Transformaciones complejas

Capı́tulo 7
Transformaciones complejas
Objetivos
Conocer las propiedades de las transformaciones complejas elementales.
Emplear las transformaciones complejas para construir aplicaciones entre
recintos del plano.
7.1.
Transformaciones complejas elementales
Las funciones de variable compleja son complicadas de representar como
gráficas, ya que habrı́an de visualizarse como funciones de dos variables reales
con dos componentes, es decir, como superficies en un espacio de cuatro dimensiones, lo cual es inviable. Por ello es más frecuente interpretar las funciones
de variable compleja como aplicaciones del plano en sı́ mismo, es decir, como
transformaciones del plano. Denotaremos f (z) = f (x, y) = (u, v) = w, donde u,
v son, respectivamente, la parte real e imaginaria de f (z).
En particular, hemos visto ya que las funciones holomorfas proporcionan
representaciones conformes del plano, ya que son transformaciones que preservan
los ángulos. Esta propiedad es de gran importancia para problemas fı́sicos en el
plano relacionados con la ecuación de Laplace.
Para ello, recordemos que las funciones armónicas son partes reales e imaginarias de funciones holomorfas. Y como la composición de dos funciones holomorfas es una función holomorfa, tenemos que las transformaciones holomorfas
llevan soluciones de la ecuación de Laplace a soluciones de la ecuación de Laplace.
Por ello, nos interesa estudiar funciones complejas que transformen subconjuntos del plano en subconjuntos sencillos, por ejemplo, el disco de radio unidad.
Estudiando el comportamiento de las funciones sencillas, podremos obtener, por
composición, el comportamiento de transformaciones más complicadas.
Recordemos que entre los subconjuntos más sencillos del plano real, podemos
describir por la ecuación implı́cita cuadrática,
a(x2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 ,
1
(7.1)
circunferencias, si a 6= 0, o rectas, si a = 0. Si d = 0, pasan por el origen. Si
d 6= 0, no.
En forma canónica esta ecuación se reduce, para circunferencias, a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 ,
x0 = −
b
c
(b2 + c2 ) d
, y0 = −
, R2 =
− .
2a
2a
4a2
a
Esta ecuación se puede reescribir en notación compleja como
Az z̄ + Bz + B̄ z̄ + D = 0 ,
(7.2)
con A = a, B = (b − ic)/2, D = d. En forma canónica,
(z − z0 )(z − z0 ) = R2 .
Decimos que dos puntos z1 , z2 alineados con el centro de una circunferencia
son inversos respecto a ella si verifican
a(x1 x1 +y1 y2 )+
b(x1 + x2 ) + c(y1 + y2 )
+d = 0 ⇔ Az1 z̄2 +Bz1 + B̄ z̄2 +D = 0 .
2
La interpretación geométrica es sencilla en la forma canónica,
R2 = (z1 − z0 )(z2 − z0 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ) = hz0 z1 , z0 z2 i ,
ya que indica que el producto de las longitudes de los vectores z0 z1 y z0 z2 es
R2 .
En el caso de rectas, circunferencias degeneradas, los pares de puntos inversos
son simétricos respecto a la recta en cuestión.
7.2.
Transformaciones afines
Las transformaciones afines del dominio complejo, muchas veces llamadas
lineales, son de la forma f (z) = az + b, donde a, b ∈ C.
Si a = 1, la transformación es una traslación de vector b = (b1 , b2 ),
u = x + b1 ,
v = y + b2 .
Si b = 0, podemos descomponer la transformación f (z) = az en dos partes.
Como a = |a|eiα , f = h◦g es el resultado de componer una homotecia de razón
|a|, g(z) = |a|z, con una rotación, h, de ángulo α: si z = reiφ , h(z) = rei(α+ϕ) .
Una construcción tı́pica de la geometrı́a afı́n es la razón simple de tres
puntos, que denotaremos por
[z1 , z2 , z3 ] :=
z3 − z 1
z1 z3
=
,
z3 z2
z2 − z 3
que no es más que la proporción existente entre los dos segmentos en los que
divide el punto z3 al segmento z1 z2 en la recta compleja. Si es un número real,
estarán alineados en el plano.
Se puede demostrar que las transformaciones afines conservan la razón simple
de tres puntos,
[f (z1 ), f (z2 ), f (z3 )] =
f (z3 ) − f (z1 )
z3 − z 1
=
= [z1 , z2 , z3 ] . 2
f (z2 ) − f (z3 )
z2 − z 3
2
7.3.
Transformaciones proyectivas
Otra transformación importante es la definida por f (z) = 1/z,
u=
x
,
x2 + y 2
v=−
y
.
x2 + y 2
Obviamente, está definida para todo número complejo, excepto el cero. Aunque
también podemos entender que está definida en el dominio complejo ampliado
con el punto del infinito. Ası́, f (0) = ∞, f (∞) = 0.
Como podemos expresar la transformación como
f (z) =
z̄
,
|z|2
podemos separarla, f = h ◦ g, en una inversión respecto a la circunferencia de
radio unidad,
z
g(z) = 2 ,
|z|
y la conjugación, h(z) = z̄.
Esta última es fácil de interpretar, ya que transforma (x, y) en (x, −y). Es
decir, es una reflexión respecto al eje real.
Las propiedades de la inversión son sencillas de visualizar. Obviamente,
transforma la circunferencia unidad en sı́ misma. Son sus puntos fijos. Y cualquier punto de la forma reiφ se transforma en eiφ /r. Es decir, se ha invertido
su módulo.
Por tanto, el interior de la circunferencia, |z| < 1, se intercambia con el
exterior, |z| > 1.
La función recı́proca es una involución, f f (z) = z.
Otra propiedad es que las circunferencias y rectas de ecuación ?? se transforman en circunferencias y rectas de ecuación,
d(u2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0 ⇔ A + B̄w + B w̄ + Dww̄ .
Por tanto, f transforma:
Circunferencias que no pasan por el origen, d 6= 0 6= a, en circunferencias
que no pasan por el origen.
Rectas que no pasan por el origen, a = 0, d 6= 0, en circunferencias que
pasan por el origen.
Circunferencias que pasan por el origen, d = 0 6= a, en rectas que no pasan
por el origen.
Rectas que pasan por el origen, d = 0 = a, en rectas que pasan por el
origen.
Una propiedad interesante de la inversión y de la función recı́proca es que
transforman puntos inversos respecto a una circunferencia en puntos inversos
respecto a la circunferencia imagen,
Az1 z̄2 + Bz1 + B̄ z̄2 + D = 0 ⇔ A + B̄ w̄1 + Bw2 + Dw1 w̄2 = 0 .
3
Esta propiedad también la cumplen las transformaciones afines trivialmente
y, por tanto, las transformaciones proyectivas que definimos a continuación.
Si combinamos esta transformación con las transformaciones afines, obtenemos la familia más general de transformaciones proyectivas, también llamadas transformaciones de Möbius o transformaciones especiales conformes o
transformaciones racionales lineales,
f (z) =
az + b
,
cz + d
ad − bc 6= 0 .
(7.3)
El “determinante” ad−bc tiene que ser no nulo. En caso contrario, a/c = b/d
y la función serı́a constante y no serı́a, por tanto, una transformación del plano.
Obsérvese que si multiplicamos los coeficientes a, b, c, d de la transformación
por un mismo número complejo, la transformación sigue siendo la misma.
La función no está definida en z = −d/c, pero podemos extender la definición
al punto del infinito, de modo que f (−d/c) = ∞, f (∞) = a/c.
Como casos particulares, si c = 0, recuperamos las transformaciones afines.
Y si d = 0, obtenemos una función recı́proca compuesta con una traslación.
De hecho, observamos que una transformación proyectiva f es la composición
de una transformación afı́n g, la transformación recı́proca y otra transformación
afı́n h,
1
a bc − ad
.
w,
f (z) = h
g(z) = cz + d ,
h(w) = +
c
c
g(z)
Por tanto, las transformaciones proyectivas transforman rectas y circunferencias en rectas y circunferencias, ya que esto es lo que hacen las transformaciones
afines y la transformación recı́proca.
Una propiedad algebraica importante es que las transformaciones proyectivas
forman grupo. Es decir, la composición de transformaciones proyectivas es una
transformación proyectiva,
w = f (z) =
az + b
,
cz + d
g(w) =
Aw + B
,
Cw + D
(Aa + Bc)z + Ab + Bd
,
h(z) = g f (z) =
(Ca + Dc)z + Cb + Dd
y toda transformación proyectiva tiene su inversa,
w = f (z) =
az + b
,
cz + d
z = f −1 (w) = −
dw − b
.
cw − a
El grupo de transformaciones proyectivas del dominio complejo incluye, pues,
a las transformaciones afines y a la transformación recı́proca.
Claramente, las aplicaciones proyectivas no respetan la razón simple. Sean
z1 , z2 , z3 tres números complejos,
[f (z1 ), f (z2 ), f (z3 )] =
f (z3 ) − f (z1 )
cz2 + d
=
[z1 , z2 , z3 ] ,
f (z2 ) − f (z3 )
cz1 + d
las razones simples coinciden para toda terna si y sólo si c = 0, es decir, si la
aplicación es realmente afı́n.
4
Sin embargo, dado que la expresión anterior no depende de z3 , vemos que el
cociente de dos razones simples sı́ es conservado,
[z1 , z2 , z4 ]
[f (z1 ), f (z2 ), f (z4 )]
=
.
[f (z1 ), f (z2 ), f (z3 )]
[z1 , z2 , z3 ]
(7.4)
De hecho, se puede demostrar que las aplicaciones proyectivas son las únicas
que conservan este cociente, que, por ser razón de dos razones simples, denominaremos razón doble de los puntos z1 , z2 , z3 , z4 ,
[z1 , z2 , z3 , z4 ] :=
z4 − z 1 z2 − z 3
[z1 , z2 , z4 ]
=
·
.
[z1 , z2 , z3 ]
z2 − z 4 z3 − z 1
(7.5)
Finalmente, una propiedad interesante es que una transformación proyectiva
queda unı́vocamente determinada por la imagen de tres puntos distintos.
Esto es trivial si tenemos en cuenta la propiedad de conservación de la razón
doble. Si sabemos que f (z1 ) = w1 , f (z2 ) = w2 , f (z3 ) = w3 , podemos despejar
w = f (z) a partir de la igualdad de las razones dobles,
w − w 1 w2 − w 3
z − z 1 z2 − z 3
·
= [f (z1 ), f (z2 ), f (z3 ), f (z)] = [z1 , z2 , z3 , z] =
·
.
w2 − w w3 − w 1
z2 − z z3 − z 1
En particular, si w1 = 0, w2 = ∞, w3 = 1,
f (z) = [z1 , z2 , z3 , z] =
z − z 1 z2 − z 3
·
.
z2 − z z3 − z 1
Veamos algunos ejemplos de como las transformaciones proyectivas pueden
emplearse para aplicar subconjuntos del plano sobre otros:
Ejemplo 7.3.1 Transformaciones proyectivas que aplican el semiplano =(z) >
0 en el disco abierto de radio unidad, |z| < 1, y el eje real sobre la circunferencia
de radio unidad.
En primer lugar, buscaremos transformaciones que lleven el eje real a la
circunferencia de radio unidad,
f (x) =
ax + b
,
cx + d
|f (x)| = 1 .
En particular, de f (0) = b/d deducimos que |b| = |d|. Y de f (∞) = a/c
deducimos que |a| = |c|. Es decir, denotando a = ceiα , z0 = −b/a, z1 = −d/c,
f (z) = eiα
z − z0
,
z − z1
|z0 | = |z1 | .
Para acabar de determinar la expresión, sobre el eje real,
|x − z0 | = |x − z1 | ,
es decir, el eje real equidista de z0 y z1 . Por tanto, es la mediana del segmento
z0 z1 , de donde se deduce que z1 = z̄0 .
5
Ası́ pues, la expresión más general de una transformación proyectiva que
aplique el eje real sobre la circunferencia unidad es
f (z) = eiα
z − z0
.
z − z̄0
Sólo resta ver si aplica el semiplano superior sobre el disco unidad. Para ello,
es preciso que z0 pertenezca al semiplano superior, es decir, =(z0 ) > 0, ya que
|z − z0 |2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < (x − x0 )2 + (y + y0 )2 = |z − z̄0 |2 ,
si y, y0 > 0. Por tanto, |f (z)| = |z − z0 |/|z − z̄0 | < 1. 2
Ejemplo 7.3.2 Transformaciones proyectivas que aplican el semiplano superior sobre el semiplano superior y el eje real sobre el eje real.
Intuitivamente, las transformaciones que dejan invariante el eje real deberı́an
ser las que tienen coeficientes reales. Lo comprobamos:
f (x) =
ax + b
ax + b c̄x + d¯
ac̄x2 + (ad¯ + bc̄)x + bd¯
=
= 2 2
,
¯
cx + d
cx + d c̄x + d
|c| x + (cd¯ + dc̄)x + |d|2
x∈R.
Para que esta expresión sea real, como el denominador ya es real, tendrá que
ser real el polinomio del numerador. Y esto es posible sólo si sus tres coeficientes
son reales,
ac̄ ∈ R ⇒ a = αz0 , c = γz0 ,
α, γ ∈ R ,
z0 ∈ C
bd¯ ∈ R ⇒ b = βz1 , d = δz1 ,
β, δ ∈ R ,
z1 ∈ C
ad¯ + bc̄ = αδz0 z̄1 + βγz1 z̄0 .
Para que esta última expresión sea también real, caben dos posibilidades:
O bien αδ = βγ, para que la expresión sea esencialmente la parte real de
z0 z̄1 . Pero en este caso,
ad − bc = αδz0 z1 − βγz0 z1 = 0 ,
la transformación proyectiva no está definida.
O bien z0 z̄1 es real, con lo cual z0 , z1 son múltiplos reales entre sı́, λz0 = µz1 ,
con λ, µ ∈ R, y todos los coeficientes, a, b, c, d, de la transformación son múltiplos
reales de un mismo número complejo, que podemos simplificar en la expresión.
Por tanto, todos los coeficientes son reales.
Es decir, las únicas transformaciones proyectivas que dejan invariante el eje
real son las que tienen coeficientes reales.
Queda ver cuáles aplican el semiplano superior sobre el semiplano superior.
Lo averiguamos con el punto z = i,
f (i) =
ai + b
ai + b d − ci
ac + bd + i(ad − bc)
=
=
,
ci + d
ci + d d − ci
|c|2 + |d|2
cuya imagen deberá estar en el semiplano superior, para lo cual, su parte imaginaria, el determinante de la transformación, ad − bc, tendrá que ser positivo.
2
6
Ejemplo 7.3.3 Transformaciones proyectivas que aplican el disco abierto de
radio unidad, |z| < 1, sobre el disco abierto de radio unidad, y la circunferencia
de radio unidad, |z| = 1, sobre la circunferencia de radio unidad.
Haremos uso de la propiedad de las transformaciones proyectivas de llevar
parejas de puntos inversos respecto a una circunferencia a parejas de puntos
inversos respecto a la circunferencia imagen.
Los puntos cuyas imágenes son cero e infinito son inversos. Por tanto, existe
a ∈ C tal que f (a) = 0, f (ā−1 ) = ∞, con |a| < 1 para que el disco unidad se
aplique sobre el disco unidad. Por tanto, la transformación proyectiva será de
la forma,
f (z) = k
z−a
,
āz − 1
y sólo queda por determinar k. Como,
|z−a|2 = |z|2 +|a|2 −āz−az̄ = |a|2 +1−āz−az̄ = |a|2 |z|2 +1−āz−az̄ = |āz−1|2 ,
tenemos que |k| = 1.
Por tanto, las transformaciones proyectivas que buscamos son de la forma
f (z) = eiα
7.4.
z−a
,
āz − 1
α∈R.2
Potencias y raı́ces
Como primer ejemplo de transformación elemental no proyectiva, estudiaremos la transformación cuadrática, w = f (z) = z 2 . En coordenadas cartesianas,
u = x2 − y 2 ,
v = 2xy ,
aunque la interpretación geométrica más clara se obtiene en coordenadas polares, f (z) = r2 ei2φ . Es decir, el módulo queda elevado al cuadrado, mientras que
el argumento se ve multiplicado por dos.
Por tanto, esta transformación lleva la circunferencia de radio R centrada
en el origen sobre la circunferencia de radio R2 .
Las rectas de ángulo φ0 que pasan por el origen se transforman en semirrectas
de ángulo 2φ0 .
Esta transformación no es biyectiva, a diferencia de lo que sucedı́a con las
transformaciones proyectivas. Si consideramos argumentos en el plano comprendidos en el intervalo [0, 2π], en la imagen los argumentos recorren [0, 4π], es decir,
el plano es recorrido dos veces.
Para conseguir una aplicación biyectiva, tenemos que restringir el dominio
a un semiplano abierto. La imagen será el plano cortado, es decir, salvo un
semieje. Si consideramos el semiplano abierto limitado por la recta de ángulo
φ0 /2, 0 ≤ φ0 < 2π, la imagen es el plano cortado por la semirrecta de ángulo
φ0 . En particular, la imagen del semiplano superior es el plano cortado por la
semirrecta real positiva.
Una propiedad importante de las curvas u = const. y v = const. es que son
familias de hipérbolas equiláteras ortogonales. La imagen de cada rama de la
7
hipérbola de ecuación x2 − y 2 = k es la recta vertical u = k. Y la imagen de
cada rama de la hipérbola de ecuación 2xy = k 0 es la recta horizontal v = k 0 .
Esta propiedad permite transformar la región comprendida entre dos ramas
de hipérbolas en una franja horizontal o vertical del plano.
De igual manera se pueden estudiar potencias más generales, f (z) = z n =
n inφ
r e , que asimismo transforman circunferencias de radio R en circunferencias
de radio Rn y semirrectas de ángulo φ0 en semirrectas de ángulo nφ0 .
Tampoco son biyectivas, aunque aplican un sector abierto de ángulo 2π/n
en el plano cortado. Por ejemplo, el sector comprendido en 0 < φ < 2π/n se
aplica en plano cortado por el semieje real positivo.
√
estudiaremos la transformación raı́z cuadrada, f (z) = ( z)α =
√ Finalmente
reiφ/2 , en una determinación α, α − 2π < φ < α.
Esta transformación está definida en el plano cortado por la semirrecta φ = α
y su imagen es el semiplano abierto limitado por la recta φ = α/2. En particular,
si la determinación es la principal, α = π, la imagen del plano cortado por el
semieje real negativo en el semiplano derecho. Y si la determinación es α = 2π,
la imagen del plano cortado por el semieje real positivo es el semiplano superior.
Esta transformación aplica circunferencias de radio R centradas
en el origen,
√
salvo un punto, en semicircunferencias abiertas de radio R. Y semirrectas de
ángulo φ0 , en semirrectas de ángulo φ0 /2.
La expresión de la transformación en coordenadas cartesianas la podemos
obtener teniendo en cuenta que es la inversa de la transformación cuadrática,
x = u2 − v 2 ,
y = 2uv ,
simplemente intercambiando (x, y) por (u, v).
Eliminando parámetros,
y 2 = 4u2 (u2 − x) ,
y 2 = 4v 2 (v 2 + x) .
Aquı́ observamos que las parábolas de ecuación y 2 = 4k 2 (k 2 − x) se transforman en rectas verticales de ecuación u = k. Y las parábolas de ecuación
y 2 = 4k 02 (k 02 + x) se transforman en rectas horizontales de ecuación v = k 0 .
Por tanto, la raı́z transforma regiones comprendidas entre dos parábolas en
franjas.
análogas pueden hacerse para las raı́ces n-ésimas, f (z) =
√ Consideraciones
√
( n z)α = n reiφα /n .
La imagen del plano cortado bajo esta transformación es un sector abierto
de ángulo 2π/n.
Las circunferencias centradas en el origen de√radio R, salvo un punto, se
transforman en arcos de circunferencia de radio n R y ángulo 2π/n y las semirrectas de ángulo φ0 , en semirrectas de ángulo φ0 /n.
Obviamente, combinando todas estas transformaciones podemos aplicar semiplanos, sectores, cı́rculos. . . entre sı́.
7.5.
Transformaciones trascendentes
Dentro de las transformaciones definidas por funciones trascendentes, es especialmente interesante la transformación exponencial, f (z) = ez = seiϕ ,
s = ex ,
ϕ=y.
8
Observamos que una franja comprendida entre las rectas horizontales y = y 1 ,
y = y2 , se transforma en un sector infinito comprendido entre las semirrectas
ϕ = y1 , ϕ = y2 , siempre que la franja no tenga un ancho superior a 2π.
Por ejemplo, la transformación es inyectiva si nos restringimos a una franja
delimitada por y = y1 , y = y1 + 2π. La imagen es el plano cortado por la
semirrecta ϕ = y1 . Una franja de anchura π tiene por imagen un semiplano.
Limitando la coordenada x controlamos el radio del sector en la imagen. Ası́,
un rectángulo limitado por y = y1 , y = y2 , x = x1 , x = x2 se transforma en
un sector de corona circular comprendido entre los radios s = ex1 , s = ex2 y los
ángulos ϕ = y1 , ϕ = y2 . Si el rectángulo se extiende a una franja semiinfinita,
y1 < y < y2 , x < x1 , la imagen es un sector circular de radio ex1 , comprendido
entre los ángulos ϕ = y1 , ϕ = y2 .
Las transformaciones inversas son los logaritmos, f (z) = (ln z)α = log r + iφ,
α − 2π < φ < α, en una determinación α.
La actuación de esta transformación es, obviamente, la inversa. Transforma
el plano cortado por la semirrecta φ = α en la franja horizontal α − 2π < v < α.
Las circunferencias, salvo un punto, de radio R se transforman en segmentos
de rectas verticales u = log R y las semirrectas de ángulo φ se transforman en
rectas horizontales v = φ.
Acabamos esta revisión de las transformaciones trascendentes elementales
con la transformación seno, f (z) = sin z,
u = sin x cosh y ,
v = cos x sinh y .
La imagen de las rectas horizontales y = y1 son elipses oblatas de semiejes
cosh y1 , | sinh y1 |,
2 2
v
u
+
=1,
cosh y1
sinh y1
que degeneran al segmento horizontal (−1, 1) cuando y1 = 0.
Por tanto, para que la transformación sea biyectiva debemos restringirnos a
media franja vertical x1 < x < x1 + 2π, y > 0. La imagen será el plano cortado
por la semirrecta horizontal v = 0, x > −1.
Por contra, las rectas verticales x = x1 se transforman en ramas de hipérbolas de semiejes | sin x1 |, cos x1 ,
2 2
u
v
−
=1.
sin x1
cos x1
Si sin x1 es positivo se trata de la rama derecha y, si es negativo, de la
izquierda.
Son casos degenerados x1 = nπ, que se transforman en el eje vertical, y
x1 = (2n + 1)π/2, que se transforman en semiejes horizontales: el positivo si n
es par y el negativo, para n impar.
Por tanto los rectángulos en coordenadas cartesianas se transforman en cuadriláteros curvos limitados por elipses e hipérbolas.
7.6.
Transformación de Schwarz-Christoffel
Acabamos esta revisión de las principales transformaciones complejas con
una transformación que permite aplicar el semiplano superior sobre el interior
9
de cualquier polı́gono. Para ello, vamos a aplicar el eje real sobre el contorno
del polı́gono.
Consideremos n puntos sobre el eje real, x1 < · · · < xn . Queremos que sus
imágenes, w1 = f (x1 ), . . . , wn = f (xn ), bajo una función holomorfa f sean
los vértices de un polı́gono de n lados. Además, f debe aplicar cada segmento
xi xi+1 sobre el segmento wi wi+1 .
La imagen del eje real es la curva parametrizada por w = f (t), con vector
tangente f 0 (t) en cada punto, que forma un ángulo arg f 0 (t) con el semieje real
positivo. Por tanto, debemos buscar funciones cuya derivada presente argumento
constante en cada uno de los intervalos [xi , xi+1 ] y sólo cambie de argumento,
por no ser holomorfa, en los puntos xi .
Una función que verifica estas propiedades es la que tiene por derivada
f 0 (z) = A(z − x1 )−k1 · · · (z − xn )−kn ,
A∈C,
k 1 , . . . , kn ∈ R ,
(7.6)
como se comprueba fácilmente tomando argumentos,
arg f 0 (z) = arg A − k1 arg(z − x1 ) − · · · − kn arg(z − xn ) .
Si x ∈ (−∞, x1 ), todas las diferencias x − xi son negativas, con lo cual,
arg f 0 (x) = arg A − (k1 + · · · + kn )π ,
el argumento es constante y denota que la imagen de este intervalo es un segmento del plano.
Del mismo modo, si x ∈ (x1 , x2 ), sólo x − x1 es positivo,
arg f 0 (x) = arg A − (k2 + · · · + kn )π .
Por tanto, al cambiar de intervalo el argumento sufre un salto de valor k1 π.
Repitiendo el argumento, llegamos a la conclusión de que las imagénes de los
intervalos [xi , xi+1 ] son segmentos del plano y que en los puntos xi el argumento
sufre un incremento de valor ki π. Por tanto, los valores de ki deberán estar
comprendidos en (−1, 1).
Ası́ pues, la imagen del eje real es una lı́nea poligonal de vértices w1 , . . . , wn
y πki es el ángulo formado por los lados wi−1 wi y wi wi+1 .
Obviamente, debemos evitar que los lados del polı́gono imagen se corten.
Además, exigiremos que la poligonal sea cerrada, lo cual se consigue si la suma
de los ángulos es 2π, es decir, si k1 + · · · + kn = 2.
Si el punto xn se lleva a infinito, el término (z − xn )−kn desaparece de la
expresión de f 0 (z).
El problema se reduce a encontrar la primitiva f y, en general, será complicado encontrarla como combinación de funciones elementales. Habrá que demostrar, en cualquier caso, que dicha primitiva existe.
Para comenzar, las potencias reales no son holomorfas en alguna semirrecta,
con lo cual hay que escoger determinaciones que permitan que f 0 sea holomorfa
en el semiplano superior. Por ejemplo, α = 3π/2 permite definir f como
Z z
Z z
f (z) =
f 0 (s) ds + B = A
(s − x1 )−k1 · · · (s − xn )−kn ds + B ,
z0
z0
siendo z0 un punto del semiplano superior y B, una constante.
10
Observemos que la constante B simplemente sirve para trasladar el polı́gono
y la constante A = |A|eiα sirve para modificar el tamaño y girar el polı́gono.
Podemos tomar A = 1 y B = 0 para obtener un polı́gono de la forma adecuada
y modificarlo por semejanza a posteriori.
Además, sabemos que en los puntos de ramificación x1 , . . . , xn f 0 no es holomorfa, pero habrá que exigir que por lo menos la integral esté bien definida:
Consideremos el punto x1 . La función g(z) = A(z − x2 )−k2 · · · (z − xn )−kn es
holomorfa en una bola centrada en x1 de radio x2 − x1 y tiene, por tanto, una
serie de Taylor,
g(z) = a0 + a1 (z − x1 ) + O (z − x1 )2 .
Por tanto, podemos descomponer f 0 en dicha bola,
f 0 (z) = a0 (z − x1 )−k1 + (z − x1 )1−k1 h(z) ,
donde h es una función holomorfa. El segundo término es una función continua,
ya que el exponente (1 − k1 ) es positivo, por lo que la integral de dicho término
está bien definida en las proximidades de x1 .
Por su parte, la integral del primer término también está bien definida,
Z z
(z − x1 )1−k1
(z0 − x1 )1−k1
(s − x1 )−k1 ds =
−
,
1 − k1
1 − k1
z0
por lo que, repitiendo el argumento para el resto de puntos de ramificación, la
primitiva de f 0 es una función continua en el semiplano cerrado =(z) ≥ 0.
También tendremos que ver si la función está bien definida para grandes
valores de |z|. El módulo de la derivada,
|f 0 (z)| = |A| · |z − x1 |−k1 · · · |z − xn |−kn ,
se comporta para grandes valores de |z| como |z|−k1 −···−kn = |z|−2 , lo cual nos
asegura la integrabilidad de f 0 . Si xn = ∞, |f 0 (z)| se comporta como |z|kn −2 y
como kn − 2 < −1, también en este caso tenemos la integrabilidad garantizada.
Con este razonamiento garantizamos que el eje real se aplica sobre el polı́gono de vértices w1 , . . . , wn , pero queda la duda de si aplica el semiplano superior
sobre el interior o el exterior del polı́gono. Como los puntos del semiplano superior quedan a la izquierda del eje real, recorrido en sentido positivo, por la
propiedad de la representación conforme, los puntos imagen están también a la
izquierda de los lados del polı́gono y, por tanto, en su interior.
¿Cuánta libertad nos queda para definir f ? Fijados A = 1, B = 0, podemos tomar z0 = 0, ya que sólo afecta en una traslación. Los exponentes ki
quedan determinados por los ángulos del polı́gono. Para determinar el polı́gono
precisamos n − 3 proporciones entre sus lados. Para conseguirlo, podemos variar los valores de los n puntos de ramificación, xi , con lo cual nos quedan tres
parámetros libres para jugar.
Esto no nos debe extrañar, ya que siempre podemos realizar transformaciones de Möbius de la recta, que tienen tres parámetros libres precisamente, y el
problema no se ve afectado.
A la hora de calcular la transformación de Schwarz-Christoffel nos encontramos con dos problemas. Uno ya ha sido mencionado, es difı́cil hallar f 0 como combinación de funciones elementales sencillas en la mayorı́a de los casos.
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Además, los parámetros que definen la transformación son los puntos xi del eje,
no los vértices wi del polı́gono, con lo cual hace falta mucha intuición para dar
con la transformación adecuada.
Este segundo problema desaparece cuando el polı́gono es un triángulo, ya
que queda definido, salvo semejanza, por los ángulos k1 , k2 , k3 , y como tenemos
tres parámetros libres, podemos escoger arbitrariamente los valores de x 1 , x2 , x3 .
Ejemplo 7.6.1 Transformación de Schwarz-Christoffel que aplica el semiplano
superior sobre un triángulo equilátero.
Como el triángulo es equilátero, los tres coeficientes angulares son iguales,
k1 = k2 = k3 = 2/3. Para simplificar la expresión, tomamos x3 = ∞ y, por
simetrı́a de la expresión, x1 = −1, x2 = 1. Tomamos z0 = 1 para conocer al
menos de antemano un vértice del triángulo, w2 = f (x2 ) = 0. Con toda esta
información,
Z
z
f (z) =
1
(s − 1)−2/3 (s + 1)−2/3 ds .
Tratemos de obtener los otros vértices del triángulo. Para w1 = f (x1 ), tenemos que integrar a lo largo del eje real, entre 1 y −1. En este segmento x + 1
es positivo y tiene argumento nulo. Pero x − 1 es negativo y tiene argumento π.
Por tanto, podemos reducir la integral de lı́nea a una integral real,
Z −1
Z 1
2 dx
−i2π/3
−2/3
−2/3
iπ/3
w1 = e
.
(1 − x)
(x + 1)
dx = e
2 2/3
1
0 (1 − x )
Ası́ pues, el primer vértice está en w = leiπ/3 , siendo l la longitud del lado,
Z 1
Z 1
Γ 21 Γ 13
2 dx
1 1
−1/2
−2/3
l=
,
=
t
(1
−
t)
dt
=
B
=
,
2 2/3
2 3
Γ 21 + 31
0 (1 − x )
0
√
tomando x = t, en función de la función beta de Euler.
Lógicamente, el tercer vértice está en w3 = l. Lo comprobamos explı́citamente,
Z ∞
dx
w3 =
,
2 − 1)2/3
(x
1
que también podemos obtener integrando a lo largo del semieje real negativo,
w3
Z −∞
(s − 1)−2/3 (s + 1)−2/3 ds +
(s − 1)−2/3 (s + 1)−2/3 ds
1
−1
Z ∞
dx
−iπ/3
iπ/3
= w1 + e
= le
+ e−iπ/3 w3 ,
2 − 1)2/3
(x
1
=
Z
−1
de donde despejamos w3 = l. 2
Ejemplo 7.6.2 Transformación de Schwarz-Christoffel que aplica el semiplano
superior sobre un rectángulo.
Como ya se ha indicado, no conocemos a priori los valores de los puntos
x1 , x2 , x3 , x4 que corresponden a un rectángulo dado. Pero sabemos que los
ángulos son iguales, k1 = k2 = k3 = k4 = 1/2 y, por simetrı́a, tomamos x1 = −a,
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x2 = −1, x3 = 1, x4 = a > 1, y origen en z0 = 0. Tomando A = −1, para
evitar signos negativos, y B = 0, la expresión de la transformación de SchwarzChristoffel es
Z z
f (z) = −
(z + a)−1/2 (z + 1)−1/2 (z − 1)−1/2 (z − a)−1/2 dz .
0
Calculamos los vértices del rectángulo,
w3
= −
=
=
Z
Z
Z
1
0
(z + a)−1/2 (z + 1)−1/2 (z − 1)−1/2 (z − a)−1/2 dz
1
(x + a)−1/2 (x + 1)−1/2 (1 − x)−1/2 (a − x)−1/2 dx
0
1
0
√
K(a−1 )
dx
√
=
,
2
2
a
1−
a −x
x2
en términos de integrales elı́pticas,
K(k) =
Z
1
0
√
1−
x2
dx
√
.
1 − k 2 x2
Luego w3 = b/2 está sobre el eje real y, por simetrı́a de la integral, w2 =
−b/2, con lo cual b = 2K(a−1 )/a es la longitud de un lado del rectángulo.
Finalmente, podemos calcular otro vértice del rectángulo,
Z a
b
(z + a)−1/2 (z + 1)−1/2 (z − 1)−1/2 (z − a)−1/2 dz
−
w4 =
2
1
Z a
b
=
+i
(x + a)−1/2 (x + 1)−1/2 (x − 1)−1/2 (a − x)−1/2 dx
2
1
Z a
Z 1
b
dx
dy
b
√
√
p
p
+i
= +i
=
2
2
2
2
2
2
2
x −1 a −x
a − (a − 1)y 2 1 − y 2
1
0
√
K( a2 − 1/a)
b
+ ic , c =
,
=
2
a
√
√
tomando y = a2 − x2 / a2 − 1. Por simetrı́a, w1 = −b/2 + ic, con lo cual las
longitudes de los lados del rectángulo son b, c. 2
El cuadrado se obtiene cuando b = c, que corresponde a a ≈ 5,828427,
aunque este no es el procedimiento más eficiente para conseguirlo.
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