Obtención de las ecuaciones de Maxwell

Obtención de las ecuaciones de Maxwell
Miguel Rodrı́guez Lago
De acuerdo con el principio de relatividad, las leyes de la Fı́sica han de ser invariantes
con el sistema de referencia. De forma que haciendo uso del principio de mı́nima acción
buscaremos la manera de hacer invariante la integral de acción.
Definimos S como el intervalo relativista en forma diferencial como
dS 2 = c2 dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 )
Sacando factor común c2 dt2 obtenemos que
1 dl2
v2
2 2
dS = c dt 1 − 2 2 = c dt 1 − 2
c dt
c
2
2
2
y extrayendo la raı́z cuadrada
r
dS = cdt 1 −
v2
c2
La acción depende de la relación existente entre el campo y la partı́cula, de forma que
utilizaremos un cuadrivector (cuadripotencial) A que caracterice al campo, de forma que
notaremos la acción como
Z
Spart−campo = α
Ai dxi
El cuadripotencial Ai lo definimos como
i
Ai = (Ax , Ay , Az , φ)
c
y la acción de la propia partı́cula será
1
2
Z
Z
1−
c
dS = α
S=α
r
2
1
1
v2
c2
en donde el integrando hace las veces de lagrangiana de la partı́cula.
de manera que la acción de la partı́cula libre y el campo será:
Z
S = −mc
2
Z
2
Ai dxi
dS + e
1
1
Ahora, variamos la acción
Z
S = −mc
2
2
2
δS =
1
2
Ai dxi
(−dxi ) + e
1
1
Z
Z
dxi δ(dxi )
−mc p
+ edxi δ(Ai ) + eAi δ(dxi ) = 0
−dx2i
Agrupo los términos en δ(dxi ):
Ahora, teniendo en cuenta la definición de intervalo, el término en dxi nos queda dividido
por el tiempo propio que es dτ = icdt, y al dividir nos queda la velocidad ui = dxi /dτ
2
Z
δS =
[−mui + eAi ]δ(dxi ) + edxi δ(Ai ) = 0
1
Integro por partes el primer miembro. Debido a que en los puntos 1 y 2 la variación de
x vale cero, según el principio de mı́nima acción, el factor finito por el factor integrado
evaluado entre 1 y 2 se anula, quedando que
Z
δS =
2
[−mdui + edAi ]δ(xi ) + edxi δ(Ai ) = 0
1
Si recordamos un poco de notación tensorial
dAi =
∂Ai
dxk
∂xk
δAi =
∂Ai
δxk
∂xk
y de igual forma
Sustituyendo en la integral,
2
2
Z
−mdui δ(xi ) − e
δS =
1
∂Ai
∂Ai
δxk dxi + e
dxk δxi
∂xk
∂xk
Ahora, agrupo los términos en dxk δxi y multiplico y divido por el diferencial del tiempo
propio en ambos términos
Z
δS =
1
2
dui
∂Ak ∂Ai dxk
[−m
−e
−
]δxi dτ = 0
dτ
∂xi
∂xk dτ
Nos queda una ecuación dinámica en notación tensorial, llamando Fik al tensor campo
electromagnético tenemos que
−m
dui
= eFik
dτ
~ =∇
~ ×A
Si ahora recordamos cómo se definió A anteriormente, y si definimos el vector B
~ = −∇φ
~ − ∂A , obtenemos todas las componentes del tensor.
yE
∂t
Estas definiciones parecen un poco hechas a propósito, realmente se pueden obtener haciendo el desarrollo anterior sin utilizar cálculo tensorial para nada simplemente haciendo una
analogı́a con mecánica y aplicando las ecuaciones de lagrange al integrando de la acción.
No obstante, la manera tensorial es mucho más potente.
Ası́, el tensor campo electromagnético es el que sigue y se ve su carácter antisimétrico de
forma inmediata:

Bz −By
 0

 −Bz 0
Bx
Fik = 

 By −Bx 0

i
i
i
c Ex
c Ey
c Ez
−i
c Ex
−i
c Ey






−i

E
z
c

0
Las componentes espaciales están asociadas al campo magnético mientras que las temporales están asociadas al campo eléctrico.
Si hacemos i=1 en la ecuación dinámica tensorial que obtuvimos arriba,
−m
dux
= eF1k uk
dτ
3
Si sustituı́mos tanto u como tau por la velocidad y el tiempo y hacemos operaciones,
tenemos que el primer término es la derivada de un momento igual a otro término a
calcular, sustituyendo los Fij por los valores que sean. Total, que al final obtenemos la
ecuación de Lorentz
d~p
~
= e~v × B + eE
dt
Es fácil demostrar que se cumple lo siguiente, para un tensor de orden 2 cualquiera:
∂Fik ∂Fkl ∂Fli
+
+
=0
∂xl
∂xi
∂xk
Si hacemos i =1, k =2, l = 3 obtenemos lo siguiente:
∂F12 ∂F23 ∂F31
+
+
=0
∂z
∂x
∂y
Si miramos cuánto valen los coeficientes de F en el tensor, corresponden a Bz , Bx yBy
respectivamente. Y si observamos que la derivación es justamente la divergencia, obtenemos
ası́ que
~ ·B
~ =0
∇
Si hacemos el mismo proceso para i = 1, k = 2, l = 4, obtenemos que (haciendo operaciones)
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
t
Dos ecuaciones de Maxwell que hemos obtenido sin utilizar más que principios de mecánica
clásica. Obviamente la elección del cuadripotencial y las constantes son intencionadas para
que salgan las ecuaciones, pero si usamos constantes arbitrarias obtenemos formalmente
las mismas ecuaciones.
Las otras dos ecuaciones de Maxwell que faltan, son las relativas a la acción del campo por
sı́ mismo y se obtienen de forma similar, sin más que añadir un término invariante para el
campo en la acción.
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