2. Hallar, si existen, las asíntotas de la función Solución • Asíntotas

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
2. Hallar, si existen, las asíntotas de la función f ( x ) = xe
1
x
Solución
• Asíntotas verticales
El único punto en el que la función no está definida es x = 0, por tanto es punto de discontinuidad
de f y candidato a determinar una asíntota vertical. Para comprobarlo se calculan los límites
laterales cuando x tiende a 0.
lim f ( x ) = lim xe
x →0
+
x →0
1
x
= 0e
+
como sigue: lim xe
1
1
0+
= 0 e+∞ = ⎣⎡0(+∞)⎦⎤ , para resolver esta indeterminación se procede
1
x
x → 0+
e
+
1
x →0
x
= lim
−
x
=
lim
(L'Hôpital) x →0+
1
1
x
e x
2
−
1
x
1
1
+
= lim e x = e 0 = e +∞ = +∞
x → 0+
2
1
1
−
lim f ( x ) = lim xe x = 0 e 0 = 0 e −∞ = 0.0 = 0
x →0
−
x →0
−
Por tanto, se concluye que la recta x = 0 es asíntota vertical de f por la derecha y no lo es por la
izquierda.
• Asíntotas horizontales
Cuando x tiende a +∞: lim f ( x ) = lim xe
x →+∞
1
x
= +∞ e
x →+∞
1
+∞
= +∞ e0 = +∞ 1 = +∞ , luego, no existe
asíntota horizontal en esta dirección.
Cuando x tiende a -∞: lim f ( x ) = lim xe
x →−∞
1
x
x →−∞
1
= −∞ e −∞ = −∞ e0 = −∞ 1 = −∞ , luego, tampoco existe
asíntota horizontal en esta dirección.
• Asíntotas oblicuas
Son de la forma y = m x + n y al no haberse obtenido asíntotas horizontales ni cuando x tiende a
+∞ ni cuando x tiende a -∞, las asíntotas oblicuas se han de buscar en ambas direcciones.
1
f (x )
xe
= lim
x
x →+∞ x
x →+∞
Cuando x tiende a +∞: m = lim
n = lim
x →+∞
( f (x) − mx ) =
−
= lim
x →+∞
x
x →+∞
= lim e
x →+∞
− x) = lim x(e
x →+∞
1
x
1
x
=e
1
+∞
= e0 = 1
− 1) = ⎡⎣+∞ 0⎤⎦ = lim
e
1
x →+∞
x
1
x
−1
=
(L'Hôpital)
1
1
x2
−
lim (xe
1
x
e x
1
= = lim e
x →+∞
1
x
=e
1
+∞
= e0 = 1
x2
1
1
1
f (x)
xe x
Cuando x tiende a - ∞: m = lim
= lim
= lim e x = e −∞ = e0 = 1
x
x →−∞ x
x →−∞
x →−∞
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
1
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
n = lim
x →−∞
( f (x) − mx ) = lim (xe
x →−∞
−
= lim
x →−∞
1
x2
−
e
1
1
x
= lim e
x →−∞
1
x
1
x
− x ) = lim x(e
x →−∞
=e
1
−∞
1
x
− 1) = ⎡⎣−∞ 0⎤⎦ = lim
x →−∞
e
1
x
1
x
−1
=
(L'Hôpital)
= e0 = 1 .
x2
Por tanto, la recta y = x + 1 es asíntota oblicua de f cuando x → +∞ y cuando x → −∞ .
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
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