Se ha utilizado escala vertical logarítmica.
Como puede apreciarse, el procedimiento de control óptimo, entendiendo como
tal el que minimiza el ARL, depende de la magnitud de desviación constante que
ha tenido fugar, siendo este resultado independiente del tamaño de muestra n
utilizado. Ei valor de n determina tan sóio la magnitud de desviación para la que
un procedimiento resulta más efectivo que otro.
SENALFS DE FAt TA DE CC)NTROt_ FN C:^F^AF^C;^.^^5 5^
671
Se observa que las señales adicionales mejoran la efectividad del gráfico X
-__
para desviaciones inferiores a 1,7a/^n . EI gráfico X estándar resulta más sensible
si la salida de control es superior a este valor. Con respecto al gráfica CUSUM,
es el procedimiento más efectivo frente a desviaciones inferiores a 2,246I ^ñ . Sin
embargo, con salidas de control de mayor rnagnitud, su potencia es menor que
la de los otros dos gráficos.
En el caso particular de tarnaño muestral n= 5, muy frecuente en la práctica,
la utilización_de señales de falta de control adicionales mejora la sensibilidad
del gráfico X sólo para cambios inferiores a 0,75a. Por otro lado, el gráfico
CUSUM es más potente cuando la modificación en la media no supera e
valor a.
En la Figura 2 se recogen los resultados correspondientes a la situación de
deriva progresiva en la media. En este caso, S expresa el cambio ocurrido por
intervalo de muestreo, en unidades de a/^.
Se observa que el procedimiento óptimo también depende de la magnitud de
desviación progresiva que ha tenido lugar. Sin embargo, las diferencias entre los
tres gráficos son poco relevantes.
Las señales adicionales tan sólo mejoran la efectividad del gráfico X cuando
la deriva es menor que 0,26/^. Su potencia es, en este rango de desviacioFIGURA 2
ARL en función de la magnitud de desviación progresiva
100
L
0
9
10
A
R
L
1 `0
0,25
0,5
0,75
Desviación progresiva (Ud c^/Vrñ)
G1: Gráfico X estándar
G2: Gráfico X con señales adicionales
G3: Gráfico CUSUM
SE^ f^At F^> [.^E^_ F^L TA nF (^:.C^NTF^C)L E N^^RA^^ !^: '^^'-^^ ^^
G T^
Una cuestión importante es determinar la contribución de cada señal, a partir de
su frecuencia relativa de aparición en función de la magnitud dei cambio producido en la media.
La Figura 3 recoge las frecuencias correspondientes a las señales consideradas en este artículo, para distintos valores de la desviación expresada en unidades de cs/^lñ .
Se observa que la importancia de cada señal depende de la magnitud de
desviación constante. Con cambios pequeños ( menores que 1,5c^/^), la racha
de siete puntos a un mismo lado de la media presenta una frecuencia mucho
mayor que las otras señales. AI mismo tiempo, con desviaciones inferiores a
26/^, la proporción de veces que indican falta de control las señales adicionales
es superior, en conjunto, a la de un punto fuera de los límites. Cuando la magnitud
de cambio en la media supera ese valar, las situaciones de falta d_e control vienen
casi siernpre indicadas por esta señal, resultando un gráfico X equivalente al
estándar.
Este primer resultado confirma lo señalada al comparar el ARL del gráfico X
con y sin señales adicionales, ya_que según se vio las señales adicionales
incrementan la potencia del gráfico X para desviaciones inferiores a 1,76/^n . Para
desviaciones superiores, estas_señales se presentan muy pocas veces. Por tanto,
resulta más efectivo el gráfico X estándar equivalente, puesto que sus límites de
control estarían situados a ±2,396/^ de la media del proceso, mientras que en
el gráfico con señales adicionales esta distancia es igual a 3a/^n^. La probabilidad
de aparición de un punto fuera de los límites es menor en este segundo caso, lo
que redunda en un ARL más grande.
La proporción de veces que se presenta la racha creciente o decreciente de
siete puntos seguidos es mayor cuando el proceso está bajo control, siendo del
mismo orden de magnitud que la correspondiente a la Señal 1. Sin embargo, en
odo el rango de desviaciones simuladas su frecuencia es prácticamente nula.
Por tanto, la Señal 4 contribuye al increm_ento de falsas alarmas pero muy poco
al aumento de efectividad en el gráfico X, no quedando justificada su inclusión
desde el punto de vista estadístico.
La pauta seguida por la frecuencia de cada señal en el caso de deriva progresiva es muy similar y se recoge en la Figura 4.
Se observa que la proporción de veces que la Señal 1 indica falta de control
es mayor que la correspondiente a las otras señales si la deriva es superior a
0,256/^n . Por otro lado, la Señal 4 sólo indica falta de control frente a desviaciones de poca magnitud y con una frecuencia relativa muy pequeña.
SEÑALE_S DE FALTA DE CONTROL EN GF^fiFICC:)S X
675
aproximadamente igual a 1,1 por 100 frente al 1,7 por 100 constatada con las
señales analizadas en el presente trabajo. Este resultado era previsible teniendo
en cuenta que en esta referencia se incluye una racha igual a la Señal 3, pero
de longitud 8 y que esta señal era responsable de una gran cantidad de falsas
alarmas. Sin embargo, y como es lógico, el utilizar rachas más largas implica una
efectividad menor, especialmente en el rango de desviaciones pequeñas, Por
tanto, el procedimiento óptimo dependerá dei contexto en el que se utilice el
gráfico, según el coste asociado a una mayor proporción de falsas alarmas frente
a una menor sensibilidad en situaciones de falta de control.
Cuand_o se produce una deriva progresiva en la media, las diferencias entre el
gráfico X estándar, el gráfico con señales adicionales y el CUSUM son poco
relevantes. EI criterio en este contexto para la elección del gráfico de control a
aplicar debe basarse en consideraciones distintas de las estad ísticas.
La proparción de veces que estas señales indican falta de control depende de
la magnitud del cambio de nivel en la media, sea éste constante o progresivo.
Cuando el cambio es pequeño la señal estándar, punto fuera de los límites de
control, se presenta con muy poca frecuencia, creciendo su importancia conforme
lo hace el valor de la desviación producida.
Es de destacar el resultado referente a la señal de racha creciente o decreciente de siete puntos seguidos, ya que contribuy_e al incremento de falsas
alarmas pero no a la mejora de potencia del gráfico X. Por tanto, su inclusión no
está justifiicada.
En el análisis realizada se ha asumido que la varianza de la característica a
controlar permanece constante. Cuando la salida de control se debe a un cambio
en la dispersión, la frecuencia de cada señal sigue una tendencia distinta a la
recogida en apartados anteriores. EI análisis de esta cuestión ha sido considerado por los autores ( Capilla, 1991) y muestra, por ejemplo, que la Señal 2,
definida como dos de tres valores consecutivos en la zona comprendida entre
mo ±26/^iñ y mo ±3cs/^, se presenta con una mayor frecuencia que la constatada
cuando el cambio se produce en la rnedia. Este resultado era de esperar, ya que
en dicha señal se contempla la posibilidad de que los dos valores estén a distintos
lados de la línea central. Por otro lado, cuando la dispersión sufre una modificación de pequeña magnitud, la frecuencia de rachas es similar a la constatada
para el caso de desviación cero en la media.
Otra cuestión de interés práctico, por la frecuencia con que se plantea, es el
estudio de la efectividad de los gráficos de control cuando la hipótesis de independencia entre las observaciones deja de cumplirse. La presencia de correlación
modifica notablemente el comportamiento de estos procedimientos, por lo que
los resultados reflejados en este trabajo son válidos sóla en el contexta de
independencia entre observaciones consecutivas. Por un lado, las frecuencias
E<> r^t:^^s T ir:.^ ^^ ^F^>t^ra^. ;^^ ,^
E^ l Eá
observadas para las señales de racha aurnentan considerablemente cuando los
datos están autocorrelacionados. AI mismo tiempo, las propiedades del gráfico
CUSUM sufren en este caso una gran modificación, que puede redundar en una
pérdida de potencia notable. Esta cuestión ha sido analizada por los autores y
los resultados correspondientes serán objeto de una publicación futura.
En este contexto resulta, por tanto, más adecuado utilizar otros métodos para
control on-line de la posición del praceso, como los propuestas por Alwan et al.
(1988} o Tucker et al. (1991).
6.
AGRADECIMIENTOS
Los autores desean manifestar su agradecimiento al editor y a los evaluadores
de la revista por las sugerencias y cambios propuestos, que han contribuido a
mejorar notablernente el contenido y presentación de este trabajo.
_
TAB L_A 1
ARL del gráfico X estándar, gráfico X con señales adicionales y gráfico
CUSUM, en función de la magnitud de desviación constante de la media
dei proceso
G3
G2
G1
b
(Ud ^:}
ARL
ARL
sARL
ARL
SARL
0,00
0,25
0,50
60,00
28,41
9,78
59,89
18,05
7,65
0,538
0,157
0,053
61,97
15,33
5,60
0,587
0,122
0,052
0,75
4,18
4,07
0,025
3,31
0,031
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
2,27
1,52
1,20
1,07
1,02
1,00
1,00
1,00
1,00
2,59
1,81
1,3$
1,17
1,06
1,02
1,00
1,00
1,00
0,015
0,009
0,006
0,004
0,002
0,001
0,000
0,000
0,000
2,40
1,92
1,61
1,36
1,18
1,07
1,02
1,01
1,00
0,024
0,019
0,016
0,005
0,004
0,002
0,001
0,000
0,000
Tamaño de muestra n= 5.
677
SENAt ES C^f F^AL TA nf- í";nNTROI. E N^:^RAF Ic' ^i^;
TA B LA 2
ARL en función de la magnitud de desviación progresiva
ó
(Ud a
0,00
0, 01
0, 02
0,05
0,10
0,15
0,50
1,00
2,00
3, 00
G1
G2
ARL.
SARL
ARL
60,00
28, 84
20, 38
11,65
7,51
5,71
2,49
1,57
1,02
1, 00
0,000
0,164
0, 099
0,048
0,027
0,019
0,008
0,005
0,001
0, 000
59,89
24, 57
17, 70
11,03
7,46
5,91
2,75
1,76
1,07
1, 00
G3
S,4R^
0, 538
0, ^ 35
0, 084
0,043
0,025
0,018
0,008
0,005
0,005
____0, 000
ARL
SARL
61,97
23, 56
16, 30
9,80
6,62
5,28
2,73
1,93
1,18
1, 00
0,587
0,108
0, 063
0,032
0,018
0,013
0,006
0,004
0,003
0, 000
Tamaño de muestra n= 5.
TAB LA 3
Frecuencia relativa de las señales adicionales de falta de control en
función de la magnitud de desviación constante de la media
s
(Ud 6)
o, o0
0,25
0, 50
0, 75
1, 00
1,25
1, 50
1,75
2,00
2,25
2, 50
Señal 1
Señal 2
Señal 3
Señal 4
16
(0,3666)
14
(0, 3470)
22
(0,4142)
39
(0,4877)
59
(0,4918)
75
(0,4330)
89
(0, 3129)
96
(0,1959)
99
(0, 0995)
100
100
21
(0,4073)
16
(0, 3666)
26
(0,4386)
37
(0,4828)
34
(0,4737)
23
(0,1771)
10
(0, 3000)
4
(0,1959)
1
(0, 0995)
0
0
47
(0,4990)
65
(0,4769)
50
(0,5000)
22
(0,4142)
6
(0,2375)
2
(0,1400)
1
(0, 0995)
0
16
(0,3666)
5
(0, 2179)
2
(0,1400)
2
(0,1400)
1
(0,0995)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tamaño de muestra n= 5. Entre paréntesis la desviación tipica de la estimación.
fá T^3
f: STADI^TIC:;A E ç^F'ANC:)lA
TABLA 4
Frecuencia relativa de las señales de falta de control, en función de la
rnagnitud de desviación progresiva
s
(Ud 6)
0,01
0,02
0, 05
0,10
0,15
0,50
Señal 1
Señal 2
Señal 3
Señal 4
14
(0,3470)
16
(0,3667)
25
(0,4330)
35
(0,4769)
47
{0,4990)
80
16
(0,3667)
20
(0,4000)
26
(0,4386)
32
(0,4665)
33
(0,4072)
17
62
{0,4854)
58
{0,4935)
45
(0,4975)
30
(0,4582)
18
(0,3842)
3
8
(0,2173)
6
(0,2375)
4
(0,1959)
3
(0,1706)
2
(0,1400)
0
(0,4000)
(0,3756}
(0,1706}
1, 00
93
(0,2551)
6
(0,2375)
1
(0,0995)
0
2,00
99
(0,0995)
1
(0,0995)
0
0
3, 00
100
0
0
Tamaño de muestra n= 5.
0
67^
SE NA^ES DE F^A^. TA DE^ C^^C)N ^f F2UL E^ N(^,KAF 3^"^:C)S X
TABLA 5
Frecuencia relativa de las señales de falta de control en función del
aumento relativo de la dispersián
a^lao
Señal 1
Señal 2
Señal 3
Señal 4
1, 02
15, 7
(0,3638)
16,2
(0,3684)
21,3
(0,4094)
24, 2
(0,4283)
24,3
(0,4289)
34,3
(0,4747)
41,2
(0,4922)
48,3
(0,4997)
50,1
{0, 5000)
57,0
(0,4951)
69,5
(0,4604)
78,2
(0,4129^
18,8
(0,3907)
20,1
(0,4007)
23,1
{0,4215)
26, 5
(0,4413)
26,8
{0,4429)
33,4
(0,4716)
33,2
(0,4709)
34,2
{0,4744)
32,4
(0,4680)
31,3
(0,4637)
24,1
(0,4277)
17,4
(0, 3791)
49,7
(0,4999)
49,4
(0,4999)
42,0
(0,4935)
36, 3
(0,4809)
37,3
(0,4836}
24,5
(0,4301 }
19,9
(0,3992}
13,4
(0, 3406}
14,0
(0, 3468)
9,3
(0,2904)
5,2
(0,0493)
3,7
(0,1888)
15,8
(0,3647)
14,3
(0,3501)
13,6
(0,3428)
13, 0
(0,3363)
11,6
(0,3190)
7,8
(0,2682)
5,7
(0,2318)
4,1
(0,1983)
3,5
(0,1838)
2,4
(0,1530)
1,2
(0, ^ 088}
0,7
(0, 0834)
1,04
1,06
1, 08
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,0
2,5
Tamaño de muestra n= 5. Entre paréntesis la desviación típica de la proporción estimada.
F`;Tf^fi1^-;TIr;^^
`^> F't^^•^i ( )1 ,^
TABLA f
Comparación de la efectividad del gráfico X con distintas señales de falta
de control
GRAFICOS DE CONTROL
^
(Ud cs/v'n
G1
G2
G3
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
92,14
78,66
56,12
36,99
24,18
16,13
11,09
7,86
5,76
4,35
3,39
2,72
2,25
91,75
2,6
1,91
58,06 (0,575)
35,05 (0,334)
24,04 (0,219)
16,28 (0,141)
11,36 (0,092)
9,23 (0,069)
6,43 (0,044)
5,30 (0,033)
4,45 (0,033)
3, 72 (0, 024)
3,09 (0,019)
2,63 (0,031 }
2,28 (0,026)
2,02 (0,023}
2,8
3,0
1,66
1,48
1,so (©,020)
1,6_2 ^0,0^8^
66,80
36,61
20,90
13,25
9,22
6,89
5,41
4,41
3,68
3,13
2,70
2,35
2,07
1,85
1,67
Desviación constante en la rnedia expresada en unidades de desviación típica de la media
rnuestrai, a/^n .
G1: Gráfico X
_ estándar can Iímites a mo ±2,54c^/^ln .
G2: Gráfico X
_ con el grupo de señales estudiado en este artículo.
G3: Gráfico X con las señales estudiadas por Champ, et al. {1989).
Entre paréntesis la desviación típica del ARL estimado para G2.
7.
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OUT-OF-CONTROL StGNALS IN X CHARTS
SUMMARY
The Shewhart X chart, the X chart with supplementary runs tests and the
CUSUM chart are compared in the cases of step and gradual change in the
process mean. Aithough the runs tests are valuable in detecting small changes,
they also increase the false signal rate. For small shifts, the CUSUM chart is the
682
E STAC:)15T1(;;A E SF'ANC:)l A
most effective procedure. When the change is gradual the three schemes perform
similarly. Frequency of appearance of each runs test depends on the magnitude
of the shift value in the process mean. The frequency of the trend rule is so smail
that its use in practice is not justified.
Key words: Statistical Process Control; Shewhart Charts, CUSUM Charts, Average Run Length.
AMS Classification: 62N 10, 62P99.