econometría i - FCEA - Facultad de Ciencias Económicas y de

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
ECONOMETRIA II- CURSO 2004
PRACTICO 4
MODELOS DE SERIES DE TIEMPO (I)
EJERCICIO 1
Se pide:
Encuentre la solución para las siguientes ecuaciones en diferencias:
1.
2.
3.
4.
Yt-2 - 5 Yt-1 + 6 Yt = 0
Yt-2 - Yt-1 + Yt = 0
Yt-2 + 3 Yt-1 –7/4 Yt = 9
Yt-2 -2 Yt-1 +2 Yt = 1
(Y0 = 6; Y1 = 3)
(Y0 = 3; Y1 = 4)
EJERCICIO 2
Dado el proceso estacionario zt = 2at con t = 0, 1, 2,..., donde at es una variable aleatoria tal que
cumple con los supuestos
E(at)= 0.50 ∀t
V(at)= 0.25 ∀t
cov(at, at+s)=0 ∀ s≠0.
Se pide:
1. Hallar los parámetros del proceso estocástico: µ, γ0, γ1, γ2.
2. Hallar la función de autocorrelación y graficar el correlograma.
3. ¿Es el proceso estacionario en sentido amplio?
EJERCICIO 3
Si se da el proceso zt = at + at-1 con t ∈ T ⊂ N, y at definida como en el ejercicio anterior.
Se pide:
1. Hallar los parámetros del modelo: µ, γ0, γ1, γ2.
2. Hallar la función de autocorrelación y dibujar su correlograma.
3. Investigar la estacionariedad del proceso.
EJERCICIO 4
Considere los siguiente procesos estocásticos:
a- zt = α1 + α2t t= 0, 1, 2,.... Con αi ∼ N(µi, σ2i) para i = 1,2.
b- zt = α1cos(bt) + α2sen(bt) con t ≥0, siendo b un número fijo y con αi ∼ N(0, σ2i) para i = 1,2 son
variables independientes.
Se pide:
Investigar si son procesos estacionarios.
EJERCICIO 5
Se considera un modelo AR(1)
zt = ϕ1zt-1 + δ + ai con E(ai) = 0; E(atas) = σ2 si t = s y E(atas) = 0 si t ≠ s
1
Se pide:
1. Recordando la condición de estacionariedad de un AR(1), hallar E(zt).
2. Expresando el modelo en forma de desvíos hallar la varianza y la función de autocovarianzas
del modelo: γ0, γ1, γ2,..., γk.
3. Hallar la función de autocorrelación ρk con k = 0, 1, 2,...
4. Para δ = 5 y ϕ1 = 0.90, hallar E(zt), expresar en forma de desvíos, hallar varianza y la función
de autocovarianzas y graficar el correlograma.
EJERCICIO 6
Se considera el modelo MA(2)
yt = at - 0.4at-1 + 1.2at-2 con σ2a = 2.
Se pide:
1. Investigar la estacionariedad del proceso lineal.
2. Investigar invertibilidad.
3. Calcular las autocovarianzas del proceso.
4. Calcular y graficar el correlograma correspondiente.
EJERCICIO 7
Parte I] Dado el modelo ARMA(1, 1)
yt = 0.9 yt-1 + at - 0.8at-1 con σ2a=5
Se pide 1:
1. Investigar estacionariedad.
2. ¿Es un proceso invertible?
3. Calcular y graficar correlograma.
Parte II] Si se dispone de la siguiente función de autocorrelación:
ρ1 = 0.70; ρ2 = 0.49; ρ3 = 0.34; ρ4 = 0.24; ρ5 = 0.17.
Se pide 2:
1. Sugiera y justifique de qué tipo de proceso ARMA(p, q) puede provenir. Considere sólo
valores bajos de p y de q.
Parte III] A partir de las diez primeras autocorrelaciones de un proceso simulado:
ρ1 = 0.4606; ρ2 = 0.0013; ρ3 = -0.0020; ρ4 = -0.0024; ρ5 =-0.0049; ρ6 = -0.0014; ρ7 = 0.0019;
ρ8 = 0.0040; ρ9 = 0.0035; ρ10 = 0.0044.
Se pide 3:
1. Grafique la Función de Autocorrelación
2. Sugiera y justifique de qué tipo de proceso ARMA(p, q) pueden provenir. Considere sólo
valores bajos de p y de q.
EJERCICIO 8
Sea {yt} es un proceso estocástico de la forma
yt = 0.9 yt-1 - 0.8 yt-2 + at
donde E(at) = 0, E(at at) = 1 y E(atas) = 0 para t ≠ s.
Se pide:
1. Hallar la función de autocorrelación (FAC) de {yt} y graficarla.
2
EJERCICIO 9
Considere un proceso estocástico {yt} que puede expresarse como un MA(∞)
yt = at + c (at-1 + at-2 + at-3 +....)
donde c es una constante y at es iid con E(at) = 0 y V(at) = σ2a.
Se pide:
1. Probar que {yt} es un proceso no estacionario.
2. Probar que la primera diferencia ∆yt es un MA(1).
EJERCICIO 10
Considere un modelo ARMA(1, 1)
yt = αyt-1 + at + βat-1
Se pide:
Demostrar que la FAC de este proceso está dada por la expresión
ρ1 =
(1 + α .β )( α + β )
(1+ β 2 + 2α .β )
con ρ k = α . ρ k -1
k = 2,3,4,....
EJERCICIO 10
Considere el modelo
(1 - L)(1 - 0.2L)yt = (1-0.5L)at.
1. Identificar los valores de (p, d, q) en el modelo ARIMA(p, d, q) planteado.
2. Determinar si el modelo es estacionario en yt o en ∆yt.
3