Distribución del tiempo de permanencia de un cliente en un sistema

Distribución del tiempo de permanencia de un
cliente en un sistema M/M/1
En todo el análisis anterior no hemos tenido en cuenta la disciplina de la
cola. Pero la función de densidad del tiempo de servicio sí que depende de ella.
Estudiemos el modelo bajo una disciplina FIFO.
Sea la cantidad de tiempo que el cliente J está en el sistema. ¿Qué distribución tiene?
Supongamos que hay n clientes en la cola cuando llega el cliente J. Este
cliente no comenzará su servicio hasta que no haya concluido el de los n anteriores
Cliente J
S(i = tiempo de servicio del cliente i
n =3
Servidor
Llega J
S(1
S(J
S(3
S(2
Tiempo de J en el sistema
Pf
ag =
1
X
n=0
P(
τ
= S(1+ S(2+ S(3+ S(J
a j n clientes en el sistema cuando llega J)
P (n clientes en el sistema cuando llega J):
Calculemos estas probabilidades:
A)- Hemos visto que en este sistema de colas la distribución estacionaria es
n
P (n clientes en el sistema cuando llega J) = pn =
1
1
:
B)- Calculemos ahora
P(
a j n clientes en el sistema cuando llega J)
1) Si n = 0 el tiempo del cliente en el sistema será su tiempo de servicio.
2) Si n 1 habrá un cliente en servicio y (n 1) esperando en la cola delante del cliente que acaba de llegar, J. El cliente que está recibiendo
el servicio puede haber estado en el servicio durante un tiempo, pero
debido a la falta de memoria de la distribución exponencial, J tendrá
que esperar un tiempo que se distribuye exponencialmente con razón
; para que el cliente 1 acabe su servicio. Pero también tendrá que
esperar un tiempo, que se distribuye de la misma manera, para cada
uno de (n 1) clientes que están en la cola cuando llega él. Luego
su tiempo de espera es una suma de variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas. Por consiguiente
el tiempo de J en el sistema, suponiendo que encuentra n clientes a
su llegada, tiene distribución (n + 1; ):
t(
f (t) = e
n
t)
:
n!
Luego
P(
a j n clientes en el sistema cuando llega J) =
Por lo que
P(
a) =
2
Za 6
6
6(
=
6
4
0
1 Z
X
a
n=0 | 0
P(
)e
e
t(
Z
a
e
0
=e
a) = 1
e
(
n
t)
dt
n!
n
n
t)
dt
n!
1
}|
{z
3
!
Z a
1
n 7
X
( t) 7
t
7 dt =
(
7
n!
0
5
n=0
|
{z
}
{z
t(
=
}
)e
t
e t dt = 1
t
)a
;
si a > 0:
Luego el tiempo que un cliente está en el sistema se distribuye exponencialmente con parámetro (
)
De la misma forma se puede ver que
P ( un cliente esté en la cola un tiempo >a)
P ( un cliente esté en la cola un tiempo 0)
2
=
= 1
e
(
)a
:
; si a > 0:
e
(
)a
: