División de Ingenier´ıas Campus Irapuato

División de Ingenierı́as
Campus Irapuato-Salamanca,
Universidad de Guanajuato
Guı́a Docente de la Unidad de Aprendizaje
Dinámica del Cuerpo Rı́gido
José Marı́a Rico Martı́nez
Salamanca, Gto., Octubre del 2014.
1.
Descripción de la Unidad de Aprendizaje
En esta sección encontrarás los datos descriptivos de la unidad de aprendizaje.
1.1.
Datos de la Unidad de Aprendizaje.
La unidad de aprendizaje de Dinámica II es parte del nucleo del área básica
disciplinar, que comprende 6 creditos, con 72 horas de contacto directo con el instructor
y 78 horas de actividades complementarias. Es un curso obligatorio para los estudiantes
de las licenciaturas en Ingenierı́a Mecánica e Ingenierı́a Mecatrónica. El participante
accederá a esta únidad en el quinto o sexto semestre de sus estudios de licenciatura. El
curso se impartirá en español.
1.2.
Prerequisitos.
La unidad de aprendizaje Dinámica II requiere que el alumno haya aprobado las
siguientes unidades:
1. Estática. Una de las herramientas fundamentales en la Cinética del Cuerpo Rı́gido
es la habilidad para obtener y analizar diagramas de cuerpo libre de cuerpos rı́gidos. Esta habilidad se adquiere durante el desarrollo de la unidad de aprendizaje
de Estática.
2. Dinámica I. Un cuerpo rı́gido se define como una agrupación de partı́culas tal
que la distancia entre dos de ellas, cualesquiera, permanece invariable; es decir, el
cuerpo rı́gido es indeformable. De esta manera, el análisis de cualesquiera de las
partı́culas del cuerpo rı́gido forzosamente requiere de las habilidades adquiridas
en la unidad de aprendizaje de Dinámica I.
3. Cálculo III (Cálculo Vectorial). La Dinámica de Cuerpos Rı́gidos trata con magnitudes tales como vector de posición, velocidad, aceleración, velocidad y aceleración
angular y sus derivadas. Por lo tanto, las habilidades para obtener e interpretar
las derivadas de funciones vectoriales, que se desarrollan en la unidad de Cálculo
III, son de suma importancia en la unidad de aprendizaje de Dinánica del Cuerpo
Rı́gido.
1.3.
Datos del Instructor.
Dr. José Marı́a Rico Martı́nez.
Cuerpo Académico de Dinámica y Robótica.
1
Departamento de Ingenierı́a Mecánica, de la División de Ingenierı́as, del Campus
Irapuato-Salamanca.
Cubı́culo 209, del edificio principal de la División de Ingenierı́as del Campus
Irapuato-Salamanca.
Correo Electrónico [email protected]
Teléfono (464) 647-9940 Ext. 2390.
1.4.
Horarios de Tutorias.
Las tutorias se ofrecen de 8 A.M. a 3:30 P.M. en el cubı́culo del instructor.
2.
El lugar de la unidad de aprendizaje en el perfil
de la Ingenierı́a Mecánica y Mecatrónica
La Dinámica es la ciencı́a que estudia el movimiento de los objetos y la relación entre
las fuerzas que actúan sobre los objetos y los movimientos que estas fuerzas producen.
La dinámica ha empleado desde las investigaciones de Newton y Euler dos modelos de
estudio de los objetos, la partı́cula y el cuerpo rı́gido —cursos más avanzados dentro
de la dinámica analizan también cuerpos deformables. Mientras que la partı́cula es un
objeto para el cual el movimiento de rotación es o imposible de determinar dadas las
dimensiones infinitesimales del objeto o, bien, un objeto para el cual el movimiento
de rotación no es de importancia, un cuerpo rı́gido se define como una agrupación de
partı́culas tal que la distancia entre dos de ellas cualesquiera permanece invariable; es
decir el cuerpo rı́gido es un objeto indeformable.
La unidad de aprendizaje de Dinámica II es obligatoria, de caracter disciplinario
que se ofrece como curso y forma parte del Área Básica Disciplinar del programa de
estudios de Ingenierı́a Mecánica y Mecatrónica. La unidad comprende 4 créditos con 72
horas de instrucción y 78 horas de trabajo dirigido o independiente del participante.
La Dinámica II permite determinar las velocidades y aceleraciones de las partı́culas
que forman parte de un cuerpo rı́gido y las velocidades y aceleraciones angulares del propio cuerpo rı́gido. De manera semejante, esta unidad permite determinar las velocidades
y aceleraciones de agrupaciones de cuerpos rı́gidos que posteriormente se denominarán
mecanismos. Es evidente el porque la unidad de aprendizaje de la Dinámica I, que
aborda las relaciones entre el vector de posición, velocidad y aceleración de una partı́cula
y el movimiento que las fuerzas producen sobre la partı́cula, es prerequisito obligado de
esta unidad. Es igualmente necesario que el participante tenga las competencias necesarias para diferenciar e integrar funciones vectoriales, estas competencias se desarrollan
en la unidad de aprendizaje Cálculo III. Finalmente, es altamente recomendable que el
2
participante tenga las competencias necesarias para resolver sistemas de ecuaciones escalares, usualmente lineales, provenientes de ecuaciones vectoriales, estas competencias
se desarrollan en la unidad de aprendizaje Álgebra Lineal.
Es importante señalar que esta unidad, Dinámica II, no trata la determinación de
la posición de un cuerpo rı́gido o agrupaciones de cuerpos rı́gidos, los análisis en esta
unidad parten del supuesto que se conoce de antemano la posición del cuerpo rı́gido
o agrupaciones de cuerpos rı́gidos. Este problema se conoce como análisis de posición
y, junto con otros temas como: Métodos gráficos y computacionales para el análisis
cinemático de mecanismos, sı́ntesis de mecanismos, levas, engranes y trenes de engranes,
será motivo de estudio en la unidad de Análisis y Sı́ntesis de Mecanismos. De manera
semejante, está unidad de aprendizaje provee de los fundamentos para el abordaje de
las unidades de aprendizaje de Dinámica de Maquinaria y Vibraciones Mecánicas.
3
3.
El Lugar de la Dinámica II en el Contexto Local
y Global
Las guı́as de estudio o “syllabus”buscados y analizados dentro del paı́s y fuera de
él, muestran una gran disparidad de objetivos, contenidos — con descripciones contradictorias entre los objetivos del curso y los contenidos respectivos. Dentro del paı́s se
tienen los siguientes ejemplos:
1. La guı́a de estudio del sistema de Institutos Tecnológicos, ahora Instituto Tecnológico Nacional, denominado FGOIMEC-2010-228Dinámica sin fecha de publicación o aprobación, muestra un programa semestral con 5 horas de clases que
incluye el estudio de la dinámica de partı́culas y cuerpos rı́gidos en el plano, sin
incluir aceleración Coriolis y métodos de impulso e ı́mpetu para cuerpos rı́gidos.
2. La guı́a de estudios de ingenierı́a aeroespacial de la Universidad Autónoma de Baja
California, Campus Mexicali, de fecha de aprobación Febrero del 2009, incluye
como única unidad de aprendizaje obligatoria denominada Dinámica, con un total
de 25 horas totales, que unicamente incluye el estudio de la Dinámica I.
3. La guı́a de estudios de la unidad Cinemática y dinámica de la Facultad de Ingenierı́a de la Universidad Nacional Autónoma de México, aprobada en Noviembre
del 2008, consta de 72 horas totales que incluye la cinemática de la partı́cula
y cuerpo rı́gido, sin mención expresa del estudio de aceleración Coriolis, y de
métodos de trabajo y energı́a e impulso e ı́mpetu para cuerpos rı́gidos.
A nivel internacional y de manera más especı́fica en paises desarrollados, la diversidad es aún mayor,
1. Una descripción de la unidad de aprendizaje denominada ENGR 57 Dynamics, de
la University of California Merced, cuyo autor es Mohinder Grewal, expresa que el
contenido de la unidad, de acuerdo con el catálogo de la propia Universidad, consta de: Fundamentals of statics. Kinematics and equations of motion of a particle
for rectilinear and curvilinear motion. Planar kinematics of rigid bodies. Kinetics
for planar motion of rigid bodies, including equations of motion and principles of
energy and momentum. Sin embargo, el autor lista los tópicos especı́ficos del curso, como: 1 General principles. Force vectors. 2 Equilibrium of a particle. Force
system resultants. 3 Equilibrium of a rigid body. 4 Structural analysis. 5 Internal
forces. 6 Friction. Center of gravity of a rigid body. 7 Moments of inertia of rigid
bodies. 8 Kinematics of particles. Rectilinear motion. Curvilinear motion. 9 Kinematics of particles: Newton’s second law of motion. 10 Motion of particles under
central force. 11 Kinetics of particles: energy and momentum methods. 12 Work
and energy. Impulse momentum. 13 Central impact. Oblique impact. Conservation of momentum. 14 Systems of particles. Impulse-momentum. 15 Kinematics
of rigid bodies. Plane motion of rigid bodies: forces andaccelerations. 16 Plane
4
motion of rigid bodies: Energy and momentum methods. 17 Angular momentum
of rigid bodies in 3-D motion. 18 Introduction to mechanical vibrations. 19 Free
vibrations. Forced vibrations. Debe notarse, en particular, la introducción del momento angular para cuerpos rı́gidos en movimiento espacial. No obstante, en el
desglose de los temas que se abordan en la programación diaria de la clase, los
tópicos del 15 al 19, que tratan con la cinemática y dinámica del cuerpo rı́gido están ausentes. Es importante notar que otras descripciones de esta misma
unidad de aprendizaje en la misma universidad, cubren en exceso el contenido de
la unidad como se describe en el catálogo. No fue posible determinar el número
de horas de instrucción asignadas a esta unidad.
2. Una descripción de la unidad de aprendizaje denominada ME242 Dynamics, de
la Universidad de Nevada, Las Vegas, cuyo autor es Georg F. Mauer, con un total
de 45 horas de instrucción expresa que el objetivo del curso es ... to teach solution
techniques for rigid body kinematics. Conservation of momentum and energy are
employed to analyze two and three dimensional problems. The use of vectors and
free body diagrams for the analysis of dynamic mechanical systems is stressed. Es
importante señalar, que en nuestra universidad, esos contenidos aparecen en dos
unidades de aprendizaje Dinámica I y Dinámica II que combinados ocupan 104
horas de instrucción.
3. En las escuelas de ingenierı́a alemanas, el estudio de la Dinámica se engloba
como una parte de la Mecánica Técnica, Technische Mechanik, un libro tı́pico
de este tipo de contribuciones es Gross, D., Ehlers, W., Wriggers, P. (2010)
Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3. Springer: Berlin. El libro
incluye entre muchas otras cosas la dinámica de partı́culas y cuerpos rı́gidos.
Desafortunadamente, no se obtuvo información del número de horas de instrucción
dedicadas a estos temas.
5
4.
Objetivos y Competencias de la unidad de aprendizaje
Como ya se indicó, la Dinámica II permite determinar las velocidades y aceleraciones
de las partı́culas que forman parte de un cuerpo rı́gido y las velocidades y aceleraciones
angulares del propio cuerpo rı́gido. De manera semejante, esta unidad permite determinar las velocidades y aceleraciones de agrupaciones de cuerpos rı́gidos. Se espera que
al finalizar esta unidad el participante haya desarrollado las siguientes:
Competencias genéricas institucionales.
Maneja ética y responsablemente las tecnologı́as de la información para agilizar
sus procesos académicos y profesionales de intercomunicación.
Competencias especı́ficas del programa.
Diseña, controla y mantiene sistemas electro-mecánicos, hidráulicos y neumáticos,
involucrando la conversión de energı́a entre sus diversas formas que permitan
la automatización de procesos industriales enfocados a esquemas de producción
eficientes, y
Desarrolla y aplica sistemas robóticos inteligentes para optimizar procesos y tareas
industriales.
6
5.
Bibliografı́a básica de la unidad de aprendizaje
La dinámica tanto de partı́culas como de cuerpos rı́gidos es una disciplina con más
de cuatrocientos años de antiguedad y los temas tratados en esta unidad de aprendizaje son clásicos, de manera que no hay mucha novedad en las herramientas básicas
para la enseñanza de los mismos. Sin embargo, las herramientas computacionales que
se han desarrollado en los últimas seis décadas permiten ofrecer una nueva mirada al
tratamiento de los temas. En particular, se pretende que al mismo tiempo que los participantes adquieran las competencias analı́ticas asociadas a la Dinámica II, también
adquieran competencias de modelado y análisis computacional de la dinámica de cuerpos rı́gidos. La bibliografı́a sugerida apoya esta propuesta con una bibliografı́a básica,
todos los libros de esta lista incluyen los temas tratados en la unidad, una bibliografı́a
complementaria que apoya la formación de competencias en el modelado y análisis computacional y una bibliografı́a comparativa que permite a los participantes observar el
tratamiento de este tema en otros paises más allá de Norteamérica.
5.1.
Bibliografı́a básica.
La bibliografia básica del curso es
Meriam, J.L., Kraige L.G. (2013). Engineering Mechanics: Dynamics. New
York: John Wiley and Sons.
Beer, F.P., Johnston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg
E. R. (2009). Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill.
Hibbeler R.C. (2013). Engineering Mechanics: Dynamics. New York: Prentice
Hall.
Pytel A., Kiusalaas, J. (2010). Engineering Mechanics: Dynamics. New York:
CL Engineering.
Rico, J. M. (2008-2014). Notas de clases de la unidad de aprendizaje de Dinámica
II. <http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/>
5.2.
Bibliografı́a complementaria
La bibliografı́a complementaria de la unidad es
1 Garvan, F (2002). The Maple Book. Boca Raton: CRC Press.
2 Abell, M.L., Braselton, J.P. (2005). Maple by Example. New York: Elsevier.
3 Learning Basics. View 2013.pdf. MSC Corporation, n.d. Web. 7 Nov. 2014.
<https://simcompanion.mscsoftware.com/infocenter/>
7
5.3.
Bibliografı́a comparativa
La bibliografı́a comparativa de la unidad es
1 Pommier, S., Berthaud, Y. (2010), Mécanique Générale Cours et exercices
corrigés. Dunod: Paris.
2 Gross, D., Ehlers, W., Wriggers, P. (2010) Formeln und Aufgaben zur
Technischen Mechanik 3. Springer: Berlin.
8
6.
Criterios de Evaluación
Se realizarán dos exámenes por escrito al finalizar los temas 2a y 5. El promedio de
calificación de estos exámenes determinarán el 90 % de la calificación final. Los requisitos
para tener derecho a presentar estos dos exámenes son:
1. Obtener una calificación mayor a 5 en los exámenes sorpresa —que por escrito
se realizarán en los últimos 20 minutos del periodo de alguna o algunas clases—
realizados en el periodo antes del examen correspondiente.
2. Obtener un promedio de las tareas, obligatorias, mayor a 8. Habrá una tarea por
cada semana, con un promedio de 20 problemas, y se evaluarán aleatoriamente
dos problemas de cada tarea.
3. La asistencia a clases con un máximo de 2 faltas en el periodo previo al examen
correspondiente.
El restante 10 % de la calificación final estará basado en los resultados de 8 pequeños
c y Adams
c.
proyectos de solución de problemas mediante el uso de los programas Maple
9
Anexo: Temas de la Unidad
En este anexo se encuentra toda la información acerca de las diferentes temas de la
Unidad de Aprendizaje. Si el ı́cono del tema incluye la figura de un ratón de computadora, el tema requiere el desarrollo de competencias computacionales, ya sea empleando
c , o un programa de simulación de sistemas
un programa de álgebra simbólica, Maple
c
mecánicos, Adams . Además la adición de una a al número del tema indica que ese
tema es una parte adicional del tema principal que carece de la letra.
Tema 1. Introducción a la Dinámica II
Objetivo del Tema. En este tema introductorio, se presenta la unidad de aprendizaje, se relaciona con las unidades de aprendizaje precedentes, como Estática y
Dinámica I, como subsecuentes como Análisis y Sı́ntesis de Mecánismos, Dinámica de Maquinaria y Vibraciones Mecánicas. Igualmente se presenta una comparación entre la mecánica Newtoniana y la mecánica analı́tica, en particular con
la mecánica Lagrangiana. Este tema también permitirá al instructor conocer los
conocimientos previos de los participantes del curso y a los participantes exponer
cualquier duda acerca de la Unidad de Aprendizaje y las polı́ticas del curso. Finalmente, en este tema se definirán los conceptos básicos de la unidad: Partı́cula,
Cuerpo Rı́gido, Movimiento, Sistema de Referencia y Sistema Coordenado.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Desarrollo histórico de la Dinámica.
Definición de partı́culas y cuerpos rı́gidos.
Cuerpos rı́gidos y cuerpos deformables.
Sistemas de referencia y sistemas coordenados.
Material de Trabajo. Lectura de los capı́tulos iniciales de la bibliografı́a básica, y
la nota introductoria al curso. Como complemento lectura del capı́tulo inicial de
Truesdel, C. (1968). Essays in the History of Mechanics. Berlin: Springer.
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen.
10
Dificultades que Pueden Presentarse. El tema es muy simple, sin embargo es importante diferenciar claramente los conceptos.
11
Tema 2. Cinemática del Cuerpo Rı́gido
Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La definición del movimiento
plano general de un cuerpo rı́gido y los casos especiales de este tipo de movimiento,
la determinación de relaciones entre las velocidades y aceleraciones de las diferentes partı́culas de un cuerpo rı́gido sujeto a los diferentes tipos de movimiento, la
determinación y análisis del movimiento de un cuerpo rı́gido como un todo.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Definición de los movimientos de traslación, rotación alrededor de un eje fijo
y movimiento plano general.
Determinación de las relaciones entre la velocidad y aceleración de un cuerpo
rı́gido sujeto a movimiento de traslación.
Determinación del vector velocidad angular de un cuerpo rı́gido sujeto a
movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
Determinación de la velocidad y aceleración de las partı́culas de un cuerpo
rı́gido sujeto a rotación alrededor de un eje fijo.
Determinación y análisis del movimiento de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento de rotación alrededor de un eje fijo como un todo.
Derivada de una función vectorial respecto a un sistemas de referencia sujeto
a movimiento de traslación y su relación con la derivada de la misma función
vectorial respecto a un sistema de referencia fijo.
Determinación de las relaciones entre la velocidad y aceleración de un cuerpo
rı́gido sujeto a movimiento plano general.
Centro instantáneo de velocidad o centro instantáneo de rotación.
Condiciones acerca del movimiento entre dos cuerpos sin deslizamiento.
Condiciones acerca del movimiento entre dos cuerpos con deslizamiento.
Análisis de velocidad y aceleración de agrupaciones de cuerpos rı́gidos, que
en la unidad de aprendizaje de Análisis y Sı́ntesis de Mecanismos se denominarán mecanismos.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 15.1 a 15.9 de Beer, F.P., Johnston,
E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). Vector
Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de
la restante bibliografı́a básica.
12
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
c y
el desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequeños proyectos en Maple
c
Adams .
Dificultades que Pueden Presentarse. La definición del vector velocidad angular
es siempre un tanto cuanto difı́cil. Diferenciar los diferentes tipos de movimiento
que un cuerpo rı́gido puede al principio parecer un poco confuso. Conocer las
diferentes condiciones sobre las velocidades y aceleraciones de dos puntos, de
diferentes cuerpos rı́gidos, cuando el movimiento de los cuerpos ocurre sin y con
deslizamiento.
13
Tema 2a. Movimiento Respecto a Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de Rotación
Objetivo del Tema. El objetivo de este tema es el análisis del movimiento de un cuerpo rı́gido respecto a un sistema de referencia sujeto a rotación y la conciliación de
los resultados —velocidad y aceleración— observados en el mismo cuerpo por dos
sistemas de referencia, uno fijo y otro sujeto a movimiento de rotación alrededor
de un eje fijo.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Derivada de una función vectorial respecto de un sistema de referencia sujeto
a rotación alrededor de un eje fijo y su relación con la derivada de esa misma
función vectorial respecto de un sistema de referencia fijo.
Aplicación del resultado precedente a un vector de posición. Relación entre
las velocidades de una partı́cula perteneciente a un cuerpo rı́gido tal como
se observa desde un sistema de referencia sujeto a rotación alrededor de un
eje fijo y un sistema de referencia fijo.
Aplicación del resultado a un vector velocidad angular y al vector velocidad
de una partı́cula. Relación entre las aceleraciones de una partı́cula perteneciente a un cuerpo rı́gido tal como se observa desde un sistema de referencia
sujeto a rotación alrededor de un eje fijo y un sistema de referencia fijo.
Componente Coriolis de aceleración.
Análisis de velocidad y aceleración de agrupaciones de cuerpos rı́gidos que
involucren movimiento respecto a un sistema de referencia sujeto a rotación
alrededor de un eje fijo.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 15.10 a 15.11 de Beer, F.P., Johnston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009).
Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de la restante bibliografı́a básica.
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
c y
el desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequeños proyectos en Maple
c.
Adams
14
Dificultades que Pueden Presentarse. Por alguna razón, la derivación de vectores
respecto de un sistema de referencia sujeto a rotación es un poco dı́ficil de comprender. De este concepto, se desprenden las velocidades y aceleraciones de una
partı́cula respecto de un sistema de referencia sujeto a rotación y la aceleración
Coriolis. Se sugiere que se observe el video —incluido en las notas de clase—
que, al parecer del instructor, permite asimilar la diferencia entre la derivada de
una función vectorial respecto de un sistema de referencia sujeto a rotación y la
derivada de esa misma función vectorial respecto de un sistema de referencia fijo.
15
Tema 3. Cinética del Cuerpo Rı́gido: Ecuaciones de NewtonEuler
Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La determinación de las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento general espacial
—este tema está fuera de los objetivos de esta unidad de aprendizaje sin embargo permite a los participantes de esta unidad una pequeña vista a las ecuaciones de movimiento en toda su generalidad—, la simplificación de las ecuaciones
de movimiento para el caso de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento plano general, donde el eje perpendicular al plano coincide con uno de los ejes principales de inercia del cuerpo rigido. Además est’a unidad presentará y aplicará el
principio de D’Alembert, analizará los siguientes casos especiales: Movimiento
de traslación, movimiento de rotación baricéntrico, movimiento de rotación no
baricéntrico, movimiento de rodadura sin y con deslizamiento. Finalmente, se
realizará el análisis dinámico de agrupaciones de cuerpos rı́gidos.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Suposiciones fundamentales y un breve repaso de los sistemas de unidades.
Derivación de las ecuaciones de Newton-Euler para un cuerpo rı́gido sujeto
a movimiento general espacial.
Simplificación de las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rı́gido sujeto
a movimiento plano general, donde el eje perpendicular al plano coincide con
uno de los ejes principales de inercia del cuerpo rigido.
Principio de D’Alembert.
Análisis de un cuerpo rı́gido sujeto a translación.
Análisis de un cuerpo rı́gido sujeto a rotación baricéntrica.
Análisis de un cuerpo rı́gido sujeto a rotación no baricéntrica.
Análisis de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento de rodadura
Análisis de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento plano general.
Análisis dinámico de agrupaciones de cuerpos rı́gidos.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 16.1 a 16.8 de Beer, F.P., Johnston,
E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). Vector
Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de
la restante bibliografı́a básica.
16
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
c y
el desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequeños proyectos en Maple
c
Adams .
Dificultades que Pueden Presentarse. Este tema presenta algunas dificultades: La
realización de los diagramas de cuerpo libre, indispensables para el desarrollo de
la Mecánica Newtoniana, el significado fı́sico del principio de D’Alembert y su
aplicación en la resolución de problemas, el proceso, que en ocasiones requiere de
dos pasos, para determinar el movimiento de un cuerpo rı́gido sujeto a rodadura y
finalmente la realización de que, casi invariablemente, la solución de un problema
de cinética de un cuerpo rı́gido o una agrupación de cuerpos rı́gidos, involucra la
solución de un problema, no necesariamente trivial, de la cinemática de un cuerpo
rı́gido o una agrupación de cuerpos rı́gidos.
17
Tema 3a. Momentos y Productos de Inercia de un Cuerpo Rı́gido
Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema son: La determinación del primer
momento de masa de un cuerpo rı́gido con respecto a un punto, la determinación
del centro de masas del cuerpo rı́gido y la determinación del tensor de inercia de
un cuerpo rı́gido con respecto a un punto y a un sistema coordenado asociado
al punto. Adicionalmente, se prueba el teorema de ejes paralelos o teorema de
Steiner y el concepto de radio de giro de un cuerpo rı́gido con respecto a un punto
y una dirección arbitraria.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Primer momento de masa de un cuerpo rı́gido respecto a un punto.
Centro de masas de un cuerpo rı́gido
Producto de inercia de un cuerpo rı́gido con respecto a un punto y dos
direcciones arbitrarias.
Segundo momento de inercia de un cuerpo rı́gido respecto a un punto y una
dirección arbitraria.
Tensor de inercia de un cuerpo rı́gido con respecto a un punto y a un sistema
coordenado asociado al punto.
Ejes principales de inercia de un cuerpo rı́gido.
Teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner.
Radio de giro de un cuerpo rı́gido respecto a un punto y una dirección arbitraria.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 9.1 a 9.16 de Beer, F.P., Johnston,
E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). Vector
Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de
la restante bibliografı́a básica. El tratamiento presentado en las notas de clase,
es muy general y poderoso y está tomado de Kane, T.R., Levinson, D. A.
(1985). Dynamics, Theory and Applications. New York: McGraw-Hill.
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
el desarrollo de las mismas.
18
Dificultades que Pueden Presentarse. Este tema es relativamente sencillo y los
participantes pueden aprovechar el paralelismo que existe entre los primeros y
segundos momentos de área y los primeros y segundos momentos de masas. El
teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner, que se presenta en su forma mas
conocida, puede presentar algunos problemas.
19
Tema 4. Métodos de Trabajo y Energı́a Aplicados a Cuerpos
Rı́gidos
Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema es la aplicación del método de trabajo
y energı́a al análisis del movimiento de cuerpos rı́gidos y agrupaciones de cuerpos
rı́gidos. Para lograr este objetivo es necesario: Revisar brevemente los conceptos
de trabajo de una fuerza y energı́a cinética de una partı́cula, que fueron abordados en la unidad de aprendizaje de Dinámica I, determinar la energı́a cinética
de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento plano general y sus casos particulares,
determinación del trabajo efectuado por un par de fuerzas, sistemas conservativos
y no conservativos, y energı́a potencial.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Revisión de los conceptos de trabajo de una fuerza y energı́a cinética de una
partı́cula.
Determinación de la energı́a cinética de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento
plano general: Casos particulares.
Determinación del trabajo realizado por un par de fuerzas.
Sistemas conservativos, leyes de conservación de energı́a.
Sistemas no conservativos.
Energı́a potencial.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 17.1 a 17.6 de Beer, F.P., Johnston,
E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009). Vector
Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de
la restante bibliografı́a básica.
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
c y
el desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequeños proyectos en Maple
c.
Adams
Dificultades que Pueden Presentarse. La aplicación del método de trabajo y energı́a, cuyo tratamiento es puramente escalar, es más sencillo que la aplicación de
20
las ecuaciones de Newton-Euler de naturaleza vectorial. Las dificultades pueden
presentarse por deficiencias en la determinación del trabajo realizado por diferentes tipos de fuerzas, el cálculo de la energı́a potencial de diferentes tipos de
campos vectoriales conservativos y la realización de que la solución de problemas
por este método puede requerir la definición de más de un sistema de cuerpos o
la aplicación de las ecuaciones de Newton-Euler.
21
Tema 5. Métodos de Impulso e Ímpetu Aplicados a Cuerpos
Rı́gidos
Objetivo del Tema. Los objetivos de este tema es la aplicación del método de impulso
e ı́mpetu al análisis del movimiento de cuerpos rı́gidos y agrupaciones de cuerpos
rı́gidos. Para lograr este objetivo es necesario: Revisar brevemente los conceptos
de impulso e ı́mpetu de una partı́cula, que fueron abordados en la unidad de
aprendizaje de Dinámica I, determinar el impulso traslacional y rotacional de
fuerzas que actúan sobre un cuerpo rı́gido, determinar el ı́mpetu traslacional y
rotacional de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento plano general y sus casos
particulares, leyes de conservación del ı́mpetu, impactos entre cuerpos rı́gidos.
Epı́grafes del tema Los principales descriptores de este tema son:
Revisión de los conceptos de impulso e ı́mpetu de una partı́cula.
Determinación del impulso traslacional y rotacional de fuerzas que actúan
sobre un cuerpo rı́gido.
Determinación del ı́mpetu traslacional y rotacional de un cuerpo rı́gido sujeto
a movimiento plano general y sus casos particulares.
Leyes de conservación del ı́mpetu.
Impactos entre cuerpos rı́gidos.
Material de Trabajo. Lectura de las secciones 17.8 a 17.12 de Beer, F.P., Johnston, E. R., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J., Eisenberg E. R. (2009).
Vector Mechanics for Engineers. New York: McGraw-Hill, o las secciones equivalentes de la restante bibliografı́a básica.
Método de Trabajo Aconsejado. Leer las notas indicadas en el material de trabajo,
traer a la clase las dudas que se hayan presentado. Poner atención en la definición
y significado de los conceptos que se introducen. Realizar las tareas indicadas por
el instructor y traer a la siguiente clase las dudas que se hayan presentado durante
c y
el desarrollo de las mismas. Llevar a cabo los pequeños proyectos en Maple
c.
Adams
Dificultades que Pueden Presentarse. La aplicación del método de impluso e ı́mpetu, cuyo tratamiento es nuevamente vectorial, tiende a ser mas complicado que
la aplicación del método de trabajo y energı́a. Además es necesario distinguir entre
momento e impulso lineal y momento e impluso angular. La falta de conocimientos
de los conceptos de impulso e ı́mpetu para partı́culas puede ser otra dificultad.
22