Iteración de punto fijo

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1
Iteración de punto fijo
Teorema del punto fijo:
Sea f:[a,b]-> [a,b] una función derivable tal que existe una constante c,
0<c<1, verificando :
|D[f](x)|<c para cada x en [a,b].
Entonces la ecuación f(x) = x tiene una única solución xs en [a,b]. Esta
solución se encuentra como xs=Lim[x(n)], el límite de la sucesión
x(n)=f(x(n-1))
definida a partir de cualquier punto x(1) en [a,b]. Además la distancia
entre cualquier termino de la sucesión y la solución está acotada por
e(n)=| x(n) - xs | <( c^(n-1) / (1-c) ) |x(1)-f(x(1))|
Tres ideas sobre la prueba:
1.Sólo hay una solución. Si xs y xm fuesen dos soluciones distintas de f(x) = x se
cumpliría
f(xs) = xs ; f(xm) = xm ; 0 < |xs-xm| = |f(xs) - f(xm)| < c |xs-xm|
dividiendo en la última desigualdad por |xs-xm| queda la desigualdad imposible
0< 1 < c (recordar que c <1).
2.Si xs fuese el límite de la sucesión x(n)=f(x(n-1)) por ser f continua se cumple
que
xs = Lim[x(n)] = Lim[f(x(n-1)] = f(xs).
tal y como afirma el enunciado.
3.La existencía del límite de x(n) la garantiza la fórmula de los incrementos
finitos que permite
establecer las siguientes desigualdades:
|x(3)-x(2)| = |f(x(2)) - f(x(1))| = |D[f](c)| |x(2)-x(1)| < c |x(2)-(1)| =
= c |f(x(1))-x(1)|
|x(4)-x(3)| < c |x(3)-x(2)| < c^2 |f(x(1))-x(1)|
....
|x(i+1)-x(i)| < c^(i-1) |f(x(1))-x(1)| .
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2
|x(i+1)-x(i)| < c^(i-1) |f(x(1))-x(1)| .
x(n) se puede escribir haciendo la suma finita
x(n) = x(1) + (x(2)-x(1)) + (x(3)-x(2))+ ...+ (x(n)-x(n-1))
y xs se puede buscar haciendo la suma "infinita"
xs = x(1) + (x(2)-x(1)) + (x(3)-x(2))+ ...+ (x(n)-x(n-1))+ (x(n+1)-x(n))
....
Así las diferencias e(n) se pueden acotar por
e(n)=|x(n) - xs| < = |x(n+1)-x(n)| +|x(n+2)-x(n+1)|+ .... <
< c^(n-1) |f(x(1))-x(1)| +c^(n) |f(x(1))-x(1)| + ... =
= ( c^(n-1)+c^(n)+c^(n+1) + ...) |f(x(1))-x(1)|
La suma que aparece entre paréntesis es la suma de una progresión geométrica
de razon c <1, por lo tanto:
e(n)< (c^(n-1) / (1-c) ) |f(x(1))-x(1)| .
à Ejemplo 1.Encontrar las soluciones de la ecuación Cos[x]==x,
Como Cos[x] toma valores en el intervalo [-1,1] , y su derivada es
D[Cos[x],x] = -Sin[x] ,
se cumplen las condiciones del Teorema del punto fijo con
c=Sin[1] >= |Sin[x]| , para x en [-1,1].
Por lo tanto, la ecuación anterior sólo tiene una solución que podemos
encontrar a través de la sucesión definida por
x[n_]= Cos[x[n-1]]
f@x_D := Cos@xD
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3
c = N@Sin@1DD
0.841471
x@1D := Inicio;
x@n_D := f@x@n - 1DD;
cn-1 Abs@f@InicioD - InicioD
e@n_D := €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
1-c
Inicio = 0.5
Table@8"n", n, x@nD, e@nD<, 8n, 1, 25<D
88n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
1, 0.5, 3.56805<,
2, 0.877583, 1.78403<, 8n, 3, 0.639012, 0.892013<,
4, 0.802685, 0.446006<, 8n, 5, 0.694778, 0.223003<,
6, 0.768196, 0.111502<, 8n, 7, 0.719165, 0.0557508<,
8, 0.752356, 0.0278754<,
9, 0.730081, 0.0139377<,
10, 0.74512, 0.00696885<,
11, 0.735006, 0.00348442<,
12, 0.741827, 0.00174221<,
13, 0.737236, 0.000871106<,
14, 0.74033, 0.000435553<,
15, 0.738246, 0.000217777<,
16, 0.73965, 0.000108888<,
17, 0.738705, 0.0000544441<,
18, 0.739341, 0.0000272221<,
19, 0.738912, 0.000013611<,
20, 0.739201, 6.80552 ´ 10-6 <,
21, 0.739007, 3.40276 ´ 10-6 <,
22, 0.739138, 1.70138 ´ 10-6 <,
23, 0.73905, 8.5069 ´ 10-7 <,
24, 0.739109, 4.25345 ´ 10-7 <,
25, 0.739069, 2.12672 ´ 10-7 <<
Podemos representar gráficamente la sucesión de puntos (x(n),f(x(n)) a través
de la poligonal que resulta al ir uniendo éstos con los puntos (x(n),x(n))
de la bisecctriz y=x.
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4
Show@poligonal, grafica, bisectriz, AspectRatio ® 1D
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
à Ejemplo2
Vamos a aproximar las soluciones de la ecuación e^x==x^2,
Vamos a intentar usar el método de iteración de punto fijo, para lo que
necesitaremos escribir una ecuación de la forma g[x]=x.
Vamos a hacer una gráfica de y = e^x intentando localizar las raíces.
Plot@8Ex, x2<, 8x, - 1, 2<D
7
6
5
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
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En la gráfica se observa una única soluciónentre - 1 y 0,
vamos a considerarla función f2@xD = - E ^ H0.5 xL
La solución de E ^ x = x ^ 2 sera Hxs L ,
donde xs es la solución de la ecuación f2@xD = x .
f2@xD lleva el intervalo @- 1, 0D al intervalo @- 1, 0D,
y su derivada
D@f2@xD, xD = - 0.5 E ^ H0.5 xL,
en valor absoluto está acotada por
c = 0.5 .
Se cumplen las condicionesdel teorema del punto fijo
y la soluciónla podemos encontrarcon la sucesión
y@n_D = f2@y@n - 1DD
f2@x_D := - E0.5 x;
c = 0.5
y@1D := Inicio;
y@n_D := f2@y@n - 1DD;
cn-1 Abs@f2@InicioD - InicioD
e@n_D := €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
1-c
Inicio = - 0.5
5
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6
Table@8"n", n, y@nD, e@nD<, 8n, 1, 25<D
88n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
8n,
1, - 0.5, 0.557602<, 8n, 2, - 0.778801, 0.278801<,
3, - 0.677463, 0.1394<, 8n, 4, - 0.712674, 0.0697002<,
5, - 0.700237, 0.0348501<,
6, - 0.704605, 0.017425<,
7, - 0.703068, 0.00871252<,
8, - 0.703608, 0.00435626<,
9, - 0.703418, 0.00217813<,
10, - 0.703485, 0.00108907<,
11, - 0.703461, 0.000544533<,
12, - 0.70347, 0.000272266<,
13, - 0.703467, 0.000136133<,
14, - 0.703468, 0.0000680666<,
15, - 0.703467, 0.0000340333<,
16, - 0.703467, 0.0000170166<,
17, - 0.703467, 8.50832´ 10-6 <,
18, - 0.703467, 4.25416´ 10-6 <,
19, - 0.703467, 2.12708´ 10-6 <,
20, - 0.703467, 1.06354´ 10-6 <,
21, - 0.703467, 5.3177 ´ 10-7 <,
22, - 0.703467, 2.65885´ 10-7 <,
23, - 0.703467, 1.32943´ 10-7 <,
24, - 0.703467, 6.64713´ 10-8 <,
25, - 0.703467, 3.32356´ 10-8 <<
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7
Show@poligonal, grafica, bisectriz, AspectRatio ® 1D
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Ejercicio:
Encotrar las solución en el intervalo [0,1] de la ecuación :
(1/4) E^x = x
Representar mediante una poligonal la dinámica de la sucesión iterada
x[n_]=(1/4) E^(x[n-1])
a partir de cualquier punto x[1] en [0,1] .
Localizar los extremos de la función
h[x_]=(1/4) E^x -x
y encontrar la otra solución de la ecuación inicial.