Ejercicios

TALLERES DE METODOS NUMERICOS
SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Usar un procedimiento iterativo para calcular una aproximación a la menor raíz positiva de
la ecuación :
2 sen π x − x = 0
Calcular tres iteraciones.
2. Considerar la ecuación
tan x =
x
x+2
( x ≠ −2)
Usar el método de bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuación, con los
resultados de la tercera iteración. Dar una cota para el error que se comete.
3.
π
x + x 2 − 1 = 0 , tomando x o = 1 .
2
2
Calcular dos iteraciones para establecer un valor aproximado de la raíz positiva.
Aplicar el método de Newton a la ecuación Sen 2
4. Para la función f ( x) = e− x + x2 − 2 , obtener aproximaciones a todos sus ceros, usando el
método de bisección, con la cuarta iteración. Tabular sus cálculos.
5. El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo
sumergido en un líquido es igual al peso del fluido desplazado.
Al plantear esta condición de equilibrio para una esfera de radio 1 cm y densidad γ = 0.75
h3 − 3 h2 + 3 = 0 , donde h es la altura de la parte
gm/cm 3 , se consigue la ecuación
de la esfera que está sumergida.
Se pide aplicar el método de Newton-Horner para estimar un valor aproximado de h,
usando dos iteraciones. Tomar h0 = 1 (valor inicial).
6. Considerar la ecuación
ex − 3 x = 0
(1)
a) Estudiar gráficamente la ecuación (1). ¿Cuántas raíces tiene en
[ 0, 4 ] ?
[ 0, 1 ] .
b) Justificar que se puede aplicar bisección a f (x ) = e x − 3 x en
Hallar una
aproximación a la raíz en [ 0, 1 ] , con tres iteraciones. Dar la cota de error.
1
c) Tomando x o = 1 , calcular diez iteraciones por el método de Newton, aplicado a f.
4
d) Considerar la sucesión
(x n +1 ) n∈ N generado por las iteraciones de Newton.
→ L , entonces L es una raíz de f (x ) = 0 .
Demostrar que si x n + 1  
n→ ∞
1 x
e , g 2 (x ) = ln 3 + ln x , ¿tienen alguna relación con el cálculo
3
de las raíces de la ecuación (1)?
Calcular: x n + 1 = g1 (x n ), n = 0,1,...,10
e) Las funciones g1 (x ) =
f)
x n + 1 = g2 (x n ), n = 0,1,...,10
tomando x o = 0.25; 0.40; 0.50; 1; 2 . Estudiar los resultados.
7. Considerar la ecuación
x − tan x = 0 . Aplicar el método de Newton parra calcular dos
iteraciones que busquen aproximar la menor raíz positiva de la ecuación.
Tomar
π
x o = . Usar aritmética aproximada truncando en la cuarta cifra decimal. Hacer una
6
gráfica aproximada de localización de la raíz buscada.
8. Combinar los métodos de bisección y Newton para hallar una aproximación a la menor
raíz positiva de
2 x3 − 3 x − 4 = 0 .
9. Considere la función h ( x) = e x−1 − x .
a) Probar que h tiene un único cero, determínelo y dé su multiplicidad.
b) Usar el método de Newton para aproximar el cero de h con tres iteraciones. Dar la
velocidad de convergencia del método escogido.
10. Considerar la ecuación
x 2 − 6 x + 10 = 0 .
Al aplicar el procedimiento de Newton, ¿qué resultados se consiguen? ¿Tendría el
polinomio raíces reales?
11. Considerar la sucesión
x n +1 =
a 
1
 xn +
,
x n 
2 
n = 0,1,2,...
a) Pruebe que si la sucesión converge lo hace a
sucesión siempre converge a
donde
a > 0.
a . (Nota: Para a > 0 y x o > 0 la
a ).
b) Calcular el orden de convergencia de la sucesión asumiendo que es convergente.
2
12. Probar que la función f (x ) = e x − x − 1 tiene un cero de multiplicidad dos en x = 0 .
13. Demostrar que la función:
f (x ) = e x − 1 − x −
1 2
x
2
tiene uno y sólo un cero, que es x = 0 , dar su multiplicidad.
cercanos a cero. Analizar estos resultados.
Calcular f en valores
14. Considerar las sucesiones:
 1

 n3

,

 n∈ N
 1

 2n
 10



 n∈ N
Para cada una de ellas calcular los valores de λ , para los cuales el
lim
n→ ∞
en +1
e nλ
es un
número real positivo.
15. Considerar la ecuación:
2 x3 = 3 x + 4
(1)
a) Demostrar que la función f (x ) = 2 x 3 − 3 x − 4 tiene una única raíz real α en (1, 2) .
b) ¿Se puede usar bisección para hallar una aproximación a α ?
c) Convertir el problema de calcular la raíz α de la ecuación (1) en un problema de P.F.
en el intervalo [ 1, 2 ] . Ensayar por lo menos cuatro funciones de iteración en [ 1, 2 ] .
d) Demostrar que la función
g (x ) = 3
3x + 4
2
es una función de iteración para el
problema. Demuestre que
7
≤ g (x ) ≤ 3 5 < 2 para todo x ∈ [ 1, 2 ] .
2
1
1
≤ g ' (x ) ≤
, para todo x ∈ [ 1, 2 ]
3
200
98
i) 1 < 3
ii)
3
iii) g (x ) cumple las hipótesis del T.F.P.F. en
iteraciones de P.F.
16. Considerar la ecuación:
ex − 3 x = 0
3
[ 1, 2 ]
.
Concluir.
Calcular tres
Estudiar la posibilidad de calcular la menor raíz positiva por el método de P.F., con las
funciones de iteración
g1 (x ) =
1 x
e
3
g 2 (x ) = ln 3 + ln x
en
[ 0, 1 ] .
Si es del caso, para g 2 estudiar el intervalo
17. Considerar la ecuación:
[ 0.4 ;
x3 − 4 x 2 + 5 = 0
0.8 ] .
(1)
1
x 3 + 5 es una función de iteración posible para el problema
2
(1), en el intervalo cerrado [1,2].
b) Para la función g , en el intervalo [1,2], examinar cuáles hipótesis del teorema
fundamental de punto fijo cumple. Justificar sus afirmaciones. Sacar conclusiones.
c) Decidir si la sucesión x n + 1 = g ( x n ) , n = 0, 1, 2,... converge o no; si lo hace, a qué
a) Mostrar que g ( x) =
valor converge? ¿Depende la convergencia de
( xn )
del valor inicial x o escogido en
[1,2]?. Justificar sus afirmaciones.
d) Tomar x o = 3 2 , calcular x1 y x 2 .
18. Considerar la ecuación:
x 3 + x − 18 = 0 .
a) Demostrar analíticamente que la ecuación tiene una única raíz real.
b) Comprobar que la función g (x ) = 3 18 − x es una función de iteración de punto fijo
para la ecuación propuesta.
c) Determinar un intervalo cerrado [ a, b ] donde la función g satisfaga todas las
hipótesis del Teorema Fundamental de Punto Fijo y verificar analíticamente sus
afirmaciones.
(Ayuda: Para a y b sirven números enteros).
d) Para un x o escogido en el interior del intervalo determinado, analizar si la sucesión
de iteración de punto fijo converge o no. Justificar sus conclusiones.
19. Use el método iterativo de punto fijo para encontrar una aproximación a una raíz de la
ecuación x2 + 10 cos x = 0 .
Para aplicar el método debe escoger una función de iteración g ( x ) que satisfaga todas
las hipótesis del teorema de punto fijo en un intervalo adecuado. Cuál es el orden de
convergencia del método de punto fijo en esta aplicación ? Explique cuál es la precisión
de los resultados obtenidos.
4
20. Se dispone de una lámina rectangular 10 cm x 16 cm, para construir una caja rectangular
sin tapa, cortando un cuadrado de igual tamaño en cada una de las esquinas. Estimar
un posible valor para el lado del cuadrado de tal forma que el volumen de la caja sea de
100 cm 3 .
21. Las gráficas de las funciones
f1 ( x) = ex
f2 ( x) = 100 x2
se cortan en algún punto α del intervalo
a) Mostrar que g ( x) =
de α .
[ 0, 1 ] .
1 x2
e
es una función de iteración de punto fijo para el cálculo
10
b) Verificar que la función g satisface las hipótesis del Teorema Fundamental de
Puntos Fijos (existencia y unicidad).
c) Dejar claramente indicadas las operaciones correspondientes a las dos siguientes
iteraciones de PF, comenzando con x0 = 0 .
d) La escogencia del x0 inicial en
[ 0, 1 ]
influye en la convergencia o divergencia del
proceso de PF ? Justificar su respuesta.
22.
Encontrar valores aproximados de las coordenadas del punto situado en el primer
cuadrante donde se cortan:
x2 + y 2 = 4 ,
y,
y = ex
Para ello, usar la técnica de P.F., tomando como función de iteración a
1
g ( x) =
ln 4 − x 2 en el intervalo [ 0, 1 ] . Verificar que g es una función de iteración
2
posible, y que además cumple las hipótesis del Teorema Fundamental de P.F.
Concluya sobre la convergencia de la sucesión ( xn ) generada, y decir hacia dónde
(
)
converge. Calcular dos iteraciones, tomando x o = 12 .
5
23. Hallar una aproximación a la menor raíz positiva de la ecuación x x − 2x = 0 . Usar
dos iteraciones con la técnica de punto fijo. Dar explícitamente el intervalo en el cual la
función de iteración escogida satisface las hipótesis del teorema de punto fijo
(probarlas).
24. Usar el método de punto fijo para determinar una aproximación a la raíz positiva de
x − 1 − tan−1 ( x) = 0 , después de tres iteraciones.
Verificar que su función de iteración
cumple todas las condiciones del Teorema Fundamental de Puntos Fijos, en el intervalo
elegido por usted.
25. Considerar la ecuación:
x 3 + 4 x 2 − 10 = 0
Usar la técnica de punto fijo para determinar una aproximación de su raíz positiva.
Determinar un intervalo y una función de iteración que satisfagan las hipótesis del
Teorema de Punto Fijo. Calcular cinco iteraciones.
26. Considerar la función:
g (x ) =
1
a
x +  ,
2
x
x>0
a) Si g tiene un punto fijo, ¿cuál sería?
b) Construir un intervalo donde la función g satisfaga las hipótesis del T.F.P.F.
c) Para valores de a, calcular varias iteraciones de P.F.
27. Usar la técnica de P.F. para calcular una aproximación a la raíz positiva más pequeña de
e − x − cos x = 0 .
28. Demostrar que la ecuación:
2 sen π x + x = 0
 1 3 
tiene una única raíz en  , 
 2 2 
29. Dado el sistema de ecuaciones no lineales:
 x2 − y2 = 4
 −x
 e + x y = 1
a) Haga una gráfica que ilustre cuántas soluciones reales tiene el sistema.
6
b) Para una de las soluciones reales, tome como aproximación inicial un punto
apropiado de coordenadas enteras
0
0
0
x( ) =  x( ), y( ) 


necesarios para obtener la aproximación
t
y realice todos los pasos
t
1
1
1
x( ) =  x( ), y( )  , utilizando el método de


Newton Raphson.
c) Obtenga una aproximación
hasta que
n
n−1
x( ) − x( )
∞
n
n
n
x( ) =  x( ), y( ) 


por medio del computador, iterando
< 10 − 3 , utilizando el método de Newton Raphson.
30. Resolver el siguiente sistema no lineal
x − sen ( x) cos h ( y) = 0
y − cos ( x) sen h ( y) = 0
usando como condición inicial el punto
(0.2, 2.9)
y el método de Newton.
31. Usar el método de Newton para sistemas no lineales para calcular una aproximación a la
solución del sistema
9x2 + y 2 = 9
x2 + y 2 = 1
0
Tome como x ( ) =
[ 1, 1 ]
y calcule dos iteraciones.
Dejar indicadas las operaciones
antes de realizar cálculos.
32. Aplicar el método de Newton al sistema:
x2 − y 2 − 6 x + 8 = 0
x 2 + 9 y 2 − 18 y − 6 x + 9 = 0
Tome como punto inicial
( 4, 4)
y calcule dos iteraciones. Aritmética exacta.
33. Considerar el sistema de ecuaciones no lineales:
x 2 + y2 − z = 0
x 2 + y2 + z2 = 2
3y + z = 1
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a) Usar el método de Newton para calcular dos iteraciones tomando (1, 0, 0) como punto
de partida.
b) Muestre que (± 1, 0, 0 ) son solución del sistema.
c) Usar un código para realizar los cálculos, tomando varios puntos de partida.
34. Utilizar el Método de Newton para calcular varias iteraciones, en los siguientes sistemas:
1.
2.
3.
x 3 + 3 y 2 = 21
x2 + 2y + z = 0
x 2 + x − y2 = 1
y − sen x 2 = 0
x2 + y2 − y = 0
x2 − y2 − x = 0
35. Usar el Método de Bairstow para hallar todas las raíces de los siguientes polinomios,
tomando como punto de partida el indicado en cada caso:
a)
b)
c)
d)
p(z ) = 3z 5 − 7 z 4 − 5 z 3 + z 2 − 8 z + 2 ,
(u, v) = (3, 1)
p(x ) = x − 8 x + 395 x − 62 x + 50 , (u, v) = (0,0)
4
3
2
p( x ) = 5 x 3 + 3x 2 + 2 x − 1 , (u, v) = (-0.5, 1)
p( x ) = 22 x 3 − 4 x 2 + 7 x − 6 , (u, v) = (-0.2, 1)
36. Rehacer los literales (c) y (d) del ejercicio anterior, pero empleando el método de Newton
para hallar la raíz real y posteriormente división sintética para encontrar el factor
cuadrático irreducible y de allí las raíces complejas.
8