15. La parte radial normalizada de la función de onda del átomo de

MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA
Ejercicio hoja 2 - Funciones especiales
Carlos Rodríguez Fernández
Ismael Granero Maraña
Isabel María Alfonso Naranjo
15. La parte radial normalizada de la función de onda del átomo de Hidrógeno viene dada
por:
𝑛−𝑙−1 !
𝑅𝑛𝑙 𝛼𝑟 = 𝛼 3 2𝑛
1
𝑛 +𝑙 !
2
𝑒
−𝛼𝑟
2
𝛼𝑟 𝑙 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟 ,
Donde α es una constante. Calcular la distancia media del electrón respecto del núcleo:
∞
0
𝑟 =
𝑑𝑟 ∙ 𝑟 3 ∙ 𝑅𝑛𝑙 𝛼𝑟
2
.
Lo que tenemos que hacer es evaluar la integral dada, así que vamos a introducir 𝑅𝑛𝑙 𝑟 en 𝑟 :
∞
𝑑𝑟 ∙ 𝑟 3 ∙
𝑟 =
0
∞
=
𝑑𝑟
0
=
𝑛−𝑙−1 !
𝛼3
2𝑛 𝑛 + 𝑙 !
1
𝑛 − 𝑙 − 1 ! −𝛼𝑟
𝑒
𝛼𝑟
2𝑛 𝑛 + 𝑙 !
𝑛−𝑙−1 !
∙
2𝑛 𝑛 + 𝑙 !
2
2
𝑒
−𝛼𝑟
2𝑙+3
2
𝛼𝑟 𝑙 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟
2
=
∞
𝑑𝑟 ∙ 𝑒 −𝛼𝑟 𝛼𝑟
2𝑙+1
0
=
𝛼𝑟 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟
2
La razón de escribirlo así es porque conocemos una regla de recurrencia para los polinomios de
Laguerre que verifica:
𝑥𝐿𝛼𝑛 𝑥 = − 𝑛 − 𝑙 𝐿𝛼𝑛+1 𝑥 + 2𝑛 𝐿𝛼𝑛 𝑥 − 𝑛 + 𝑙 𝐿𝛼𝑛−1 𝑥
En nuestro problema:
𝑥𝐿𝛼𝑛 𝑥 → 𝑥𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
Luego, la regla de recurrencia quedaría como:
2𝑙+1
2𝑙+1
2𝑙+1
𝑥𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥 = − 𝑛 − 𝑙 𝐿𝑛−𝑙 𝑥 + 2𝑛 𝐿𝑛−𝑙−1 𝑥 − 𝑛 + 𝑙 𝐿𝑛−𝑙−2 𝑥
Haciendo en la integral 𝑟 el cambio de variable:
𝛼𝑟 → 𝑥
𝛼𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑟 =
𝑑𝑥
𝛼
se obtiene que:
𝑛−𝑙−1 ! 1
∙
2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝛼
𝑟 =
∞
𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
0
2
Y ya estaríamos en disposición de aplicar la regla de recurrencia. Puede parecer un tanto engorroso
desarrollar el término cuadrático de 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥 , pero no lo es tanto si aprovechamos la propiedad
de ortogonalidad de estos polinomios:
Usando la definición de polinomios de Laguerre:
𝑛
𝐿𝛼𝑛 𝑥 =
𝑛+𝛼 !
1 𝑘
𝑥
𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 + 𝛼 ! 𝑘!
𝑘
−1
𝑘=0
∞
𝑑𝑥 ∙ 𝑥 𝛼 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝐿𝛼𝑛 𝑥 ∙ 𝐿𝛼𝑚 𝑥 = 𝛿𝑛𝑚
0
𝛼+𝑛 !
𝑛!
, siendo:
𝐿𝛼𝑛 𝑥
2
=
𝛼+𝑛 !
𝑛!
la norma.
En nuestro ejercicio,
𝛼 ≡ 2𝑙 + 1
𝑛 ≡𝑛−𝑙−1
, luego:
∞
0
2𝑙+1
𝑑𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥 ∙ 𝐿𝑚 −𝑙−1 𝑥 = 𝛿𝑛𝑚
, siendo:
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙 𝑥
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−2 𝑥
2
2
=
=
2
=
𝑙+𝑛 !
𝑛−𝑙−1 !
𝑙+𝑛+1 !
𝑛−𝑙 !
𝑙+𝑛−1 !
𝑛−𝑙−2 !
las normas.
𝑙+𝑛 !
𝑛−𝑙−1 !
Por tanto, en el término cuadrático 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
desarrollo quedará como sigue:
𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
2
= 𝑛−𝑙
2
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙 𝑥
2
no van a sobrevivir los productos cruzados, y su
+ 2𝑛
2
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
+ 𝑛+𝑙
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙 𝑥
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−1 𝑥
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−2 𝑥
2
Introduciendo en la integral:
𝑛−𝑙−1 ! 1
𝑟 =
∙
2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝛼
2
𝑛−𝑙
∞
𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 + 2𝑛
0
2
+ 𝑛+𝑙
2
+
+
2
𝐿2𝑙+1
𝑛−𝑙−2 𝑥
es decir, resulta la suma de tres integrales, que no son otra cosa que la norma de cada polinomio de
Laguerre por un factor multiplicativo:
𝑟 =
𝑛−𝑙−1 !
𝑛−𝑙
2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 !
2
𝑛+𝑙+1 !
+ 2𝑛
𝑛−𝑙 !
∙
2
∙
𝑛+𝑙 !
+ 𝑛+𝑙
𝑛−𝑙−1 !
2
𝑛+𝑙−1 !
𝑛−𝑙−2 !
El problema en este punto está básicamente resuelto, tan sólo es necesario simplificar la expresión.
Lo que vamos a hacer es el MCM en el corchete y sumar dentro, para simplificar con el factor
común:
𝑛+𝑙+1 𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 !
+
𝑛−𝑙 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−2 !
𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 !
=
+ 2𝑛 2 ∙
+
𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−2 !
𝑛+𝑙−1 !
+ 𝑛+𝑙 2
𝑛−𝑙−2 !
𝑛−𝑙
𝑟 =
=
𝑛−𝑙−1 !
2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 !
2
∙
𝑛−𝑙−1 ! 𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 !
𝑛−𝑙
2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝑛 − 𝑙 − 2 !
=
𝑛−𝑙−1
2𝛼𝑛
=
2
∙
𝑛+𝑙+1
2𝑛 2
+
+ 𝑛+𝑙
𝑛−𝑙 𝑛−𝑙−1
𝑛−𝑙−1
𝑛−𝑙 𝑛+𝑙+1
2𝑛 2
𝑛+𝑙 𝑛−𝑙−1
+
+
𝑛−𝑙−1
𝑛−𝑙−1
𝑛−𝑙−1
=
=
𝑛 − 𝑙 𝑛 + 𝑙 + 1 + 2𝑛 2 + 𝑛 + 𝑙 𝑛 − 𝑙 − 1
=
2𝛼𝑛
=
6𝑛2 − 2𝑙 2 − 2𝑙 3𝑛2 − 𝑙 𝑙 + 1
=
2𝛼𝑛
𝛼𝑛
En conclusión, la distancia media del electrón respecto del núcleo en el átomo de Hidrógeno es:
3𝑛2 − 𝑙 𝑙 + 1
𝑟 =
𝛼𝑛