PRIVACIÓN, BIENESTAR E IMPOSICIÓN SOBRE LA RENTA

PRIVACIÓN, BIENESTAR E IMPOSICIÓN
SOBRE LA RENTA
Autora: Elena Bárcena Martín
INV. N.o 1/03
Edita: Instituto de Estudios Fiscales
N.I.P.O.: 111-03-009-0
I.S.B.N.: 84-8008-117-1
Depósito Legal: M-14352-2003
P.V.P.: 12 ∈ (IVA incluido)
DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA (ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA)
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
Tesis PRIVACIÓN, BIENESTAR E IMPOSICIÓN SOBRE LA RENTA Autora: ELENA BÁRCENA MARTÍN
Directores: Dr. D. LUIS IMEDIO OLMEDO
Dra. Dña. GUILLERMINA MARTÍN REYES
ÍNDICE INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1. LA PRIVACIÓN RELATIVA
1.1. El concepto de privación relativa 1.2. Formulaciones analíticas de la privación 1.2.1. Los enfoques de Yitzhaki y de Hey y Lambert
1.2.2. La privación definida a partir de una función de utilidad 1.2.2.1. Las funciones de utilidad isoelásticas 1.2.3. El enfoque de Chakravarty y Chakraborty 1.2.4. Otras aportaciones a la medida de la privación
1.2.5. Hacia una axiomática 1.3. Análisis de la privación y satisfacción según la formulación de Hey y Lambert y 1.3. Yitzhaki para las rentas españolas de 1996 Apéndice. Conceptos previos CAPÍTULO 2. PRIVACIÓN / SATISFACCIÓN Y STATUS. PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN, RENTA Y
CAPÍTULO 2. STATUS
2.1. Privación, satisfacción y status 2.2. Renta y Status. Una generalización del enfoque de Hey y Lambert 2.3. Análisis de la privación y satisfacción según la formulación del status y generali­
2.3. zada para las rentas españolas de 1996 2.4. Conclusiones CAPÍTULO 3. PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ENTRE POBLACIONES
3.1. Definiciones y resultados básicos 3.2. Descomposición del índice de Gini, de la privación/satisfacción y del bienestar 3.2. en y entre subpoblaciones 3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
Descomposición del índice de Gini Descomposición de la privación/satisfacción Descomposición del bienestar Casos particulares —5—
3.3. Privación, satisfacción y bienestar en y entre subpoblaciones cuyas distribucio­
3.3. nes de renta no se solapan 3.3.1. Características de las distribuciones truncadas 3.3.2. Descomposición de la privación, de la satisfacción y del bienestar 3.3.3. Caso particular: partición en dos subpoblaciones (k=2) 3.4. Aplicación. Privación, satisfacción, bienestar y nivel de estudios en España (1990-1991) 3.5. Privación y status entre poblaciones 3.6. Conclusiones CAPÍTULO 4. PRIVACIÓN / SATISFACCIÓN RELATIVA E IMPOSICIÓN SOBRE LA RENTA
4.1. Notación y conceptos previos 4.2. Privación/satisfacción e imposición
4.2.1. Bajo el enfoque de Hey y Lambert 4.2.2. Bajo el enfoque utilitarista 4.3. Privación/satisfacción, status e imposición 4.4. Privación/satisfacción bajo el enfoque de Hey y Lambert generalizado, e imposición
4.5. Aplicación. Análisis de la incidencia de la tarifa nominal del IRPF (1994) sobre la
4.5. privación y la satisfacción relativa 4.6. Conclusiones CAPÍTULO 5. PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ENTRE POBLACIONES E IMPOSICIÓN
CAPÍTULO 5. SOBRE LA RENTA
5.1. Efecto de un código impositivo 5.1.1. Caso de dos subpoblaciones. Relación entre la privación/satisfacción
5.1.1. antes y después de impuestos 5.1.2. Descomposición de la privación/satisfacción y del bienestar en y entre
5.1.2. subpoblaciones antes y después de impuestos
5.1.3. Progresividad frente a proporcionalidad
5.2. Efecto de una única tarifa 5.2.1. La tarifa lineal por tramos. Características generales
5.2.2. Curvas de concentración. Índices de progresión global 5.2.3. Descomposición de la privación, la satisfacción y el bienestar antes y
5.2.3. después de impuestos 5.2.4. Progresividad frente a proporcionalidad
5.3. Ejemplos numéricos de la incidencia de un código impositivo 5.4. Conclusiones CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y CUESTIONES DE INVESTIGACIÓN FUTURA
BIBLIOGRAFÍA
—6—
INTRODUCCIÓN La privación de un individuo surge al compararse, en cualquier sentido, con otros que,
desde su punto de vista, están en mejor situación. Se trata, por lo tanto, de un sentimiento subjetivo.
En el ámbito económico la privación se define habitualmente respecto de la variable renta, al ser ésta
el índice más utilizado para evaluar la capacidad de los individuos en relación a la posesión y adquisi­
ción de bienes, a través de una relación que parece natural suponer monótona decreciente. Este modo
de proceder implica una notable simplificación, en especial para quienes perciben rentas situadas en las
colas de la distribución, aunque se trata de una aproximación análoga a la que se realiza al abordar la
formulación de otras magnitudes no observables, como la desigualdad o el bienestar social.
Si la privación se define como función de la renta, es evidente que cuando la distribución
de esa variable sea igualitaria la privación experimentada por cada individuo y el valor medio de esa
magnitud para la población serán nulos. Por otra parte, tampoco es sorprendente que, para distribu­
ciones de renta no igualitarias, el valor esperado de la privación para el conjunto de la sociedad se
identifique con una medida de desigualdad. Precisamente, un modo de proporcionar un contenido
ético a ciertos índices de desigualdad consiste en especificar una función de utilidad, en la que inter­
venga la privación asociada a cada nivel de renta, cuyo valor medio coincida con funciones de eva­
luación social que sean consistentes con esos índices. En consecuencia, privación media,
desigualdad y bienestar son tres magnitudes, como se pondrá de manifiesto a lo largo de este traba­
jo, que están íntimamente relacionadas.
El objetivo de esta memoria, estructurada en dos partes, es doble. En la primera parte, in­
tegrada por los tres primeros capítulos, nos ocupamos del concepto de privación, de su contrapartida, la
satisfacción, y del análisis de las formulaciones hasta ahora utilizadas, para, a continuación, proponer
nuevas definiciones de estos conceptos. En una segunda parte, capítulos cuarto y quinto, se estudia el
efecto de un impuesto sobre la renta en las magnitudes de interés para los distintos supuestos.
Es evidente que en cualquier definición de la privación están presentes los aspectos nor­
mativos dado que, desde un principio, es necesario optar por un modo de realizar comparaciones entre
individuos en distinta situación. En el capítulo primero se revisan los distintos enfoques que se han pro­
puesto en la literatura para medir la privación, y los juicios de valor que subyacen en ellos. Como con­
secuencia, se propone una axiomática mínima que nos parece adecuada para este tipo de medidas.
En el capítulo segundo proponemos nuevas formulaciones de la privación / satisfacción.
La primera de ellas se basa en el supuesto de que los individuos muestran preocupación por el sta­
tus, de manera que al compararse con otros no están interesados tanto en las diferencias de renta,
sino en la diferencia de posiciones que ocupan dentro de la distribución. Con este enfoque la priva­
ción asociada a cada nivel de renta depende de las rentas media y máxima de la distribución, de la
proporción de individuos con renta superior al nivel considerado y de la participación de ese grupo en
la renta total, mientras que la privación social media depende de la diferencia entre la renta máxima y
la renta media, así como del valor del índice absoluto de Gini.
Otra formulación que proponemos es una generalización del enfoque de Hey y Lambert
(1980) en la que se introduce un parámetro de carácter distributivo cuyo valor contribuye a ponderar
de forma diferente, asignando mayor o menor peso, la privación asociada a los distintos niveles de
renta. Esta definición permite, en primer lugar, que el índice de Gini generalizado pase a formar parte
de aquellos que pueden ser utilizados para evaluar la privación social media y, por otro lado, se ob­
tiene una función de evaluación social, consistente con dicho índice, en la que claramente se mani­
fiesta el papel distributivo del parámetro utilizado en la definición inicial.
En el capítulo tercero se contempla la posibilidad de que los individuos de una población
comparen su situación con los de otra población diferente. Los resultados que se obtienen nos permi­
—9—
ten abordar un caso de interés en muchos supuestos: la partición de una población en subpoblacio­
nes homogéneas respecto a determinadas características, distintas al nivel de renta, de las unidades
que las integran. En este contexto, la descomposición del índice de Gini propuesta por Dagum
(1997a) permite una descomposición aditiva, en dos componentes, de la privación existente en la
población, y de otras magnitudes relacionadas. Una recoge la privación dentro de las subpoblaciones
y otra cuantifica la privación entre las subpoblaciones. Este punto de vista responde a una situación
real. Los individuos tienden, en principio, a compararse con sus iguales, pero también suelen desarro­
llar una “conciencia de grupo” que les conduce a comparar la situación del grupo del que forman parte
con la de otros grupos.
En la situación que hemos descrito es natural suponer que entre las distribuciones de
renta de las distintas subpoblaciones se presente solapamiento. Si el criterio utilizado para realizar la
partición de la población total es, precisamente, el nivel de renta, los resultados son más sencillos en
el sentido de que conocida la distribución de la renta en la población, las correspondientes a las dife­
rentes subpoblaciones, cada una de las cuales se identificará con un intervalo de renta, no son más
que distribuciones truncadas. El caso más simple es aquel en que un nivel de renta dado (la renta
media, un umbral de pobreza, cualquier cuantil, etc.) determina dos subpoblaciones.
En la segunda parte de la tesis se analiza el efecto de un impuesto sobre la renta en re­
lación a la privación, a la satisfacción y al bienestar. Esta cuestión ha sido poco tratada en la literatu­
ra, salvo en lo que se refiere al bienestar, aunque permite obtener, entre otros resultados,
expresiones de los índices sintéticos clásicos utilizados para evaluar la progresividad y el efecto redis­
tributivo del gravamen a partir de la variación del valor medio de la privación al pasar de la distribu­
ción de renta antes de impuestos a la distribución de renta disponible.
En el capítulo cuarto se estudia la incidencia del impuesto cuando el grupo de referencia
al definir la privación, para los supuestos considerados en el capítulo segundo, se identifica con el
conjunto de la sociedad. También en este contexto la progresividad del impuesto es una característi­
ca favorable frente a otras alternativas que permitan obtener un nivel de recaudación prefijado.
Si la privación se define a partir de la posición de los individuos en la distribución, el efec­
to global del impuesto depende de su incidencia sobre la desigualdad y de la diferencia entre la carga
fiscal que soporta la renta máxima y el impuesto medio. Cuando se generaliza el enfoque de Hey y
Lambert asignando distinto peso a la privación asociada a los diferentes niveles de renta, el papel del
parámetro distributivo que se introduce en este supuesto también permite discriminar sobre la inci­
dencia del impuesto a lo largo de la escala de rentas.
Por último, en el capítulo quinto se analiza el efecto de un impuesto al considerar una
partición de la población total en subpoblaciones. Según el papel que desempeñe la renta en el crite­
rio utilizado para realizar la partición, se contemplan dos enfoques diferentes al modelizar el impues­
to. Si la clasificación de los elementos de la población se ha basado en características ajenas a la
renta, el impuesto se genera mediante un código impositivo constituido por tarifas diferentes que se
aplican a distintos grupos de contribuyentes. Por el contrario, si las subpoblaciones se identifican con
intervalos de renta se considera una tarifa lineal por tramos, como la del IRPF vigente en nuestro
país, que incide sobre la base liquidable.
En los cuatro primeros capítulos, utilizando como fuentes estadísticas la Encuesta de Pre­
supuestos Familiares 1990-1991, la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares 1996 y la Memoria
de la Administración Tributaria 1995, se incluyen aplicaciones de sus contenidos a la distribución de la
renta en España. En el capítulo quinto se consideran ejemplos numéricos que ilustran el efecto de un
código impositivo, sobre las magnitudes objeto de estudio, cuando se contemplan diferencias de trata­
miento fiscal en función de factores, distintos a la renta, que inciden en la carga tributaria.
— 10 — CAPÍTULO 1 LA PRIVACIÓN RELATIVA 1.1. El concepto de privación relativa
En los trabajos clásicos que se ocupan de la privación, casi todos ellos encuadrados
en el ámbito de la sociología, se hace referencia a “sentimientos” que surgen como consecuencia
de la desigualdad, entendida en sentido amplio, existente dentro de un grupo, subrayando la relati­
vidad del concepto1. La idea de privación relativa aparece inicialmente en la obra de Stouffer,
Suchman, Devinney, Star y Williams, (1949), The American Soldier: Adjustment During Army Life,
aunque en ella no se llega a proponer una definición formal ni, mucho menos, indicaciones destina­
das a su medición.
Se trata de un concepto que ha sido aplicado a otros campos (política, historia, sicolo­
gía, economía,...) con la pretensión de modelizar el comportamiento de la sociedad. A pesar de que
existe consenso en que la privación relativa afecta a sentimientos subjetivos, aspiraciones, actitu­
des y decisiones, no existe acuerdo en su significado exacto, por lo que no es extraño que Crosby
(1979) encuentre cuatro versiones de la teoría de la privación relativa. Antes de hacer una breve
descripción de las mismas, conviene señalar que en todas ellas subyace la idea de que los indivi­
duos tienden a establecer comparaciones con quienes consideran “próximos” y no con quienes
están en una situación para ellos inaccesible. Esto es, cada individuo compara su situación con la
de los miembros de algún grupo de la sociedad, en el que centra sus aspiraciones y que para él
2
constituye su grupo de referencia .
La versión del sociólogo Davis (1959) supone el primer intento de modelizar el fenómeno
identificado por Stouffer et al. (1949). Davis hace dos distinciones. Por un lado, distingue entre los
miembros del grupo y los miembros de otros grupos y, por otro, entre quienes “tienen” y quienes “no
tienen” dentro de un grupo. Cuando un individuo (A) se compara con otro (B) de su mismo grupo, si A
pertenece al de los que “no tienen “ mientras que B es de los que “tienen”, entonces se experimenta
privación por parte de A. En cambio la comparación con miembros de otros grupos que están en me­
jor situación da lugar a distanciamiento social. Davis supone, además, que las comparaciones dentro
del grupo se realizan al azar, de modo que la probabilidad de que los miembros de un grupo experi­
menten privación es la probabilidad conjunta de que cada uno de los miembros esté privado y de que
cada individuo privado se compare con uno en mejor situación.
La teoría de Runciman (1966), contenida en la obra Privación Relativa y Justicia Social,
ha tenido mayor repercusión que la de Davis. Para Runciman los individuos pueden experimentar
privación de poder, de posición social o económica y, dentro de cada ámbito, distingue entre privación
egoísta, fraterna y doble privación. La privación egoísta se presenta cuando los individuos se sienten
individualmente privados en comparación a los miembros de su mismo grupo. La privación fraterna
surge cuando los individuos sienten que su propio grupo está privado en comparación con otro grupo,
aunque ellos personalmente no estén privados respecto a individuos de su grupo. Por último, la priva­
ción doble se manifiesta cuando los individuos experimentan privación egoísta y fraterna. Runciman
propone la siguiente definición de privación relativa:
1
El Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española, en la acepción segunda del término privación lo define
como “carencia o falta de una cosa en sujeto capaz de tenerla” y en la acepción cuarta como “ausencia del bien que se apete­
ce y desea”.
2
En las formulaciones concretas de la privación es frecuente tomar como grupo de referencia al conjunto de la sociedad. Este
supuesto que, en principio, puede parecer poco realista e incluso contradictorio con lo que hemos señalado, se justificará más
adelante.
— 13 — “Una persona está relativamente privada de X cuando: (i) no tiene X, (ii) otro u otros indi­
viduos poseen X (pudiendo ser él mismo en el pasado uno de estos individuos), (iii) quiere X, (iv)
considera factible tener X”.
En la definición anterior la relatividad del concepto es introducida por (ii) y (iv), mientras
que el sentimiento de privación surge de (i) y (iii). En lo que se refiere a una posible cuantificación de
la privación, Runciman señala: a) “La privación derivada de no tener X cuando otros lo tienen es una
función creciente del número de personas en el grupo de referencia que tienen X” y b) “La magnitud
de la privación relativa es la cuantía de la diferencia entre la situación deseada y la situación de la
persona que la desea”. Respecto a la primera afirmación pone como ejemplo el de las promociones
en el empleo, y argumenta que cuanto mayor sea el número de compañeros que un individuo observa
que son ascendidos mientras él permanece en su puesto, más personas tendrá para compararse y se
sentirá más privado. La segunda afirmación implica que Runciman concibe la privación relativa como
una función lineal de la diferencia entre dos situaciones.
El enfoque de Gurr (1968) establece que la privación relativa es el enfado o angustia de­
bida a la diferencia entre lo que el individuo considera que debería ser y lo que es. Propone la si­
guiente formulación:
V − Vc
PR = e
Ve
donde PR es la privación relativa, Ve es el valor de lo que se espera, es decir, los bienes y oportuni­
dades a los que el individuo cree que tiene derecho y Vc es el valor de las posibilidades, o bienes u
oportunidades que el individuo cree posible obtener. Gurr identifica tres conductas en la privación:
ambiciosa, progresiva y decreciente. La privación ambiciosa tiene lugar cuando Vc permanece constante en el tiempo mientras que Ve crece. La privación decreciente se observa cuando Vc decrece mien­
tras Ve permanece constante. Por último, la progresiva se presenta cuando Vc decrece y Ve crece.
Crosby (1976) propone un modelo de privación egoísta. Para él la privación relativa es
una cadena de variables, y se experimenta cuando además de las condiciones determinadas por
Runciman se cumple una quinta: no-existencia de responsabilidad por parte del individuo en el hecho
de no poseer X. Si uno no es responsable del hecho de no poseer X, entonces no siente privación,
según Crosby. Para este autor, la relación entre las condiciones previas a la privación y el sentimiento
de privación son la parte fundamental del modelo. Pero existen otros factores determinantes como
son los antecedentes ambientales. El Gráfico 1 refleja el modo en que la relación entre comporta­
miento y sentimiento puede estar influido por tres variables, control personal, oportunidades reales y
responsabilidad externa o interna3.
3
El esquema es una adaptación del que realiza Crosby (1976).
— 14 — GRÁFICO 1.1 PRIVACIÓN, VARIABLES INTERMEDIAS Y COMPORTAMIENTOS B ajo
R e s u l ta d o :
V io le n c i a c o n t r a l a
s o c ie d a d
E x te r n o
A b ie r ta s
R e s u l ta d o :
A c c i o n e s s o c i a le s
c o n s tr u c ti v a s
O p o rt u
n id a d e s
C o n tr o l
pe rso n al
A lt o
C e rrad a s
R e s u l ta d o :
V io le n c i a c o n t r a l a
s o c ie d a d
S e n ti m ie n t o
d e p ri v a c ió n
R esp on s a
b ilid a d
R e s u l ta d o :
S ín t o m a s d e s t re s s
C e rrad as
A lt o
R e s u l ta d o :
M e jo rí a p e rs o n a l
O p o rt u
n id a d e s
C o n tr o l
p e rso n al
I n te r n o
A b ie r ta s
B ajo
R e s u l ta d o :
S ín t o m a s d e s t re s s
En un trabajo posterior, Crosby (1979) hace una crítica a la literatura empírica referente a
la privación relativa. Según él, no existe correspondencia entre las definiciones operacionales y las
teóricas; es decir, los indicadores específicos no parecen medir la variable teórica para la cual fueron
diseñados. Como ya hemos señalado, uno de los objetivos de este trabajo es la revisión de las formu­
laciones propuestas hasta la fecha, aportando alternativas que pretenden introducir mayor realismo
en el análisis.
De las cuatro versiones que expone Crosby, la que ha tenido una mayor repercusión al
estudiar la privación desde un punto de vista económico ha sido la de Runciman (1966), debido qui­
zás a que sus enunciados son más precisos, lo que hace más abordable su tratamiento analítico, y,
de hecho, se hace referencia a ella en todos los trabajos que se ocupan de esta cuestión.
Yitzhaki (1982a) argumenta que si en la definición de Runciman la condición (i) se cam­
bia por (i´): el individuo tiene X, donde X representa una cesta de bienes, entonces se puede interpre­
tar (i´) como la utilidad o desutilidad derivada de la posesión de los bienes de esa cesta. En este
contexto, (iii) asegura la utilidad, que para cada individuo es una función de los bienes que posee,
mientras que la privación se puede identificar con la pérdida de utilidad, debido a la carencia de los
mismos. En consecuencia ambos conceptos, utilidad y privación, vienen a ser las dos caras de una
misma moneda, en el sentido de que existe una estrecha relación entre la minimización de la priva­
ción relativa y la maximización de la utilidad.
— 15 — En el enfoque de la privación relativa, la utilidad marginal del ingreso para la sociedad no
depende únicamente de la cantidad de ingreso sino también de la distribución del mismo. Yitzhaki
(1982a) demuestra que este enfoque puede ser resumido a través del índice de Gini, como se expone
en la próxima sección. Este enfoque, debido a la dependencia del ingreso respecto al ingreso de
otros, supone que el bienestar marginal del ingreso se comporta de forma análoga a la función de
utilidad individual. Así, la utilidad marginal de un bien para un individuo, cuando los demás bienes
permanecen constantes, es una función creciente de la escasez de dicho bien para el individuo. Por
tanto, el grado de privación derivado de no tener un bien es una función creciente del número de indi­
viduos que poseen dicho bien. Como indica Yitzhaki (1982a), el enfoque de la privación relativa intro­
duce el concepto de externalidades. Pero estas externalidades no afectan al consumo de bienes, sino
más bien a la utilidad marginal de la renta, por lo que las funciones de demanda no se ven afectadas.
Lo que cuenta es cómo evalúan los individuos lo que tienen o lo que no tienen.
La relatividad que se introduce en el concepto de privación se debe a la existencia de
grupos de referencia en la sociedad. Los individuos se sienten privados con relación a otros que
constituyen su grupo de referencia y que, en ocasiones, puede coincidir con la sociedad en su conjun­
to. La formación de estos grupos no siempre está clara, dado que depende del conjunto de individuos
en el que un individuo concreto centra sus aspiraciones. Se puede decir que son grupos de los que el
individuo forma parte o aspira a verse relacionado psicológicamente. El grupo de referencia no está
organizado formalmente para alcanzar unos objetivos, sino más bien sus miembros están vinculados
psicológicamente. Normalmente se trabaja con grupos de referencia cerrados, lo que indica que si
una persona A está en el grupo de referencia de B, entonces B está en el de A. De este modo se
construyen grupos totalmente excluyentes. Se puede demostrar, Yitzhaki (1982a), que si la privación
depende exclusivamente del nivel de renta, la asociada a cada grupo, siempre que no se solapen
las rentas, es menor que la de la sociedad en su conjunto. Además, la diferencia entre la privación
de la sociedad y la correspondiente al caso en que los grupos se hacen atendiendo a cualquier
factor que no sea la renta, es menor. Yitzhaki (1982a) también demuestra que cuanto mayor sea el
número de grupos de referencia menor es la privación, ya que ignora la privación entre grupos.
Pero esta argumentación será criticada en el capítulo 3 para admitir que la privación entre diferen­
tes grupos es posible.
Como se ha indicado desde un principio, la privación hace referencia a “sentimientos” y,
por tanto, es una variable no observable o latente, difícil de medir y que requiere el empleo de indica­
dores. Por ello, al intentar trasladar los enunciados de Runciman al ámbito económico, las distintas
formulaciones que se han propuesto en la literatura (Yitzhaki (1979, 1982a), Hey y Lambert (1980),
Chakravarty y Chakraborty (1984), Berrebi y Silber (1985), Podder (1996), ...) definen la privación
respecto a la renta, variable observable e índice habitual para medir la capacidad de una unidad eco­
nómica para el consumo y posesión de bienes, mediante una relación que parece razonable suponer
monótona decreciente. Bajo este supuesto es evidente que la privación relativa es consecuencia de la
diferencia entre las rentas que perciben los individuos, de modo que en una distribución igualitaria la
privación, tanto a nivel individual como para el conjunto de la sociedad, es nula. Si el recorrido de la
variable renta es [0, x *] , un individuo con renta x i > 0 contempla una partición del mismo en dos inter­
valos: (x i , x *] , que incluye las rentas mayores que la suya, respecto a las que siente privación, y [0, x i ] ,
al que pertenecen las rentas menores que la suya y respecto a las que está "satisfecho", lo que, para
cada formulación concreta, permite definir la satisfacción como contrapartida de la privación.
Tal y como indica Podder (1996) la satisfacción y la privación relativa son dos tipos de
sentimiento, el primero representa la utilidad, mientras el segundo representa la desutilidad o descon­
tento en la comparación entre individuos. Estos dos sentimientos son diferentes y esto da lugar a que
Podder afirme que no se pueden comparar (pone el ejemplo de la no comparación de la satisfacción
— 16 — que produce el consumo de una tarta con la privación que supone la carencia de un yate). Quizá sea
una afirmación muy tajante, ya que para la confrontación de ambos conceptos se utiliza un mismo indi­
cador, la renta, de modo que ambos se expresen en las mismas unidades y sean comparables.
Hay que diferenciar la privación relativa de otro concepto más extendido, como es el de
la pobreza y que ha sido objeto de estudio en anteriores trabajos. La privación es un concepto más
amplio que el de pobreza. En este último se mide el número de pobres teniendo en cuenta una línea
de pobreza, establecida, habitualmente, como la mitad de la renta media de la distribución4. Todos
aquellos cuyos ingresos sean inferiores a la línea de pobreza serán considerados pobres, mientras
que aquellos con ingresos por encima de la misma escapan del concepto de pobreza. Por tanto, en la
idea de pobreza no hay comparación interpersonal, sino una comparación con una renta considerada
de referencia5. Debido a la noción de privación, que supone un sentimiento de ausencia de algo que
se desea, podemos decir que todo pobre está privado, aunque no todo privado tiene que ser pobre.
La privación es un concepto relativo, una cuestión de intensidad, el único en la sociedad que no está
privado es el individuo que percibe la renta más alta, todos los demás sienten privación relativa. Co­
mo señaló Runciman (1966): “... una persona “privada relativamente” no tiene que estar “privada obje­
tivamente”, en el sentido de que se puede demostrar que carece de algo. Además, el concepto de
privación relativa implica que el sentido de la privación supone una comparación con una situación
imaginaria de otra persona o grupo de ellas”.
Es necesario diferenciar entre el concepto de privación y otros conceptos relacionados
con él. Éstos son la envidia, la desigualdad y la injusticia. Mientras que la privación relativa es un
concepto sociológico que recoge un fenómeno social, los demás conceptos surgen en una variedad
de campos, tales como sicología, filosofía moral, sociología y economía. Pero nos limitamos al aspec­
to económico de todos ellos.
Siguiendo a Podder (1996) la equidad se alcanza en aquellas situaciones en las que el
ratio de las recompensas con relación a las contribuciones de cada individuo es el mismo. La inequi­
dad se presenta cuando los ratios no son iguales y, por tanto, la inequidad es una fuente de privación
relativa. En general la equidad ha de ser considerada como la ausencia de envidia en los agentes
económicos. Aunque la envidia tiene connotaciones emocionales (es uno de los siete pecados capita­
les), en economía se define en términos objetivos. Se dice que i siente envidia hacia j, si prefiere
cambiar su cesta de consumo por la de j, ya que la utilidad que le reporta el consumo de su propia
cesta de consumo es menor que la que le reportaría el consumo de la de j. Podder considera que la
privación relativa de i respecto a un individuo j en una mejor situación, es proporcional a la envidia de
i hacia j cuando la función de utilidad toma una forma específica. La envidia según Hirschman (1973)
se puede definir en términos de renta en vez de en términos de cesta de bienes, ya que los pobres
pueden no sentir envidia de los bienes concretos que consumen los ricos, pero sí de los bienes que
ellos consumirían si tuvieran ese dinero. Por último, en la literatura económica la justicia se define
6
como la ausencia de envidia junto a una situación óptima según Pareto .
Tanto el concepto de equidad como el de justicia asumen la igualdad como elemento de­
seable en la sociedad. Si se alcanza el ideal de igualdad debe haber una ausencia absoluta de priva­
ción relativa. Si por el contrario, existe desigualdad y consideramos dos individuos, aquel que se
encuentre en situación desfavorable experimenta privación relativa. Lo que podemos afirmar es que
4
O como la mitad de la mediana. También existen nuevas metodologías basadas en conjuntos borrosos que eliminan la nece­
sidad de establecer un nivel de renta que defina la situación de pobre, pero hace necesaria la definición de una función de
pertenencia.
5
En el caso de los conjuntos borrosos la comparación se establece con unos límites para los valores de los indicadores.
6
Una situación es óptima según Pareto, si no es posible mejorar la situación de un individuo sin empeorar la de otro.
— 17 — la desigualdad es una fuente de privación y que la ausencia de envidia coincide con la ausencia de
privación relativa y, por tanto, con la presencia de justicia, igualdad y equidad. Según Podder (1996)
la envidia, injusticia y privación relativa no son el mismo tipo de sentimiento, pero están relacionados
lineal o al menos monótonamente, mientras que la desigualdad no estaría relacionada monótonamen­
te con ninguno de los conceptos anteriores. Pero hay diversas opiniones al respecto y serán expues­
tas en secciones sucesivas.
El estudio de la privación es interesante ya que se puede considerar que la sociedad to­
lera la privación relativa hasta un determinado límite a partir del cual existe un conflicto social poten­
cial. Según señala Hirschman (1973), en las primeras etapas del desarrollo económico, cuando la
desigualdad en la distribución incrementa a ritmo acelerado, el nivel de tolerancia frente a las des­
igualdades es crucial. Pero la tolerancia tiene un punto de saturación. Esta tolerancia está basada en
la esperanza de que decaiga la privación relativa (tunnel effect), si esto no ocurre es muy posible que
se presente conflicto social. El efecto túnel (tunnel effect) indica que en el comienzo del proceso de
desarrollo, el beneficio del crecimiento económico sólo afecta a unos pocos, pero los privados no
están descontentos, ya que esperan que pronto sea su turno. Si el tiempo de espera sobrepasa un
límite, entonces el sentimiento de empatía se sustituye por un sentimiento de descontento y cuando
este sentimiento es generalizado surge el conflicto social. Pero no siempre la privación lleva a conflic­
to social, aunque la probabilidad del mismo aumenta a medida que la privación relativa se acerca a
un máximo. Sería interesante conocer la máxima privación tolerable en cada sociedad, ya que sería
una herramienta muy útil en el diseño de políticas sociales. Pero este máximo además de ser compli­
cado de estimar debido a la subjetividad del concepto, debe variar de una sociedad a otra. De todos
modos, la estimación de este máximo es algo que queda fuera de los objetivos de este trabajo.
Hasta ahora se han expuesto distintas versiones de la teoría de la privación relativa pero
no han sido formuladas analíticamente. En las siguientes secciones y capítulos se analizan distintas
formulaciones ya conocidas y otras que se aportan en este trabajo.
1.2. Formulaciones analíticas de la privación
7
Como se ha indicado en la sección anterior, la privación es un concepto que hace refe­
rencia a sentimientos y aspiraciones del individuo en relación a un grupo. Se trata de una variable
latente, no observable, cuya medición requeriría el empleo de indicadores y la utilización de técnicas
factoriales o de modelos econométricos de variables latentes. En esta forma de abordar la cuestión la
mayor dificultad estaría en determinar qué indicadores reflejan o son causa de la privación, dado que
ésta deriva de una carencia subjetiva. Por ello, en la literatura que se ocupa de este concepto, desde
un punto de vista económico, nos encontramos con una situación análoga a la que es habitual en el
ámbito de análisis de las funciones de bienestar social; esto es, se supone que la privación, como el
bienestar, depende exclusivamente de la renta. Sin duda es una simplificación fuerte al existir otros
factores que contribuyen a la privación de los individuos, especialmente si forman parte de los grupos
cuyas rentas están situadas en los extremos de la distribución. Sin embargo, este tipo de aproxima­
ción se justifica al ser la renta una variable observable cuya relación con la privación es monótona
decreciente.
En este capítulo se revisan las distintas aportaciones a la formulación de la privación
propuestas en la literatura. Todas ellas presentan, al menos, dos rasgos comunes. Por una parte,
intentan proporcionar una expresión analítica a la definición y a los enunciados de Runciman (1966) y
7
En el Apéndice de este capítulo se exponen, brevemente, algunos de los conceptos empleados en ésta y sucesivas seccio­
nes, a fin de facilitar su lectura.
— 18 — por otra, al suponer que la privación de un individuo depende de su nivel de renta, la privación media
del conjunto de la sociedad viene expresada mediante una medida de desigualdad. Los trabajos que
han tenido una mayor repercusión han sido los de Yitzhaki (1979, 1982a) junto al de Hey y Lambert
(1980), estrechamente relacionados, aunque con enfoques diferentes. Los analizaremos conjunta­
mente, insistiendo en sus diferencias, y resaltando aquellos resultados que han sido generalizados
por aportaciones posteriores o que han servido como referencia en enfoques alternativos. De hecho,
es un lugar común, al estudiar la privación, el aludir a los trabajos citados.
Una posible extensión del enfoque de Hey y Lambert consiste en especificar una función
de utilidad, idéntica para todos los individuos, pasando del espacio de rentas al de utilidades. Es una
generalización que, como veremos, no presenta dificultad desde el punto de vista formal, pero cuyo
alcance es esencialmente teórico ya que la función de utilidad no es conocida. En este contexto,
Podder(1996) justifica el empleo de funciones que presenten aversión constante frente a la desigual­
dad y, en particular, el de la función logarítmica al imponer que la privación satisfaga determinadas
propiedades. Un punto de vista diferente pero que, en el fondo, también toma como referencia los
resultados de Hey y Lambert es el de Chakravarty y Chakraborty (1984) y Chakravarty (1990). Su
propuesta se basa en la composición de la privación definida a partir de la diferencia de rentas entre
individuos con funciones que satisfacen ciertas condiciones, lo que les permite obtener una familia de
índices de privación a los que proporcionan un significado normativo al establecer una corresponden­
cia entre tales índices y una familia de funciones de evaluación social.
La insensibilidad del índice de Hey y Lambert frente a la redistribución de renta en el ex­
tremo inferior de la distribución lleva a Kakwani (1984b) a proponer una formulación que se centra en
este extremo de la distribución. En ese mismo trabajo, contempla una definición en la que la privación
de un individuo sólo depende de la renta de la persona con la que se compara, aunque a continua­
ción señala las limitaciones que supone ese punto de vista. Por último, interpreta el índice de Taka­
yama en términos de privación, para lo cual ha de introducir la línea de pobreza dentro de la función
de privación.
Las aportaciones de Berrebi y Silber (1985) y la de Paul (1991) tienen un carácter dife­
rente. La primera tiene como objetivo el establecer que muchos de los índices de desigualdad de uso
habitual, o transformaciones monótonas de ellos, pueden coincidir con la privación media de la socie­
dad al considerar distintas definiciones de la privación individual. En la segunda, se propone un índice
de privación que presenta un comportamiento, que su autor considera razonable, frente a las transfe­
rencias de renta.
Una vez revisadas las distintas aportaciones a la medición de la privación, se proponen
una serie de condiciones mínimas que parece lógico exigir que satisfagan los índices de privación.
Una cuestión que nos parece relevante al formular una definición para la privación es
su punto de partida. Si la privación surge de la comparación entre individuos parece razonable que
las distintas formulaciones se basen en las comparaciones interpersonales. Es decir, que comien­
cen definiendo la privación de un individuo con renta x respecto a otro con renta z, P (x,z ), z > x ,
para obtener a continuación la privación media asociada al nivel de renta x, P (x ) , agregando la
privación de ese individuo respecto a quienes tienen una renta mayor. Por último, el valor esperado
de la función anterior, E (P(X )) , proporcionará la privación social media. No todas las propuestas
que veremos en esta sección siguen este esquema. En algunas de ellas se parte de la definición de
la función que asigna a cada nivel de renta su privación, con lo cual se elude la primera etapa y se
omite lo que constituye un rasgo esencial de la privación: la comparación entre individuos en distin­
ta situación.
— 19 — 1.2.1. Los enfoques de Yitzhaki y de Hey y Lambert
De las formulaciones a las que se ha hecho referencia en el apartado anterior, proba­
blemente las más extendidas son las de Yitzhaki (1979, 1982a) y la de Hey y Lambert (1980) debido
no sólo a que son las primeras en proporcionar una interpretación analítica a los enunciados de Run­
ciman (1966), sino porque a través de ellas, mediante la especificación de una función de utilidad
adecuada, se obtienen funciones de evaluación social (FES) que son consistentes con el índice de
Gini8.
Hey y Lambert (1980) consideran la privación como una función lineal de la diferencia
entre la situación deseada y la situación de la persona que la desea. Así, estos autores formulan la
privación relativa de un individuo con renta x respecto a otro con renta z, P (x,z ) , como:
⎧z − x si z ≥ x
P(x,z) = ⎨
si z ≤ x.
⎩0
[1.1]
Con ello, la privación de un individuo con un determinado nivel de renta es nula respecto
a quienes tienen rentas inferiores a la suya y coincide con la diferencia de rentas al compararse con
quienes tienen una renta mayor.
La privación media del individuo con renta x, P (x ) , se obtiene agregando P (x,z ) para
z > x y ponderando con dF (z ) , proporción de individuos con renta z. De este modo, si F es la función
de distribución de la renta, µ la renta media y x * la renta máxima, resulta
x*
∫
x*
P(x) = P(x,z)dF(z) =
0
∫ (z − x)dF(z) = µ(1− L(F(x))) − x(1− F(x)),
[1.2]
x
siendo L (F(x )) la curva de Lorenz. Si se considera la renta media del conjunto de individuos con renta
mayor que x, una expresión equivalente a la anterior es9:
P(x) = (1 − F(x))(µ(x + ) − x)
[1.3]
En consecuencia, la privación media del individuo con renta x es igual al producto de la
proporción de individuos con renta mayor que x y de la diferencia entre la renta media de ese grupo y
su propia renta.
Yitzhaki (1979) no parte de las comparaciones interpersonales. Su punto de partida es la
privación asociada a cada nivel de renta, aunque su definición de P (x ) es equivalente a la que pro­
8
8
Se trata de funciones de la forma:
Wk (x ) = µ (1 − kG) ,0 ≤ k ≤ 1 ,
siendo µ la renta media de la distribución y G su índice de Gini. En particular, para k = 1 se obtiene la renta equivalente igual­
mente distribuida (REID) asociada a dicho índice.
9
La renta media de los individuos cuya renta es mayor o igual que x viene dada por:
x*
9
µ(x + ) =
1
µ(1− L(F(x))
.
zdF(z) =
1− F(x)
(1− F(x))
∫
x
— 20 — porcionan las expresiones [1.2] y [1.3]. Argumenta que la privación relativa del rango de rentas
[x, x + dx ] puede cuantificarse mediante 1− F(x ) , proporción de individuos con renta mayor que x, y
sumando hasta la renta máxima, obtiene:
x*
P(x) =
∫ (1− F(z))dz .
[1.4]
x
Las propiedades de la función P (x ) , que asocia a cada nivel de renta su privación media
son:
+ P (x ) es una función estrictamente decreciente
(P′′ (x ) = f (x ) > 0) del nivel de renta.
+P(0) = µ , P (x*) = 0
y
(P′ (x ) = F (x ) − 1 < 0)
y convexa
P(µ) = µ(F(µ) − L(F(µ))).
Es decir, la privación del individuo con renta nula (o con renta mínima) es la media de la
distribución, la del individuo con renta máxima es cero, mientras que para la renta media es la mitad
de la desviación absoluta media de la distribución10 y, por lo tanto, depende de la proporción total de
renta que sería necesario transferir desde las situadas por encima de la media a las que están por
debajo de ella si se pretendiese llegar a una distribución igualitaria.
A partir de cualquiera de las expresiones [1.2], [1.3] o [1.4] se puede calcular el valor
medio de la privación relativa11, y se obtiene el siguiente resultado:
Proposición 1.1. La privación relativa media de la sociedad coincide con el índice de
Gini absoluto. Esto es:
E(P(X)) = µG
[1.5]
Teniendo en cuenta la igualdad µG = µ − µ(1 − G) , la privación media de la sociedad pue­
de interpretarse como el coste, en términos de bienestar, que supone la existencia de desigualdad en
la distribución de la renta. Por otra parte, es evidente que E (P (X )) es una función creciente del índice
de Gini fijada la renta media, por lo que entre distintas distribuciones con igual media, si se quiere
minimizar la privación global se elegirá aquella cuyo índice de Gini sea menor. Para obtener conclu­
siones sobre los niveles de privación individual en distribuciones diferentes es necesario utilizar su­
puestos relacionados con la dominancia estocástica.
10
Es una medida absoluta de desigualdad que se define como:
10
DAM = E X − µ =
x*
∫ x − µ dF(x) = 2µ(F(µ) − L(F(µ)))
0
El cociente DAM / 2 µ = S es un índice relativo de desigualdad, el coeficiente de Shutz, que mide la proporción de renta que
tendría que ser transferida desde las rentas situadas por encima de la media a las situadas por debajo de la misma, para obte­
ner un reparto igualitario. Coincide también con la máxima distancia vertical entre la curva de Lorenz de la distribución de la
renta y la línea de equidistribución.
10
1
11
∫
Basta integrar por partes y hacer uso de la definición del índice de Gini a partir de la curva de Lorenz, G = 1− 2 L(p)dp.
0
— 21 — A partir de la proposición anterior se pueden obtener funciones de bienestar social abre­
viadas del tipo: W = µ (1 − kG) . Para ello basta definir una función de utilidad lineal en la renta menos
la desutilidad derivada de la privación:
U(x,F) = αx − β P(x), α > 0, β > 0 .
Esta función es creciente (U′ (x,F ) = α − β (F(x ) − 1) > 0 ) y cóncava (U′′ (x,F ) = −βf (x ) < 0 ) .
El bienestar, interpretado como utilidad media, asociado a la distribución es:
x*
W=
∫ U(x,F(x))dF(x) = µ(α − βG) .
0
Esta función de bienestar social es creciente respecto a la renta media
∂W
= α − βG > 0
∂µ
siempre que β / α < 1/ G , lo que ocurre para todo α > β , en cuyo caso es β / α < 1 . Si el efecto de la
privación es fuerte, β > α , para distribuciones de renta muy desiguales (cuando G > α / β , lo que se
cumple si G → 1), puede suceder que un incremento de la renta media suponga una disminución del
bienestar, debido a una mayor incidencia del efecto privación.
En lo que se refiere a la privación, los planteamientos de Yitzhaki y de Hey y Lambert,
aunque parten de supuestos diferentes, dan lugar a idénticos resultados. La diferencia esencial entre
ambos enfoques se pone de manifiesto al definir la satisfacción.
Yitzhaki, teniendo en cuenta la expresión [1.4] argumenta que si el individuo con nivel de
renta x siente privación respecto a las rentas mayores que la suya y, por lo tanto, situadas en el inter­
valo [x ,x *] , su satisfacción vendrá definida de forma análoga, pero utilizando el intervalo [0,x] al que
pertenecen las rentas menores que x. En consecuencia, define la satisfacción relativa del individuo
con renta x como:
x
∫
S Y (x) = (1− F(z))dz = x − F(x)(x − µ(x − )) = x(1− F(x)) + µL(F(x))
[1.6]
0
siendo12 µ(x − ) la renta media de los individuos cuya renta es menor o igual que x. La expresión [1.6]
no deriva de realizar comparaciones interpersonales. Se puede llegar a ella si se define la satisfac­
ción de un individuo con renta x respecto a otro de renta z como: S Y (x,z ) = min {x,z} , pero es eviden­
te que esta forma de proceder no tiene un significado preciso en el contexto que nos ocupa.
12
La renta media de aquellos con renta inferior o igual a x es:
x
12
µ(x − ) =
1
µL(F(x))
.
zdF(z) =
F(x)
F(x)
∫
0
— 22 — La función S Y (x ) cumple las siguientes propiedades: es estrictamente creciente,
S′ Y (x ) = 1− F(x ) > 0 , y cóncava, S′′ Y (x ) = −f (x ) < 0 , S Y (0 ) = 0 , S Y (x * ) = µ . Para cada nivel de
renta, la privación y la satisfacción, fijada la renta media, son complementarias en el sentido de que
se verifica la igualdad:
P(x) + S Y (x) = µ ,
[1.7]
por lo que ambas magnitudes tienen una relación inversa. Otras propiedades que enuncia Yitzhaki
sobre su función de satisfacción son:
El individuo es indiferente a las transferencias de rentas realizadas entre los individuos
más pobres que él o entre los más ricos que él, ya que no varía ni L(F(x)) ni F(x). No se tiene en
cuenta que las transferencias afectan a la función de demanda, a los precios y, por tanto, a las rentas.
La satisfacción aumenta cuando se realizan transferencias desde personas más ricas a
otras más pobres que el individuo en cuestión, suponiendo que el rango en la distribu­
ción queda inalterado.
Un aumento en la renta de un individuo más rico no afectará a la satisfacción de otro más
pobre, pero incrementará la privación. Además, un incremento en la renta de un individuo j más pobre
que otro i, incrementará la satisfacción de j, pero no cambia la privación de i.
Si se considera que µ está dada, entonces el individuo es indiferente ante cambios en
su rango que mantengan su renta inalterada:
∂S
∂L
= −x + µ
=0
∂F x,µ
∂F
Ello es consecuencia de que un incremento en el rango del individuo que no está acom­
pañado de un incremento en su renta, implica que la diferencia de renta entre este indi­
viduo y los más ricos que él debe incrementarse. El efecto del cambio en el rango y el
del cambio en la diferencia de renta, se anulan.
Sobre el conjunto de la sociedad, el valor medio de la satisfacción coincide con una me­
dida de bienestar. A partir de [1.5] y de [1.7], resulta:
E(S Y (X)) = µ − E(P(X)) = µ(1− G) ,
[1.8]
renta equivalente de equidistribución asociada al índice de Gini.
Hey y Lambert (1980) critican la definición que propone Yitzhaki para la satisfacción y
señalan que responde ante todo a una conveniencia de tipo matemático. Proponen una formulación
alternativa, basada en la comparación entre individuos con diferentes niveles de renta y que, desde el
punto de vista formal, es la contrapartida de la definición de privación dada en [1.1]. Concretamente,
definen la satisfacción de un individuo con renta x respecto a otro con renta z del siguiente modo:
⎧x − z si x ≥ z
SHL (x, z) = ⎨
si x ≤ z.
⎩0
— 23 — [1.9]
La simetría entre las definiciones [1.1] y [1.9] vuelve a reflejarse al obtener la satisfacción
media asociada a un nivel de renta:
x
S HL (x) =
∫
x
∫
S HL (x,z)dF(z) = (x − z)dF(z) =
0
0
[1.10]
= xF(x) − µL(F(x)) = F(x)(x − µ(x − )).
La expresión anterior indica que la satisfacción media del individuo con renta x coincide
con el producto de la proporción de individuos con renta menor que la suya y la diferencia entre esa
renta y la media del citado grupo.
La función SHL (x) cumple las siguientes propiedades:
Es una función estrictamente creciente ( S´HL (x) = F(x) > 0 ) y convexa ( S´´HL (x) = f(x) > 0 )
del nivel de renta.
S HL (0) = 0 , S HL (x*) = x * − µ y S HL (µ) = µ(F(µ) − L(F(µ))).
Es decir, la satisfacción de los individuos con renta nula, o con renta mínima, es cero,
para la renta máxima la satisfacción es la diferencia entre dicha renta y la renta media, mientras que
para la renta media la satisfacción y la privación coinciden ambas con una medida de desigualdad: la
mitad de la desviación absoluta media de la distribución. En adelante nos referiremos, salvo que se
diga explícitamente lo contrario, a la satisfacción en el sentido de Hey y Lambert por lo que suprimi­
remos el subíndice HL .
Para un nivel de renta dado, la relación entre la privación y la satisfacción se obtiene a
partir de las igualdades [1.2] y [1.10]:
S (x ) − P (x ) = x − µ para todo x ≥ 0
[1.11]
Esto es, la diferencia entre la satisfacción y la privación asociadas a un nivel de renta co­
incide con la desviación de esa renta respecto de la media. Al primer miembro de la igualdad anterior
se le denomina satisfacción neta media13 del nivel de renta x, SN(x). Es evidente que se trata de una
función lineal estrictamente creciente de la renta. Para quienes perciben rentas inferiores a la media
su satisfacción neta es negativa, lo contrario sucede para las rentas mayores que la media y es nula
la satisfacción neta asociada a la renta media.
Una consecuencia inmediata de la igualdad [1.11] es que los valores de la satisfacción y
de la privación media de la sociedad coinciden y, aplicando la Proposición 1.1, ambos son iguales al
índice absoluto de Gini de la distribución:
E(S(X)) − E(P(X)) = E(X − µ) = 0
E(S(X)) = E(P(X)) = µG
[1.12]
mientras que la satisfacción neta media es nula.
13
Esta terminología, aunque es de uso habitual, no fue utilizada por Hey y Lambert. Podder (1996) señala que privación y
satisfacción responden a sentimientos diferentes no comparables. Como hemos señalado, esa afirmación pierde sentido cuan­
do tanto la satisfacción como la privación se definen en función de un mismo indicador, la renta. Una cuestión diferente es que
en las definiciones de ambas se utilizasen distintos criterios.
— 24 — Por otra parte, conviene observar que si se consideran dos distribuciones de renta F(.) y
G(.) con la misma renta media, también a partir de [1.11] se satisface PF (x ) − PG (x ) = SF (x ) − S G (x ) .
Esto es, la privación relativa y la satisfacción, definida en el sentido de Hey y Lambert, se mueven
conjuntamente, al contrario de lo que sucede cuando la satisfacción se interpreta en el sentido de
Yitzhaki.
Como ya hemos señalado no existe dificultad para establecer una ordenación total entre
diferentes distribuciones de renta en términos de privación o de satisfacción media, dado que cada
una de estas magnitudes viene representada mediante un número real. Concretamente, entre dos
distribuciones con igual renta media se elegirá aquella que tenga un menor índice de Gini, si se pre­
tende minimizar la privación social media. Pero este resultado no indica nada si el propósito es esta­
blecer una ordenación asociada a los niveles de renta individuales. Se obtienen algunas conclusiones
a este respecto utilizando el concepto de dominancia estocástica y los teoremas asociados al mismo
enunciados en el Apéndice de este capitulo.
Supongamos que F y G son dos funciones de distribución que representan a sendas dis­
tribuciones de renta. Designemos por PF (x ), SF (x ), PG (x ) y SG (x ) la privación y la satisfacción del
nivel de renta x en cada una de ellas. Si se definen las funciones:
p (x ) = PF (x ) − PG (x )
s (x ) = SF (x ) − S G (x )
y estamos bajo el supuesto de Hey y Lambert, en lo que se refiere a la satisfacción, es inmediato a
partir de la igualdad [1.10] que:
x
∫
s(x) = (F(z) − G(z))dz,
0
función estrechamente relacionada con la teoría de la dominancia estocástica. Si F presenta una do­
minancia de segundo orden respecto de G, es s (x ) ≤ 0 para todos los niveles de renta, por lo que
SF (x ) ≤ S G (x ) , para todo x. Por otra parte, si ambas distribuciones tienen la misma renta media,
µF = µ G = µ , a partir de [1.11] resulta p (x ) = s (x ) . Por lo tanto, se puede afirmar que si dos distribuciones tienen la misma renta media y sus curvas de Lorenz no se cortan, aquella cuya curva de Lo­
renz sea dominante, es decir, más próxima a la línea de equidistribución, proporciona menor privación
y menor satisfacción para cada nivel de renta14.
Si la satisfacción se considera en el sentido de Yitzhaki es evidente que la conclusión iría
en sentido contrario: la distribución dominante proporciona mayor satisfacción a cada nivel de renta15.
Este resultado es coherente con el teorema de Shorrocks-Kakwani, dado que en este caso la satis­
facción social media coincide con una medida de bienestar: la renta equivalente de equidistribución
asociada al índice de Gini.
14
Hay que subrayar que se está comparando la privación / satisfacción de un nivel de renta dado en dos distribuciones dife­
rentes. No es posible determinar, salvo que se impongan condiciones adicionales, lo que sucede a un individuo en particular,
ya que ese individuo tendrá, en general, niveles de renta diferentes en cada distribución.
15
Basta tener en cuenta que, bajo este supuesto, privación y satisfacción están relacionadas de forma inversa.
— 25 — 1.2.2. La privación definida a partir de una función de utilidad
En el mismo trabajo de Hey y Lambert al que se viene haciendo referencia, sus autores
sugieren una extensión de [1.1] en la que la privación entre individuos con diferentes rentas venga
expresada mediante la diferencia entre los niveles de utilidad que las mismas les proporcionan. Ar­
gumentan que de este modo se cuantifica mejor la intensidad de la privación. Como sucede, en gene­
ral, con los planteamientos de tipo utilitarista, para simplificar el tratamiento analítico, es necesario
suponer la existencia de una función de utilidad común a todos los individuos de la sociedad. Si U es
esa función, la privación de un individuo con renta x respecto a otro con renta z se define como:
⎧U(z) − U(x) si x < z
P(x, z) = ⎨
si x ≥ z
⎩0
[1.13]
Esta reformulación, de la que Hey y Lambert no hacen un estudio detallado, implica pa­
sar del espacio de rentas al de utilidades. Si se supone que U, como función de la renta, es dos veces
derivable, estrictamente creciente y cóncava (U′ (x ) > 0, U′′ (x ) < 0 ) la generalización de los resultados
obtenidos en la sección anterior, siguiendo un esquema análogo, no es complicada. Para ello, si
U = E (U (X )) es la utilidad media, hemos de considerar la curva de concentración de la utilidad16,
L U (F(x)) =
1
U
x
∫ U(s)dF(s) . Al calcular, a partir de [1.13], la privación asociada al nivel de renta x, resulta:
0
P(x) = (1− F(x))(U(x + ) − U(x)) =
= U(1− LU(F(x))) − U(x)(1 − F(x)),
[1.14]
siendo U(x + ) la utilidad media del conjunto de individuos cuya renta es mayor o igual que x17. Es
evidente la analogía de la expresión anterior con [1.2] y [1.3]. Al considerar la función de utilidad, la
privación media de un individuo con un nivel de renta dado coincide con el producto de la proporción
de individuos con rentas superiores a la suya y la diferencia entre la utilidad media de ese grupo y su
propia utilidad.
Bajo las hipótesis impuestas a U se comprueba que P(x) es una función decreciente y
convexa del nivel de renta18, su valor para la renta mínima de la distribución es la diferencia entre la
utilidad media y la asociada a dicha renta, siendo nula la privación para la renta máxima.
La satisfacción entre individuos con diferentes niveles de renta se define, generalizando
[1.9], como:
⎧U(x) − U(z) si z < x
S(x,z) = ⎨
si z ≥ x,
⎩0
16
17
Al ser U estrictamente creciente dicha curva coincide con la de Lorenz.
La utilidad media del conjunto de individuos con renta mayor que x viene dada por:
17
U(x + ) =
18
Basta tener en cuenta que:
18
P´ (x) = −U´ (x)(1 − F(x)) < 0 , P´´ (x) = U´´ (x)(F(x) − 1) + U´ (x)f(x) > 0.
x*
U(1− LU(F(x)))
1
U(z)dF(z) =
.
1− F(x)
1− F(x)
∫
x
— 26 — [1.15]
lo que implica que la satisfacción asociada al nivel de renta x venga dada mediante:
S(x ) = F(x))(U(x) − U(x − ) =
= U(x)F(x) − ULU(F(x)),
[1.16]
siendo U(x − ) la utilidad media del conjunto de individuos con renta menor19 que x. Es inmediato que
S(x) es una función creciente del nivel de renta20, es nula para la renta mínima y para la renta máxima
es igual a la diferencia entre la utilidad de esa renta y la utilidad media. Para un nivel de renta dado, x,
S(x) es igual al producto de la proporción de individuos con renta menor que x, y la diferencia entre la
utilidad asociada a ese nivel de renta y la utilidad media de dicho grupo.
Una diferencia importante al pasar del espacio de rentas al de utilidades es lo que suce­
de con la privación y la satisfacción asociadas a la renta media de la distribución. En el caso que nos
ocupa deja de ser válida la igualdad P(µ) = S(µ) , como consecuencia de la concavidad de U. Bajo
este supuesto se satisface la desigualdad de Jensen:
E(U(X)) < U(E(X)) ,
por lo que:
S(µ) − P(µ) = U(µ) − U > 0 .
Esto es, la satisfacción asociada a la renta media es mayor que su privación.
La función de satisfacción neta, a partir de [1.14] y [1.16], se expresará mediante:
SN(x) = S(x) − P(x) = U(x) − U ,
[1.17]
y su comportamiento, en cuanto a crecimiento y concavidad, será análogo al de la función de utilidad
ya que difiere de ella en una constante, la utilidad media. Si U es continua, al ser estrictamente monó­
tona, existe un único nivel de renta, xe, en el que la satisfacción neta es nula. Ese nivel de renta21 será
inferior a la media de la distribución, como consecuencia de la desigualdad de Jensen y del creci­
miento estricto de U, ya que:
U(x e ) = U < U(µ) ⇒ x e < µ .
Por otra parte, x < x e ⇒ SN (x ) < 0 , mientras que x > x e ⇒ SN (x ) > 0 .
A partir de [1.17] es evidente que E (SN(X)) = 0 , lo que implica que los valores medios
de la privación y de la satisfacción para el conjunto de la sociedad son iguales. Para obtener ese valor
x
UL (F(x))
1
U(z)dF(z) = U
.
F(x)
F(x)
19
U(x − ) =
20
S (x) = U (x)F(x) > 0 . Su derivada segunda no tiene signo constante a lo largo de la escala de rentas.
∫
0
´
´
21
Como se indica en el Apéndice de este capítulo, en la literatura relacionada con la medición de la aversión hacia la des­
igualdad, xe es la renta equivalente de equidistribución y el numero real I = 1− (x e µ ) es el índice de desigualdad propuesto por
Atkinson (1970)
— 27 — común es necesario considerar el índice de Gini asociado a la curva de Lorenz de la utilidad, L U . Ese
1
∫
índice se expresa como GU = 1− 2 L U (p)dp , y, teniendo en cuenta [1.14] y [1.16], resulta:
0
E(P(X)) = E(S(X)) = UGU
[1.18]
resultado formalmente análogo al que se obtenía en el espacio de rentas (expresión [1.12]), sustitu­
yendo la renta media y el índice de Gini de la distribución de la renta por la utilidad media y el índice
de Gini de la distribución de utilidad, respectivamente.
Fijada la función de utilidad, la ordenación de distintas distribuciones de renta según su
privación o satisfacción media es inmediata a partir de [1.18]. Para obtener conclusiones en este sen­
tido sobre los niveles de renta individuales el concepto de dominancia estocástica de segundo orden,
utilizado en el epígrafe anterior, hay que adaptarlo al espacio de utilidades y considerar la dominancia
estocástica de segundo orden respecto a una función22. Dada la función de utilidad U(x), si F y G son
dos distribuciones de renta y respecto de ambas coincide la utilidad media, UF = UG , son equivalen­
tes las afirmaciones siguientes:
a) F domina estocásticamente a G en segundo orden respecto a la función de utilidad U(x).
b) Para todos los niveles de renta, la privación y la satisfacción relativa bajo F es menor
b) que bajo G.
c) La curva de Lorenz de utilidad para F domina a la curva de Lorenz de utilidad para G,
b) L U (F(x)) ≥ L U (G(x)) , para todo x > 0 .
1.2.2.1. Las funciones de utilidad isoelásticas
Una medida que resulta particularmente adecuada al tratar de recoger el grado de aver­
sión hacia la desigualdad de una función de utilidad es la elasticidad de la utilidad marginal de la renta
respecto de la renta23, q U (x) =
− xU´´ (x)
. En el estudio de la desigualdad se ha dedicado una espeU´ (x)
cial atención a las funciones de utilidad isoelásticas, aquellas cuya aversión a la desigualdad es cons­
tante para todos los niveles de renta24. Al imponer tal condición se obtiene la familia de funciones:
⎧⎪a + bx s
si s ≠ 0, b > 0
U(x) = ⎨
⎪⎩a + b ln x si s = 0.
[1.19]
que son transformaciones afines de la función potencial y de la función logarítmica.
22
Si F y G representan sendas distribuciones, se dice que F domina a G en segundo orden respecto de la función U(x ) si se
x
verifica
∫ (F(z) − G(z))dU(z) ≤ 0 , para todo x > 0 y es válida la desigualdad estricta para algún x > 0 .
0
23
Se trata en realidad de una medida de aversión al riesgo, introducida en el ámbito de la desigualdad por Atkinson (1970).
24
Ello se debe a que esta condición es necesaria y suficiente para que el índice de desigualdad de Atkinson sea invariante
frente a cambios equiproporcionales de todas las rentas.
— 28 — No supone dificultad el particularizar los resultados obtenidos anteriormente a estos ca­
sos. Además, no es restrictivo el trabajar con a = 0 y b = 1 , lo que facilita el desarrollo analítico.
Para el caso potencial, U (x ) = x s , la función de utilidad será creciente y cóncava cuando
0 < s < 1. Al plantear este tipo de función, la utilidad media se expresa a partir de la media generali­
( ( ))
zada25 de orden s, Ms , que se define como: Ms = E X s
1s
( )
, con lo cual: E X s = (Ms )s .
Si U (x ) = x s , 0 < s < 1, la privación y satisfacción de un individuo con renta x respecto a
otro con renta z se formula haciendo uso de las expresiones [1.13] y [1.15], con lo que la privación y
la satisfacción del individuo con renta x son26:
P(x) = (M s ) s (1− L X s (F(x)) − x s (1− F(x))
S(x) = x sF(x) − (M s ) s L X s (F(x)),
funciones que cumplen las propiedades mencionadas en el epígrafe anterior para la privación y la
satisfacción relativas.
La privación media de la sociedad, que coincide con la satisfacción media, se expresa
ahora como:
E(P(X)) = (M s ) s G X s = E(S(X)) ,
el producto de la esperanza de la variable X s por el índice de Gini asociado a dicha variable.
Si la función de utilidad es logarítmica, U (x ) = Inx , la privación y satisfacción relativa de
un individuo de renta x al comparase con otro de renta z queda definida igualmente a partir de las
expresiones [1.13] y [1.15].
En este caso la utilidad media es :
U = E(lnX) = ln(g) ,
25
Ms será la media cuadrática para s = 2 , la media aritmética para s = 1 , la media geométrica cuando s → 0 y la media
armónica para s = −1 , pero dadas las características de concavidad y crecimiento exigibles a la función de utilidad, los valores
de s quedan restringidos al intervalo [0, 1] excluyendo los extremos si se exige crecimiento y concavidad estricta.
26
Siendo L X s la curva de concentración de la distribución de X s , que al ser una función estrictamente creciente de x, coinci­
de con la curva de Lorenz:
26
26
L x s (F(x)) =
1
E(X s )
p
∫ t dF(t) .
s
0
En ese caso GX s es el índice de Gini asociado a la curva de Lorenz de X s es:
1
26
∫
Gx s = 1− 2 L x
s (p)dp .
0
— 29 — siendo g la media geométrica de la distribución. Si mediante lng(x+) se denota al logaritmo neperiano
de la media geométrica de las rentas mayores27 que x y mediante lng(x-) al logaritmo neperiano de la
media geométrica de las rentas inferiores28 a x, la privación y satisfacción relativa de un individuo con
renta x son:
P(x) = (1− F(x))(ln g(x + ) - lnx) =
= ln g(1− L ln x (F(x))) − ln x(1− F(x)).
S(x) = F(x)(ln x − (ln g(x − )) =
= ln xF(x) − ln gL ln x (F(x)).
Estas expresiones determinan que la privación (satisfacción) relativa de un individuo con
renta x es el producto de la proporción de individuos con rentas mayores (menores) que x y de la
diferencia entre la utilidad media de ese grupo, o logaritmo neperiano de la media geométrica de la
renta de ese grupo, y su propia utilidad (diferencia de la utilidad del individuo con renta x y la media
de la utilidad de los individuos con rentas superiores a x).
La función de privación (satisfacción) relativa es decreciente (creciente) respecto al lnx y,
por tanto, respecto a x y, además, es convexa (no se puede afirmar nada acerca de la concavidad o
convexidad, ya que la segunda derivada no tiene signo constante en el dominio).
La satisfacción neta se expresa como:
SN (x ) = S (x ) − P (x ) = Inx − Ing .
[1.20]
Esto indica que el nivel de renta que separa a quienes tienen satisfacción neta positiva
de los que la tienen negativa es x e = g , la media geométrica de la distribución.
La privación y satisfacción media de la sociedad es:
E(P(X)) = E(S(X)) = ln gG ln X .
Por lo que, tanto la privación como la satisfacción social coinciden con el producto del lo­
garitmo neperiano de la media geométrica y el índice de Gini del logaritmo de la renta, de forma que,
cuanto mayor sea la desigualdad y mayor sea g, mayor es la privación y la satisfacción.
La aportación de Podder. Podder (1996) propone una expresión de la privación relativa
basada en las funciones de utilidad, pero estas funciones han de tener una forma particular. En su
artículo argumenta que:
“a pesar de la interpretación del índice de Gini como medida de privación relativa,
este índice no satisface una de las propiedades básicas de un índice de privación. Ni
el coeficiente de Gini, ni ninguna medida de desigualdad, refleja el grado de
x*
27
lng(x + ) = E(ln x / X ≥ x) =
∫
1
lnzdF(z) .
1− F(x)
x
x
28
lng(x - ) = E(ln x / X ≤ x) =
∫
1
lnzdF(z) .
F(x)
0
— 30 — descontento en la sociedad derivado de las diferencias en la renta, pero una medida
adecuada de privación relativa debe reflejarlo”.
Esta afirmación es consecuencia de que, para Poder, la privación de la sociedad ha de
crecer hasta un punto a partir del cual decrece. Este hecho hace que la privación así entendida se
distancie de la teoría de la desigualdad.
Entre las propiedades que, a su juicio, ha de cumplir la función de privación, se encuen­
tra la de que alcanza su máximo para el total de la sociedad en aquellas situaciones en que la mitad
de la población reciba la mínima renta y la otra mitad se reparta de forma igualitaria el remanente de
renta. Esto implica la violación del principio de las transferencias de Pigou-Dalton, de forma que las
transferencias de ricos a pobres incrementan la privación relativa. Esta violación lleva a un compor­
tamiento en sentidos opuestos de la desigualdad y la privación relativa. Podder, para argumentar esta
idea, se basa en que la privación es proporcional al producto del número de individuos en cada grupo,
el de los que no tienen y el de los que tienen. Pero esta argumentación sólo considera dos grupos,
cuando en la sociedad podemos distinguir más de dos situaciones, y la probabilidad de alcanzarlas
no es mayor a medida que más individuos están en ese grupo.
Además de esta característica, y debido a la concavidad de la función de utilidad, la pri­
vación relativa de un individuo con renta x respecto de otro con renta z, z > x , P (x,z ) , según Podder,
∂ 3P(x, z)
> 0 ). Esto asegura que una
∂z3
transferencia entre individuos situados por encima del individuo i afecta más a la privación relativa de i
cuanto más próximos estén a i. Así, una transferencia fija entre el individuo “j” y el “j+1” tiene más
efecto sobre la privación del individuo i, i<j, que la misma efectuada entre el individuo “j+k” y el “j+k+1”
para k > 0 . La conveniencia de esta propiedad también ha sido defendida por Paul (1991).
debe tener la tercera derivada respecto a z con signo positivo, (
Estas propiedades que ha de cumplir la función de privación relativa llevan a Podder a
definir una función específica de utilidad, la función isoelástica [1.19].
Para que sea cóncava, debe cumplir que s < 1 . Pero el único valor de s que, además, permi­
te alcanzar el máximo cuando la sociedad esté dividida por mitades entre los que tienen y los que no, es el
cero, por lo que la privación relativa quedará definida mediante la función de utilidad logarítmica:
⎧log z − log x si z > x
P(x,z) = ⎨
si z ≤ x.
⎩0
En este caso, la privación relativa total o media (según se multiplique o no por N) de la
sociedad adopta la expresión:
NE(P(X)) =
∑ (2j − N − 1) log x j ,
j
equivalente a la obtenida en [1.20], si se considera el caso discreto29.
29
Basta tener en cuenta la expresión del índice de Gini para la distribución del logaritmo de la renta en el caso discreto:
n
∑ (2(n − i) + 1) log x
1
i
29
Glog X = 1 −
i=1
n
2
log(g)
.
— 31 — La privación media obtenida no tiene cota superior, por lo que Podder propone dividir
la función por el máximo valor de la privación relativa para una sociedad de tamaño dado y renta
total fija, de forma que quede acotada entre 0 y 1. Además, para hacerla invariante ante transfor­
maciones afines en las funciones de privación individuales realiza algunas transformaciones en la
expresión30.
Podder concluye afirmando que las propuestas de Hey y Lambert y de Yitzhaki son simi­
lares a la suya, pero existe una diferencia esencial: la función de estos autores es lineal, y, por tanto,
no es independiente de la unidad de medida. La linealidad hace que la función pierda algunas de las
propiedades que son deseables. Así, esta función no alcanzará el máximo cuando la sociedad está
dividida por mitades entre los que tienen y los que no tienen. Esta propiedad que exige Podder pare­
ce poco realista, porque, como se ha visto anteriormente, la desigualdad es una fuente de privación y,
por lo tanto, el aumento de la desigualdad debe llevar siempre a un incremento de la privación. Ade­
más, para evitar la dependencia de la unidad de medida se puede trabajar con la privación relativiza­
da respecto a la media.
1.2.3. El enfoque de Chakravarty y Chakraborty
Chakravarty y Chakraborty (1984) y Chakravarty (1990) introducen una familia de índices
normativos de privación relativa, de forma que para cualquier función de privación existe un índice
normativo de privación media. Parten de la privación definida en el sentido de Hey y Lambert y pro­
ponen una función que no tiene que limitarse a la privación esperada para cada nivel de renta, sino
que puede ser cualquier función de ella. Así, dado un perfil de rentas x = (x1 , x 2 , x 3 , K, x n ) , siendo
x1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ K ≤ x n , la función general de privación relativa para el individuo con renta x i es:
⎛ n
⎞
P ϕ (x i ) = ϕ⎜⎜
(x j − x i ) / n ⎟⎟ ,
⎜ j=i−1
⎟
⎝
⎠
∑
donde la función ϕ : [0, y *] → R1 es continua, creciente y convexa siendo ϕ (0 ) = 0 .
Si ζ es la clase de las funciones que cumplen estas condiciones, para cada ϕ ∈ ξ el ín­
dice correspondiente cumple las siguientes propiedades:
( )
(i) P ϕ (x i ) ≥ P ϕ x j cuando x j ≥ x i y, P ϕ toma el valor cero para la renta más alta.
(ii) P ϕ (x i ) es independiente de las rentas de los que perciben menos que el individuo i.
(iii) P ϕ (x i ) no se ve afectado por transferencias entre personas con rentas superiores a
(iii) x i , suponiendo que el transfiriente se queda con una renta superior a x i .
(iv) P ϕ (x i ) decrece cuando se producen transferencias que no producen cambios en la or­
(iv) denación de rentas desde rentas mayores que las del individuo i a aquellas menores a x i .
30
Véase Poder (1996) pp. 367-368.
— 32 — (v) El incremento en una renta superior a x i produce un incremento de P ϕ (x i ) .
(vi) P ϕ (x i ) es invariante ante incrementos de igual cuantía para todas las rentas.
(vii) P ϕ (x i ) varia ante cambios de escala en las rentas.
(viii) Cumple el principio de población de Dalton, es decir, ante replicas de la población
(viii) renta a renta, P ϕ (x i ) no varia.
(ix) P ϕ es continua en su argumento.
A continuación definen lo que denominan la privación relativa representativa para la so­
ciedad, Pe , como el nivel de privación relativa que, si fuese experimentado por cada individuo de la
población, conduciría a una privación relativa social de igual magnitud que la existente. Formalmente:
⎛ n ⎛ n (x − x ) ⎞ ⎞
⎜1
j
i ⎟ ⎟
.
ϕ⎜⎜
Inϕ (x) = Pe = ϕ −1⎜
n
⎟⎟ ⎟⎟
⎜ n i=1 ⎜ j=i+1
⎝
⎠
⎠
⎝
∑ ∑
Demuestran que si ϕ es continua, creciente y convexa, entonces el índice de privación
relativa Iϕ (x ) = Pe es continuo, acotado entre 0 y x*, invariante ante incrementos constantes de renta,
simétrico, cuasi convexo y satisface el principio de población de Dalton.
Prueban, además, que para toda función ϕ ∈ ξ existe un índice de privación relativa con
las propiedades mencionadas. Este índice alcanza la cota inferior para distribuciones igualitarias de
renta y la cota máxima cuando sólo un individuo recibe renta, siendo creciente respecto a la privación
relativa de cada individuo. Si se incorpora a la población un individuo con renta nula incrementa la
privación relativa de la sociedad, y si se incorpora uno con renta superior a la máxima, también in­
crementa la privación social.
La interpretación de Iϕ como un índice ético requiere que se relacione con una función
de bienestar social, que definen como:
W(x) = x* − Iϕ ,
de modo que, incrementos en el índice de privación relativa producen disminuciones en el bienestar
social.
Así definida, la función W es continua, simétrica, acotada entre cero y x*, (el valor máxi­
mo se alcanza cuando las rentas son todas iguales), cuasi cóncava y se ve afectada por la unidad de
medición.
En particular, si consideramos ϕ(z ) = z α , Iϕ es creciente en α, y a medida que crece el
parámetro α el índice correspondiente es más sensible a la privación de los más pobres. Para α=1, se
obtiene el índice de Yitzhaki y de Hey y Lambert.
— 33 — 1.2.4. Otras aportaciones a la medida de la privación
A las anteriores medidas de privación relativa se añaden las propuestas de varios auto­
res, Kakwani (1984b), Berrebi y Silber (1985) y Paul (1991), que se analizan en esta sección. Con el
estudio de las mismas damos por finalizada la revisión de las distintas contribuciones a la medición
de la privación relativa que se han dado en la literatura.
En Kakwani (1984b) se hacen algunas consideraciones sobre la medición de la privación
y se sugieren alternativas que incorporan diferentes juicios de valor. Una de ellas consiste en suponer
que en las comparaciones individuales la privación del individuo toma el valor de la renta del individuo
con el que se compara, sin tener en cuenta su propia renta, es decir:
⎧z, z > x
P(x, z) = ⎨
⎩0, x > z .
Bajo este supuesto la privación para un nivel de renta dado es:
P(x) = µ(1 − L(F(x))) = (1 − F(x))µ(x + ),
de manera que sólo depende de la proporción de individuos con renta mayor que x y de la renta me­
dia de ese grupo. La privación social media es, en este caso:
E(P(X)) =
µ
(1 + G) ,
2
mayor que la que se obtiene a partir de la definición de Hey y Lambert, dado que en la privación indi­
vidual no interviene, de forma directa, la propia renta. Este hecho es, a nuestro juicio, la principal limi­
tación de esa definición.
Esta formulación incorpora el supuesto de que en las comparaciones entre individuos, la
privación del individuo con menor renta sólo depende de la renta de la persona con la que se compa­
ra, independientemente de lo alejado que esté en la escala de rentas. Por ello parece una formulación
menos realista que la de Hey y Lambert, que depende de las diferencias de rentas y no sólo de la
renta que se desea.
Kakwani al criticar el índice de privación para la sociedad de Hey y Lambert por no ser
sensible a la redistribución de renta en el extremo inferior de la distribución, propone un índice que,
sin ser tan extremista como el criterio del maximin de Rawls, preste atención a un porcentaje dado,
100k% con 0<k<1,de las rentas más bajas. Para ello sugiere el índice:
n(k) =
1
(k − L(k) + kL(k)Gk ) ,
k
siendo Gk el índice de Gini del 100k% de los más pobres. n(k) puede emplearse como índice de
desigualdad que mide la privación relativa que sufre el 100k% de individuos más pobres. Cuanto me­
nor es k, más sensible es a las transferencias en el 100k% inferior de la población.
— 34 — Kakwani también propone otro tipo de función de privación que permite interpretar el índice
de pobreza de Takayama31 (1979) en términos de privación relativa. Pero, tal y como admite el propio
Kakwani, este índice de privación está basado en argumentos poco realistas, ya que considera que una
persona situada bajo la línea de pobreza, al compararse con los individuos por encima de ella siente la
misma privación, independientemente de la renta que posean los no pobres. Su definición es la siguiente:
⎧z − x, si y ≥ z
⎪
P(x, y) = ⎨y − x, si x ≤ y ≤ z
⎪0 , si y ≤ x,
⎩
siendo en este caso z la línea de pobreza.
Berrebi y Silber (1985) proponen distintos índices, de forma que distintas definiciones de
la privación media para un nivel de renta dado, P(x), tienen un valor medio para la sociedad que coin­
cide con índices de desigualdad tales como el índice de Gini generalizado, el índice de Atkinson, el de
Theil,… o funciones de ellos. Por ejemplo, si la privación del individuo i es:
Pi =
(i − 1) n − i
−
,
n
n
es decir, la diferencia entre el porcentaje de individuos que reciben más y menos que el individuo i.
De este modo, cuanto menor sea su renta relativa mayor privación experimentará. El índice de priva­
ción para la sociedad lo definen como la suma de las privaciones de los individuos ponderadas me­
diante su participación en la renta de la sociedad, si:
n
P=
⎡(i − 1) (n − i)⎤
−
.
n
n ⎦⎥
∑ s i ⎣⎢
i=1
[1.21]
De este modo la privación de los más ricos tiene más peso. Se puede decir que P = −G , ya
que otra forma de definir el índice de Gini en el caso discreto es la expresión [1.21] cambiada de signo.
Si en vez de emplear la definición anterior para el índice de privación del individuo i, Pi ,
se emplean:
⎛s
Pi = ⎜⎜ i
⎝n
⎞
⎟⎟
⎠
r
y
⎛ 1⎞
Pi = log⎜ ⎟ − log s i
⎝n⎠
31
El índice de Takayama aplica el índice de desigualdad de Gini a la distribución censurada (en la que la renta de los indivi­
duos no pobres se sustituye por la línea de pobreza). Denominando a la distribución censurada
+ , y * = ⎧y * = min⎧ŷ ,z⎫⎫ , la expresión de este índice es:
ŷ * ∈ Rn
⎨ i
⎬⎬
⎨
⎩ i ⎭⎭
⎩
31
T(y,z) = 1 +
1
2
−
n µ *n2
q
∑ yi* (n + 1− i) ,
i=1
siendo q el número de individuos pobres y µ * representa la media de la distribución censurada.
— 35 — donde r < 1 , entonces los índices de privación para la sociedad son el índice de desigualdad de At­
kinson y de Theil, respectivamente.
Estos autores proponen otros índices de privación que dan lugar a índices de desigual­
dad, pero a todas estas expresiones se llega sin tener en cuenta las comparaciones entre individuos
en diferente situación y, por lo tanto, se puede decir que tienen un carácter ad-hoc, buscando la ex­
presión analítica del índice que se desea obtener, y obvian la esencia de la privación, las compara­
ciones interpersonales.
Paul (1991) propone un índice de privación en el que P(xi) sea sensible a las transferen­
cias de rentas efectuadas entre individuos con renta superior a la suya. Paul critica tanto el índice de
Yitzhaki (1979) como el de Chakravarty y Chakraborty (1984) por ser insensibles a este tipo de trans­
ferencias y enuncia las propiedades que, a su juicio, debe satisfacer un índice de privación:
a) La privación de un individuo aumenta menos que proporcionalmente ante aumentos
en la renta de los más ricos.
b) Un incremento en la renta de un individuo más rico produce más privación a los indi­
viduos pobres más cercanos a él que a los más alejados en la distribución, es decir,
d 3P (x i) / dx 3j > 0 .
c) Cuanto más rico es el individuo, menor es el incremento en la privación marginal:
d 3P (x i ) / dx 3j < 0 .
Paul propone el siguiente índice:
⎧⎛ x
⎪⎪⎜ j
P(x i , x j ) = ⎨⎝⎜ x i
⎪
⎪⎩ 0,
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ β
− 1, si x j > x i
si x j ≤ x i
con 1 < β < ∞ . Entonces, la privación para el nivel de renta x es:
⎡ n
⎤
(x j / x i )1/ β / n⎥ − [n i / n] ,
P(x i ) = ⎢
⎢
⎥
⎣ j = i +1
⎦
∑
y la privación social media es:
⎡ n n
⎤ ⎡ n
⎤
E(P(x i )) = ⎢
(x j / x i )1/ β / n 2 ⎥ − ⎢ n i / n 2 ⎥ .
⎢
⎥ ⎢
⎥⎦
⎣ i=1 j=i+1
⎦ ⎣ i=1
∑∑
∑
β puede ser considerado como un parámetro de aversión a la privación. A medida que β aumenta, la
privación de los individuos es menos sensible a los cambios en la renta de aquellos más alejados en
la escala de rentas y más sensible a los cambios producidos en los más cercanos en la escala de
— 36 — renta. Evidentemente este índice no es función lineal del de Gini, pero para valores pequeños de β la
privación aumenta menos que proporcionalmente con el incremento del índice de Gini y, de este mo­
do, la privación será máxima cuando hay desigualdad perfecta. Pero para valores de β altos, la priva­
ción primero incrementa y después se reduce con el incremento en el índice de Gini.
1.2.5. Hacia una axiomática
En el estudio de la desigualdad y de la pobreza existe una abundante literatura acerca
de las propiedades que se consideran deseables para los índices dedicados a su medición. Aunque
en esos ámbitos no existe un acuerdo unánime, hay al menos un cierto consenso acerca de las con­
diciones mínimas que deben de satisfacer ese tipo de medidas. Las cuestiones de esta naturaleza
han sido menos debatidas en el contexto de la privación, aunque como se ha señalado en epígrafes
anteriores, algunas de las formulaciones propuestas las justifican sus autores en base al cumplimien­
to de determinadas propiedades.
Tras la revisión de las distintas definiciones encaminadas a la medición de la privación, y
una vez analizadas las propiedades que satisfacen cada una de ellas, podemos indicar un conjunto de
axiomas que debe cumplir todo índice de privación. Estas propiedades no se pueden calificar como
restrictivas, realmente no son más que unos requisitos mínimos exigibles a los índices de privación.
Dados dos individuos i, j tal que sus niveles de renta son, xi, xj:
a) i siente privación respecto a j si x i < x j , en caso contrario la privación es nula.
b) La privación de i respecto de j crece ante aumentos en la renta de j, es decir,
dP x i ,x j dx j > 0 .
(
)
c) La privación de i decrece ante aumentos en su propia renta, permaneciendo inaltera­
das las demás rentas, dP x i ,x j dxi < 0 .
(
)
d) La privación de i aumenta menos que proporcionalmente ante aumentos en la propia
renta, es decir, es convexa respecto a su propia renta, d 2P (x i ) dxi2 > 0 .
e) La privación de i es independiente de las rentas de los que perciben menos que él.
f) La privación de un individuo alcanza su máximo cuando percibe la renta mínima y es
nula cuando percibe la renta máxima.
g) La privación para un nivel de renta concreto es la suma de las privaciones experi­
mentadas respecto a los que poseen rentas superiores.
h) La privación social es la media de la privación experimentada por los distintos indivi­
duos de la sociedad y debe ser creciente respecto a algún índice de desigualdad.
Si la satisfacción se define, en cada caso, de forma simétrica a la privación, sus propie­
dades serán consecuencia de las anteriores:
a) i siente satisfacción respecto a j si x i > x j , en caso contrario la satisfacción es nula.
— 37 — b) La satisfacción de i respecto de j crece ante descensos en la renta de j, es decir,
dS x i ,x j dx j < 0 .
(
)
c) La satisfacción de i crece ante aumentos en su propia renta, permaneciendo inalte­
radas las demás rentas, dS x i ,x j dxi > 0 .
(
)
d) La satisfacción de i es independiente de las rentas de los que perciben más que él.
e) La satisfacción de un individuo alcanza su máximo cuando percibe la renta máxima y
su mínimo cuando percibe la mínima, siendo el valor máximo de la satisfacción igual
a cero.
f) La satisfacción para un nivel de renta concreto es la suma de las satisfacciones expe­
rimentadas respecto a los que poseen rentas inferiores.
g) La satisfacción social es la media de la satisfacción experimentada por los distintos
individuos de la sociedad.
Es deseable que las proposiciones de medición que se realicen cumplan estos axiomas,
tanto en el caso de la privación como en el de la satisfacción, ya que no son muy restrictivos y sí sien­
tan unas propiedades básicas que nos parecen lógicas y exigibles a los índices.
1.3. Análisis de la privación y satisfacción según la formulación de Hey y Lambert y Yitzhaki
1.3. para las rentas españolas de 1996
Empleando la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares (ECPF) del Instituto Na­
cional de Estadística (INE) para 1996, de periodicidad trimestral, se han extraído datos sobre el ingre­
so anual familiar disponible para 1.904 familias representativas de todas las unidades económicas de
España y que han sido observadas a lo largo de los cuatro trimestres del año.
Para caracterizar la distribución empírica de la renta de 1996 se ha estimado el modelo
triparamétrico de Dagum32 cuya función de distribución viene dada por:
F(x) = (1 + λx −δ ) −β , x > 0, β,λ,δ > 0,
F(x) = 0,
x≤0
Este modelo es obtenido por Dagum (1977) al imponer que la elasticidad de la función
de distribución de la renta, respecto de la renta, presente las características que están presentes en
las distribuciones de renta observadas. Esta función es la solución de la ecuación diferencial:
E(F(x),x) =
dlogF(x)
= β1(1− F(x)β2 ), x > 0, β1, β 2 > 0
dlog x
32
Este modelo cumple la propiedad de “parsimonia”, según la cual es necesario emplear el menor número posible de paráme­
tros definidos dentro de una distribución teórica. Además, los parámetros contienen clara interpretación económica y permiten
un buen ajuste sobre los datos observados.
— 38 — donde β = 1 β 2 y δ = β1 β 2 son parámetros de desigualdad, mientras que λ es un parámetro de esca­
la positivo. Cabe resaltar el hecho de que se puede ajustar tanto a distribuciones no modales o ceromodales (0 < δβ ≤ 1) como a distribuciones unimodales (δβ > 1) .
La expresión para la curva de Lorenz obtenida a partir del citado modelo es la siguiente:
L(F) = B(F1/ β ,β + 1/ δ,1− 1/ δ) / B(β + 1/ δ,1− 1/ δ),
(
)
donde B (β + 1/ δ,1− 1/ δ ) es la función beta y B F1 β , β + 1/ δ,1− 1/ δ es la función de distribución beta
1β
acumulada de la variable F . Los valores de las curvas de Lorenz estimadas, así como los valores
correspondientes de la variable (en miles de ptas.) figuran en la Tabla 1.1.
TABLA 1.1 VALORES DE LA RENTA, FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y CURVA DE LORENZ PARA EL AÑO 1996
X (miles de ptas)
F(x)
L(F(x))
1800
0,012
0,002
1120
0,056
0,016
1280
0,094
0,030
1440
0,141
0,049
1600
0,196
0,074
1760
0,253
0,104
1920
0,312
0,137
2080
0,369
0,172
2240
0,424
0,207
2400
0,475
0,244
2560
0,522
0,279
2720
0,565
0,314
2880
0,604
0,347
3040
0,639
0,378
3360
0,699
0,437
3840
0,767
0,512
4160
0,802
0,554
4800
0,854
0,624
5760
0,902
0,701
7680
0,949
0,796
152001
0,990
0,921
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
La distribución de renta ajustada mediante el método no lineal de minimización de la su­
ma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y estimados, aporta los paráme­
— 39 — tros de la Tabla 1.2. Junto a ellos se recogen los valores estimados para la media33, mediana34, mo­
da, índice de Gini35, así como la suma de cuadrados de los errores (S.C.E.) de la función de densidad
acumulada y los valores observados del estadístico de Kolmogorov (K) del modelo estimado a través
del programa EPID36 proporcionado por Dagum.
TABLA 1.2
PARÁMETROS ESTIMADOS DEL MODELO TRIPARAMÉTRICO DE DAGUM PARA LA RENTA DE 1996
β
2,463
λ*
51100496,663
δ
2,414
βδ
5,946
Media estimada*
3283,000
Mediana estimada*
2484,100
Moda estimada*
1818,300
Gini
0,366
SCE de F(x)
57,847
K
0,041
(*) Correspondientes al ingreso medido en miles de ptas.
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
El ajuste realizado es bueno dado los pequeños valores de la suma de los errores al
cuadrado y del estadístico de Kolmogorov37. Además, las diferencias entre los valores estimados y
observados para la moda y mediana no superan el 2%. El producto βδ>1 indica que la distribución es
unimodal, tal y como muestra el Gráfico 1.2. Además, es asimétrica a la derecha, con una cola pesa­
da, como es característico de este tipo de distribuciones. La función de densidad adopta la expresión
que sigue una vez reemplazados los parámetros por los valores estimados:
f(x) = 303.841.298 x −3,41417 (1+ 51.100.496,7 x −2,41417 ) −3,46294
33
La renta media estimada a través del modelo viene dada por:
µ = βλ1/ δB(β + 1/ δ,1− 1/ δ) .
34
La mediana y moda respectivamente son:
[
]
x m
= λ1/ δ 21/ β
− 1
−1/ δ
1/ δ
⎛ βδ − 1⎞
x mo = λ1/ δ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ δ +1 ⎠
35
La expresión del índice de Gini que se deriva del modelo empleado, a partir de la función de distribución y de la curva de
Lorenz, es:
G = E[(x / µ)F(x) − L(x)]
36
Este programa calcula los parámetros del modelo utilizando el modelo no lineal de mínimos cuadrados y aplicando un algo­
ritmo (Birta, 1978) mediante el cual se minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de las funciones de distribución
observadas y estimadas.
37
A un nivel de significación del 5%, el contraste de Kolmogorov-Smirnov nos lleva a aceptar la hipótesis nula de que el mode­
lo de Dagum se ajusta bien a la función de distribución observada.
— 40 — GRÁFICO 1.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA RENTA DE 1996 Función de densidad
0,00050
0,00045
0,00040
f(x)
0,00035
0,00030
0,00025
0,00020
0,00015
0,00010
0,00005
0,00000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Renta en miles de ptas.
Fuente: Elaboración propia.
Dado el ajuste del modelo de distribución de probabilidad, la función de privación media
para un individuo con un nivel de renta dado, propuesta por Yitzhaki y Hey y Lambert [1.3], es la re­
presentada en el Gráfico 1.3, cuyos valores (en miles de ptas.), vienen recogidos en la Tabla 1.3.
Como puede observarse en el Gráfico 1.3, la privación es una función decreciente y convexa
del nivel de renta. Además, la privación corta al eje de ordenadas en la renta media y al eje de abcisas en
la renta máxima, efectuándose una aproximación progresiva a este eje. Para la renta media (tal y como se
indica en este capítulo, en la nota al pie 10), la ordenada de la función de privación depende de la propor­
ción total de renta (F(µ)-L(F(µ))) que sería necesario transferir desde las situadas por encima de la media a
las que están por debajo de ella si se pretendiera una distribución igualitaria y que supone un 26,2%.
GRÁFICO 1.3
PRIVACIÓN RELATIVA PARA 1996
P(x) según Yitzhaki y Hey y Lambert.
Privación en miles de ptas.
3500,00
3000,00
2500,00
2000,00
1500,00
1000,00
500,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
— 41 — 10000
12000 14000
16000
TABLA 1.3 PRIVACIÓN SEGÚN FORMULACIÓN DE YITZHAKI Y HEY Y LAMBERT PARA 1996 F(x)
P(x)
0,012
2484,557
0,056
2174,319
0,094
2026,186
0,141
1884,925
0,196
1751,819
0,253
1627,687
0,312
1512,882
0,369
1407,372
0,424
1310,836
0,475
1222,766
0,522
1142,552
0,565
1069,540
0,604
1003,072
0,639
1942,520
0,699
1836,851
0,767
1709,561
0,802
1640,879
0,854
1531,922
0,902
1416,933
0,949
1281,310
0,990
1108,403
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID
La definición de satisfacción relativa de un individuo con renta x propuesta por Hey y
Lambert [1.8] difiere de la de Yitzhaki [1.6]. A pesar de que ambas son funciones crecientes y su
valor mínimo es cero, la primera presenta convexidad, mientras la segunda es cóncava. Además,
los valores máximos son diferentes, siendo mayor para la función propuesta por Hey y Lambert
siempre que la renta máxima sea superior al doble de la renta media38. En el Gráfico 1.4 se ponen
de manifiesto las diferencias comentadas entre ambas funciones, cuyos valores quedan recogidos
en la Tabla 1.4.
38
En distribuciones de rentas esta condición no supone una fuerte restricción dada la asimetría hacia la derecha que suelen
presentar.
— 42 — GRÁFICO 1.4 SATISFACCIÓN PROPUESTA POR YITZHAKI Y HEY Y LAMBERT PARA 1996 S(x) según Hey y Lambert y Yitzhaki.
Satisfacción en miles de
ptas.
15000,00
12000,00
9000,00
6000,00
3000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
Renta
S(x) Hey y Lambert
S(x) Yitzhaki
Fuente: Elaboración propia.
TABLA 1.4
SATISFACCIÓN SEGÚN LA FORMULACIÓN DE YITZHAKI Y HEY Y LAMBERT
F (x)
S (x) Hey y Lambert
S (x) Yitzhaki
0,012
1,557
1798,443
0,056
11,319
1108,681
0,094
23,186
1256,814
0,141
41,925
1398,075
0,196
68,819
1531,181
0,253
104,687
1655,313
0,312
149,882
1770,118
0,369
204,372
1875,628
0,424
267,836
1972,164
0,475
339,766
2060,234
0,522
419,552
2140,448
0,565
506,540
2213,460
0,604
600,072
2279,928
0,639
699,520
2340,480
0,699
913,851
2446,149
0,767
1266,561
2573,439
0,802
1517,879
2642,121
0,854
2048,922
2751,078
0,902
2893,933
2866,067
0,949
4678,310
3001,690
0,990
12025,403
3174,597
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
— 43 —
La función de privación para el nivel de renta medio corta desde arriba a la de satisfac­
ción propuesta por Hey y Lambert, Gráfico 1.5, de forma que la función de satisfacción neta es ne­
gativa para los niveles de renta inferiores a la media y positiva para los superiores a la misma,
Gráfico 1.6.
GRÁFICO 1.5
PRIVACIÓN Y SATISFACCIÓN PROPUESTA POR HEY Y LAMBERT PARA 1996
P(x) y S(x) según Hey y Lambert.
15000,00
12000,00
9000,00
6000,00
3000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Renta
S(x)
P(x)
Fuente: Elaboración propia.
GRÁFICO 1.6
SATISFACCIÓN NETA PARA 1996
SN(x)
SN(x) en miles de ptas.
14500,00
11500,00
8500,00
5500,00
2500,00
-500,00
0
-3500,00
µ
2000
4000
6000
8000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
— 44 —
10000
12000
14000
16000
La privación y satisfacción social media, así como el bienestar vienen recogidos en la
Tabla 1.5.
TABLA 1.5 ÍNDICE DE GINI, MEDIA, PRIVACIÓN / SATISFACCIÓN MEDIA SOCIAL
Renta media
3283
Índice de Gini
1110,366
Privación social media
1201,578
Satisfacción social media
1201,578
Bienestar social
2081,422
Fuente: Elaboración propia.
Como se indicó en [1.12] y se muestra en la Tabla 1.5, la privación y satisfacción social
media coinciden, y son iguales al índice absoluto de Gini de la distribución, por lo que la satisfacción
social neta es nula. El bienestar social se evalúa a través de la REID asociada al índice de Gini,
W = µ (1− G) , y toma el valor 2.081.422 ptas.
— 45 — APÉNDICE. CONCEPTOS PREVIOS
Curva de Lorenz. Curva de Lorenz generalizada. Índice de Gini. Índice de Gini generalizado
Sea una población de unidades económicas en la que la variable renta presenta una
función de distribución F(x ) , de modo que p = F(x ) es la proporción de unidades cuyo nivel de renta
es menor o igual que x. Si µ es la renta media, la curva de Lorenz para esta distribución se define
como:
x
p = F(x) ⇒ L X (p) =
1
sdF(s), 0 < p < 1
µ
∫
[A1.1]
0
siendo L(0 ) = 0 , L(1) = 1 . El valor de L x (p ) , p = F(x ) , indica la proporción de la renta total que conjun­
tamente perciben los individuos con una renta menor o igual que x. Al ser la ordenación creciente
según el nivel de renta, L x (p ) ≤ p , 0 < p < 1 siendo válida la igualdad en caso de equidistribución. La
curva de Lorenz es una función estrictamente creciente y estrictamente convexa respecto a p = F(x ) ,
ya que sus dos primeras derivadas respecto a esa variable, son:
dL(p) x
d2L(p)
1
= > 0,
=
> 0.
2
dp
µ
µf(x)
dp
Es invariante frente a cambios de escala, mientras que en relación a los cambios de ori­
gen su comportamiento viene dado por la siguiente expresión:
L x +a (x) =
F(x ) es:
ap + µ x L x (p)
.
µx + a
[A1.2]
La curva de Lorenz generalizada, introducida por Shorrocks (1983), para una distribución
x
∫
p = F(x) ⇒ LG X (p) = sdF(s) =µL X (p) ,
[A1.3]
0
función creciente y convexa en [0,1], con LG (0 ) = 0 , LG (1) = µ . A partir de su definición es inmediato
que LG (p ) / p , p = F (x ) , representa la renta media del conjunto de unidades cuyo nivel de renta es
menor o igual que x.
Asociado a la curva de Lorenz L x (p ) , p = F (x ) , se define el índice de Gini, Gx , mediante:
1
∫
1
∫
G X = 1− 2 L X (p)dp = 2 (p − L X (p))dp.
0
0
— 47 — [A1.4]
Se trata de un índice relativo de desigualdad, cuyo valor coincide con el doble del área
comprendida entre la línea de equidistribución y la curva de Lorenz, siendo 0 ≤ G ≤ 1 . El resultado de
multiplicarlo por la renta media de la distribución es un índice absoluto de desigualdad, denominado
índice absoluto de Gini, µG , e invariante, por lo tanto, frente a cambios de origen:
µ x G x = µ x+a G x+a .
Yitzhaki (1983) propuso una generalización del índice de Gini:
1
1
∫
∫
G(λ) = 1− λ(λ − 1) (1− p) λ−2 L(p)dp = 1− λ (1− p) λ −1L ′(p)dp ,
0
[A1.5]
0
dependiente de un parámetro λ>1. Obviamente G(2) coincide con el índice de Gini ordinario. Según
demostró Yitzhaki (1983), en el índice de Gini generalizado, a medida que aumenta el valor del
parámetro λ, los valores de la curva de Lorenz se agregan de tal forma que aumentan los pesos
asignados a las rentas más bajas de la distribución y disminuyen los correspondientes a las rentas
de la cola superior. De este modo λ tiene un carácter distributivo y su comportamiento para los va­
lores extremos es:
G(λ) → 1−
x mín ima
si λ → +∞
µ
G(λ) → 0 , si λ → 1
Además, µG (λ ) es un índice absoluto, dado que se verifica:
µ x + a G x + a (λ) = µ x G x (λ) .
[A1.6]
Funciones de bienestar social
Una función de bienestar o de evaluación social (FBS o FES), W, es una función ordinal
que incorpora los juicios de valor de la sociedad en relación al bienestar de la colectividad. Por lo
tanto ordena estados sociales alternativos asignando un número real a cada uno de ellos, dando lu­
gar a una ordenación reflexiva, completa, transitiva y continua de los mismos.
En este trabajo haremos depender el bienestar social exclusivamente de la renta, lo
que supone una fuerte simplificación al existir otros factores que contribuyen al bienestar, espe­
cialmente para los individuos que perciben rentas situadas en las colas de la distribución. Sin em­
bargo, mientras que el bienestar no es observable, sí lo es la renta, a la vez que aquel es una
función creciente de ésta. Así, en una población de tamaño n cada estado social lo identificaremos
con un perfil de rentas, representado mediante un vector x = (x1, x 2 ,L, x n ) cuyas componentes
no son todas nulas, siendo x i ≥ 0 la renta percibida por el individuo i-ésimo. De este modo, el do­
n
minio de la FES es el octante positivo del espacio euclídeo n-dimensional R+ , excluido el origen.
Con ello, W : R n+ → R .
De la amplia gama de FBS que se han propuesto en la literatura, quizás las más utiliza­
das son las de tipo utilitarista, simétricas y aditivamente separables. En ellas el bienestar se identifica
— 48 — con la utilidad media: W =
1
n
n
∑ U(x i ) o, en el caso continuo, W = ∫ U(x)dF(x) , siendo U la función de
i=1
utilidad, que se supone creciente y cóncava (lo que implica la aversión a la desigualdad de W) e idén­
tica para todos los individuos. Atkinson (1970), introduce, a partir de este tipo de funciones, el concep­
to de renta equivalente igualmente distribuida (REID), x e . Es la renta per cápita que distribuida de
forma igualitaria proporciona el mismo nivel de bienestar que la distribución inicial x. Esto es,
W (x1, x 2 ,L, x n ) = W (x e , x e ,L, x e ) . La concavidad estricta de U implica x e < µ , de modo que la
diferencia µ − x e es el coste, por individuo, de la desigualdad. Este concepto se generaliza para FES
que satisfagan ciertas condiciones de regularidad (véase Chakravarty (1990)).
Un tipo de FES particularmente sencillas son las llamadas funciones abreviadas de
bienestar social. Se expresan en función de la renta media de la distribución y de un índice de des­
δW
δW
> 0,
< 0 . A lo largo de este trabajo haremos
igualdad, I. En este caso es W = V (µ,I) , con
δµ
δI
amplia referencia a las funciones de la forma W = µ (1− kG) , consistentes con el índice de Gini. En
particular, para k=1 se obtiene la REID asociada al índice de Gini39.
Con relación a las funciones de bienestar social, nos interesa destacar el siguiente resul­
tado, cuyo interés radica en que convierte a la curva de Lorenz generalizada en una herramienta va­
liosa para la ordenación de distribuciones de renta de acuerdo con índices de desigualdad que
impliquen o estén implicados por funciones de bienestar social que cumplan determinadas propieda­
des sin necesidad de especificar su forma funcional.
Teorema de Shorrocks (1983)-Kakwani (1984b). LGF (p ) ≥ LGG (p ), p ∈ [0,1], si y sólo si
W (x ) ≥ W (y ) , para cualquier función de bienestar social aditiva, creciente y S-cóncava40.
Dominancia estocástica
Si para ordenar un conjunto de distribuciones de renta se opta por utilizar simultánea­
mente varios índices de desigualdad, se obtienen ordenaciones que, en general, no son consistentes
entre sí. Cuando se procede de esta forma son esenciales los conceptos relacionados con la domi­
nancia estocástica.
Supongamos que F1 y F2 son dos funciones de distribución de la variable renta (no de­
crecientes, continuas por la derecha, Fi (− ∞ ) = 0 , Fi (+ ∞ ) = 1 , con medias finitas y positivas µ i , siendo
α i = sup {x : Fi (x ) = 0} y βi = inf {x : Fi (x ) = 1}, i=1, 2 los niveles de renta máximos y mínimos alcanza-
{
}
bles. Llamemos α = min {α1, α 2 } y β = max β1 , β 2 , suponiendo α y β finitos.
Definición. F1 presenta dominancia estocástica de orden 1 sobre F2 , F1 ≥ 1 F2 , si y só­
lo si:
39
Un estudio detallado de la relación entre FES e índices de desigualdad es el de Dagum (1993).
Una FES, W, es S-cóncava si W (Bx ) > W (x ) , para todo perfil de renta x, siendo B una matriz biestocástica (sus elementos
son números reales no negativos y la suma de cada una de sus filas y columnas es la unidad) de orden n. La S-concavidad de
W implica un aumento del bienestar al disminuir la desigualdad.
40
— 49 — [ ]
F1(x) ≤ F2 (x), ∀x ∈ α,β ,
y se satisface la desigualdad estricta para algún nivel de renta x. Es decir, la gráfica de F1 nunca está
situada por encima de la de F2 .
Definición. F1 presenta dominancia estocástica de orden 2 sobre F2 , F1 ≥ 2 F2 , si y só­
lo si:
∫ F1(u)du ≤ ∫ F2 (u)du, ∀x ∈ [α,β] ,
x
x
αi
αi
cumpliéndose la desigualdad estricta para algún nivel de renta x. Esto es, el área del recinto limi­
tado por F1 y el eje de abcisas nunca es mayor que la del recinto limitado por dicho eje y la gráfi­
ca de F2 .
En general, se dice que F1 presenta dominancia estocástica de orden k sobre F2 ,
[ ]
F1 ≥ K F2 , si se verifica F1,k (x ) ≥ F2,k (x ) , para todo x ∈ α , β , con desigualdad estricta para al menos
x
∫
un valor de x, siendo Fi,k (x) = Fi,k −1(u)du , i=1,2.
αi
La ordenación de las distribuciones generada por una relación de dominancia de un or­
den determinado es parcial. Sin embargo, las dominancias de órdenes sucesivos están anidadas; es
decir, la de un orden implica a la de órdenes superiores. Por lo tanto, en los casos de comparación
ambigua en una dominancia de primer orden, por ejemplo, se puede recurrir a una de orden superior
para resolverla.
También se pueden definir relaciones de dominancia a partir de las curvas de Lorenz y
de las generalizadas.
Definición. La distribución F1 presenta dominancia en sentido de Lorenz sobre la distri­
bución F2 , F1 ≥ L F2 , si y sólo si:
L 1(p) ≥ L 2 (p), ∀p ∈ [0,1] ,
satisfaciéndose la desigualdad estricta para algún valor de p, siendo L i (p ) la curva de Lorenz corres­
pondiente a las distribución Fi .
Definición. La distribución F1 presenta dominancia en el sentido de Lorenz generalizado
sobre la distribución F2 , F1 ≥ LG F2 , si y sólo si:
LG1(p) ≥ LG2 (p), ∀p ∈ [0,1] ,
con desigualdad estricta para algún valor de p, siendo LG i (p ) la curva de Lorenz generalizada de Fi .
— 50 — La dominancia de segundo orden equivale a la de Lorenz generalizada, y éstas a su vez
a la dominancia entre las curvas de Lorenz para distribuciones de igual media y tamaño41. El siguien­
te esquema recoge la relación entre los tipos de dominancia citados:
F1 ≥1 F2
⇒
F1 ≥ LG F2
c
F1 ≥ 2 F2
⇒ F1 ≥ 3 F2
c µ y n ctes
F1 ≥ L F2
Un resultado que se utilizará en un capítulo posterior es el siguiente:
Proposición
a) F1 ≥ 1 F2 ⇒ µ 1 (1− G1 (λ )) ≥ µ 2 (1 − G 2 (λ )) ∀λ ≥ 0 .
b) F1 ≥ 2 F2 ⇒ µ 1 (1− G1 (λ )) ≥ µ 2 (1 − G 2 (λ )) ∀λ ≥ 1 .
c) Si F1 y F2 se cruzan una sola vez, entonces µ 1 ≥ 1 (1− G1 (λ )) ≤ µ 2 (1− G 2 (λ ))
µ 1 (1 − G1 (∞ )) ≥ µ 2 (1 − G 2 (∞ )) implica que F1 ≥ 2 F2 .
y
Las condiciones a) y b) son necesarias para que F1 sea preferida por todas las funciones
de bienestar crecientes o crecientes y S-cóncavas. La condición c) es suficiente para que F1 sea
preferida por las funciones de bienestar crecientes y S-cóncavas en el caso en que las distribuciones
se crucen como máximo una vez.
La integración en el sentido de Riemann-Stieltjes
x*
A lo largo de este trabajo aparecerán con frecuencia integrales de la forma
∫ g(x)dF(x) ,
0
siendo F (x ) la función de distribución de la renta. Supondremos, en tales casos, que estamos utilizando la teoría de la integración de Riemann-Stieltjes, de manera que cuando F (x ) sea derivable,
con derivada continua, es dF (x ) = f (x ) dx , siendo f (x ) la función de densidad, y la integral anterior se
x*
convierte en la de Riemann
∫ g(x)f(x)dx . De este modo se puede dar un tratamiento unificado a los
0
casos discreto y continuo para la variable aleatoria que representa a la renta. En este contexto nos
interesa destacar un resultado que proporciona el enlace entre las integrales en el sentido de Rie­
mann-Stieltjes y las sumas finitas:
Proposición. Sea h (x ) una función escalonada en [a,b] con salto hk en x k , siendo
a ≤ x1 ≤ x 2 < K < x n ≤ b . Si g está definida en [a,b] de forma que g y h no sean ambas discontinuas
41
Para una demostración de estos resultados puede verse Thistle (1989). En Muliere y Scarsini (1989) se estudia de forma
detallada la relación entre dominancia estocástica y medidas de desigualdad.
— 51 — b
a la derecha o a la izquierda de cada
x k , la integral
∫ gdh
existe y se verifica
a
b
n
g(x k )h k .
∫ g(x)dh(x) = ∑
k =1
a
Si la distribución de la renta es discreta y F (x ) presenta en los puntos x i saltos de lon­
gitud 1/n, aplicando la proposición anterior, para cualquier función g que no presente discontinuidades
xn
en los x i se tiene
∫
x1
g(x)dF(x) =
1
n
n
∑ g(x i ) .
i=1
— 52 — CAPÍTULO 2 PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN Y STATUS PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN, RENTA Y STATUS Los resultados que se obtienen a partir de una definición específica de la privación y sa­
tisfacción relativas son consecuencia de una elección acerca de cómo realizar la comparación entre
individuos con diferentes niveles de renta y, por lo tanto, incorporan, aunque sea de forma implícita,
juicios de valor. En el caso de la aportación de Hey y Lambert, la privación se identifica con una dife­
rencia de rentas, lo que introduce un concepto absoluto de desigualdad y, de hecho, tanto la privación
como la satisfacción social media coinciden con el índice absoluto de Gini.
En este capítulo se proponen formulaciones alternativas para la privación / satisfacción
relativa, siguiendo el esquema que, en este contexto, consideramos razonable. El punto de partida es
la comparación entre individuos, de forma que se comienza definiendo la privación de un individuo
con renta x respecto a otro con renta z, P (x ,z ),x < z , para obtener, a continuación, la privación total o
media asociada al nivel de renta x, P (x ) , agregando la privación de ese individuo respecto a los que
tienen una renta mayor, y a partir de ella, calculando su esperanza, la privación social media E (P (X )) .
De forma análoga se procede para la satisfacción. Como ya hemos indicado en la sección 1.2.4, si se
elude la primera etapa es posible proponer distintas definiciones para P (x ) , a partir de las cuales se
obtienen, como valores medios, una amplia gama de índices de desigualdad, pero esas definiciones
no derivan, al menos de forma explícita, de la comparación entre individuos en distinta situación.
Siguiendo este esquema, en la primera sección se propone una formulación para la pri­
vación/satisfacción relativa, bajo la hipótesis de que los individuos muestran una preocupación por el
status, lo que equivale a la afirmación de Layard (1980): “..lo que importa es el orden del percentil
ocupado por una persona en la distribución de rentas o salarios..”. En tal caso parece razonable ad­
mitir que la privación de un individuo con una determinada renta, x, respecto a otro con renta mayor,
z, depende, más que de la diferencia entre sus rentas, z-x, de la diferencia entre las posiciones que
ambos ocupan en la distribución, F (z ) −F (x ) , siendo F la función de distribución de la renta. Esto es,
se está utilizando el rango de cada individuo en la distribución de rentas como aproximación de su
status. Es evidente que la noción de status es mucho más amplia y que su medición es complicada al
encontrarnos de nuevo, como en el caso de la privación, ante una variable no directamente observa­
ble, y cuya medición, a través de indicadores, exigiría la utilización de técnicas factoriales o de mode­
los econométricos de variables latentes. A pesar de ello, este tipo de aproximación parece razonable
una vez que se ha convenido definir la privación / satisfacción a partir de la variable renta. Por otra
parte, el utilizar la posición relativa de un individuo en la distribución como proxy de su status es bas­
tante usual en la literatura. Así, en Lambert (1996, Cap.5) al estudiar distintos planteamientos que
hacen referencia a las actitudes de los individuos, (envidia, altruismo, aversión, preferencia o indife­
rencia frente a la desigualdad,..), para justificar determinadas familias de funciones de evaluación
social, se realiza este tipo de aproximación. También Sen (1976a), define índices de pobreza en los
que utiliza unas ponderaciones basadas en el orden de los individuos en la distribución de renta, ar­
42
gumentando que este sistema de ponderaciones refleja bien el concepto de privación relativa y que
es comúnmente empleado en la Teoría de la Elección Pública. Adoptando este enfoque, se obtienen
las funciones que proporcionan la privación, satisfacción y satisfacción neta asociadas a cada nivel de
renta, se estudian sus propiedades, su comportamiento respecto a la función de distribución de la
renta y se obtienen sus valores medios para el conjunto de la población.
En la sección segunda se propone una formulación alternativa para la privación en la que
interviene, junto a la diferencia entre las rentas de los individuos que se comparan, la posición que
ocupa el individuo con menor renta a través de una función, dependiente de un parámetro positivo λ,
42
Sen considera que la diferencia de rentas expresa el sentimiento de privación, pero que la relatividad del concepto se capta
al considerar el rango de los individuos en la distribución.
— 55 — que se expresa a partir de la denominada función de supervivencia43. El citado parámetro tiene un
significado distributivo, que permite asignar ponderaciones diferentes a la privación asociada a los
distintos niveles de renta, y cuya introducción hace que, en realidad, tengamos una familia de funcio­
nes de privación dependiente de λ. A partir de este tipo de definición la privación media de la socie­
dad coincide con el índice de Gini generalizado absoluto, y la FES (Función de Evaluación Social)
que se obtiene, identificando el bienestar con la utilidad media asociada a una función de la forma
U (x ,F) = x − P(x) , es consistente con el índice de Gini generalizado.
2.1. Privación, satisfacción y status
Cuando el interés de los individuos se centra en el status parece razonable expresar la
privación entre dos individuos a partir de la diferencia entre las posiciones o rangos que ambos ocu­
pan en la distribución, lo que nos lleva a la siguiente definición de la privación relativa:
Definición 2.1. La privación de un individuo con renta x respecto a otro con renta z, se
expresa mediante:
⎧F(z) − F(x), z > x
P(x, z) = ⎨
0,
z ≤ x.
⎩
[2.1]
Por lo tanto, P (x ,z ), z > x , es la proporción de individuos cuyas rentas están situadas en
el intervalo (x ,z ) , esto es, para la unidad de renta x representa la proporción de unidades que la se­
paran de la posición ocupada en la distribución por la que tiene una renta z, z > x .
Aplicando el teorema del valor medio para funciones derivables, si f es la función de
densidad de la renta, F (z ) −F (x ) = (z − x ) f (ξ ), x < ξ < z , de manera que en nuestra definición P (x ,z )
depende, como es natural, de la diferencia de rentas, pero esa dependencia no es de tipo lineal, co­
mo en el enfoque de Hey y Lambert, sino que interviene el valor de la función de densidad en un nivel
de renta intermedio entre los que se realiza la comparación44. Si la distribución es unimodal y con
acentuada asimetría positiva, como sucede en las distribuciones de renta reales, para un valor fijo de
la diferencia x − z , si x y z son rentas pertenecientes a un entorno de la renta modal, f (ξ ) será eleva­
do, próximo al valor máximo, y también lo será P (x ,z ) , mientras que para rentas situadas en la cola
derecha de la distribución, los valores anteriores serán muy pequeños. En el planteamiento de Hey y
Lambert, en el que, además, no interviene la distribución que sigue la renta en el intervalo [x ,z ] tam­
bién están presentes este tipo de problemas. En ambos casos son consecuencia de que se está su­
poniendo que todos los individuos tienen la población total como grupo de referencia. Lo anterior se
soslaya cuando el análisis se restringe a grupos de referencia cerrados, lo que en nuestro caso equi­
valdría a realizar una partición del recorrido de la variable renta en subintervalos45.
Es difícil hacer afirmaciones en cuanto al tipo de juicios de valor que subyacen en la de­
finición [2.1]. Bajo la hipótesis que se está considerando, cada individuo, fijado su nivel de renta, x,
43
Si F(x) es la función de distribución de una variable aleatoria X, 1-F(x) es su función de supervivencia o de escasez.
44
El que intervenga la función de densidad de la renta en las comparaciones interpersonales es una condición conveniente, ya
que parece razonable suponer que la privación derivada de no tener algo es una función creciente de la proporción de indivi­
duos que sí lo poseen.
45
Si se consideran en la distribución distintos grupos de referencia, identificando cada uno de ellos con un intervalo de renta,
los resultados que se obtienen a partir de sus respectivas distribuciones truncadas son formalmente idénticos a los obtenidos
para la población total, restringiendo las medidas estadísticas que en cada caso sean relevantes a esas distribuciones.
— 56 — para las distintas distribuciones alternativas {x ,F }F preferirá aquella en la que ocupe un mayor rango,
de manera que si F1 y F2 son dos distribuciones y la primera presenta una dominancia estocástica de
primer orden sobre la segunda [ F1 (x ) ≤ F2 (x ) , para todo x, y existe al menos un punto en el que se
cumple la desigualdad estricta], sería preferida la distribución dominada. Sobre esta cuestión volve­
remos cuando se obtengan las funciones que proporcionan la privación y la satisfacción total asocia­
das a cada nivel de renta.
Proposición 2.1. Si, en la línea de Yitzhaki, se define la privación global del individuo o
unidad con renta x como:
x*
x*
∫
P(x) = P(x,z)dz =
0
∫ (F(z) - F(x))dz ,
0
se obtiene:
P(x) = x * (1 − F(x)) − µ(1 − L(F(x))) .
[2.2]
Demostración. En efecto, [2.2] se puede expresar como:
x*
P(x) =
∫
x*
(F(z) - F(x))dz =
x
∫
x*
∫
F(z)dz - F(x)dz =
x
x
x*
∫ F(z)dz - (x * -x)F(x) ,
x
e integrando por partes se obtiene:
x*
∫
x
F(z)dz = x * -xF(x) -
x*
∫ zf(z)dz = x * -xF(x) - µ(1- L(F(x))),
x
igualdad que junto con la anterior implica P(x) = x * (1- F(x)) - µ(1- L(F(x))) .
Por lo tanto, la privación del individuo con renta x depende de la renta máxima de la dis­
tribución, x * , de la proporción de individuos con renta superior a x, 1− F (x) , y de la proporción de la
renta total que percibe dicho grupo, 1− L (F (x)) . Una expresión equivalente a [2.2] es:
P(x) = (1− F(x))(x * − µ(x + )) , siendo µ(x + ) la renta media del conjunto de individuos cuya renta es mayor
que x.
Es inmediato que P (x ) es una función estrictamente decreciente de la
(P′ (x ) = (x − x *) f (x ) < 0) , la privación de la renta nula o de la renta mínima de la distribución
diferencia entre la renta máxima y la renta media, P (0 ) = x * − µ , mientras que la asociada a la
máxima es nula, P (x * ) = 0 . Como función de F (x ) , sus dos primeras derivadas
renta
es la
renta
son:
dP(x)
1
d2 P(x)
= x − x* < 0 ,
=
> 0 , por lo que P (x ) es una función estrictamente decreciente y
2
d(F(x))
f(x)
d(F(x) )
estrictamente convexa del percentil determinado por cada nivel de renta.
— 57 — Proposición 2.2. La privación media de la sociedad es:
x*
E(P(x)) =
∫ P(x)d(F(x)) =
0
[2.3]
= 1/ 2(x * −µ(1+ G)) = 1/ 2((x * −µ) − µG),
x*
Demostración. E[P(x)] =
∫
x*
∫
(x * (1- F(x)))dF(x) - µ (1- L(F(x)))dF(x), y haciendo el cambio
0
p = F (x ) resulta
1
∫
0
1
∫
E[P(X)] = x * (1- p)dp - µ (1- L(p))dp =
0
0
x * ⎛ 1- G ⎞ 1
- µ⎜1⎟ = (x * -µ(1+ G)) , teniendo en cuen­
2
2 ⎠ 2
⎝
ta la definición del índice de Gini.
En consecuencia, la privación social media decrece al disminuir la diferencia entre la ren­
ta máxima y la renta media de la distribución, pero aumenta, fijados ambos valores, cuando disminu­
ye la desigualdad relativa, evaluada mediante el índice de Gini o con cualquier otro índice que sea
consistente con el criterio de ordenación de Lorenz46. Esto último puede parecer un tanto sorprenden­
te, aunque no implica que, en general, exista una relación inversa entre privación y desigualdad rela­
tiva, dado que ello sólo es cierto para los índices de la citada familia. Si la desigualdad se cuantifica,
por ejemplo, mediante la desviación relativa media, el índice de Schutz o la varianza de los logarit­
mos, ese tipo de relación no tiene por qué mantenerse47. En la formulación que propone Podder48
(1996) la relación entre la privación media y el índice de Gini es cóncava, creciente hasta un cierto
valor del índice y decreciente a partir de dicho valor. En realidad la expresión [2.3], si no se fija la
renta media, se puede interpretar como una diferencia entre dos índices absolutos de desigualdad:
x * −µ , que puede considerarse como un recorrido, y el índice absoluto de Gini, µG .
Para que la satisfacción interindividual sea la contrapartida de la privación tal y como se
define en [2.1], se propone la siguiente definición:
Definición 2.2. La satisfacción relativa de una unidad con renta x respecto a otra con
renta z, viene dada por:
⎧ F(x) − F(z), x > z
S(x,z) = ⎨
0,
z ≥ x,
⎩
[2.4]
A partir de la definición anterior, mediante un cálculo análogo al realizado en las Proposi­
ciones 2.1 y 2.2, se obtiene el siguiente resultado
46
Un índice de desigualdad es Lorenz-consistente si la ordenación que induce en el conjunto de distribuciones de renta coinci­
de con la que se obtiene a través de la curva de Lorenz. Foster (1985) caracteriza esta clase de índices: son índices relativos
que satisfacen el principio de transferencias de Pigou-Dalton, el principio de población de Dalton y el principio de simetría. Los
más utilizados en el trabajo empírico son el de Gini, el de Atkinson, el de Theil y los de entropía generalizada de Shorrocks.
47
Los perfiles de renta x1=(2.4, 3, 5.6, 7) y x2=(2, 3.5, 5.5, 7) tienen ambos la misma renta máxima y la misma renta media. Sin
embargo, sus respectivos índices de Gini y sus desviaciones relativas medias valoran la desigualdad de manera inversa:
G1=0.2277<G2=0.2361, mientras que DRM1=0.40>DRM2=0.388.
48
Recordemos que en ese trabajo la privación entre individuos se define como la diferencia de las utilidades asociadas a sus
respectivos niveles de renta, tomando como función de utilidad la función logarítmica.
— 58 — Proposición 2.3. La satisfacción total del individuo con renta x es:
x
∫
S(x) = (F(x) − F(z))dz = µL(F(x)) ,
[2.5]
0
mientras que el valor de la satisfacción media para el conjunto de la sociedad es:
E(S(x)) =
µ
1
(1- G) = W X .
2
2
[2.6]
Por lo tanto, S (x ) coincide con el valor de la curva de Lorenz generalizada en p = F (x )
siendo una función estrictamente creciente del nivel de renta (S′ (x ) = xf (x ) > 0 ) con S (0 ) = 0 y
S (x * ) = µ . Como función de F (x ) es estrictamente creciente y convexa, ya que
dS(x)
=x >0,
d(F(x))
d2 S(x) = 1 > 0 . La satisfacción social media coincide, salvo un factor, con la renta equivalente de
d(F(x) )2 f(x)
equidistribución asociada al índice de Gini, de modo que, en este caso, se identifican bienestar y sa­
tisfacción media.
La satisfacción neta asociada a cada nivel de renta, utilizando [2.2] y [2.5] es:
SN(x) = S(x) − P(x) = µ − x * (1− F(x)) ,
[2.7]
y depende únicamente, fijadas µ y x * , del percentil que cada individuo ocupa en la distribución. Es
inmediato que SN (0 ) = µ − x* < 0 , SN (x * ) = µ , es una función estrictamente creciente de la renta
(SN′ (x ) = x * f (x ) > 0) y al ser SN′′ (x ) = x * f′ (x ) , para distribuciones de renta unimodales es una
función estrictamente cóncava a partir de la renta modal. Como función de F (x ) , es lineal con pendiente positiva. La satisfacción neta es nula para el nivel de renta, x 1 , tal que:
1− F(x 1 ) =
µ
,
x*
y positiva para x > x1 . Las distribuciones de renta reales suelen presentar una acentuada asimetría
hacia la derecha, de modo que el cociente µ / x * es “pequeño” y, en consecuencia, x 1 será un nivel
de renta “alto”.
Las propiedades de SN (x ) , crecimiento estricto y concavidad a partir de la renta modal,
permiten considerarla como una función de utilidad de la renta U (x , F ) , cuyo valor medio:
E(U(x,F)) = E(SN(X)) = µ -
x*
,
2
[2.8]
puede interpretarse como una función de bienestar social indiferente a la desigualdad, fijada la renta
máxima de la distribución, al depender sólo de la renta media. Desde este punto de vista, el bienestar
social sería negativo cuando la renta máxima sea superior al doble de la renta media, circunstancia
habitual en las distribuciones de renta que se presentan en la realidad.
— 59 — Privación, satisfacción y dominancia estocástica. Dadas dos distribuciones de renta,
las igualdades [2.3], [2.6] y [2.8] permiten decir cual de ellas implica mayor o menor privación, satis­
facción o satisfacción neta medias para la sociedad, ya que se trata de comparar números reales.
Una cuestión diferente es el establecer un tipo de relación similar para los valores que esas funciones
asocian a cada nivel de renta concreto. Supongamos que F1 y F2 son dos funciones de distribución de
la renta y designemos por Pi (x ) , Si (x ) y SNi (x ) , i = 1 , 2, la privación, satisfacción y satisfacción
neta del nivel de renta x en la distribución Fi . Bajo el supuesto de que ambas distribuciones tengan la
misma renta máxima, x * , y la misma renta media, µ , definamos, a partir de [2.2], [2.5] y [2.7], las
siguientes funciones:
p(x) = P1(x) − P2 (x) = x * (F2 (x) − F1(x)) + µ(L(F1(x)) − L(F2 (x))),
s(x) = S1(x) − S 2 (x) = µ(L(F1(x)) − L(F2 (x))),
sn(x) = SN1(x) − SN 2 (x) = x * (F1(x) − F2 (x)).
Si F1 domina en primer orden a F2 , el primer sumando de p (x ) es positivo y también lo
es el segundo ya que la curva de Lorenz de F1 domina a la de F2 , a la vez que s (x ) es positiva y
sn (x ) negativa. En consecuencia, la distribución dominante es la que implica mayor privación y tam­
bién mayor satisfacción para cada nivel de renta, mientras que la distribución dominada es la que
asocia una mayor satisfacción neta a cada renta. Esto es, en términos de privación, un individuo,
fijado su nivel de renta, entre dos funciones de distribución preferiría aquella cuya gráfica quede por
encima de la otra, lo que supone una preferencia por la desigualdad cuando para su valoración se
utiliza un índice consistente con el criterio de ordenación de Lorenz. Para la satisfacción, sus prefe­
rencias irían en sentido contrario y para la satisfacción neta de nuevo le es más favorable la distribu­
ción dominada. Para el conjunto de la sociedad, la satisfacción neta media es indiferente a la
desigualdad relativa: su valor sólo depende de la renta media para una renta máxima dada.
2.2. Renta y Status. Una generalización del enfoque de Hey y Lambert
Al generalizar el coeficiente de Gini, Yitzhaki (1983) propone una familia de índices de
desigualdad, dependiente de un parámetro, en la que un incremento del valor de dicho parámetro
implica una agregación de los valores de la curva de Lorenz en la que aumenta la ponderación asig­
nada a las rentas más bajas de la distribución y disminuye la correspondiente a las rentas mayores.
Una idea similar es la que subyace en la formulación de la privación y de la satisfacción relativas que
se propone en esta sección. A partir de las definiciones de Hey y Lambert introducimos, en el caso de
la privación, un factor de la forma k(x,λ) = (λ + 1)(1− F(x)) λ , siendo λ ≥ 0 un parámetro y F la función
de distribución de la renta. De este modo, como veremos al estudiar el comportamiento de la función
k (x,λ) , se asigna un mayor peso al valor de la privación asociada a los niveles inferiores de renta y la
privación social media se expresa en función del índice de Gini generalizado. En el caso de la satis­
facción se utiliza un criterio simétrico49 introduciendo el factor h(x, λ) = (λ + 1)(F(x))λ . Ello supone
asignar mayor peso a la satisfacción de los niveles de renta altos y, de hecho, la satisfacción media
49
Parece natural que si la privación asociada al nivel de renta x se pondera en función de la proporción de individuos con renta
mayor que x, 1-F(x), en la satisfacción se considere una ponderación que dependa de la proporción de individuos con renta
menor que x, F(x).
— 60 — de la sociedad se expresa a partir de una FES en la que el interés se centra en el individuo con mayor
renta.
Definición 2.3. La privación de un individuo con renta x respecto a otro con renta z, se
expresa como:
⎪⎧(λ + 1)(1− F(x)) λ PHL (x, z) , z > x
P(x,z) = ⎨
, z ≤ x,
⎪⎩
0
[2.9]
siendo PHL (x,z) la privación en el sentido de Hey y Lambert50.
Con ello, P(x,z) depende de la diferencia de rentas z − x y de la proporción de indivi­
duos cuya renta es mayor que x, con lo cual se introduce en la definición anterior el rango del indivi­
duo con menor renta.
El valor de la privación media asociada al nivel de renta x, vendrá dado por:
x*
P(x) =
∫ (λ + 1)(1 − F(x)) (z − x)dF(z) =
λ
x
= (λ + 1)(1 − F(x))λ [µ(1 − L(F(x))) − x(1− F(x))] =
[2.10]
= (λ + 1)(1− F(x))λ PHL (x).
Es evidente que para λ = 0 es P(x) = PHL (x) . Si λ > 0 , para analizar la incidencia del
factor k (x,λ) , es necesario estudiar su comportamiento respecto al nivel de renta y al parámetro λ .
x*
En primer lugar, al ser
∫ k(x, λ)dF(x) = 1 , la función k (x,λ)
es, efectivamente, una pon­
0
∂k(x,λ)
< 0,
∂x
de forma que la ponderación que se asigna a la privación asociada a los diferentes niveles de renta, a
medida que éstos se elevan, va decreciendo. En los extremos de la distribución es k (x1,λ) = λ + 1 ,
siendo x1 la renta mínima, k (x *,λ) = 0 .
deración. Para un valor fijo de λ , es una función estrictamente decreciente de la renta,
Como función de λ , el comportamiento de k (x,λ) no es uniforme a lo largo de la escala
de rentas. A partir de la expresión:
∂k(x,λ)
= (1− F(x)) λ [1+ (λ + 1)ln(1− F(x))] ,
∂λ
⎧z − x , z > x
Recuérdese la definición PHL (x,z) = ⎨
. En adelante se utilizará HL como subíndice al referirnos a los valores de
z≥x
⎩0 ,
las diferentes magnitudes bajo el enfoque de Hey y Lambert.
50
— 61 — un cálculo sencillo permite afirmar que para niveles de renta “altos”, k (x,λ) es una función decrecien­
te51 de
λ . Para niveles de renta bajos e intermedios, k (x,λ)
presenta un máximo en
−1
λ 0 = −(1+ (ln(1− F(x))) ) , y este valor del parámetro, en el que se alcanza el máximo va disminu­
yendo al crecer el nivel de renta. En definitiva, al aumentar el valor de λ la ponderación para las ren­
tas altas es decreciente y para el resto k (x,λ) es una función que alcanza su valor máximo en niveles
de renta cada vez menores, lo que implica asignar un mayor peso a la privación asociada a los nive­
les inferiores de la distribución.
En la figura 2.1 se representa el comportamiento de la ponderación para distintos niveles
de renta en función del parámetro.
FIGURA 2.1
Ponderción de la satisfacción
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
F(x)=0.1
F(x)=0.5
F(x)=0.9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
lambda
La función P (x ) que asigna a cada nivel de renta su privación media, cumple las propiedades habituales. A partir de [2.10] resulta:
P ′(x) = (λ + 1)(−λf(x)PHL (x)(1− F(x)) λ−1 − (1− F(x)) λ+1 ) < 0 ,
por lo que P (x ) es estrictamente decreciente52, con P (x1 ) = (λ + 1)(µ − x1) , P (x * ) = 0 . Como función
de F (x ) es decreciente, y para rentas inferiores a la moda es convexa cuando λ ≥ 1 .
Proposición 2.4. La privación media para el conjunto de la sociedad coincide con el índice
absoluto de desigualdad µG (λ + 2) , siendo G (λ + 2) el índice de Gini generalizado de orden λ + 2 .
51
Si x es mayor o igual a la séptima decila de la distribución, F(x)≥ 0.7, es
52
Si la distribución es unimodal, a partir de la expresión:
[
P ′′(x) = (λ + 1) (λ + (λ + 1))f(x)(1 − F(x)) λ − λf ′(x)PHL (x)(1 − F(x)) λ−1 +
]
+ λ(λ − 1)f 2 (x)P HL
(x)(1 − F(x)) λ−2
se puede asegurar que P(x) es convexa para rentas mayores que la moda.
— 62 — ∂k(x,λ)
<0.
∂λ
Demostración. El valor esperado de P (x ) es53:
x*
E(P(x)) =
∫
P(x)dF(x) =
0
⎡x*
∫
= µ(λ + 1)⎢ (1− F(x)) λ dF(x) −
⎢
⎣0
⎤
(1− F(x)) λ L(F(x))dF(x)⎥ −
⎥
0
⎦
x*
∫
[2.11]
x*
∫
− (λ + 1) x(1− F(x)) λ+1 dF(x).
0
La
x*
∫ (1− F(x))
λ
primera
dF(x) =
0
de
las
integrales
del
segundo
miembro
es
inmediata:
1
. La segunda, haciendo F (x ) = p y teniendo en cuenta la definición del índi­
λ +1
ce de Gini generalizado, se puede expresar como:
x*
∫
1
∫
(1− F(x)) λ L(F(x))dF(x) = (1− p) λ L(p)dp =
0
0
1 − G(λ + 2)
.
(λ + 1)(λ + 2)
[2.12]
Finalmente, la tercera integral haciendo de nuevo F (x ) = p , teniendo en cuenta que
L′ (p ) = x µ e integrando por partes, es:
x*
∫
1
∫
x(1 − F(x)) λ+1 dF(x) = µ (1− p) λ+1L ′(p)dp =
0
0
1
∫
= µ(λ + 1) (1− p) λ L(p)dp =
0
[2.13]
µ(1− G(λ + 2))
.
(λ + 2)
A partir de [2.11], [2.12] y [2.13], se obtiene:
E(P(X)) = µG(λ + 2) .
[2.14]
Para λ = 0 , caso de la formulación de Hey y Lambert, la privación social media coincide
con el índice absoluto de Gini ordinario, µG . Fijada la renta media, E (P (X )) es una función creciente
de λ de acuerdo con el comportamiento del índice de Gini generalizado en función del parámetro54,
de manera que cuando λ → + ∞ , E (P (X )) → µ − x1 . El papel de valoración distributiva que juega λ en
53
Esta expresión es válida para los casos en que la renta mínima es distinta de cero. Por simplicidad trabajamos con el inter­
valo de rentas [0, x*].
54
Una expresión equivalente a la [A1.5] del Apéndice del capítulo 1, para el índice de Gini generalizado es
1
∫
G(λ) = 1− L´(0) − (1− p) λ L´´(p)dp . Por lo tanto, al ser 1− p < 1 , G(λ) es una función creciente del parámetro.
0
— 63 — el ámbito de la desigualdad se traslada al contexto de la privación, lo que es coherente con el hecho
de que, a nivel individual, al crecer λ se asigna un mayor peso a la privación asociada a las rentas
menores de la distribución.
Si se especifica una función de utilidad de la forma:
U(x,F) = x − P(x) ,
[2.15]
en la que la utilidad de cada individuo viene dada por su propia renta menos la desutilidad derivada
de la privación, U (x ,F ) es creciente y cóncava a partir de la renta modal. Identificando el bienestar
social con la utilidad media, siguiendo el criterio de Bentham, como caso particular de la función de
bienestar de Bergson-Samuelson, se obtiene:
WF = E(U(x,F)) = µ(1− G(λ + 2)) ,
[2.16]
que es una FES consistente con el índice de Gini generalizado.
Cuando λ es entero positivo la expresión anterior tiene un significado interesante tanto
desde el punto de vista del bienestar social, como desde un enfoque estadístico. Para ello, a partir de
la definición del índice de Gini generalizado (expresión [A1.5] del Apéndice de capítulo 1) se conside­
ra la igualdad:
(λ + 2)
G(λ + 2) = 1−
µ
x*
∫ x(1− F(x))
λ+1
dF(x) ,
0
de donde:
x*
∫
µ(1− G(λ + 2)) = (λ + 2) x(1− F(x)) λ+1
dF(x) .
0
Si de la distribución representada por F se extraen muestras aleatorias de tamaño λ + 2 ,
la función de densidad del estadístico de primer orden, X (1) , que asigna a cada muestra su renta
mínima es f1(x) = ( λ + 2)(1− F(x))λ +1f(x) , de modo que se puede escribir:
x*
µ(1− G(λ + 2)) = E(X (1) ) =
∫ xf1(x)dx ,
[2.17]
0
con lo que la función de evaluación social, µ(1− G(λ + 2)) , proporciona el valor esperado de la renta
mínima de una muestra aleatoria de λ + 2 rentas extraídas de F. En otras palabras, la función de
bienestar social [2.16] se puede obtener del siguiente modo: para cualquier muestra de λ + 2 indivi­
duos de la población, su nivel de bienestar se identifica con el nivel de renta del más pobre y el bien­
estar de la sociedad, con la media de los niveles de bienestar de todas las muestras posibles de
tamaño λ + 2 . Desde este punto de vista queda claro el papel que desempeña λ como parámetro de
valoración distributiva. Cuando λ crece, siempre en el conjunto de números enteros, aumenta el ta­
maño de la muestra, pero dentro de ella el interés se centra en el individuo más pobre. Cuando
— 64 — λ → +∞ , la muestra tiende a identificarse con la población y, en tal caso, el bienestar se aproxima a
la renta mínima de la distribución, x1 .
Desde un punto de vista formal para que la satisfacción de un individuo con respecto a
otro se obtenga de forma simétrica a la privación, parece natural definirla del siguiente modo:
Definición 2.4. La satisfacción relativa de un individuo de renta x respecto a otro de ren­
ta z viene dada por:
⎪⎧(λ + 1)F(x) λ S HL (x, z)
S(x,z) = ⎨
⎪⎩
0
x>z
x ≤ z,
[2.18]
siendo SHL (x,z) la satisfacción en el sentido de Hey y Lambert.
La satisfacción media del individuo de renta x se obtiene, como es habitual, agregando
su satisfacción respecto a quienes tienen una renta inferior a la suya:
x
∫
S(x) = (λ + 1)F(x) λ (x − z)dF(z) =
0
[2.19]
= (λ + 1)F(x) λ [xF(x) − µL(F(x))] = (λ + 1)F(x) λ S HL (x).
Cuando λ = 0 , estamos en el caso de Hey y Lambert, mientras que si λ es positivo la
introducción del factor h(x,λ) =(λ + 1) (F(x))λ implica asignar distinto peso a la satisfacción asociada a
los diferentes niveles de renta55. A este respecto es inmediato que el comportamiento de la función
h(x,λ) es simétrico al de la ponderación que hemos utilizado para la privación, k (x,λ) , en el sentido
de que h (x p ,λ) = k (x 1−p ,λ) siendo x p y x1−p cuantilas complementarias. En consecuencia, median­
te h(x,λ) se asigna a la satisfacción asociada a los diferentes niveles de renta, a medida que éstos
se elevan, un peso creciente.
S(x) es una función estrictamente creciente de x, siendo S(x1) = 0 y
S(x*) = (λ + 1)(x * −µ ) . Como función de F(x) es creciente y cuando es λ ≥ 1 , para distribuciones uni­
modales, es convexa a partir de la renta modal.
A partir de [2.19] la satisfacción media de la distribución es:
x*
E(S(X)) =
λ
∫ (λ + 1)F(x) [xF(x) − µL(F(x))]dF(x) =
0
x*
⎡x*
⎤
= (λ + 1)⎢ xF(x) λ+1 dF(x) − µL(F(x)F(x) λ dF(x)⎥.
⎥
⎢
0
⎦
⎣0
∫
∫
x*
55
Nótese que
∫ h(x, λ)dF(x) = 1 .
0
— 65 — [2.20]
Las integrales que aparecen en la igualdad anterior no son de cálculo inmediato ni están
relacionadas, en principio, con expresiones que den lugar a índices de desigualdad de uso habitual
x*
en la literatura. Sin embargo, para valores enteros positivos del parámetro λ
∫ xF(x)
λ+1
dF(x) está
0
estrechamente relacionada con la esperanza de un estadístico de orden. En concreto, si de la distri­
bución representada por F se extraen muestras aleatorias de tamaño λ + 2 , la función de densidad
del estadístico de orden λ + 2 , X (λ+ 2) , que asigna a cada muestra su renta máxima, es
fλ + 2 (x) = (λ + 2)(F(x)) λ + 1 f(x) . Por lo tanto, el valor medio del citado estadístico es:
E(X
(λ+ 2)
)=
x*
x*
0
0
∫ xfλ+2 (x)dx = (λ + 2) ∫
x(F(x))
λ+1
dF(x)
[2.21]
La igualdad anterior admite una interpretación en términos de bienestar que incorpora un
criterio opuesto al maximin rawlsiano, dado que centra el interés en la situación del individuo con ma­
yor renta. La función de bienestar, que representaremos mediante Wλ* + 2 = E(X λ + 2 ) vendría definida
del siguiente modo: el nivel de bienestar de cualquier conjunto de λ + 2 individuos se iguala con el
nivel de renta del más rico y el bienestar de la población con la media de los niveles de bienestar de
todos los conjuntos posibles de tamaño λ + 2 . El papel de λ como parámetro de valoración distributi­
va es inmediato56. Al aumentar su valor crece el tamaño del grupo que estamos considerando como
unidad básica generadora del bienestar pero el interés permanece centrado en el individuo con mayor
*
renta. A medida que λ → +∞ , el bienestar Wλ+
2 se aproxima a la renta máxima de la distribución. En
*
definitiva, Wλ+
2 incorpora el criterio opuesto al que subyace en la FES asociada al coeficiente de Gini
generalizado, que, como se vio, admite una justificación semejante pero centrando el interés en el
nivel de renta del individuo más pobre.
Con la interpretación anterior, la segunda integral que aparece en la igualdad [2.20], ha­
ciendo F(x) = p , integrando por partes y teniendo en cuenta [2.21] se puede escribir como:
x*
∫
0
µL(F(x)F(x) λ dF(x) =
µ
1 Wλ* + 2
−
,
λ +1 λ +1 λ + 2
[2.22]
de manera que:
*
E(S(X)) = Wλ+
2 −µ.
[2.23]
En la siguiente proposición se recogen estos resultados.
Proposición 2.5. Cuando el parámetro λ toma valores enteros positivos, para el conjunto
de la sociedad la satisfacción media es la diferencia entre el bienestar medido a través del valor espera­
do del estadístico de orden mayor en muestras de tamaño λ + 2 y la renta media de la distribución.
56
Cuando λ=2 se obtiene la FES W2* = µ(1 + G) , que incorpora una preferencia por la desigualdad dado que
— 66 — ∂W2*
= µ > 0.
∂G
En particular, para λ = 0 es E (S(X)) = µG , mientras que si λ → +∞ , E (S(X)) → x * −µ .
La satisfacción neta, SN(x) = S(x) − P(x) , es una función estrictamente creciente del nivel
de renta cuyos valores pertenecen al intervalo [(λ + 1) (x1 − µ ),(λ + 1) (x * −µ )] . El cálculo de su valor me­
dio, para el conjunto de la distribución, es inmediato57 aunque el resultado es de difícil interpretación ya
que se combinan criterios opuestos al obtener el valor esperado de la privación (preocupación por los
individuos con menor renta) y el de la satisfacción (preocupación por los individuos con mayor renta).
Privación, satisfacción y dominancia estocástica. Dadas dos distribuciones de renta,
a partir de las expresiones [2.14] y [2.23], se puede establecer en cuál de ellas se alcanza una mayor
privación o satisfacción media para el conjunto de la población, dado que se trata de ordenar núme­
ros reales. Sin embargo, para establecer una preferencia entre distribuciones para niveles de renta
concretos es necesario utilizar, igual que en la sección anterior, criterios relacionados con la domi­
nancia estocástica. Supongamos que F1 y F2 son dos funciones de distribución de la renta y desig­
nemos por Pi (x ) y Si (x ) , i = 1,2 , la privación y la satisfacción del nivel de renta x en la distribución Fi .
Bajo el supuesto de que ambas distribuciones tengan la misma renta media, µ1 = µ 2 = µ y la misma
renta máxima,
p(x) = P1(x) − P2 (x) =
x*
x*
⎤
⎡
= (λ + 1)⎢(1− F1(x)) λ (1− F1(z))dz − (1− F2 (x)) λ (1− F2 (z))dz ⎥ .
⎥
⎢
x
x
⎦
⎣
∫
[
∫
s(x) = S1(x) − S 2 (x) =
]
= (λ + 1)F1(x) λ (xF1(x) − µL(F1(x))) − F2 (x) λ (xF2 (x) − µL(F2 (x))) .
[2.24]
[2.25]
Si F1 presenta dominancia estocástica de primer orden respecto a F2 , lo que implica la
dominancia de segundo orden y órdenes sucesivos, y en sentido de Lorenz generalizado, se puede
afirmar que p (x ) ≥ 0 , para todo x > 0 y, en consecuencia P1 (x ) ≥ P2 (x ) , para todo x > 0 . También es
inmediato comprobar que s (x) ≤ 0 , es no positivo para todo x > 0 y con ello, S1(x ) ≤ S 2 (x ) . En defini­
tiva, la distribución dominante presenta, para cada nivel de renta, mayor privación y menor satisfac­
ción. Empleando los resultados que figuran en la proposición del apéndice relativos a dominancia
estocástica, se puede afirmar que sin conocer los valores de los índices de Gini generalizado, y siem­
pre que las medias de ambas distribuciones coincidan, la privación social media es inferior para la
distribución dominante.
En el caso de que una distribución posea una privación superior para cada nivel de renta
la ordenación global, es decir, la ordenación a través de los valores medios para la satisfacción y
privación, y la ordenación individual, a través de dominancia estocástica, coinciden.
2.3. Análisis de la privación y satisfacción según la formulación del status y generalizada
2.3. para las rentas españolas de 1996
Ajustando el modelo triparamétrico de Dagum a los datos procedentes de la E.C.P.F. para
1996, se obtienen en esta sección las funciones de privación y satisfacción que resultan cuando estos
57
*
E(SN(X)) = E(S(X)) − E(P(X)) = Wλ+
2 − µ(1+ G(λ + 2)) .
— 67 — conceptos se definen a partir de la consideración del status o del status y la renta simultáneamente,
comparando su comportamiento con el de las funciones que derivan del enfoque de Hey y Lambert.
Como ya se ha señalado, cuando la función P (x ) se obtiene comparando el rango de los in­
dividuos en la distribución, juegan un papel destacado tanto la renta máxima, que aparece de forma explí­
cita en su expresión, como la renta modal, que determina el valor a partir del cual la función es convexa.
En la Tabla 2.1, figuran los niveles de renta que son significativos en el análisis.
TABLA 2.1 VALORES DE RENTA SIGNIFICATIVOS 3
Valores 10 ptas.
Media
3283,000
Mediana
2484,100
Moda
1818,300
Renta máxima*
16000
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
* Este valor es el proporcionado por la ECPF para 1996, ya que el
modelo ajustado considera que el valor máximo de la función es infinito.
El Gráfico 2.1 representa la privación en función del nivel de renta. Sus características
responden a las señaladas en la sección 2.1.
GRÁFICO 2.1 PRIVACIÓN RELATIVA DEFINIDA A PARTIR DEL STATUS PARA 1996
P(x)
Privación en miles de ptas.
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
0
2000
xmo
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
Cuando P (x ) se considera como función de la de distribución, su gráfica es estrictamen­
te decreciente y convexa como muestra el Gráfico 2.2.
— 68 — GRÁFICO 2.2 PRIVACIÓN RELATIVA DEFINIDA A PARTIR DEL STATUS RESPECTO A LA
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA 1996
P(x) respecto a F(x)
Privación en miles de ptas.
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
F(x)
Fuente: Elaboración propia. En la Tabla 2.2 se recogen los valores de X, F (x ) y P (x ) . TABLA 2.2
VALORES PARA LA PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA
DEFINIDAS A PARTIR DEL STATUS
3
X 10 ptas.
F(x)
P(x)
S(x)
SN(x)
11800
11120
11280
11440
11600
11760
11920
12080
12240
12400
12560
12720
12880
13040
13360
13840
14160
14800
15760
17680
15200
0,012
0,056
0,094
0,141
0,196
0,253
0,312
0,369
0,424
0,475
0,522
0,565
0,604
0,639
0,699
0,767
0,802
0,854
0,902
0,949
0,990
12532,021
11872,911
11309,155
10615,189
19832,938
19007,540
18178,544
17375,898
16619,501
15920,657
15284,175
14710,384
14196,785
13739,268
12972,751
12120,538
11701,025
11105,213
11584,493
11139,676
1-100,382
1118,097
1151,362
1197,219
1161,800
1243,986
1340,847
1448,560
1563,185
1681,179
1799,630
1916,309
1029,621
1138,496
1242,282
1433,469
1679,723
1819,290
2049,448
2302,765
2613,088
3022,204
-12523,924
-11821,549
-11211,936
-10453,388
-9588,953
-8666,693
-7729,984
-6812,712
-5938,321
-5121,028
-4367,866
-3680,764
-3058,289
-2496,986
-1539,282
-440,815
118,264
944,235
1718,272
2473,412
3122,586
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
— 69 —
La función S (x ) que asigna a cada nivel de renta su satisfacción se representa en el
Gráfico 2.3. Como quedó establecido en la sección 2.2 es una función estrictamente creciente de la
renta y cóncava a partir de la renta modal. Como función de F (x ) , al coincidir con la curva de Lorenz
generalizada es estrictamente creciente y convexa (Gráfico 2.4.). Los valores de X, F (x ) y S (x ) utili­
zados para ambas gráficas figuran en la Tabla 2.2.
GRÁFICO 2.3 SATISFACCIÓN RELATIVA DEFINIDA A PARTIR DEL STATUS PARA 1996 S(x)
Satisfacción en miles de ptas.
3500,00
3000,00
2500,00
2000,00
1500,00
1000,00
500,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
GRÁFICO 2.4 SATISFACCIÓN RELATIVA DEFINIDA A PARTIR DEL STATUS RESPECTO A
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA 1996 Satisfacción en miles de ptas.
S(x) respecto a F(x)
3500,00
3000,00
2500,00
2000,00
1500,00
1000,00
500,00
0,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
F(x)
Fuente: Elaboración propia.
— 70 — La función de satisfacción neta, SN (x ) = S (x ) − P (x ) , estrictamente creciente y cóncava a
partir de la renta modal, se representa en el Gráfico 2.5, mientras que en el Gráfico 2.6 se recoge su
comportamiento en función de F (x ) , en cuyo caso es una función lineal creciente. El nivel de renta,
x1 , a partir del cual SN (x ) es positiva y que satisface la condición F (x1 ) = 1− µ x * es, en el caso de
la distribución que estamos utilizando x1 = 4.160.000 ptas., aproximadamente.
GRÁFICO 2.5 SATISFACCIÓN NETA DEFINIDA A PARTIR DEL STATUS PARA 1996
Satisfacción neta en miles de
ptas.
Satisfacción neta
7000,00
3500,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
-3500,00
-7000,00
-10500,00
-14000,00
Renta
Fuente: Elaboración propia.
GRÁFICO 2.6
PRIVACIÓN RELATIVA GENERALIZADA RESPECTO A LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA 1996
Satisfacción neta respecto a F(x)
Satisfacción neta en miles de
ptas.
14000,00
10500,00
7000,00
3500,00
0,00
0,00
-3500,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-7000,00
-10500,00
-14000,00
F(x)
Fuente: Elaboración propia.
— 71 — 0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
En el Gráfico 2.7 se representan conjuntamente las funciones de privación, satisfacción,
y satisfacción neta en función del nivel de renta, mientras que en el Gráfico 2.8 se realiza la misma
representación en función de los valores de la función de distribución.
GRÁFICO 2.7
PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA FORMULADA A PARTIR DEL STATUS
Privación, Satisfacción y Satisfacción neta
14000,00
10500,00
7000,00
3500,00
0,00
-3500,00 0
-7000,00
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
-10500,00
-14000,00
Renta
SN(x)
P(x)
S(x)
Fuente: Elaboración propia.
GRÁFICO 2.8 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA FORMULADA A PARTIR DEL STATUS RESPECTO A LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Privación, Satisfacción y Satisfacción neta
14000,00
10500,00
7000,00
3500,00
0,00
-3500,000,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-7000,00
-10500,00
-14000,00
F(x)
SN(x)
P(x)
S(x)
Fuente: Elaboración propia.
Los valores de la privación, satisfacción y satisfacción neta social media bajo el enfoque
de preocupación por el status están representados en la Tabla 2.3.
— 72 —
TABLA 2.3 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN SOCIAL MEDIA
Privación social media
-5757,711
Satisfacción social media
-1040,711
Satisfacción neta social media
-4717,000
Fuente: Elaboración propia.
A diferencia de lo que ocurre con el enfoque de Hey y Lambert, la privación y satisfacción so­
cial media no coinciden. Tal y como se ha indicado en este capítulo, en la expresión [2.6], la satisfacción
social media bajo este enfoque es la mitad del bienestar evaluado a través de la REID, 2.081.422 ptas.
Por último, la satisfacción neta social puede considerarse como una función de bienestar social indiferente
a la desigualdad. Su valor es negativo ya que, como se ha indicado en la sección 2.1, esto ocurre cuando
la renta máxima es superior al doble de la renta media, como es el caso.
En la formulación58 que generaliza el enfoque de Hey y Lambert interviene, en las expre­
siones de las funciones de privación y de satisfacción, un parámetro de significado distributivo cuyo
valor contribuye a ponderar de manera diferente los valores de estas funciones para los distintos nive­
les de renta.
La función de privación individual según el nivel de renta, [2.10], es la misma que obtie­
nen Hey y Lambert pero ponderada por un factor que es decreciente respecto el nivel de renta. Esta
función es estrictamente decreciente de la renta y cóncava para aquellos niveles de renta superiores
a la moda, Gráfico 2.9. Al igual que para la formulación de Hey y Lambert, la función de privación
alcanza su máximo para la renta más baja y se anula para la renta más alta. Los valores de la función
de privación son los presentados en la Tabla 2.4.
TABLA 2.4
VALORES DE LA PRIVACIÓN Y SATISFACCIÓN GENERALIZADA, PARA λ = 5
X 10 ptas.
3
F(x)
P(x)
11800
0,012
14029,338
0,000
11120
0,056
9781,679
0,000
11280
0,094
7418,432
0,001
11440
0,141
5274,826
0,014
11600
0,196
3542,115
0,118
11760
0,253
2269,373
0,653
11920
0,312
1402,431
2,645
S(x)
12080
0,369
844,588
8,391
12240
0,424
500,110
21,935
12400
0,475
293,314
49,164
12560
0,522
171,388
97,397
12720
0,565
100,223
174,623
12880
0,604
58,853
288,636
(Sigue)
58
A la que denominaremos en algunas ocasiones “generalizada”.
— 73 —
(Continuación)
X 10 ptas.
3
F(x)
13040
0,639
34,792
446,282
13360
0,699
12,487
912,416
13840
0,767
2,907
2020,666
14160
0,802
1,164
3025,607
14800
0,854
0,213
5578,619
15760
0,902
0,022
10379,220
17680
0,949
0,001
21651,506
15200
0,990
0,000
68607,260
P(x)
S(x)
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
GRÁFICO 2.9
PRIVACIÓN RELATIVA GENERALIZADA PARA 1996, λ = 5
P(x)
Privación en miles de ptas.
20000,00
18000,00
16000,00
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
Por otra parte, a fin de comparar P (x ) [2.10] con PHL (x ) [1.2], interesa estudiar cuando
k (x ,λ ) = (λ + 1)(1 − F(x ))λ es mayor, igual o menor que la unidad. Fijado λ, k (x ,λ ) ≥ 1 si, y sólo si
−1
F(x) ≤ 1− (λ + 1) λ . De este modo, para λ = 1 resultaría k (x ,λ ) ≥ 1 , si x ≤ Me , por lo que la privación
asociada a los niveles de renta inferiores (superiores) a la mediana de la distribución, 2.484.100 ptas.,
en la formulación generalizada, sería mayor (menor) que la propuesta por Hey y Lambert, para λ = 1 .
1
⎡ 1 ⎤λ
En cambio, al aumentar λ , dado que ⎢
⎥ es una función creciente de λ , el nivel de renta por debajo
⎣ 1+ λ ⎦
del cual P (x ) es mayor que PHL (x ) , irá disminuyendo, Gráfico 2.10, de modo que en el límite, cuando
λ → +∞ , en cuyo caso
1
λ
(λ + 1)
→ 1 , esa condición sólo se satisface para la renta mínima de la distribución.
— 74 — GRÁFICO 2.10 PRIVACIONES DE HEY Y LAMBERT Y STATUS Y RENTA PARA DISTINTOS VALORES DEL PARÁMETRO
Privaciones
20000,00
18000,00
16000,00
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Renta
P(x) Lambda=5
P(x) Hey y Lambert
P(x) Lambda=1
Fuente: Elaboración propia.
La función de satisfacción relativa generalizada, [2.20], cumple las propiedades que se
requieren para este tipo de función, es decir, crecimiento respecto a los niveles de renta y convexidad
para las rentas inferiores a la moda, alcanzando su mínimo para la renta más baja y el máximo para
la más alta, Gráfico 2.11. Los valores de esta función de satisfacción se presentan en la Tabla 2.4.
GRÁFICO 2.11
SATISFACCIÓN RELATIVA GENERALIZADA PARA 1996, λ = 5
Satisfacción en miles de ptas.
S(x)
80000,00
70000,00
60000,00
50000,00
40000,00
30000,00
20000,00
10000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000
Renta
Fuente: Elaboración propia.
— 75 — De nuevo, con el fin de comparar la satisfacción que obtienen Hey y Lambert, SHL (x ) [1.8]
con la propuesta que considera el status y la renta, [2.20], se estudian los casos en los que la pondera­
ción, h (x , λ ) = (λ + 1) (F(x ))λ , es mayor o igual (menor o igual) que la unidad. h (x ,λ ) ≥ 1 , fijado λ , para
−1
los niveles de renta que cumplen F(x) ≥ (λ + 1) λ . De este modo, para λ = 1 resultaría que h (x ,λ ) ≥ 1
para aquellos niveles de renta superiores a la renta mediana, x ≥ Me , es decir, a diferencia de lo que
ocurre para la privación, en la función de satisfacción, para λ = 1 , la satisfacción asociada a los niveles
de renta superiores a la mediana es mayor a la obtenida siguiendo la definición de Hey y Lambert. Al
1
1 λ
) es una función creciente de λ , el nivel de renta por encima del cual
aumentar λ , dado que (
λ +1
S (x ) es mayor o igual que SHL (x ) irá aumentando, Gráfico 2.12, de modo que en el límite, cuando
1
λ
+ 1)
λ → +∞ , en cuyo caso (λ
→ 1 , esa condición sólo se satisface para la renta máxima de la distri­
bución. Esto indica que al aumentar λ se obtienen funciones de satisfacción en las que se asigna un
mayor peso a la satisfacción asociada a las rentas altas, tal y como se ha comentado anteriormente.
GRÁFICO 2.12 SATISFACCIÓN DE HEY Y LAMBERT Y STATUS Y RENTA PARA
DISTINTOS VALORES DEL PARÁMETRO
Satisfacción
80000,00
70000,00
60000,00
50000,00
40000,00
30000,00
20000,00
10000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Renta
S(x) Lambda=5
S(x) Hey y Lambert
S(x) Lambda=1
Fuente: Elaboración propia.
Comparando los tres enfoques, de Hey y Lambert, de status y de status y renta o gene­
ralizado, Gráficos 2.13 y 2.14, se puede observar que tanto las funciones de privación como las de
satisfacción cumplen las propiedades que son exigibles para este tipo de funciones. Además, la fun­
ción de privación que considera el status es mayor que la de Hey y Lambert para todos los niveles de
renta. Para la satisfacción ocurre lo contrario. En el caso de la privación y satisfacción generalizada la
posición relativa de cada una de estas funciones respecto de las correspondientes de Hey y Lambert
y de la que considera el status depende del valor que se asigne a λ .
— 76 — GRÁFICO 2.13 COMPARACIÓN DE LAS FUNCIONES DE PRIVACIÓN PARA LOS TRES ENFOQUES
Comparación de las funciones de privación
20000,00
16000,00
12000,00
8000,00
4000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Renta
P(x) lambda=5
P(x) Status
P(x) Hey y Lambert
Fuente: Elaboración propia.
GRÁFICO 2.14
COMPARACIÓN DE LAS FUNCIONES DE SATISFACCIÓN PARA LOS TRES ENFOQUES
Comparación de las funciones de satisfacción
80000,00
70000,00
60000,00
50000,00
40000,00
30000,00
20000,00
10000,00
0,00
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
Renta
S(x) lambda=5
S(x) Status
S(x) Hey y Lambert
Fuente: Elaboración propia.
La privación, satisfacción y bienestar social medio bajo el enfoque generalizado de Hey y
Lambert, están recogidas en la Tabla 2.5.
— 77 — TABLA 2.5
ÍNDICE GENERALIZADO DE GINI, VALOR ESPERADO DEL ESTADÍSTICO DE ORDEN MAYOR, PRIVACIÓN,
SATISFACCIÓN Y BIENESTAR SOCIAL MEDIO EN EL ENFOQUE GENERALIZADO DE HEY Y LAMBERT
G (λ + 2 = 7 )
1110,599
W7*
7684,980
(a)
Privación social media
1968,011
Satisfacción social media
4401,980
Bienestar social medio
1314,989
(a): Valor esperado del estadístico de orden mayor en muestras tamaño 7
Fuente: Elaboración propia.
La privación social media coincide con el índice de Gini absoluto generalizado, mientras
que la satisfacción social media es la diferencia entre el bienestar medido a través del valor esperado
del estadístico de orden mayor en muestras de tamaño 7 (dado que λ=5) y la renta media de la distri­
bución. Respecto al bienestar social medio, podemos decir que si se define a partir de la función de
utilidad [2.15], siguiendo el criterio de Bentham, el bienestar es consistente con el índice de Gini ge­
neralizado. Para nuestro caso el bienestar asciende a 1.314.989 ptas.
2.4. Conclusiones
Dada una distribución de renta sobre los individuos de una población, en la primera sec­
ción se ha propuesto una formulación analítica de los enunciados de Runciman cuando los individuos
muestran una preocupación por el status, de manera que la privación / satisfacción de cada uno de
ellos se obtiene al comparar su rango en la distribución con el de otros miembros de la población.
Bajo este supuesto, la privación asociada a un nivel de renta dado depende de:
– la renta media de la distribución,
– la renta máxima de la distribución,
– de la proporción de individuos con renta superior a la considerada,
– y de la participación de ese grupo en la renta total.
Por otro lado, la satisfacción coincide con el valor de la curva de Lorenz generalizada
en el percentil definido por el nivel de renta en cuestión.
Por su parte, la satisfacción neta es una función lineal creciente de la posición que ca­
da individuo ocupa en la distribución de renta.
Los valores medios de estas funciones se expresan a partir de la desigualdad existente
en la distribución, de su renta media y de su renta máxima.
Localmente, esto es, para cada nivel de renta, una diferencia importante de estos resul­
tados con los que se derivan del enfoque de Hey y Lambert radica en el papel que desempeña, con
relación a la privación, la renta máxima y en el diferente comportamiento de la función de satisfacción
— 78 — neta. El hecho de que dicha función sea creciente y cóncava a partir de la renta modal, permite poder
considerarla como una función de utilidad.
A nivel global, para el conjunto de la sociedad, se ponen de manifiesto al menos dos di­
ferencias importantes entre ambas formulaciones.
a) Mientras que en la de Hey y Lambert coinciden los valores medios de la privación y
de la satisfacción, siendo, por lo tanto, nula la satisfacción neta media, en nuestra
formulación ese valor depende del grado de asimetría hacia la derecha que presente
la distribución de la renta, siendo negativo para toda distribución cuya renta máxima
sea mayor que el doble de la renta media, característica que presentan habitualmen­
te las distribuciones de renta reales.
b) La satisfacción media tiene un carácter muy distinto en ambos casos. En el primero,
se identifica con una medida de desigualdad, el índice absoluto de Gini, mientras
que en nuestra formulación su valor coincide con el de una medida de bienestar so­
cial al ser, salvo una constante, la REID asociada al índice de Gini.
En la segunda sección se propone una formulación que generaliza la de Hey y Lam­
bert, en el sentido de que junto a las diferencias de renta entre los individuos interviene la posición
que ocupa en la distribución el individuo con menor o mayor renta, según que nos estemos refiriendo
a la privación o a la satisfacción. En las definiciones de ambos conceptos figura un parámetro positivo
λ que tiene un significado distributivo análogo al del que aparece en la definición del índice de Gini
generalizado. La incidencia que sobre la privación y la satisfacción, tanto a nivel individual como so­
bre el conjunto de la sociedad, tiene la variación del valor de λ es inversa; esto es, valores crecientes
del parámetro implican asignar mayor peso a las rentas bajas en el cálculo de la privación, mientras
que en el de la satisfacción ponderan más las rentas altas.
Esta formulación permite expresar la privación social media a partir del índice de Gini
generalizado y con ello, especificando una función de utilidad adecuada, se obtiene una función de
evaluación social consistente con dicho índice. En particular, cuando el parámetro es entero positivo
la función de evaluación social resultante admite una interpretación interesante, en términos del valor
medio del estadístico de primer orden asociado a muestras de un tamaño dado, que generaliza el
maximin rawlsiano y que pone de manifiesto el carácter distributivo del parámetro λ .
En el caso de la satisfacción social media, su valor se expresa mediante una función
de bienestar social que incorpora un criterio que viene a ser el opuesto al maximin rawlsiano, en el
sentido de que se identifica con el valor medio del estadístico de orden máximo asociado a una mues­
tra de tamaño dado dependiente de λ , lo que implica identificar el bienestar de cada grupo de indivi­
duos con el nivel de renta del más rico.
En definitiva, con esta formulación no sólo se integra el índice de Gini generalizado entre
aquellos que pueden utilizarse para evaluar la privación media de la sociedad, cuestión que no hemos
visto tratada en la literatura, sino que, en la práctica, se dispone de una familia de funciones de priva­
ción y de satisfacción que dependen de un parámetro que permite incorporar diferentes juicios de valor
en la medición de estas magnitudes, tanto a nivel individual, como para el conjunto de la sociedad.
— 79 — CAPÍTULO 3 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ENTRE POBLACIONES El enfoque de Hey y Lambert (1980) y Yitzhaki (1979, 1982a) permite calcular la priva­
ción social media en una población de unidades económicas cuando la privación entre individuos se
identifica con la diferencia entre sus rentas. En esta sección vamos a extender ese resultado al caso
en que las comparaciones, también basadas en las diferencias de rentas, se realicen entre individuos
de poblaciones diferentes, lo que nos permitirá obtener los valores medios de la privación de una
población respecto a la otra. Es evidente que las conclusiones de Hey y Lambert y Yitzhaki se obten­
drán cuando las variables renta presenten la misma distribución en las poblaciones.
Este punto de vista es particularmente útil cuando se considera la partición de una po­
blación en subpoblaciones homogéneas con relación a algunas características de las unidades que
las componen. Por ejemplo, si los individuos de una población se clasifican según su nivel de estu­
dios, factor que tiene una incidencia relevante en el nivel de ingresos, en varias subpoblaciones, se
puede obtener tanto la privación media en cada subpoblación (derivada de comparar las rentas de
individuos con una formación académica similar), como la existente entre las diferentes subpobla­
ciones. De este modo se obtiene una descomposición aditiva de la privación media existente en
una población, expresándola como la suma de dos componentes, una de las cuales recoge la pri­
vación dentro de cada subpoblación y la otra cuantifica la privación existente entre subpoblaciones,
lo que contribuye a adoptar un enfoque más realista. Como ya se ha señalado, la privación se deri­
va de la desigualdad en la distribución de la renta y aunque parece razonable suponer que los indi­
viduos tienden a considerar relevantes las diferencias de rentas con quienes presentan
características similares a ellos, también cabe suponer la existencia de una especie de “conciencia
de clase” que les lleva a comparar la situación de su grupo, o de la subpoblación de la que forman
parte, con la de otros grupos. Este segundo tipo de comparación responde a lo que Runciman
(1966) denomina privación fraterna. La descomposición de la privación social media, como se de­
muestra más adelante, está estrechamente relacionada con la del índice de desigualdad de Gini
propuesta por Dagum (1997a).
En particular, cuando se considera una ordenación creciente de las rentas de una pobla­
ción y las subpoblaciones se identifican con intervalos disjuntos de renta, de manera que sus respec­
tivas funciones de distribución son distribuciones truncadas obtenidas a partir de la existente en la
población total, el análisis se simplifica. En este supuesto, al no existir solapamiento entre las subpo­
blaciones sólo tiene sentido el obtener la privación de una subpoblación con respecto a otra cuyas
rentas sean mayores, ya que en caso contrario la privación es nula. El caso más simple, para el que
se obtienen resultados de sencilla interpretación, se presenta cuando un nivel de renta (cualquier
cuantil, la renta media, el umbral de pobreza,...) determina dos subpoblaciones.
El tipo de cuestiones que se abordan en este capítulo también pueden tratarse cuando la
privación (satisfacción) entre individuos se formula a partir de sus posiciones relativas en sus respec­
tivas distribuciones de renta, esto es, bajo la hipótesis de preocupación por el status. Hemos optado
por realizar un análisis detallado de la privación entre poblaciones y subpoblaciones bajo el enfoque
de Hey, Lambert y Yitzhaki (basado en la comparación de los niveles de rentas) debido, en primer
lugar, a que su tratamiento analítico es más sencillo y, sobre todo, porque las conclusiones que se
obtienen presentan conexiones de interés con resultados que son clásicos tanto en el análisis de la
desigualdad en la distribución de la renta, como con otros relacionados con la medición del efecto
redistributivo y de la progresión de un impuesto sobre la renta, que serán consecuencia de la compa­
ración de la privación media en una población antes y después de que sobre su distribución de renta
incida un impuesto. Esto último se analiza en el capítulo quinto. No obstante, en la sección 3.5 de
este capítulo se obtienen e interpretan los valores medios de la privación, satisfacción y satisfacción
neta entre dos poblaciones cualesquiera, bajo el supuesto de que el interés de los individuos se cen­
tre en su status.
— 83 — 3.1. Definiciones y resultados básicos
Sean A i y A j dos poblaciones de unidades económicas en las que la variable renta tie­
ne como funciones de distribución F i y Fj , siendo f i y f j las funciones de densidad, con medias µ i y
µ j , respectivamente. En ambas poblaciones sus unidades se identifican con sus niveles de renta, de
manera que, en lo sucesivo, con la notación z ∈ A i nos referimos a un individuo de la población i-ésima
que percibe una renta z.
Definición. Si x ∈ A i e y ∈ A j la privación de un individuo con renta x en la población
A i respecto a un individuo con renta y en la población A j , Pij (x ,y ) , viene dada por:
⎧ y − x, si y > x
Pij (x, y) = ⎨
si y ≤ x.
⎩0,
[3.1]
Al realizar la comparación de x con todas las rentas de A j , la privación media de x ∈ A i
respecto a la población A j será:
∞
∞
∫
∞
∫
∫
Pij (x) = Pij (x, y)dFj (y) = Pij (x, y)dFj (y) = ydFj (y) − x(1− Fj (x)) =
0
x
x
x
∫
= µ j − ydFj (y) − x(1− Fj (x)) = µ j (1− L j (Fj (x))) − x(1− Fj (x)) =
[3.2]
0
= (1− Fj (x))(µ j (x + ) − x),
siendo µ j (x + ) la renta media de quienes en A j perciben rentas mayores o iguales que x. Por lo tanto,
Pij (x ) es el producto de la proporción que en A j representa el conjunto de unidades con rentas ma­
yores que x y de la diferencia entre la renta media de ese conjunto y el nivel de renta x.
La privación media de la población A i respecto a la población A j , que denotaremos por
Pij , vendrá dada por:
∞
∫
Pij = E i (Pij (X)) = Pij (x)dFi (x).
[3.3]
0
Proposición 3.1. La privación media Pij admite la siguiente expresión:
Pij = E i (xFj ) + E j (xFi ) −µ i .
[3.4]
Demostración. A partir de [3.2] y [3.3], y teniendo en cuenta el recinto de integración pa­
ra la integral doble que aparece en el desarrollo, resulta:
— 84 — ∞x
Pij = µ j −
∫∫
∞
∫
ydFj (y)dFi (x) − µi + xFj (x)dFi (x) =
0 0
0
∞
∞
∫
∫
= µ j − µ i + Ei (xFj) − ydFj (y) dFi (x) =
0
y
∞
∫
= µ j − µi + Ei (xFj ) − y(1− Fi (y))dFj (y) =
0
= µ j − µ i + Ei (xFj ) − (µ j − E j (yFi
)) =
= Ei (xFj ) + E j (xFi ) − µ i .
Los resultados anteriores se obtienen con independencia de la relación existente entre
las rentas medias de las poblaciones. Es evidente que, en general, en la distribución con mayor (me­
nor) renta media pueden existir unidades cuyo nivel de renta sea menor (mayor) que la de otras per­
tenecientes a la población de menor (mayor) renta media, ya que, en general existirá solapamiento
entre las distribuciones de ambas poblaciones.
Análogamente se define la privación de A j respecto a A i . En este caso, si x ∈ A i e
y ∈ A j , es:
⎧x − y,
Pji (y, x) = ⎨
⎩0,
si x > y
si x ≤ y.
[3.5]
La privación media de y ∈ A j viene dada por:
∞
∫
Pji (y) = Pji (y, x)dFi (x) = (1− Fi (y))(µ i (y + ) − y),
[3.6]
y
mientras que la privación media de la población A j , respecto a la población A i es:
Pji = E j (Pji (y)) = E i (xFj ) + E j (xFi ) − µ j .
[3.7]
Una forma alternativa y más sugerente de expresar las privaciones medias existentes
entre dos poblaciones se obtiene a partir de la diferencia media de Gini, ∆ ij , entre ambas distribucio­
nes de renta59, como se prueba en la siguiente proposición.
Proposición 3.2. Si ∆ ij = E( Y − X ) es la diferencia media de Gini entre las distribucio­
nes de renta existentes en las poblaciones A i y A j , se verifica:
59
Se
define
como
la
media
del
valor
absoluto
de
∞∞
es: ∆ ij = E( X − Y ) =
∫∫ y − x dF (x)dF (y).
j
i
00
— 85 — la
diferencia
de
las
variables
renta.
Esto
Pij + Pji = ∆ ij,
Pij − Pji = µ j − µ i ,
y, en consecuencia:
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij ,
2
2
Pij = E i (Pij (X)) =
Pji = E j (Pji (Y)) =
1
1
(µ i − µ j ) + ∆ ij .
2
2
[3.8]
Demostración.
∞∞
∆ ij = E( X − Y ) =
∫ ∫ y − x dFi (x)dFj (y) =
00
=
∞y
∞∞
00
0y
∫∫ (y − x)dFi (x)dFj (x) + ∫ ∫ (x − y)dFi (x)dFj (x) =
∞∞
=
∫∫
∞∞
(y − x)dFj (x)dFi (x) +
0x
∫ ∫ (x − y)dFi (x)dFj (x),
0y
y teniendo en cuenta que:
∞∞
Pij =
∫∫
∞∞
(y − x)dFj dFi ,
Pji =
0x
∫ ∫ (x − y)dFidFj ,
0y
se obtiene:
∆ ij = E( X − Y ) = Pij + Pji .
Por otro lado, de las expresiones [3.4] y [3.7], resulta:
Pij − Pji = µ j − µ i .
A partir de las dos igualdades anteriores resultan las enunciadas en la proposición.
Las expresiones [3.8] ponen de manifiesto que la privación media entre dos poblaciones
depende por una parte de la diferencia entre sus rentas medias y, por otra, del grado de desigualdad
existente entre ambas poblaciones evaluado a través de su diferencia media de Gini.
Si la satisfacción la formulamos, como es habitual, como concepto simétrico y contra­
puesto al de privación, la satisfacción de una unidad con renta x en la población A i respecto a otra
que en A j tenga renta y será:
⎧x − y, si x > y
S ij (x, y) = ⎨
si x ≤ y.
⎩0,
— 86 — [3.9]
De este modo la satisfacción media de x respecto a A j , S ij (x ) , y la satisfacción media
de la población A i respecto a A j , se expresan mediante las igualdades:
x
∫
S ij (x) = (x − y)dFj (y) = Fj (x)(x − µ j (x − )),
[3.10]
0
Sij = E i (Sij (X)) = Ei (xFj ) + E j (yFi ) − µ j = E j (Pji (y)) = Pji
En consecuencia, aplicando la proposición anterior:
S ij =
1
1
(µ i − µ j ) + ∆ ij .
2
2
[3.11]
Por lo tanto, la satisfacción media del individuo con renta x, en la población A i respecto
a quienes en A j tienen rentas menores que la suya, es el producto de la proporción que tales indivi­
duos representan en esa subpoblación y de la diferencia entre x y la renta media del citado grupo,
mientras que la satisfacción media de la población A i respecto a la población A j , coincide con la
privación media de A j respecto a A i . Es decir, el hecho de que la privación y la satisfacción entre
poblaciones sean conceptos contrapuestos pero simétricos se refleja en la igualdad de sus valores
medios cuando se compara una población con otra en ambos sentidos.
Análogamente, cuando se comparan las unidades de la población A j con las de A i , se obtiene:
y
∫
S ji (y) = (y − x)dFi (x) = Fi (y)(y − µ i (y − )),
[3.12]
0
S ji = Ei (S ji (Y)) = Pij =
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij .
2
2
[3.13]
En lo que se refiere a la satisfacción neta, la asociada al nivel de renta x ∈ A i , respecto a
la población A j es, teniendo en cuenta las igualdades [3.2] y [3.10]:
SNij (x) = S ij (x) − Pij (x) = x − µ j ,
[3.14]
la diferencia entre la renta x y la renta media de A j , de manera que la satisfacción neta media de A i
respecto a A j es:
SNij = E i (SNij (x)) = µ i − µ j .
Análogamente, si y ∈ A j , su satisfacción neta respecto a la población A i es:
SN ji (y) = S ji (y) − Pji (y) = y − µ i ,
— 87 — [3.15]
mientras que la satisfacción neta media de A j respecto a A i es:
SN ji = E j (SN ji (y)) = µ j − µ i .
Por lo tanto, al comparar una población con otra en términos de satisfacción neta media,
se obtiene como resultado la diferencia entre las respectivas rentas medias (la de la población con la
que comparamos menos la de la población que se compara).
Las expresiones que nos proporcionan los valores medios de la privación, satisfacción y
de la satisfacción neta entre las poblaciones A i y A j , coinciden con las obtenidas por Dagum (1980,
1985, 1987) en un contexto diferente, al proponer distintas distancias entre distribuciones de renta.
1
1
Así, bajo la condición µ j > µ i , S ji = (µ j − µ i ) + ∆ ij coincide con la distancia d1 propuesta por Da­
2
2
gum60 a la que denomina “afluencia económica bruta” de la población A j respecto a la población A i ,
mientras que la satisfacción neta, SN ji = µ j − µ i , se identifica con lo que, en los citados trabajos, se
denomina “afluencia económica media neta” de A j respecto a A i .
3.2. Descomposición del índice de Gini, de la privación/satisfacción y del bienestar en y
3.2. entre subpoblaciones
A partir de la descomposición del índice de Gini propuesta por Dagum (1997a, 1997b) y
de los resultados obtenidos en el epígrafe anterior, se puede realizar una descomposición aditiva de
los valores medios de la privación, de la satisfacción, y del bienestar en una población, de la que se
considera una partición finita en subpoblaciones, cuantificando la contribución a dichos valores de la
privación, satisfacción y bienestar en cada subpoblación, junto a la aportación al valor medio global
de los valores de esas magnitudes entre las subpoblaciones. Esta cuestión no la hemos visto tratada
en la literatura, salvo en Yitzhaki (1982a) y Kakwani (1984d). Sin embargo, el primero de esos traba­
jos se limita a analizar un caso particular: las distribuciones de renta de las poblaciones no presentan
solapamiento. Esto es, en el enfoque de Yitzhaki cada subpoblación se identifica con un intervalo de
renta y se supone que tales intervalos, disjuntos dos a dos, están ordenados según valores crecientes
de la variable renta. Aún en ese supuesto, al realizar la descomposición de cada una de esas magni­
tudes, la componente que recoge la privación o el bienestar entre subpoblaciones se expresa como
una suma en la que no queda especificado el resultado de comparar los distintos pares de subpobla­
61
ciones. Ello es consecuencia de que Yitzhaki no llega a definir la privación entre dos subpoblaciones
y aunque su punto de partida es el enfoque de Runciman (1966), sólo formula la denominada priva­
ción egoísta, la que experimentan los individuos con relación a los miembros de su mismo grupo,
pero no la privación fraterna o entre grupos.
En el trabajo de Kakwani (1984d) se considera una descomposición del índice de Gini
menos adecuada que la de Dagum para la finalidad del análisis que realizamos, lo que da lugar a
expresiones de más difícil interpretación. Tampoco se aborda en ese trabajo la descomposición del
bienestar.
60
En estas medidas, aunque Dagum emplee el término distancia, no se satisface el axioma de simetría, ya que para su cálculo
se toma como referencia la distribución con mayor media. En Imedio (1996), capítulo 2, se hace un análisis detallado de esta
cuestión.
61
La componente que recoge la privación entre subpoblacioens la obtiene como la diferencia entre la privación media de la
población total y el valor de la privación en las subpoblaciones.
— 88 — Nuestro enfoque es totalmente general, ya que al formular el concepto de privación entre
dos poblaciones cualesquiera, con sendas distribuciones de renta, estamos en condiciones de abor­
dar las cuestiones que nos planteamos con independencia del criterio utilizado para definir las subpo­
blaciones y, a la vez, cuantificar tanto la privación en cada una de ellas, como la existente entre cada
par de subpoblaciones, junto a sus respectivas ponderaciones en el valor medio global.
Sea A una población de unidades económicas, cuyo tamaño es n, en la que se contem­
pla una partición en k subpoblaciones, A1 , A 2 , K , A k , homogéneas respecto de alguna característi­
ca de sus elementos (nivel de estudios del sustentador principal, número de miembros de la
ni = n . Supongamos que la distribución de la
familia,...), de tamaños respectivos n i , 1 ≤ i ≤ k ,
∑
i
renta en A está representada por una función de distribución F con media µ e índice de Gini G, y en
cada A i , mediante una distribución F i con media µi i e índice de Gini Gi , 1 ≤ i ≤ k .
Si la privación (satisfacción) entre las unidades económicas se formula mediante la
diferencia de rentas, los resultados de la sección 1.2.1.del capítulo primero permiten afirmar que
la privación (satisfacción) media asociada a la población total, P, y a cada una de las subpobla­
ciones, P i 1 ≤ i ≤ k , coincide con los índices absolutos de Gini de sus respectivas distribuciones
de renta:
P = S = E(P(X)) = µG,
Pi = S i = E i (Pi (X i )) = µ iGi , 1≤ i ≤ k,
[3.16]
mientras que las privaciones (satisfacciones) medias entre las subpoblaciones se expresarán, según
se demostró en la sección anterior, como:
Pij = S ji = E i (Pij (X i )) =
Pji = Sij = E j (Pji (X j )) =
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij , 1 ≤ i, j ≤ k, i ≠ j,
2
2
[3.17]
1
1
(µi − µ j ) + ∆ij, 1≤ i, j ≤ k, i ≠ j,
2
2
[3.18]
siendo ∆ ij = ∆ ji = E( X i − X j ) , la diferencia media de Gini entre las distribuciones de renta de las
subpoblaciones i-ésima y j-ésima.
A partir de las igualdades anteriores parece natural interesarse por la relación existente
entre la privación (satisfacción) media de la población total, las privaciones (satisfacciones) medias
dentro de cada una de las subpoblaciones y los valores medios de la privación (satisfacción) entre
las mismas. Esas mismas igualdades sugieren una cierta analogía entre esa posible relación y la
descomposición aditiva de la desigualdad total de la distribución de la renta en una población me­
diante dos componentes: una que recoge la desigualdad interna que existe dentro de cada subpo­
blación, y otra que cuantifica la parte de la desigualdad total que se puede atribuir a la desigualdad
entre las subpoblaciones. Con esta finalidad vamos a utilizar la descomposición del índice de Gini
de una población, propuesta por Dagum (1997a), cuando en ella se considera una partición en k
subpoblaciones.
— 89 — 3.2.1. Descomposición del índice de Gini
Si s j y q j representan, respectivamente, las participaciones de la subpoblación j-ésima
en el tamaño poblacional y en la masa total de renta:
sj =
nj
n
,
qj =
n jµ j
nµ
,
j = 1, 2,..., k.
Dagum demuestra que el índice de Gini de la población total se puede expresar como
una media ponderada:
k
G=
∑ siq jGij ,
[3.19]
i,j=1
siendo Gii = Gi el índice de Gini de la subpoblación i-ésima y Gij = G ji , el índice de Gini entre las
distribuciones de las subpoblaciones i-ésima y j-ésima, utilizando como ponderaciones los produc­
tos62 s i q j . La igualdad anterior puede escribirse también como:
G = G d + G es ,
[3.20]
∑ s i q i Gi ,
[3.21]
Gd =
i
Ges =
∑ s iq jGij ,
[3.22]
i≠ j
siendo Gd y Ges las componentes que cuantifican la desigualdad dentro y entre las subpoblaciones,
respectivamente.
Conviene observar que en la descomposición anterior63 la desigualdad entre las subpo­
blaciones no se calcula teniendo en cuenta solamente el valor de la renta media de cada subpobla­
ción, lo que implicaría el estar cuantificando la desigualdad existente entre dichas medias y no la
∆ ij
desigualdad entre las distribuciones, sino que al ser Gij =
se establecen comparaciones entre
µi + µ j
todos los pares de rentas de ambas distribuciones, dado que ∆ ij = E( X i − X j ) . Este punto de vista
coincide con el que hemos adoptado al definir la privación (satisfacción) entre dos poblaciones, cuyo
valor medio depende de la diferencia entre sus rentas medias pero también de la desigualdad exis­
tente entre sus distribuciones, ya que por definición, comparamos todos los pares de rentas
x i ,x j ∈ A i × A j .
(
62
)
Nótese que ∑ ∑ s i q j = (∑ s i )(∑ q j ) = 1 .
i j
i
j
63
Una descomposición análoga, aunque dando una formulación distinta a la desigualdad existente entre las subpoblaciones,
es la que propusieron Mukherjee y Shorrocks (1982). En Lambert y Aronson (1992) se utilizan análisis gráficos para obtener
interpretaciones de las componentes de la descomposición del índice de Gini, en términos de áreas sobre diagramas que
representan curvas de Lorenz y de concentración.
— 90 — 3.2.2. Descomposición de la privación/satisfacción
A fin de establecer una descomposición de la privación (satisfacción) media de la pobla­
ción total, que coincide con el índice absoluto de Gini de su distribución de renta, µG , si se multipli­
can los dos miembros de las igualdades [3.21] y [3.22] por la renta media global, y teniendo en cuenta
[3.20], obtenemos:
k
µG = µG d + µG es =
∑
k
s i2 µ i Gi +
i=1
∑ s i s jµ jGij .
i,j=1
i≠j
En el segundo sumatorio de la igualdad anterior es Gij = G ji , de manera que si se agru­
pan sus correspondientes sumandos se tiene que:
sis jµ jGij + s jsiµiGji = sis j (µi + µ j )Gij ,
con lo cual:
k
µG es =
∑ s i s jµ jGij = ∑ s i s j (µ i + µ j )Gij ,
i,j=1
i≠j
i,j
i<j
y teniendo en cuenta, a partir de [3.17] y [3.18], que:
Pij + Pji = ∆ ij = (µ i + µ j )Gij = S ji + S ij ,
resulta:
µG es =
∑ s i s j (Pij +P ji ) = ∑ s i s j (S ji +S ij ).
i,j
i<j
i,j
i<j
Por lo tanto, la privación (satisfacción) media en la población total, P = S = µG , admite la
descomposición:
P = Pd + Pes ,
S = S d + S es ,
[3.23]
siendo:
k
Pd = µG d =
∑ s i2Pi ,
[3.24]
i=1
k
S d = µG d =
∑ s i2Si ,
i=1
— 91 — [3.25]
las componentes que recogen la contribución a la privación (satisfacción) media total de la privación
(satisfacción) existente dentro de las subpoblaciones, mientras que,
Pes = µG es =
∑
k
s i s j (Pij + Pji ) =
i,j
i<j
S es = µG es =
∑
∑ s i s jPij ,
[3.26]
i,j=1
i≠j
k
s i s j (S ji + S ij ) =
i,j
i<j
∑ s i s jS ji .
[3.27]
i,j=1
i≠j
cuantifican la contribución a P (a S) de la privación (satisfacción) entre subpoblaciones64.
A partir de los resultados anteriores es inmediato el obtener conclusiones sobre la satis­
facción neta. Como es sabido, cuando la privación (satisfacción) entre dos individuos se formula a
partir de la diferencia entre sus rentas, la satisfacción neta media de la población y la de cada subpo­
blación son nulas, lo que implica que también lo será la satisfacción neta total entre subpoblaciones.
En efecto, de [3.26] y [3.27] resulta:
k
SN es = S es − Pes =
∑
k
s i s j (S ij − Pij ) =
i,j=1
i≠j
∑
k
s i s j (SNij ) =
i,j=1
i≠j
∑ s i s j (µ i − µ j ) =0,
i,j=1
i≠j
ya que al considerar todos los pares de subpoblaciones (i, j), i ≠ j , se verifica:
SNij = µ i − µ j = −SN ji ,
de manera que en la suma anterior sus sumandos se anulan dos a dos.
3.2.3. Descomposición del bienestar
Si el bienestar lo definimos como la utilidad media asociada a una función de utilidad65
de la forma:
U(x) = x − P(x),
el bienestar medio de la población total es:
W = µ(1 − G) = µ − P,
[3.28]
y la descomposición que hemos realizado para la privación media de la población inducirá otra des­
composición de ese tipo referente al bienestar. Para cada subpoblación, su bienestar medio es:
64
Las ponderaciones en Pd (Sd) son los cuadrados de las participaciones de cada subpoblación en el tamaño de la población
n
2
total, si , mientras que en Pes (Ses) son los productos cruzados sisj. Al considerar ambas se verifica
∑s s
i j
=1.
i,j=1
65
Sus propiedades y la conveniencia de su utilización pueden verse en la sección 1.2.1 del capítulo primero.
— 92 — Wi = µ i (1− Gi ) = µ i − Pi ,
1 ≤ i ≤ k,
[3.29]
y teniendo en cuenta la igualdad [3.28], si la renta media de la población total se descompone aditi­
vamente como:
k
µ=
∑
k
s i q jµ =
i,j =1
∑
k
s i s jµ j =
i,j =1
∑
k
s i2 µ i +
i =1
∑ si s jµ j ,
[3.30]
i,j=1
i≠ j
se obtiene:
W = Wd + Wes ,
[3.31]
k
∑ s i2 Wi ,
[3.32]
∑ s i s j (µ j − Pij )
[3.33]
Wd =
i=1
k
Wes =
i,j=1
i≠ j
El primer sumando, Wd , es la aportación al bienestar medio global del bienestar existen­
te dentro de las subpoblaciones y se expresa como una suma ponderada de los niveles de bienestar
en cada subpoblación. El segundo sumando, Wes , se interpretaría, por analogía con las descomposi­
ciones anteriores, como la contribución a W del bienestar entre subpoblaciones. Esto último requie­
re, no obstante, alguna puntualización, dado que en la literatura no es habitual esta terminología66. Si
se considera el par de poblaciones (i, j), i ≠ j , y sus respectivas aportaciones a la suma Wes :
s i s j (µ j − Pij ) + s i s j (µ i − Pji ) = s i s j ((µ i − Pij ) + (µ j − Pji )),
parece razonable identificar el bienestar de la subpoblación i respecto a la subpoblación j, Wij , como
la diferencia entre la renta media µi y la privación media de i con relación a j. Esto es:
Wij = µ i − Pij .
[3.34]
Esta igualdad también se puede expresar como Wij = µ i − S ji , por lo que el bienestar de i
respecto a j es la diferencia entre la renta media de i y la satisfacción media de j con respecto a i.
Análogamente:
Wji = µ j − Pji = µ j − S ji ,
66
Se hace alusión al término “bienestar entre subpoblaciones” en Yitzhaki (1982a), aunque en un contexto menos general que
en el que aquí nos situamos.
— 93 — y, haciendo uso de la proposición 3.2, se verifica:
Wij + Wji = (µ i + µ j )(1− Gij ),
suma que siempre es positiva, si bien uno de sus sumandos puede ser negativo. De este modo, la
contribución al bienestar social medio del bienestar entre subpoblaciones, se expresa como:
Wes =
∑ s i s j (Wij + Wji ).
i,j
i< j
Una forma alternativa de expresar las aportaciones del bienestar en y entre subpoblacio­
nes al bienestar medio de la población es:
k
Wd =
∑
i=1
k
s i2 µ i −
k
Wes =
∑
i,j=1
i≠ j
∑
i=1
k
s i2Pi =
∑ s i2 µ i − Pd ,
k
s is jµ i −
∑
[3.35]
i=1
k
s i s jPij =
i,j=1
i≠ j
∑ s i s jµ i −Pes ,
[3.36]
i,j=1
i≠ j
mediante la que se pone de manifiesto una clara analogía formal con las expresiones [3.28], [3.29],
[3.35] y [3.36], en el sentido de que en cada contexto (población total, en subpoblaciones, entre sub­
poblaciones,...) el bienestar se expresa como la diferencia entre una renta media (la de la población o
la de la subpoblación ) o una componente de la renta media poblacional67 y la privación media co­
rrespondiente.
En definitiva, si la utilidad de cada individuo viene dada por la diferencia entre su renta y
la desutilidad derivada de su privación, al identificar el bienestar social con el valor medio de la utili­
dad así definida, la descomposición de la privación media induce una descomposición formalmente
análoga del bienestar (igualdades [3.35] y [3.36]) en la cual el bienestar de una subpoblación con
respecto a otra se define mediante [3.34].
3.2.4. Casos particulares
Es interesante el obtener las descomposiciones de las que nos ocupamos en esta sec­
ción en algunos casos particulares, para los que se obtienen igualdades más sencillas.
1. Si las subpoblaciones tienen la misma renta media, µ1 = µ 2 = K = µk = µ , es
Pij = Pji = S ji = Sij = (1 2)∆ ij = µGij ,SNij = SN ji = 0 , de modo que:
67
Nótese que según la descomposición [3.30] de la renta media,
las subpoblaciones, mientras que
k 2
∑ s i µ i es una suma ponderada de las rentas medias de
i=1
k
∑ sis jµi es otra suma de ese tipo en las que las ponderaciones son los productos de las
i, j = 1
i≠ j
participaciones de todos los pares posibles de subpoblaciones distintas en el tamaño de la población total.
— 94 — P = S = µG,
k
Pd = S d = µ
∑
i=1
k
s i2 Gi ,
Pes = S es = µ
∑ s i s jGij ,
i,j=1
i≠ j
W = µ(1− G),
k
Wd = µ
k
∑ s i2 (1− Gi ) = ∑ s i2 Wi ,
i=1
Wes = µ
i=1
k
k
i,j=1
i≠ j
i,j=1
i≠ j
∑ s i s j (1− Gij ) = ∑ s i s j Wij .
En este caso la descomposición de la privación (satisfacción) media de la población es,
salvo un factor de proporcionalidad –la renta media poblacional–, idéntica a la del índice de Gini y
también es formalmente análoga la referente al bienestar.
2. Si las distribuciones de renta de las k subpoblaciones son igualitarias ( Gi = 0
1 ≤ i ≤ k , y ci , 1 ≤ i ≤ k , es el valor constante que toma la variable renta en la población i-ésima) la
privación (satisfacción) en cada una de ellas es nula (Pi = Si = 0 ) , con lo cual es Pd = S d = 0 , y la
privación (satisfacción) media de la población total coincide con la existente entre las subpoblaciones.
Por otra parte, bajo este supuesto es ∆ ij = ci − c j , de modo que si i ≠ j , se tiene:
1
1
(c j − c i ) + c j − c i = (c j − c i ) + ,
2
2
1
1
Pji = S ji = (c i − c j ) + c i − c j = (c i − c j ) + ,
2
2
SNij = −SN ji = c i − c j ,
Pij = S ij =
igualdades en las que al utilizar el signo + como superíndices nos referimos a la parte positiva68 del
correspondiente número real. Por lo tanto:
k
P = Pes =
∑ s i s j (c j − c i ) + = S = S es = µG,
i,j=1
i≠j
Pd = S d = 0.
Con relación al bienestar es:
⎧2c
⎪ i − c j , si c j ≥ c i
Wij = µ i − Pij = c i − (c j − c i ) + = ⎨
si c j < c i ,
⎪⎩c i ,
y al considerar la ecuación simétrica que corresponde a Wij , se obtiene:
Si r es un número real cualquiera, su parte positiva se define como r =máx (r, 0). Con ello r ≥0 y se verifica que
1
1
+
r = (r + r ) . Análogamente, la parte negativa de r es r − = (r − r ) por lo que r = r + + r − .
2
2
68
+
— 95 — +
⎧2c
⎪ i,
Wij + Wji = ⎨
⎩⎪2c j ,
si c i < c j
si c i ≥ c j ,
de modo que:
Wij + Wji = 2min(c i ,c j ).
En definitiva, la descomposición para el bienestar social medio es:
W = µ(1− G) = Wd + Wes
,
k
Wd=
∑ s i2 c i ,
i=1
k
W es =
∑
k
∑ s i s jmin(c i , c j ).
s i s j (Wij + Wji ) = 2
i,j=1
i≠j
i,j=1
i≠j
3. Si la variable renta presenta en cada subpoblación la misma distribución, con media µ e
índice de Gini G, es P = Pi = Pij = Sij = Si = S = µG , SNij = 0 , W = Wi = Wij = µ(1− G) , de manera que:
⎛ k
⎞
Pd = S d = ⎜
s i2 ⎟µG,
⎜
⎟
⎝ i=1 ⎠
⎛
⎞
⎜ k
⎟
Pes = S es = ⎜
s i s j ⎟µG,
⎜
⎟
⎜ i,j=1
⎟
i≠j
⎝
⎠
⎞
⎛ k
Wd = ⎜
s i2 ⎟µ(1− G),
⎜
⎟
⎝ i=1 ⎠
⎛
⎞
⎜ k
⎟
Wes = ⎜
s i s j ⎟µ(1− G).
⎜
⎟
⎜ i,j=1
⎟
⎝ i≠j
⎠
∑
∑
∑
∑
En particular, si, además, las subpoblaciones son del mismo tamaño (ni = n k ,1 ≤ i ≤ k ) ,
la población total es una k-réplica de ellas y se tiene:
Pd = S d =
Wd =
1
µG,
k
Pes = S es =
1
µ(1− G),
k
Wes =
k −1
µG,
k
k −1
µ(1− G).
k
En este supuesto, el reparto en y entre es una fracción, que depende exclusivamente del
número de subpoblaciones, de las respectivas magnitudes globales. Si la población total está parti­
cionada en dos subpoblaciones idénticas, en distribución y en tamaño, la privación (satisfacción)
media y el bienestar medio en y entre coinciden, siendo:
µG
,
4
µ(1− G)
W1 = W2 =
,
4
P1 = P2 = S1 = S 2 =
Pd = Pes = S d = S es =
Wd = Wes =
— 96 — µG
,
2
µ(1− G)
.
2
Cuando la distribución de rentas de las subpoblaciones no se solapan, lo que equivale a
realizar la partición de la población total según los niveles de renta de las unidades que la componen,
se obtienen resultados más sencillos y de interpretación más intuitiva. Este caso se analiza en el si­
guiente epígrafe.
3.3. Privación, satisfacción y bienestar en y entre subpoblaciones cuyas distribuciones de
3.2. renta no se solapan
Supongamos que [x m ,x *] es el rango de la variable renta y consideremos k subpobla­
ciones
determinadas
por
los
niveles
de
renta
xi ,
0≤i≤k,
que
satisfacen
x m = x 0 < x1 < K < x k = x * , de manera que la subpoblación i-ésima se identifica con el intervalo
A i = [x i−1 ,x i ] , 1 ≤ i ≤ k . Para realizar la descomposición de las magnitudes objeto de estudio es nece­
sario, como cuestión previa, obtener las expresiones de las características de las distribuciones trun­
cadas que resultan al restringir la distribución de la renta sobre la población total a cada una de las
subpoblaciones que forman la partición.
3.3.1. Características de las distribuciones truncadas
La función de distribución en la subpoblación i es:
⎧0,
x < x i−1
⎪
F(x)
−
F(x
)
⎪
i−1
Fi (x) = ⎨
, x i−1 ≤ x < x i
s
i
⎪
⎪
x ≥ xi,
⎩1,
[3.37]
siendo F la función de distribución de la renta en la población y,
s i = F(x i ) − F(x i−1),
[3.38]
la proporción de individuos de ese grupo. Su función de densidad vendrá dada por:
⎧ f(x)
,
⎪
fi (x) = ⎨ s i
⎪0,
⎩
x ∈ Ai
[3.39]
x ∉ Ai,
mientras que la curva de Lorenz asociada a Fi(x) es:
L i (Fi (x)) =
L(F(x)) − L(F(x i−1))
,
qi
[3.40]
siendo,
q i = L(F(x i )) − L(F(x i−1 )),
[3.41]
la participación de la subpoblación i-ésima en la masa total de renta y, L la curva de Lorenz en la po­
blación. Con ello, la renta media de dicha subpoblación es:
— 97 — xi
µi =
q
∫ xdFi (x) = µ sii ,
[3.42]
x i−1
donde µ es la renta media de la población. En particular, para la primera y la k-ésima subpoblación es:
q
L(F(x 1))
µ1 = µ 1 = µ
,
s1
F(x 1)
q
1− L(F(x k −1))
µk = µ k = µ
,
sk
1− F(x k −1
)
dado que F (x 0 ) = 0 y F (x k ) = 1
.
La expresión del índice de Gini para la población i-ésima es:
Gi = 1− 2Ei (L i (Fi (x))),
y teniendo en cuenta [3.38] y [3.41] se puede expresar como:
Gi = 1−
⎡ F(x i )
⎤
2 ⎢
L(p)dp − L(F(x i−1))s i ⎥,
⎥
s i qi ⎢
⎣⎢F(xi−1)
⎦⎥
∫
siendo L (p ) , p = F (x ) , la curva de Lorenz de la distribución de la renta en la población. En particular,
para las subpoblaciones con mayor y menor nivel de renta, se tiene:
2
G1 = 1−
s1q1
F(x1)
∫ L(p)dp,
0
⎤
⎡ 1
2 ⎢
Gk = 1−
L(p)dp − L(F(x k −1))s k ⎥
⎥
s k qk ⎢
⎥⎦
⎢⎣F(xk−1)
∫
Es sencillo el expresar cada Gi , 1 ≤ i ≤ k , en función del índice de Gini de la población
total, G, aunque esas relaciones tienen escaso interés operativo.
3.3.2. Descomposición de la privación, de la satisfacción y del bienestar
Como en el caso que estamos considerando las distribuciones no se solapan y si
(xi,xj)∈Ai×Aj con i<j es xi<xj, de manera que ∆ij=µj-µi=∆ji, la privación (satisfacción) media entre subpo­
blaciones vendrá dada, según [3.8], por:
⎧µ j − µ i , i < j
Pij = S ji = ⎨
i > j,
⎩0,
[3.43]
mientras que la privación (satisfacción) media en cada subpoblación es:
q
Pi = S i = µ iGi = µ i Gi , 1≤ i ≤ k.
si
[3.44]
La satisfacción neta media dentro de cada subpoblación es nula y entre subpoblaciones
viene dada, como en el caso general, por:
— 98 — SNij = S ij − Pij = µ i − µ j ,
[3.45]
positiva si i>j y negativa en caso contrario.
El
bienestar
medio en
la población y
en cada subpoblación es
W = µ(1− G), Wi = µ i (1− Gi ), 1 ≤ i ≤ k . Entre subpoblaciones, teniendo en cuenta [3.34] y [3.43], es:
⎪⎧2µi − µ j,
Wij = µi − Pij = ⎨
⎪µ
⎩ i,
⎧µ
⎪ j,
Wji = µ j − Pji = ⎨
⎪⎩2µ j − µi ,
i<j
i > j,
i<j
i > j,
de manera que:
⎧2µ
⎪ i,
Wij + Wji = 2min(µ i ,µ j ) = ⎨
⎪⎩2µ j ,
i<j
i > j.
La descomposición de los valores medios poblacionales de la privación, satisfacción y
del bienestar se concretan, teniendo en cuenta las igualdades anteriores, en expresiones en las que
sólo intervienen la renta media poblacional y las participaciones de las subpoblaciones en el tamaño
de la población y en el volumen total de renta:
P = Pd + Pes ,
Pes =
∑ s is jPij =∑ s i s j (µ j − µ i ) =µ∑ (s iq j − qis j )
i,j
i< j
S = S d + S es ,
S es =
i,j
i< j
∑ s is jS ji =∑ s is j (µ j − µ i ) =µ∑ (si q j − qi s j )
i,j
i< j
W = Wd + Wes ,
Wes =
i,j
i< j
i,j
i< j
i,j
i< j
∑ si s j (Wij + Wji ) =2∑ si s jµ i = 2µ∑ qis j .
i,j
i< j
i,j
i< j
i,j
i< j
Las componentes que recogen la contribución a los respectivos valores medios de la pri­
vación, de la satisfacción y del bienestar en la población que deriva de la existente dentro de las sub­
poblaciones no han sido detalladas en las igualdades anteriores al coincidir, básicamente, con sus
expresiones en el caso general69.
Las descomposiciones anteriores vienen inducidas por la del índice de Gini, y siempre
hacen referencia a los valores medios de las correspondientes magnitudes. Sin embargo, en el caso
que se analiza, esas descomposiciones pueden obtenerse a partir de la privación, satisfacción o utili­
k
69
A partir de las igualdades [3.35] y [3.44] se obtiene Pd = Sd = µ
∑ s q G , mientras que W
i i i
i=1
— 99 — d
k
=µ
∑ s q −P
i i
i=1
d
.
dad a nivel individual, es decir, tomando como punto de partida el valor de cada una de estas magni­
tudes asociado a un nivel de renta. Si un individuo de la subpoblación Ai tiene un nivel de renta x, xi­
70
es:
1≤x≤xi, su privación media, P(x), al compararse con quienes perciben una renta mayor
P(x) = µ(1− L(F(x)) − x(1− F(x)) = (1− F(x))(µ(x + ) − x),
y se puede descomponer en una suma de la forma:
P(x) = s iPi (x) + P * (x),
[3.46]
Pi (x) = µ i (1− L i (Fi (x))) − x(1− Fi (x)),
[3.47]
siendo:
la privación media del individuo dentro de su propia subpoblación, mientras que el segundo sumando:
P * (x) = µ(1− L(F(x i ))) − x(1− F(x i )) = (1− F(x i ))(µ(x i+ ) − x),
[3.48]
es el producto de la proporción de individuos pertenecientes a subpoblaciones con mayores rentas
que las de Ai y de la diferencia entre la renta media de ese conjunto y el nivel de renta x. En conse­
cuencia, P*(x) recoge la privación que experimenta el individuo respecto a quienes forman parte de
grupos con mayores niveles de renta que el suyo. En otros términos, Pi(x) es la privación del individuo
respecto a quienes forman parte de su grupo, mientras que P*(x) refleja la denominada privación fra­
terna.
A partir de la descomposición [3.46], si calculamos el valor medio para el conjunto de la
población:
x*
P = E(P(x)) =
∫ P(x)dF(x) = ∑
∫ P(x)dF(x) =
i =1
xm
x i−1
xi
k
=
∑ ∫
i =1
si
xi
k
k
Pi (x)dF(x) +
xi
∑ ∫ P * (x)dF(x),
i =1 x i−1
x i−1
siendo:
E(P(x)) = µ(1− G)
xi
xi
x i−1
x i−1
∫ Pi (x)dF(x) = s i ∫ Pi (x)dFi (x) = s iµ iGi , 1 ≤ i ≤ k
x i
∫ P (x)dF(x) = µ[s i (1− L(F(x i ))− qi (1− F(x i ))] ,
*
x i−1
70
Utilizando la expresión [1.3] del capítulo primero.
— 100 — se llega a una relación equivalente a [3.23]:
k
P = µG =
∑
k
s i2 µ i Gi + µ
i=1
∑ (s i (1− L(F(x i ))) − qi (1− F(x i ))) =
k
i=1
k
i=1
i=1
[3.49]
∑ s i2Pi + µ∑ (qiF(x i ) − s iL(F(x i )))
=
,
en la que el primer sumando coincide con Pd y el segundo es otro modo de expresar la privación entre
k
subpoblaciones71, Pes = µ
∑ (si q j − qis j ).
i,j=1
i< j
Para la satisfacción media individual se puede realizar una descomposición análoga a
[3.46], a partir de la cual, calculando su esperanza, se obtiene una relación equivalente a la inducida
por la descomposición del índice de Gini72.
Como el bienestar social lo hemos identificado con el valor medio de la función de utili­
dad, U(x,F)=x-P(x), si se quiere obtener su descomposición aditiva mediante el bienestar en y entre
subpoblaciones, habrá que tomar como punto de partida la descomposición de la utilidad asociada a
un nivel de renta x cuando el individuo que la percibe se compara con los individuos de su propia
subpoblación y con los de las subpoblaciones restantes73.
En definitiva, cuando cada subpoblación se identifica con el conjunto de individuos cuyas
rentas pertenecen a un intervalo, y esos intervalos constituyen una partición del recorrido de la varia­
ble renta en la población, la descomposición de los valores medios poblacionales de la privación, de
la satisfacción y del bienestar mediante sendas componentes que representan los valores de esas
magnitudes dentro y entre las subpoblaciones se pueden expresar a partir de un número muy reduci­
do de características: la renta media de la población (µ), los valores de la función de distribución en
los puntos que definen los intervalos (F(xi)) y los valores de la curva de Lorenz en ellos L(F(xi)). Por
otra parte, se puede llegar a la citada descomposición mediante dos procedimientos: a partir de la
descomposición del índice de Gini, o a partir de la privación asociada a cada nivel de renta si se dis­
tingue entre aquella parte que es consecuencia de las comparaciones que el individuo establece con
los de su misma subpoblación y la que resulta de su comparación con individuos pertenecientes a
subpoblaciones con rentas mayores.
71
En efecto,
k
k
j−1
j−1
k
j−1
k
∑ (s q − q s ) = ∑ ∑ (s q − q s ) =∑ q ∑ s − ∑ s ∑ q =
i j
i,j=1
i< j
i j
i j
∑(qF(x
j
j=2
j
i=1
j=2
i
i=1
k
j−1)−sjL(F(xj−1)))=
j=2
72
i
j
j=2 i=1
k
=
i j
k
∑(q (F(x )−s )−s (L(F(x ))−q )) =∑(qF(x )−s L(F(x ))).
j
j
j
j
j
j=2
j
j
j
j
j
j=1
En este caso, si xi-1≤x≤xi, S(x)=siSi(x)+S (x), siendo Si(x) la satisfacción media asociada al nivel de renta x dentro de su
*
propia subpoblación y S (x)=xF(xi-1)-µL(F( x i−1 ))=F( x i−1 )(x-µ( x i−−1 )) la satisfacción del individuo con renta x en relación a quienes
forman parte de subpoblaciones con menores rentas que las de la suya.
*
Si xi-1≤x≤xi, U(x,F)=x-P(x)=siUi(x,Fi)+U (x), siendo Ui(x,F)=x-Pi(x), la utilidad de la renta x en la subpoblación i-ésima y
*
*
U (x,F)=(1-si)x-P la utilidad (o desutilidad) que deriva de las comparaciones con individuos de las restantes subpoblaciones.
73
*
— 101 — 3.3.3. Caso particular: partición en dos subpoblaciones (k=2)
En muchos de los problemas relacionados con la desigualdad en la distribución de la
renta, es habitual realizar un truncamiento por la derecha de la distribución a fin de analizar las carac­
terísticas del reparto para una proporción prefijada de las rentas más bajas. En este sentido, gran
parte de los coeficientes propuestos por Sen (1979), Takayama (1979), Foster, Greer y Thorbecke
(1984), Kakwani (1984a), Carbonaro (1990), Cerioli y Zani (1990), y Dagum y Zenga (1990), giran en
torno a índices de pobreza que son función de la concentración de la distribución cuando se restringe
a ingresos inferiores a uno dado: el umbral de la pobreza, en ese caso.
Supongamos que dada una distribución de renta, w es un nivel de renta (cualquier cuan­
til, la renta media, el umbral de pobreza, etc.) que divide al recorrido de la variable en dos intervalos,
A1=[xm,w] y A2=[w,x*], que identificamos con sendas subpoblaciones. Trasladando a este contexto los
resultados del epígrafe anterior, y conservando la notación allí utilizada, se tiene:
s1 = F(w),
s 2 = 1− F(w),
q1 = L(F(w)),
q 2 = 1− L(F(w)),
µ1 =
µL(F(w))
,
F(w)
µ2 =
µ(1− L(F(w)))
.
(1− F(w))
La privación y la satisfacción media de cada subpoblación y entre ambas es:
P1 = S1 = µ1G1,
P12 = S 21 = µ 2 − µ1 =
P2 = S 2 = µ 2 G 2 ,
µ
(F(w) − L(F(w))),
s1s 2
P21 = S 21 = 0,
por lo que la contribución de la privación (satisfacción) entre las subpoblaciones a la privación (satis­
facción) media total, (P=S=µG), teniendo en cuenta su ponderación, viene dada por:
Pes = s1s 2P12 = µ(F(w) − L(F(w))) = µ(s1 − q1
),
S es = Pes = s1s 2 S 21 = µ[(1− L(F(w))) − (1− F(w))] = µ(q 2 − s 2 ),
de manera que la privación entre ambas subpoblaciones es el producto de la renta media global y de
la proporción de la renta total que sería necesario transferir desde las rentas situadas por encima de
w a las situadas por debajo de ella, si se pretende llegar a un reparto igualitario. En cuanto a la satis­
facción entre subpoblaciones, aunque su valor coincide con el de la privación, lo hemos expresado de
otro modo en la igualdad anterior a fin de poner de manifiesto que es proporcional a la diferencia (po­
sitiva en este caso) entre la participación que la población más rica tiene en el volumen total de renta
y su participación en el tamaño de la población.
El bienestar medio en cada subpoblación y entre las mismas es:
W1 = µ1(1− G1),
W2 = µ 2 (1− G 2 ),
W12 = µ1 − P12 = 2µ1 − µ 2 ,
W21 = µ 2 ,
de modo que en la descomposición del bienestar medio de la población, W=µ(1-G), la aportación
entre las subpoblaciones es :
Wes = s1s 2 (W12 + W21) = 2s1s 2 µ1 = 2µq1s 2 = 2µL(F(w))(1− F(w)).
— 102 —
Es evidente que los valores de todas las magnitudes anteriores dependen del nivel de
renta, w, que define la partición de la población y que hasta ahora hemos considerado fijo. Es intere­
sante estudiar el comportamiento de esas magnitudes como funciones de w.
Cuando w→xm, la subpoblación A2 se identifica con la población total, mientras que A1=∅,
de modo que s1=q1=0, s2=q2=1, µ1→0, µ2→µ, G2→G, con lo cual P1=S1=0, P=S=µG=P2=S2, Pes=Ses=0,
W2→µ(1-G)=W, Wes=0. En el otro caso extremo, cuando w→x* A1 se identifica con la población total,
A2=∅, siendo s1=q1=1, s2=q2=0, µ1→µ,µ2→0, G1→G, con lo cual P2=S2=0, P1=S1=µG=P=S, Pes=Ses=0,
Wes=0, W1→µ(1-G)=W. En particular, al ser Pes y Wes no negativos y nulos para las rentas mínima y
máxima, cabe determinar los valores de renta en los que alcanzan sus valores extremos.
Proposición 3.3
a) La contribución de la privación (satisfacción) entre las subpoblaciones al valor medio
de la privación (satisfacción) de la población total alcanza su valor máximo cuando el nivel de renta
que define la partición coincide con la renta media de la distribución. El valor de dicho máximo es la
mitad de la desviación absoluta media de la distribución de renta de la población.
b) La contribución del bienestar entre las subpoblaciones al valor medio del bienestar de la
población alcanza su máximo cuando el nivel de renta que determina la partición, w0, cumple la condición
w 0 (1− F(w 0 )) = µL(F(w 0 )) , lo que indica que no puede ser inferior a la mediana de la distribución.
Demostración. La derivada primera de Pes es P´es(w)=f(w)(µ-w), que es nula cuando w=µ,
mientras que la derivada segunda es negativa. En ese punto Pes(µ)=µ(F(µ)-L(F(µ)))=µCS, siendo CS=
F(µ)-L(F(µ)) el coeficiente de Schutz de la distribución, que representa la proporción de renta que habría
de ser transferida desde las rentas situadas por encima de la media a las situadas por debajo de ella
1
para obtener un reparto igualitario. El valor del máximo Pes (µ) = DAM , siendo DAM=2µCS, la desvia­
2
ción absoluta media de la distribución. Para la satisfacción el razonamiento es análogo.
En relación al bienestar, W´es(w)=2f(w)[w(1-F(w))-µL(F(w))], de manera que el valor extre­
´
mo se alcanza en el punto w0 que satisface la condición Wes
(w 0 ) = 0 , que puede expresarse como:
w0
µ(w 0− )
siendo µ(w 0− ) =
=
F(w 0
)
,
1 − F(w 0 )
µL(F(w 0 ))
F(w 0 )
la media de las rentas menores que w0, de modo que
≥ 1, por lo
F(w 0 )
1 − F(w 0 )
que F(w 0 ) ≥ 1/ 2 y, en consecuencia, w0≥Me. Esto es, el nivel de renta que maximiza la aportación
del bienestar entre las subpoblaciones es mayor o igual que la mediana de la distribución.
Un ejemplo ilustrativo de la proposición anterior. A continuación se ponen de mani­
fiesto los resultados de la Proposición 3.3. para una distribución de renta específica. A partir de los
datos proporcionados por la E.C.P.F. para el año 1996, obtenidos mediante una muestra de 1904
familias74, se ha calculado la privación y el bienestar entre subpoblaciones al considerar una partición
74
La E.C.P.F. tiene periodicidad trimestral. Cada trimestre se renuevan tres octavos de la muestra, manteniéndose los restan­
tes cinco octavos hasta el siguiente. Para obtener los datos anualizados hemos seleccionado aquellas familias que permane­
cen en la muestra durante los cuatro trimestres de 1996 y que no han abandonado de forma voluntaria la muestra.
— 103 — de la escala de rentas en dos subpoblaciones definida mediante diferentes niveles de renta: las deci­
las y la renta media de la distribución. Los resultados son los que figuran en la Tabla 3.1.
TABLA 3.1
Niveles de renta en pesetas que definen la partición
Privación entre subpoblaciones
Bienestar entre subpoblaciones
194006,3899
344262,8680
458469,0096
543644,6888
598036,9336
616512,6596
616483,2805
594137,9918
521658,9129
366102,3801
172473,9484
378939,3380
577537,5609
740899,4967
854028,0664
900407,1405
900780,5372
863132,5152
720914,4454
448700,3140
(1ª decila) 1208323
(2ª decila) 1606004
(3ª decila) 1896610
(4ª decila) 2201927
(5ª decila) 2534458
(renta media)2904130
(6ª decila) 2920215
(7ª decila) 3342850
(8ª decila) 3971489
(9ª decila) 5032237
Fuente: Elaboración propia a partir de la ECPF 1996.
Se observa que la privación entre ambas subpoblaciones alcanza su valor máximo
cuando la renta que las delimita es la renta media, µ =2904130 pesetas, mientras que el bienestar
entre las subpoblaciones es máximo cuando el nivel de renta que define la partición coincide con un
valor situado en un entorno de la sexta decila de la distribución, D 6 =2920215 pesetas, y, por lo tanto,
mayor que la mediana.
Si los valores medios de la privación y del bienestar entre las dos subpoblaciones se
consideran como funciones del valor que toma la función de distribución en el nivel de renta utilizado
para realizar la partición, el comportamiento de ambas queda reflejado en sus respectivas represen­
taciones gráficas (Gráficos 3.1 y 3.2).
GRÁFICO 3.1 PRIVACIÓN ENTRE SUBPOBLACIONES EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN LAS RENTAS QUE DEFINEN LA PARTICIÓN Pes
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,596 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000
decilas
— 104 — GRÁFICO 3.2 BIENESTAR ENTRE SUBPOBLACIONES EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN LAS RENTAS QUE DEFINEN LA PARTICIÓN We s
1000000
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,596 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000
deci las
Las funciones Pes y Wes presentan características similares: son no negativas, nulas en
los extremos de la distribución, estrictamente crecientes y cóncavas hasta alcanzar su valor máximo y
a partir de dicho máximo decrecientes. Sobre la posición relativa de los niveles de renta para los que
cada una de ellas es máxima no se puede hacer una afirmación de carácter general excepto que se
alcanza, en el caso del bienestar, para una renta superior a la mediana y para la privación en la renta
media. Sin embargo, dado que las distribuciones de renta presentan, habitualmente, asimetría positi­
va, ambas rentas serán, en la práctica, mayores que la renta mediana. En la distribución de la renta
disponible familiar en España para 1996 es Me =2.534.458 pesetas, mientras que µ =2.904.130 pese­
tas y D 6 =2.920.215 pesetas son niveles de renta muy próximos entre sí.
3.4. Aplicación. Privación, satisfacción, bienestar y nivel de estudios en España (1990-1991)
Utilizando como fuente estadística la E.P.F. 1990-1991 del Instituto Nacional de Estadís­
tica, que constituye una muestra estratificada de 21.150 familias de todo el territorio nacional español,
Fernández y Costa (1998) obtienen la descomposición del índice de Gini de la población cuando se
consideran cinco subpoblaciones definidas según el nivel de estudios terminados por el sustentador
principa75l. En la primera subpoblación se incluyen las familias cuyo sustentador principal no llega a
tener cinco años de estudios terminados (primaria o equivalente). La segunda, recoge las familias en
las que el sustentador principal ha terminado cinco años de estudios pero no ha concluido ocho. La
tercera subpoblación engloba a aquellos hogares cuyo cabeza de familia ha concluido la EGB o equi­
valente, es decir, al menos ocho años de estudio sin alcanzar los 12 años. En la cuarta, están inclui­
das las familias cuyo sustentador principal tiene, al menos, 12 años de estudio. La última está
formada por aquellas familias cuyos sustentadores principales poseen título universitario superior.
Esta clasificación queda recogida en la Tabla 3.2.
75
Existen encuestas de ingreso más recientes, como la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares del Instituto Nacional
de Estadística, de periodicidad trimestral desde 1985. Pero el reducido tamaño muestral impide realizar con ellas el análisis, ya
que la desagregación de la población en los cinco grupos señalados reduce excesivamente el tamaño de algunas de las sub­
poblaciones.
— 105 — TABLA 3.2 CLASIFICACIÓN DEL NIVEL DE ESTUDIOS ACABADOS DEL SUSTENTADOR PRINCIPAL Subpoblación
1 (Menos de 5 años)
Analfabeto o sin estudios
2 (Al menos 5 años)
Primaria o equivalente
3 (Al menos 8 años)
EGB o equivalente
4 (Al menos 12 años)
Cou, FP2 o equivalente
5 (Título Superior)
Licenciatura, diplomatura o equivalente
Fuente: Fernández y Costa(1998).
La distribución del ingreso familiar anual después de impuestos según los niveles de es­
tudios acabados del sustentador principal queda reflejado en la Tabla 3.3., junto a la participación de
cada subpoblación en el tamaño poblacional y en el volumen total de renta.
TABLA 3.3 DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO FAMILIAR ANUAL SEGÚN NIVEL DE ESTUDIOS ACABADOS POR EL SUSTENTADOR PRINCIPAL (ESPAÑA, 1991) Nivel de estudios
(Subpoblaciones)
Ai
Tamaño muestral
ni
Ingreso medio
(miles de ptas.)
µi
Participación en el
tamaño poblacional
si
Participación en la
masa total de renta
qi
1
15491
1557
0,2585
0,1824
2
18372
2057
0,3833
0,3576
3
14287
2405
0,2137
0,2331
4
12087
3154
0,0986
0,1382
5
11913
4372
0,0459
0,0886
Total
21150
2217
1
1
Fuente: Fernández y Costa (1998)
En la Tabla 3.4 se presentan las estimaciones de los índices de Gini, según el nivel de es­
tudios, en y entre subpoblaciones, siendo G=0,3259 para el total del ingreso familiar en la población.
TABLA 3.4 ÍNDICES DE GINI EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (GIJ) Subpoblaciones
1
2
3
4
1
0,3282
2
0,3298
0,2949
3
0,3432
0,2879
0,2669
4
0,4004
0,3253
0,2841
0,2614
5
0,5000
0,4113
0,3627
0,3019
5
0,2959
Índice de Gini de la población total G=0.3259.
Fuente: Fernández y Costa (1998).
Se aprecia que la subpoblación 1 es la que presenta el mayor grado de desigualdad, li­
geramente superior a la existente en la población, seguida por la subpoblación 5. El mayor índice de
— 106 — Gini entre subpoblaciones se da entre la 5 (licenciados) y la 1 (analfabetos o sin estudios) con un
valor de 0.5 y desciende progresivamente a medida que el nivel de estudios del sustentador principal
de cada subpoblación es más parecido. Los valores más reducidos del índice se presentan entre los
grupos 4 y 3, con un valor de 0.2841.
La Tabla 3.5 presenta las diferencias medias de Gini en y entre subpoblaciones, cuando
el ingreso se expresa en miles de pesetas, siendo su valor igual a 1445 para el total de la población.
TABLA 3.5
DIFERENCIAS MEDIAS DE GINI EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (∆IJ)
Subpoblaciones
1
2
3
4
1
1022
2
1192
1213
3
1360
1285
1284
4
1886
1674
1579
1649
5
2964
2644
2458
2272
5
2587
Diferencia media de Gini en la población total: ∆=1445.
Fuente: Elaboración propia.
La igualdad ∆ij=Gij(µi+µj) pone de manifiesto que las conclusiones antes extraídas para
los índices de Gini en y entre subpoblaciones no tienen porqué ser trasladables a las diferencias me­
dias de Gini, dado que sus valores dependen también de las rentas medias de las subpoblaciones.
Así, la subpoblación de licenciados es la que presenta una mayor diferencia media de Gini, mientras
que la menor es la que corresponde a la subpoblación de analfabetos o sin estudios. En general, las
diferencias medias de Gini en las poblaciones van aumentando a medida que se eleva el nivel de
estudios, no por el comportamiento de la desigualdad, sino por el crecimiento de las rentas medias.
La mayor diferencia media de Gini entre subpoblaciones se presenta entre los licenciados y los anal­
fabetos o sin estudios, 2964, y desciende progresivamente para las comparaciones con subpoblacio­
nes cuyos niveles de estudios son más similares. Este comportamiento se repite para cada
subpoblación, al hacer comparaciones con subpoblaciones más parecidas.
TABLA 3.6
PRIVACIONES MEDIAS EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (PIJ)
Subpoblaciones
1
2
3
4
5
1
511
846
1104
1741
2890
2
346
607
1817
1386
2480
3
256
469
1642
1164
2213
4
145
289
1415
1824
1745
5
175
165
1246
1527
1294
Privación media en la población: P=723, Pd=163, Pes=560.
Fuente: Elaboración propia.
De la Tabla 3.6, en la que se recogen las estimaciones de las privaciones medias en y
entre subpoblaciones, tomando el valor 723 para el conjunto de la población, se deduce que las pri­
— 107 — vaciones medias entre subpoblaciones van disminuyendo a medida que comparamos subpoblaciones
inferiores con superiores cada vez más próximas en nivel de estudios. Es más, las privaciones entre
subpoblaciones no llegan a anularse al comparar subpoblaciones de mayor nivel de estudio con las
de menor nivel, debido a que, si bien existe una alta correlación entre niveles de renta y estudios, no
llega a haber una ordenación según niveles de renta, y, por lo tanto, hay solapamiento al existir fami­
lias pertenecientes a las distintas subpoblaciones para las que se presenta una relación inversa entre
sus ingresos y el nivel de estudios de su sustentador principal. Por lo tanto, se observa que Pij>Pji ∀i<j
debido a la alta correlación entre renta y nivel de estudio, pero, Pij≠0 ∀j<i al existir solapamiento. Co­
mo ejemplo, la privación de los analfabetos respecto a los licenciados es la mayor de las privaciones
entre grupos, cuatro veces superior a la privación del conjunto de la población y cinco veces la priva­
ción entre subgrupos para la población. En cambio, la privación de los licenciados respecto a los anal­
fabetos es 75, la menor de las privaciones de la subpoblación de licenciados respecto a las demás, y
de las privaciones entre subpoblaciones.
Por otra parte, al descender en el nivel de estudios del sustentador principal se va incre­
mentando el valor de la privación que se experimenta hacia las subpoblaciones restantes en compa­
ración a la privación dentro del propio grupo. Entre los licenciados el valor medio de la privación
dentro de su propia subpoblación es mayor que respecto de las restantes, mientras que para el con­
junto de familias cuyo sustentador principal es analfabeto se presenta la situación contraria.
Las satisfacciones medias en y entre subpoblaciones están reflejadas en la Tabla 3.7 y
son el resultado de trasponer los valores que figuran en la Tabla 3.6 debido a la simetría de este con­
cepto respecto a la privación (Si=Pi, Sij=Pji, 1#i,j#5). En consecuencia las consideraciones realizadas
para la privación al comparar la subpoblación i con la subpoblación j son válidas cuando, en el con­
texto de la satisfacción se compara j con i.
TABLA 3.7 SATISFACCIONES MEDIAS EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (SIJ) Subpoblaciones
1
2
3
4
5
1
1511
1346
1256
1145
1175
2
1846
1607
1469
1289
1165
3
1104
1817
1642
1415
1246
4
1741
1386
1164
1824
1527
5
2890
2480
2213
1745
1294
Satisfacción media de la población: S=723, Sd=163, Ses=560.
Fuente: Elaboración propia.
En la Tabla 3.8 se representan las satisfacciones netas medias en y entre subpoblacio­
nes. Como se indicó anteriormente, las satisfacciones netas dentro de cada subpoblación y para la
población total son nulas. La satisfacción neta media de los licenciados respecto a los analfabetos es
la mayor y va disminuyendo a medida que se compara esa subpoblación con otras en las que el nivel
de estudios del sustentador principal es más parecido. Este comportamiento se reproduce dentro de
cada subpoblación, por filas. Los valores negativos corresponden a la satisfacción neta de una sub­
población dada respecto a otra en la que el nivel de formación del sustentador principal es más ele­
vado, cambiando el signo al realizar la comparación en sentido contrario (SNij=-SNji, i ≠ j, siendo
SNij>0 para i>j).
— 108 — TABLA 3.8 SATISFACCIONES NETAS MEDIAS EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (SNIJ) Subpoblaciones
1
2
3
4
5
1
1110
1-500
-848
-1596
-2815
2
1500
-1110
-348
-1097
-2315
3
1848
-1348
1110
-749
-1967
4
1596
-1097
1749
1110
-1218
5
2815
-2315
1967
1218
1110
Satisfacción neta media en la población: SN=0, SNd=0, SNes=0.
Fuente: Elaboración propia.
Por último, en la Tabla 3.9 se recoge el bienestar medio en y entre subpoblaciones.
TABLA 3.9 BIENESTAR MEDIO EN Y ENTRE SUBPOBLACIONES (WIJ) Subpoblaciones
1
2
3
4
5
1
1046
1711
1453
-184
-13331
2
1711
1450
1240
1671
-423
3
2149
1936
1763
1241
1192
4
3009
2865
2739
2330
1409
5
4297
4207
4126
3845
3078
Bienestar medio de la población: W=1494, Wd=556, Wes=938.
Fuente: Elaboración propia.
El bienestar en subpoblaciones con niveles de estudios superiores, y el bienestar de es­
tas al compararse con las de niveles de estudio más distanciados es elevado; así, el bienestar medio
de los licenciados respecto a los analfabetos es casi el triple del bienestar medio de la población. En
las subpoblaciones de familias cuyo sustentador principal ha concluido al menos EGB, su nivel medio
de bienestar es superior al del conjunto de la población. La subpoblación con mayor participación en
el tamaño poblacional, estudios primarios, presenta un nivel de bienestar ligeramente inferior al de la
población total.
El bienestar entre subpoblaciones es negativo sólo cuando se comparan aquellas en que
el nivel de formación del sustentador principal es bajo con otras en las que ese nivel es alto: analfabe­
tos respecto a licenciados, analfabetos respecto a COU, FP2 o similar y estudios primarios frente a
licenciados. En estos tres casos la privación entre subpoblaciones es mayor que la renta media de la
subpoblación con nivel de estudios más bajo (recuérdese que Wij=µi-Pij, 1#i,j#5).
3.5. Privación y status entre poblaciones
En esta sección se obtienen las funciones de privación / satisfacción cuando un individuo
perteneciente a una población y con un nivel de renta dado, se compara con los individuos que, per­
teneciendo a otra población, perciben rentas diferentes a la suya, bajo el supuesto de que esa com­
paración se basa en las posiciones que ocupan en sus respectivas distribuciones. Obtenidas tales
— 109 — funciones se calculan, a través de sus valores esperados, la privación, la satisfacción y la satisfacción
neta medias entre ambas poblaciones.
Utilizado la notación de la sección 3.1, tomamos como punto de partida la siguiente defi­
nición:
Definición. La privación de un individuo con renta x en la población Ai respecto a otro in­
dividuo de renta y en Aj, viene dada por:
⎧Fj (y) − Fi (x), si Fj (y) > Fi (x)
Pij (x, y) = ⎨
en otro caso
⎩0,
[3.50]
Fijado el nivel de renta x∈Ai sea y0=Fj-1(Fi(x)) el nivel de renta de Aj cuya posición en esa
población coincide con la de x en Ai76: Fj(y0)=Fi(x). A partir de la definición anterior e integrando por
partes, la privación del individuo con renta x respecto a la población Aj, es:
y*
Pij (x) =
∫ Pij (x, y)dy = y
*
(1− Fi (x)) − µ j (1− L j (Fi (x))) =
y0
= y * (1− Fj (y 0 )) − µ j (1− L j (Fj (y 0 ))) =
= (1− Fj (y 0 ))(y
*
[3.51]
− µ j (y 0+ )),
producto de la proporción de individuos que en Aj ocupan un mayor rango que el suyo en Ai y de la
diferencia entre la renta máxima de Aj y la renta media de dichos individuos.
En consecuencia, la privación media de la población Ai respecto a la población Aj, Pij, será:
x*
Pij = E i (Pij (x)) =
∫ Pij (x)dFi (x).
[3.52]
0
El valor de la integral anterior se obtiene del siguiente resultado:
Proposición Pij =
[
]
1 *
(y − µ j ) − µ jG j .
2
En efecto, a partir de [3.51], resulta:
x*
Pij =
∫y
0
x*
*
∫
(1− Fi (x))dFi (x) − µ j + µ j L j (Fi (x))dFi (x) =
0
1 *
y − µ j + µ jI,
2
[3.53]
76
Suponemos que las variables aleatorias que representan las distribuciones de renta en cada una de las poblaciones son
continuas. En ese caso las funciones de distribución son estrictamente crecientes y, en consecuencia, invertibles. Bajo esta
hipótesis el nivel de renta y0∈Aj que satisface Fj(y0)=Fi(x), es único. En el caso discreto la unicidad no puede asegurarse y
{
}
habría que utilizar la función centil o inversa generalizada de Fj, de modo que Fj−1(F(x)) = inf y ∈ A j : Fj (y) ≥ Fi (x) . Por simplici­
dad en el tratamiento analítico nos situamos en el caso continuo, aunque los resultados que se obtiene a continuación también
son válidos en el caso discreto.
— 110 — x*
∫
siendo I = L j (Fi (x))dFi (x) . Utilizando la definición de la curva de Lorenz Lj y que para todo x∈Ai, exis­
0
te y∈Aj tal que Fi(x)=Fj(y),
1
I=
µj
−1
x * ⎛ Fj (Fi (x))
⎞
⎟
1
ydFj (y)⎟dFi (x) =
µ
⎟
j
0
⎠
⎜
⎜
⎜
0
⎝
∫
1
=
µj
∫
y*
∫
0
y* ⎛
*
⎞
⎟
⎜ x
ydFi (x)⎟dFj (y) =
⎜
⎜
⎟
0 Fi−1(Fj (y))
⎝
⎠
∫
1
y(1− Fj (y))dFj (y) = 1−
µj
Haciendo Fj(y)=p, teniendo en cuenta que
1
I = 1−
∫
∫
y*
∫ yFj (y)dFj (y) .
0
dL j (p)
dp
1
pL´j (p)dp
∫
= L j (p)dp =
0
0
=
y
e integrando por partes, resulta:
µj
1− G j
2
.
Sustituyendo I en [3.53] se obtiene lo enunciado.
Conviene observar que, según la proposición anterior, la privación media de la población
Ai respecto a la población Aj coincide con la privación media existente en esta última. Esto es, Pij=Pj.
Por lo tanto, al comparar una población con otra y definir la privación a través del rango de los indivi­
duos en su respectiva distribución, la privación media coincide con la de la población con la que se
establece la comparación. Aunque, inicialmente, este resultado pueda sorprender, es consecuencia
del modo mediante el que se obtiene la privación de un nivel de renta x∈Ai con respecto a Aj: se loca­
liza en Aj el nivel de renta que ocupa en ella la misma posición relativa que x en Ai, y, a partir de ahí,
se establece la comparación con los niveles de renta situados por encima. Con ello es Pij(x)=Pj(y), y
aunque para obtener los valores medios se calculen las esperanzas respecto a Fi, Pij=Ei(Pij(x)), y a Fj,
Pj=Ej(Pj(y)), dichos valores coinciden, ya que dependen de la distribución de las respectivas funciones
de distribución y estas siguen una uniforme en el intervalo [0,1].
Análogamente, si y∈Aj, Pji(y)=x*(1-Fj(y))-µi(1-Li(Fj(y))) y calculando su esperanza:
Pji = E i (Pji (y)) =
[
]
1 *
(x − µ i ) − µ iGi = Pi
2
[3.54]
Si la satisfacción la formulamos de modo simétrico, para x∈Ai e y∈Aj tendremos:
⎧Fi (x) − Fj (y), si Fi (x) > Fj (y)
Sij (x,y) = ⎨
0,
en otro caso,
⎩
[3.55]
de modo que la satisfacción del individuo con renta x en Ai respecto a la población Aj es:
S ij (x) = µ jL j (Fi (x)) = µ jL j (Fj (y 0 )),
— 111 — [3.56]
siendo y0∈Aj la renta que cumple la condición Fj(y0)=Fi(x). Por lo tanto, Sij(x) coincide con el valor de
la curva de Lorenz generalizada de la distribución de renta Aj en Fj(y0).
Un cálculo análogo al realizado en la proposición prueba que:
S ij = E i (S ij (x)) =
µj
2
(1− G j ) = S j ,
[3.57]
y, por tanto:
S ji = E j (S ji (y)) =
µi
(1− Gi ) = S i .
2
[3.58]
La satisfacción media de una población respecto de la otra se expresa en función del
bienestar existente en la población con la que se establece la comparación, cuando el bienestar se
evalúa mediante la renta equivalente igualmente distribuida asociada al índice de Gini.
En cuanto a la satisfacción neta, la asociada al nivel de renta x∈Ai, respecto a Aj es:
SNij (x) = S ij (x) − Pij (x) = µ j − y * (1− Fi (x)),
[3.59]
mientras que si y∈Aj, su satisfacción neta respecto a Ai es:
SN ji (y) = S ji (y) − Pji (y) = µ i − x * (1− Fj (y)).
[3.60]
Los valores medios de las funciones anteriores proporcionan la satisfacción neta media
de una población respecto a la otra:
SNij = E i (SNij (x)) = µ j −
y*
= SN j
2
x*
SN ji = E j (SN ji (y)) = µ i −
= SNi .
2
[3.61]
Para las distribuciones de renta que se presentan en la realidad, con una acentuada
asimetría hacia la derecha, la renta máxima es mayor que el doble de la renta media, por lo que las
satisfacciones netas medias serán negativas.
3.6. Conclusiones
Siguiendo el enfoque de Hey y Lambert, en este capítulo se aborda, de forma general, el
concepto y el estudio analítico de la privación / satisfacción de una población con respecto a otra me­
diante la comparación entre individuos de ambas poblaciones. Ello permite obtener, en primer lugar, las
funciones que representan la privación / satisfacción media de un individuo perteneciente a una de las
poblaciones respecto al conjunto de individuos de la otra y, a continuación, el valor medio de la priva­
ción / satisfacción entre ambas poblaciones. Se demuestra que ese valor se expresa en función de:
a) La diferencia entre las respectivas rentas medias.
b) La diferencia media de Gini entre sus distribuciones de renta.
— 112 — El resultado anterior junto a la descomposición del índice de Gini inducida por la partición
de una población en un número finito de subpoblaciones permite obtener, a su vez, una descomposi­
ción aditiva de la privación/satisfacción media existente en una población en dos componentes: una
cuantifica la privación o satisfacción en las subpoblaciones y la otra recoge el valor de estas magnitu­
des entre las subpoblaciones. Cada una de estas componentes se expresa como una suma pondera­
da en la que las ponderaciones dependen de la participación de cada grupo en el tamaño de la
población y en el volumen total de renta.
Al identificar el bienestar con el valor esperado de una función de utilidad, creciente y
cóncava, en la que la utilidad de cada individuo es igual a la diferencia entre su renta y la privación
que experimenta respecto a quienes tienen rentas mayores, la descomposición de la privación media
da lugar a otra formalmente análoga del bienestar, lo que requiere definir previamente lo que enten­
demos por bienestar entre subpoblaciones. En relación a esta cuestión se ha justificado que una for­
ma natural de formular el bienestar entre las subpoblaciones i y j consiste en definirlo como la
diferencia entre la renta media de i y la privación de i con respecto a j.
Al particularizar el análisis que se realiza para una partición genérica de la población a
casos concretos, el que, a nuestro juicio, tiene mayor interés es el que consiste en dividir el recorrido
de la variable renta en un número finito de intervalos de manera que no exista solapamiento entre las
distribuciones de renta de las subpoblaciones. Bajo este supuesto los resultados se simplifican al
menos en dos aspectos:
a) Se pueden expresar a partir de un número reducido de características: la renta me­
dia de la distribución, los valores de la función de distribución en los puntos que de­
limitan los intervalos de la partición y los valores de la curva de Lorenz en ellos.
b) Se pueden obtener no sólo como consecuencia de la descomposición del índice de
Gini, sino también descomponiendo la privación asociada a cada nivel de renta en
dos sumandos: uno recoge la privación del individuo respecto a otros de su propio
grupo y el otro la que experimenta respecto a individuos pertenecientes a subpobla­
ciones con rentas mayores.
Cuando se considera que un nivel de renta dado (cualquier cuantil, la renta media, un
umbral de pobreza, etc.) divide el recorrido de la variable renta en dos intervalos cada uno de los
cuales se identifica con una subpoblación no sólo se obtienen expresiones más sencillas para la des­
composición de las magnitudes objeto de estudio, sino que es posible determinar el nivel de renta que
hay que utilizar para realizar la partición a fin de maximizar la privación / satisfacción o el bienestar
entre las dos subpoblaciones. Se demuestra que:
a) La privación/satisfacción entre los dos grupos es máxima cuando el nivel de renta
que los separa es la renta media.
b) El valor del máximo anterior coincide con la mitad de la desviación absoluta media de la
distribución y, por lo tanto, depende del volumen de renta que sería necesario transferir
desde la subpoblación más rica a la más pobre si se pretendiese un reparto igualitario.
c) El nivel de renta que separa a las dos subpoblaciones para que el bienestar entre
ellas sea máximo ha de ser necesariamente mayor que la mediana de la distribución.
Finalmente, si la privación/satisfacción se define mediante la diferencia de rangos que
los individuos ocupan en la distribución, la privación media entre dos poblaciones coincide con la exis­
tente en la población respecto a la cual se establece la comparación.
— 113 — CAPÍTULO 4 PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN RELATIVA E IMPOSICIÓN SOBRE LA RENTA La relación existente entre la privación y el índice de desigualdad de Gini, junto con el
hecho de que la metodología Lorenz-Gini es la más utilizada en la definición de los índices sintéticos
mediante los que se evalúa la progresividad global de un impuesto, tanto en el aspecto de su desvia­
ción de la proporcionalidad como en el de su efecto redistributivo, justifica el plantearse el estudio de
la incidencia que sobre la privación tiene un impuesto sobre la renta, tanto a nivel individual como
sobre el conjunto de la sociedad. Esta cuestión, que constituye el objetivo esencial de este capítulo,
no ha sido tratada hasta fechas recientes en la literatura, al contrario de lo que sucede con la relación
entre bienestar e imposición77, a pesar de que permite dar un contenido normativo a los índices de
Kakwani y Reynolds-Smolensky cuando se compara la privación media de la sociedad tras la aplica­
ción de un impuesto, con la que se deriva del proporcional equivalente en recaudación.
Entre los trabajos que se han ocupado de la relación entre privación e imposición están
los de Mukherjee (1997), Chakravarty y Mukherjee (1998) e Imedio, Parrado y Sarrión (1999). En
ellos se toma como referencia el enfoque de Hey y Lambert (1980), bien en el espacio de rentas o en
el de utilidades, y dan lugar a un conjunto de resultados a los que nos parece interesante hacer refe­
rencia a fin de poder establecer una comparación entre ellos y los obtenidos a partir de otras defini­
ciones de privación, en particular cuando se supone que los individuos al establecer comparaciones
con otros están interesados en las diferencias de rango más que en las diferencias de rentas, o com­
binan la preocupación por ambos aspectos.
Inicialmente, en la primera sección, para facilitar la lectura de las siguientes, se introduce
la notación y conceptos previos necesarios en relación a las características de un impuesto, curvas
de concentración e índices de progresividad.
Hay que señalar que para facilitar el tratamiento analítico, en la mayoría de las demostra­
ciones subyace la hipótesis, aunque no se haga explícita en cada momento, de que la distribución de la
renta viene representada por una variable continua, así como la derivabilidad de la función impositiva.
4.1. Notación y conceptos previos
Supongamos que t(x) es un impuesto que grava la renta, y que la carga fiscal que recae
78
sobre cada unidad económica sólo depende de su renta inicial . Dado que la formulación de algunos
79
conceptos es más sencilla, consideremos t(x) derivable . Para la renta x, t(x)/x y t´(x) son, respecti­
vamente, el tipo medio y el tipo marginal que soporta. Si T es la recaudación total del impuesto y N el
número de contribuyentes, α=T/Nµ es el tipo medio global, y, por lo tanto, µα es el impuesto medio,
mientras que µ(1-α) es la renta media disponible.
Como es sabido, el impuesto es progresivo, proporcional o regresivo si el tipo medio es,
respectivamente, creciente, constante o decreciente, lo que equivale a que el tipo marginal sea ma­
yor, igual o menor que el tipo medio. Si esta condición, en principio local, es válida para todos los
77
A esta cuestión se alude en distintos lugares de Lambert (1996) y, de forma sistemática, en Imedio (1996). Existe, además,
una extensa gama de índices éticos para la valoración de la progresividad y de la equidad horizontal en los cuales los juicios de
valor quedan establecidos a priori mediante la especificación de una Función de Bienestar Social (es el caso de los propuestos
por King (1983), Blackorby y Donaldson (1984), Eichhorn, Funke y Richter (1984), Chakravarty (1985), Kiefer (1985), Liu
(1987), Pfingsten (1987, 1988) y Moyes (1988), entre otros).
78
Este supuesto equivale a considerar que esas unidades son homogéneas con relación al resto de las características y cir­
cunstancias que, además de la renta, inciden en la carga fiscal. Podemos, sin embargo, considerar que nos referimos a una
subpoblación homogénea respecto de esas otras características.
79
En la práctica, las tarifas impositivas son funciones lineales o polinomiales a trozos, por lo que cumplen esa condición salvo
en un número finito de puntos.
— 117 — niveles de renta, la aplicación del impuesto reduce, deja invariante o aumenta la desigualdad relativa
existente en la distribución sobre la que incide. Este concepto de progresividad es el más habitual.
Sin embargo, cuando el interés se centra en la desigualdad absoluta, hay que considerar otra noción
de progresividad, la absoluta, en la que la característica relevante del impuesto es el signo de su tipo
marginal. En este contexto, fijado un nivel de renta, el impuesto es progresivo, constante o regresivo
si el tipo marginal es, respectivamente, positivo, nulo o negativo. La aplicación de tarifas que presen­
ten cada una de estas características a lo largo de toda la escala de rentas, reducen, dejan invariante
o aumentan la desigualdad absoluta de la distribución de renta bruta.
En este trabajo se supone que la renta después de impuestos, x-t(x), es positiva (t(x)/x<1
para todo x>0). Cuando se admite, además, que es una función creciente de la renta antes de im­
puestos (t´(x)<1, x>0), lo que equivale a que la aplicación del impuesto no altere la ordenación inicial
de las unidades impositivas, se obtienen resultados concluyentes sobre la incidencia que tiene el
impuesto, a nivel individual, sobre la privación / satisfacción. La última hipótesis es bastante restricti­
va, difícil de mantener en un estudio de carácter temporal, pero no lo es tanto si nos limitamos a un
enfoque transversal y, además, se supone que la carga fiscal sólo depende del nivel de renta.
La expresión [A1.1] define la curva de Lorenz para la renta antes de impuestos, que de­
notaremos por Lx(p). De igual forma, si p=F(x) se pueden definir las curvas de concentración de la
carga fiscal LT(p), y, de la renta después de impuestos, LX-T(p) que se expresan como:
x
L T (p) =
1
t(s)dF(s), 0 ≤ p ≤ 1 ,
µα
∫
[4.1]
0
x
L X −T (p) =
1
(s − t(s))dF(s), 0 ≤ p ≤ 1
µ(1− α)
∫
[4.2]
0
LT proporciona participaciones acumuladas, por percentiles de renta antes de impuestos,
en la distribución de la carga fiscal, mientras que LX-T proporciona participaciones acumuladas, por
percentiles de renta antes de impuestos, en la distribución de la renta después de impuestos. Sus
dL X −T (F(x)) x − t(x)
dL T (F(x)) t(x)
y, por
respecti­
derivadas respecto a F(x), vienen dadas por:
=
=
dF(x)
µα
dF(x)
µ(1− α)
vamente. Además, LX-T no coincidirá con la curva de Lorenz de la renta disponible, L*X − T si, como
consecuencia de la aplicación del impuesto, se produce reordenación de los lugares que ocupaban
los contribuyentes en la distribución de renta ex-ante; es decir, si el impuesto no respeta el principio
de equidad horizontal80. Ambas curvas coinciden si el impuesto no da lugar a reordenación.
Resulta interesante observar la relación matemática existente entre LX, LT y LX-T. Se verifica:
LX(p)=αLT(p)+(1-α)LX-T(p) , 0≤p≤1,
[4.3]
con lo cual, la curva de Lorenz de la renta bruta es una media ponderada de la curva de concentración
de impuestos y de la renta después de impuestos. En consecuencia, las participaciones en renta de
cualesquiera cuantiles de la distribución después de impuestos son más iguales que antes de impues­
tos si y sólo si las cuotas fiscales se distribuyen más desigualmente que la renta antes de impuestos:
80
En general se verifica que L X−T (p) ≥ L*X−T ∀p∈[0,1].
— 118 — LX-T≥ LX⇔ LT≤ LX
[4.4]
Esta es una característica de la imposición progresiva sobre la renta. Este importante re­
sultado fue demostrado por Jakobsson (1976) Fellman (1976) y Kakwani (1977):
Teorema (Jakobsson (1976)- Fellman (1976)- Kakwani (1977)).
El impuesto t(x) es progresivo, d[t(x)/x]/dx≥0 para todo x>0, ⇔ LX-T≥ LX≥ LT para cualquier
distribución F(x) de la renta antes del impuesto.
En el teorema anterior se ha empleado la definición no estricta de progresión. Si el im­
puesto es estrictamente progresivo, d[t(x)/x]/dx>0, son válidas las desigualdades en sentido estricto.
En el caso de un impuesto proporcional t(x)=cx, se verifica que LX(p)= LT(p)=LX-T(p) ∀p∈[0,1].
Al igual que se define el índice de Gini asociado a la curva de Lorenz de la renta antes
de impuestos, también se puede definir el índice de concentración asociado a la curva de concentra­
ción de la carga fiscal o a la de la renta después de impuestos:
1
∫
C T = 1− 2 L T (p)dp ,
[4.5]
0
1
∫
C X −T = 1− 2 L X −T (p)dp ,
[4.6]
0
respectivamente.
En este capítulo se emplean dos índices de progresividad global basados en áreas. El
primero, el índice de Kakwani, indica en qué medida el impuesto difiere del proporcional equivalente
en recaudación, y coincide con el doble del área entre la curva de Lorenz de la renta antes de im­
puestos, LX y la curva de concentración de las cuotas del impuesto LT:
1
IK = 2 [L X (p) − L T (p)]dp = C T − G X
∫
[4.7]
0
A partir de [4.7] es inmediato que si el impuesto es progresivo, proporcional o regresivo,
para todos los niveles de renta, Ik es positivo, nulo o negativo respectivamente. Las afirmaciones recí­
procas no son ciertas. En la práctica es usual que un sistema fiscal sea progresivo en unos tramos de
renta y regresivo en otros. IK recoge el efecto neto, evaluando la progresividad como positiva y la
regresividad como negativa. Si IK>0, ello indica que globalmente el sistema impositivo es progresivo.
Análogamente si IK<0 es regresivo. Si IK=0, ello no indica que el impuesto sea proporcional, sino que
los tramos de progresividad y regresividad se compensan.
Este índice se puede generalizar, haciendo uso de un parámetro que incorpora un juicio
de valor de tipo redistributivo, de forma análoga al índice de Gini generalizado:
1
IK (λ) = λ(λ − 1) (1− p) λ−2 [L X (p) − L T (p)]dp = C T (λ) − G X (λ) ,
∫
0
— 119 — [4.8]
para λ>1, donde CT(λ) es un índice de concentración generalizado de las cuotas del impuesto81. El
índice generalizado de Kakwani resalta más la no proporcionalidad en el extremo inferior de la escala
de rentas a medida que aumenta λ.
El efecto redistributivo se evalúa a través del índice de Reynolds-Smolensky, que com­
para las curvas de Lorenz de las distribuciones después y antes de la aplicación del impuesto. Se
define como:
1
IRS = 2 [L X −T (p) − L X (p)]dp = G X − C X −T ,
∫
[4.9]
0
y coincide con el doble del área entre la curva de Lorenz de la renta antes de impuestos y la curva de
concentración de la renta después de impuestos. Si no hay reordenación este índice es igual a la
variación en el coeficiente de Gini provocada por el impuesto.
Es inmediato, a partir de [4.9] que si el impuesto es progresivo, proporcional o regresivo,
para todos los niveles de renta, IRS es, respectivamente, positivo, nulo o negativo. Sobre las afirma­
ciones recíprocas se pueden hacer las mismas consideraciones que para el índice de Kakwani.
También se puede proponer una generalización del índice, paralela a la planteada para
el índice de Kakwani:
1
IRS (λ) = λ(λ − 1) (1− p) λ−2 [L X −T (p) − L X (p)]dp =G X (λ) − C X −T (λ) ,
∫
[4.10]
0
para λ>1.
Teniendo en cuenta que la expresión [4.3] se puede rescribir como:
L X −T − L X =
α
(L X − L T ) ,
1− α
[4.11]
donde el término de la izquierda representa el efecto redistributivo, medido como la proporción de la
renta total trasladada hacia abajo en la escala de renta debido a la existencia de progresión, mientras
que el término de la derecha depende tanto del tipo medio del impuesto sobre la renta neta como de
su desviación de la proporcionalidad, medida como la proporción del impuesto trasladada hacia arriba
en la escala de renta. Por tanto, el efecto redistributivo del impuesto depende tanto de la magnitud de
los desvíos de la proporcionalidad como del nivel de recaudación82 y como consecuencia de [4.11]
resulta la relación:
IRS =
α
IK
1− α
1
81
Es decir, CT (λ) = 1 − λ(λ − 1) (1 − p)λ − 2 L T (p)dp .
∫
0
82
Basta tener en cuenta que
α
es una función estrictamente creciente de α.
1− α
— 120 — [4.12]
Es inmediato comprobar que el mismo tipo de igualdad es válida entre los índices de Ka­
kwani y Reynolds-Smolensky generalizados:
I RS (λ) =
α
1− α
I K (λ) .
[4.13]
4.2. Privación/satisfacción e imposición
Como es natural, la incidencia de un impuesto que grave la renta sobre la privación / sa­
tisfacción depende de la definición adoptada para esas magnitudes. A continuación se analizan los
diferentes supuestos.
4.2.1. Bajo el enfoque de Hey y Lambert
En esta sección se analiza el efecto que tiene un impuesto sobre la renta en la priva­
ción/satisfacción, tanto a nivel individual como en el conjunto de la sociedad, cuando estos conceptos se
formulan bajo el enfoque de Hey y Lambert (1980), es decir, formulados en función de las diferencias de
rentas. Como se ha comentado, este análisis ha sido efectuado previamente83 por lo que en esta sec­
ción se exponen las principales conclusiones. Si se supone que la carga fiscal que recae sobre cada
unidad económica sólo depende de la renta inicial, y que el impuesto es horizontalmente equitativo, es
decir, no introduce reordenación, en el citado trabajo se establecen los siguientes resultados:
i) La privación/satisfacción asociadas a un nivel de renta inicial x al pasar a la distribu­
ción de renta disponible vienen dadas por:
PX −T(x) = µ(1− α)(1− L X −T (F(x))) − (x − t(x)(1− F(x))
S X −T = (x − t(x))F(x) − µ(1− α)L X −T (F(x)).
[4.14]
ii) Un impuesto estrictamente creciente reduce la privación/satisfacción de cada contri­
buyente. Es decir:
PX (x) − PX −T (x) > 0, ∀x ,
[4.15]
S X (x) − S X − T (x) > 0, ∀x .
[4.16]
Si el impuesto es progresivo (regresivo) esa reducción es mayor (menor) que la que
produciría el impuesto proporcional de igual recaudación.
PX −T (x) − PPROP (x) < 0, (> 0) ∀ x > 0 ,
[4.17]
S X −T (x) − S PROP (x) < 0, (> 0) ∀ x > 0 .
[4.18]
iii) Para la sociedad, la disminución de la privación / satisfacción media que supone un
impuesto creciente es igual a la disminución de la desigualdad absoluta, medida con
el coeficiente absoluto de Gini, que tiene lugar al pasar de la distribución de renta ini­
cial a la de renta después de impuestos:
E(PX − PX −T ) = E(S X − S X −T ) = GA X − GA X −T .
83
Imedio, Parrado y Sarrión (1999).
— 121 — [4.19]
iv) Cuando el bienestar social se evalúa mediante la REID asociada al índice de Gini,
(WX=µ(1-GX)) la ganancia (pérdida) de bienestar que supone la progresividad (regre­
sividad) impositiva frente a la proporcionalidad, coincide con la reducción (aumento)
de la privación / satisfacción social media:
E(PPROP − PX −T ) = E(S PROP − S X −T ) =
= WX −T − WPROP = µ(1− α)IRS = µαIK .
[4.20]
Este resultado permite una interpretación de los índices de Kakwani y de ReynoldsSmolensky en términos de privación / satisfacción. Así, el índice de progresividad de
Kakwani es el cociente entre la reducción de la privación (satisfacción) social media
que supone la sustitución de un impuesto proporcional por otro progresivo de recau­
dación equivalente y el impuesto medio. Mientras que el índice de ReynoldsSmolensky es igual al cociente entre la reducción de la privación (satisfacción) espe­
cificada anteriormente y la renta media después de impuestos.
v) El efecto que tiene el pago del impuesto sobre la satisfacción neta de cada contribu­
yente no es uniforme a lo largo de la escala de rentas. Existen tres niveles de renta
que son relevantes a este respecto: el nivel de renta, x0, cuyo tipo medio coincide
t(x0 )
= α , el nivel de renta x1 que paga un
con el tipo medio global del impuesto,
x0
impuesto igual al impuesto medio, t(x1)=µα, y aquel, x2, cuya renta neta coincide con
la renta media después de impuestos, x2-t(x2)=µ(1-α). Para x>x0 la satisfacción neta
tras la aplicación de un impuesto progresivo es menor que la resultante tras aplicar el
proporcional de recaudación equivalente. Para aquellos con renta disponible mayor
que la renta disponible media, la satisfacción neta tras el impuesto es positiva. Para
las unidades cuya carga impositiva es superior al impuesto medio, la satisfacción ne­
ta tras el pago del impuesto es menor.
Los resultados anteriores se obtienen a partir de una definición específica de la privación
y satisfacción relativas, lo que supone una elección acerca de cómo realizar la comparación entre
individuos con diferentes niveles de renta y la consiguiente incorporación, al menos de forma implíci­
ta, de juicios de valor. En este caso se identifica la privación con una diferencia de rentas introducien­
do un concepto absoluto de desigualdad y, de hecho, tanto la variación de la privación como de la
satisfacción social media coinciden con la variación en el índice absoluto de Gini que se produce co­
mo consecuencia de la aplicación del impuesto.
4.2.2. Bajo el enfoque utilitarista
En Chakravarty y Mukherjee (1998) se establece una interesante relación entre tres no­
84
ciones de justicia distributiva: la progresividad impositiva, el principio de igual sacrificio y lo que sus
autores denominan el criterio de la privación utilitarista.
84
El impuesto t(x) satisface el principio de igual sacrificio absoluto respecto de la función de utilidad U si existe una constante a>0
tal que U(x)-U(x-t(x))=a, para todo x>0. Es decir, el pago del impuesto supone a cada individuo la misma pérdida de utilidad.
U(x)
= r , para todo x>0, se dice que t(x) implica igual sacrificio relativo, en términos de
U(x − t(x))
utilidad, para todos los contribuyentes.
84
Es inmediato que si t(x) satisface la primera condición respecto a U, también satisface la segunda respecto a U*(x)=lnU(x),
U(x)
r
tomando a=lnr y, recíprocamente, si cumple la segunda condición para U, verifica la primera para U*(x)=e , siendo a=e . Por
ello, en lo sucesivo nos referiremos al principio de igual sacrificio en términos absolutos.
84
Cuando existe un r>1 tal que
— 122 — Dadas las distribuciones de la renta F1 y F2 y una función de utilidad U, se dice que F1
domina a F2 según el criterio de privación utilitarista, F1 ≥P(U) F2, si para todo nivel de renta, su priva­
ción en términos de utilidad es mayor o igual en la distribución F1 que en F2:
F1 ≥P(U) F2 ⇔ P1(x) ≥ P2 (x), para todo x > 0 ,
siendo Pi(x), i=1,2, la privación media de x en
Pi (x) = UFi (1− LU (Fi (x))) − U(x)(1− Fi (x)) , según la expresión [1.14].
la
distribución
F i,
esto
es,
En particular, si t(x) es un impuesto que recae sobre la distribución de renta representa­
da por F(x), se dice que la distribución de renta después de impuestos es dominada, según el criterio
anterior, por la distribución de renta inicial si PX-T(x)≤PX(x), x>0, lo que implica que la aplicación del
impuesto no aumenta la privación asociada a cada nivel de renta.
Los principales resultados de este trabajo consisten en dar condiciones suficientes sobre
la función de utilidad, a través de su aversión relativa al riesgo o a la desigualdad, qU (x) = −EU′(x),x , a
fin de relacionar la dominancia en el sentido de Lorenz entre las distribuciones de renta disponible y
de renta bruta, con la dominancia según el criterio de privación utilitarista entre esas mismas distribu­
ciones. Se demuestra:
1. Si la función de utilidad U(x) es tal que qu(x)≤1, x>0, y t(x) es un impuesto que grava
la renta, para cualquier distribución de renta inicial se verifica:
L X − T (F(x)) ≥ L X (F(x)) ⇒ PX − T (x) ≤ PX (x)
para todo x>0.
2. Si la función de utilidad satisface qu(x)≥1, x>0, y t(x) es un impuesto que grava la ren­
ta, para cualquier distribución F(x) se cumple:
PX −T (x) ≤ PX (x), x > 0 ⇒ L X −T (F(x)) ≥ L X (F(x))
En consecuencia, cuando qu(x)≤1 la progresividad del impuesto implica que la privación
utilitarista, para cada nivel de renta, no sea superior en la distribución de renta neta a la existente en
la distribución de renta inicial. Por otra parte, esta última condición junto a que qu(x)≥1 asegura la no
regresividad del impuesto.
A partir de ambos resultados y teniendo en cuenta que la condición qu(x)=1, para todo
x>0, caracteriza a la función de utilidad logarítmica, U(x)=lnx, cuando la privación se define a partir de
esta función de utilidad (véase sección 1.2.2.1.), la dominancia en el sentido de Lorenz entre las dis­
tribuciones de renta neta y bruta coincide con la dominancia en el sentido de la privación utilitarista;
es decir, ambos tipos de dominancia son consistentes.
A fin de conectar ambos criterios, que son equivalentes cuando U(x)=lnx, con el principio
de igual sacrificio, parece natural interesarse por las características del impuesto que genera igual
sacrificio a todos los contribuyentes en relación a esta función de utilidad. Esta cuestión es sencilla
dado que es un resultado conocido que la única función impositiva que satisface el principio de igual
sacrificio respecto de la función de utilidad logarítmica, es la proporcional, t(x)=ax, 0<a<1. En definiti­
va, para un impuesto proporcional y para la función de utilidad logarítmica no se presentan conflictos
entre las tres nociones de justicia distributiva que se contemplan en el trabajo de Chakravarty y Mu­
kherjee.
— 123 — 4.3. Privación/satisfacción, status e imposición
En esta sección se analiza el efecto de un impuesto sobre la privación cuando se emplea
la formulación propuesta para la privación/satisfacción relativas, bajo el supuesto de que los indivi­
duos muestran una preocupación por el status. Se utilizan, por lo tanto, los resultados de la sección
2.1 del capítulo segundo.
Efecto sobre la privación
Designemos por PX(x) y PX-T(x) la privación del individuo o unidad impositiva con renta
inicial x en las distribuciones antes y después de impuestos, respectivamente. Por lo tanto, a partir de
[2.2] se tiene85 que:
PX −T (x) = (x * −t(x*))(1− F(x)) - µ(1− α)(1− L X −T (F(x))) , x > 0 ,
[4.21]
siendo LX-T(F(x)) la curva de Lorenz de la distribución de renta después de impuestos86.
Si h(x) es la diferencia entre la privación antes y después de impuestos para el nivel de
renta x, es decir, h(x)=PX(x)-PX-T(x), es fácil comprobar que su derivada, h´(x)=P´X(x)-P´X-T(x)=(t(x)­
t(x*))f(x), es una función negativa si y sólo si el contribuyente con mayor renta soporta la mayor carga
fiscal, con independencia del carácter del impuesto a lo largo de la escala de rentas. Este resultado
que, de entrada puede parecer un tanto sorprendente, es consecuencia del papel que desempeña la
renta máxima en la privación individual tanto en la distribución de renta inicial como en la de renta
disponible. Si el análisis se restringiese a un grupo de referencia, nos estaríamos refiriendo a la carga
que recae sobre la renta máxima del grupo y el resultado parecería menos contundente al referirse a
un nivel de renta más próximo al de cada individuo. Una condición suficiente para que se satisfaga el
supuesto anterior es que el impuesto sea una función creciente del nivel de renta, lo que responde al
concepto de progresividad absoluta. En tal caso, la función h(x) es estrictamente decreciente y, dado
que se anula en el nivel de renta máxima, h(x*)=0, se puede asegurar que h(x)>0, 0<x<x*. Esto es, la
aplicación de un impuesto que cumpla la condición señalada implica una reducción de la privación
relativa para todos los niveles de renta.
Para el conjunto de la sociedad la reducción media de la privación, aplicando [2.3], viene
dada por:
E(PX − PX−T ) =
x*
=
∫ (PX (x) − PX−T (x))dF(x) =
0
1
= (x * −µ(1+ G X ) − (x * −t(x*) − µ(1− α)(1+ G X−T ))) =
2
1
= ((t(x*) − µα) + (GA X−T − GA X )),
2
[4.22]
85
Nótese que si F(x) es la proporción de unidades cuya renta inicial es menor o igual que x y el pago del impuesto no supone
reordenación, coincide también con la proporción de unidades con renta disponible menor o igual que x-t(x). Es decir, si F y G
son las funciones de distribución de la renta inicial y disponible, respectivamente, se verifica F(x)=G(x-t(x)), x>0.
86
En esa distribución coinciden la curva de Lorenz y la curva de concentración dado que el impuesto no da lugar a reordena­
ción de los contribuyentes.
— 124 — por lo que depende: a) de la diferencia entre el impuesto que paga la renta máxima y el impuesto
medio, y b) de la variación de la desigualdad absoluta en la distribución de la renta que produce el
pago del impuesto, evaluada mediante la diferencia entre los índices absolutos de Gini de las distri­
buciones después y antes de impuestos. En particular, un impuesto de capitación (t(x)=a, para todo
x>0) deja invariante tanto la privación de cada unidad impositiva como la privación media de la socie­
dad, al ser t(x*)=µα=a y GAX-T=GAX. Mientras que para un impuesto estrictamente creciente, tipos
marginales positivos, se cumple t(x*)>µα y GAX-T<GAX, de modo que en [4.22] aparecen dos suman­
dos de distinto signo, aunque la suma total es positiva.
Si un impuesto es progresivo en el sentido habitual, tipos medios crecientes, su aplica­
ción no sólo disminuye la desigualdad absoluta de la distribución sobre la que incide, dado que
0<t(x)/x<t´(x), x>0, sino también la desigualdad relativa. Para estudiar el posible efecto de un impues­
to progresivo en relación a la privación se compara, como es usual, con el impuesto proporcional de
recaudación equivalente (t(x)=αx, x>0). Si PPROP(x) es la privación del individuo con renta inicial x en
la distribución que resulta de la aplicación de un impuesto proporcional, se tiene:
PPROP (x) = (1− α)x * (1− F(x)) - µ(1− α)(1− L X (F(x))) , x > 0 ,
[4.23]
ya que para un impuesto proporcional, al dejar invariante la desigualdad relativa, las curvas de Lorenz
de las distribuciones de renta antes y después de impuestos coinciden. Designemos por PX-T(x) la
privación del mismo individuo tras la aplicación de un impuesto progresivo equivalente y considere­
mos la función m(x)=PX-T(x)-PPROP(x). A partir de [4.21] y [4.23] resulta:
m(x) = PX−T (x) − PPROP (x) =
= (αx * -t(x*))(1− F(x)) + µ(1− α)(L X−T (F(x)) - L X (F(x))).
[4.24]
Si el impuesto es progresivo, el primer sumando de la expresión anterior es negativo, ya
que el tipo medio de la renta máxima es mayor que el tipo medio global, mientras que el segundo
sumando es positivo ya que, bajo la hipótesis de progresividad, la curva de Lorenz de la distribución
de renta disponible domina a la de la distribución de renta antes de impuestos, L X-T (F(x)) > LX (F(x)) .
En consecuencia es necesario un estudio adicional para comprobar si m(x) tiene signo constante en
toda la escala de rentas. La derivada de esta función es:
m′(x) = -(αx * -t(x*))f(x) + µ(1- α)[(x - t(x))/µ(1- α) - x/µ]f(x) =
= (t(x*) - αx * -(t(x) - αx))f(x),
[4.25]
positiva si 0<x<x*, tal y como se demuestra en la siguiente proposición.
Proposición 4.1. Si t(x) es un impuesto estrictamente progresivo y α es su tipo medio
global, la función λ(x) = t(x*) − αx * −(t(x) − αx), 0<x<x*, siendo x* la renta máxima, es positiva.
Demostración. Es evidente que t(x*)-αx*>0, ya que el tipo medio al que se grava la ren­
ta máxima es mayor que α. Por otra parte, si x0 es el nivel de renta cuyo tipo medio coincide con el
global, (t(x0)/x0)= α, por la progresividad se verifica que para rentas, x, que cumplan 0<x<x0, es
t(x)/x<t(x0)/x0=α, por lo que t(x)-αx<0 y, con ello, λ(x)>0. Para rentas x>x0, la función
π(x) = t(x) − αx es positiva y estrictamente creciente, ya que utilizando de nuevo el carácter progresivo
del impuesto, los tipos marginales son mayores que los tipos medios para todos los niveles de renta,
por lo que π′(x) = t ′(x) − α ≥ t(x) / x − α > 0 ; en consecuencia, λ(x)=π(x*)-π(x) es positiva.
— 125 — Al ser m(x) estrictamente creciente y m(x*)=0, es m(x)<0 para todo 0<x<x*, de modo que
P X-T (x) < PPROP (x) , lo que implica que un impuesto progresivo reduce la privación de cada contribu­
yente en mayor cuantía que el impuesto proporcional de igual recaudación. Para la población, la re­
ducción media de la privación que conlleva la progresividad en relación a la proporcionalidad,
teniendo en cuenta [2.3], es:
E(PPROP − PX−T ) = 1/2[x * (1− α) - µ(1− α)(1+ GX)] −
− 1/2[x * -t(x*) - µ(1− α)(1+ GX-T )] =
= 1/2[(t(x*) - αx*) + µ(1− α) IRS] ,
[4.26]
siendo IRS=GX-GX-T el índice clásico de Reynolds-Smolensky para el caso en que no existe reordena­
ción, utilizado para medir el efecto redistributivo del impuesto a través de la variación del coeficiente
de Gini de las distribuciones de renta antes y después de la aplicación del mismo.
Bajo la hipótesis de que el impuesto presente tipos marginales menores que la unidad a
lo largo de toda la escala de rentas, es sabido que a partir de la relación entre IRS y el índice de pro­
gresividad de Kakwani, IK, se obtiene:
E(PPROP) − E(PX−T ) =
1
((t(x*) - αx*) + µαIK ).
2
[4.27]
Las relaciones [4.26] y [4.27] indican que un aumento de la progresividad del impuesto
sin que varíe la recaudación (α permanece fijo) implica una mayor reducción de la privación social
media, debido, por una parte, al incremento de los índices IRS e IK y, por otra, al aumento del tipo me­
dio asociado a la renta máxima, lo que incrementa la diferencia t(x*)-αx*.
La siguiente proposición resume los resultados obtenidos, hasta ahora, en esta sección.
Proposición 4.2. Si sobre una distribución de renta incide un impuesto, t(x), cuya aplica­
ción no altera la ordenación inicial de los contribuyentes, se verifica:
a) Se reduce la privación de cada nivel de renta si el contribuyente que percibe la renta
máxima soporta la mayor carga fiscal, con independencia del comportamiento de t(x) a lo largo de la
escala de rentas. Bajo este supuesto, la reducción de la privación social es mayor en la medida en
que aumente la diferencia entre el impuesto que grava a la renta máxima y el impuesto medio. Se
produce este mismo efecto cuanto menor sea la reducción de la desigualdad absoluta, evaluada me­
diante el índice absoluto de Gini, al pasar de la distribución de la renta antes de impuestos a la de la
renta disponible.
b) Si t(x) es progresivo, su aplicación reduce la privación de cada unidad impositiva y lo
hace en mayor medida que el impuesto proporcional de recaudación equivalente. La reducción de la
privación social media aumenta al hacerlo la progresividad del impuesto, debido a la conjunción de
dos efectos: incremento del índice de Reynolds-Smolensky (o del índice de Kakwani) e incremento,
simultáneo, de la diferencia entre el tipo medio a que se grava la renta máxima de la distribución y el
tipo medio global del impuesto.
Efecto sobre la satisfacción
Si SX(x) y SX-T(x) representan la satisfacción del contribuyente con renta inicial x en las
distribuciones de renta antes y después de impuestos, respectivamente, se tiene:
— 126 — SX (x) = µ L X (F(x)) = LGX (F(x)) .
[2.5]
SX-T (x) = µ(1- α) LX-T (F(x)) = LGX- T (F(x)) .
[4.28]
La satisfacción, en la distribución de renta después de impuestos, del individuo con renta ini­
cial x es el valor de la curva de Lorenz generalizada de dicha distribución en p=F(x) y su interpretación es
análoga a la de SX(x). Es inmediato que para cualquier impuesto positivo, se verifica la desigualdad:
x
∫
SX-T (x) = LGX-T (F(x)) = (s - t(s))f(s)ds ≤
0
x
[4.29]
∫
≤ sf(s)ds = LGX (F(x)) = SX (x) ,
0
de manera que el pago del impuesto reduce la satisfacción de cada contribuyente. Para
la población, la reducción de la satisfacción media, teniendo en cuenta [2.6], es:
E(S X − S X−T ) =
1
(µ(1− G X ) − µ(1− α)(1− G X−T )) =
2
1
= (µα + (GA X−T − GA X )) ,
2
[4.30]
por lo que depende del impuesto medio y de la variación de la desigualdad absoluta,
evaluada mediante el índice absoluto de Gini, al pasar de la distribución de la renta antes de impues­
tos a la de la renta después de impuestos.
Como el valor esperado de la satisfacción coincide, salvo en una constante, con el de
una medida de bienestar, la REID asociada al índice de Gini, y es sabido que la progresividad de un
impuesto es una característica favorable, en términos de bienestar, frente a otros procedimientos para
obtener la misma recaudación a partir de una distribución de renta inicial dada, si t(x) es progresivo
con tipo medio global α, y se compara con el impuesto proporcional equivalente de igual rendimiento
mediante las curvas de Lorenz generalizadas de las distribuciones de renta disponible a que ambos
dan lugar, resulta:
SX-T (x) = LGX-T (F(x)) = µ(1- α) L X-T (F(x)) ≥
≥ µ(1- α)L X (F(x)) = µ(1- α) LPROP (F(x)) = LGPROP (F(x)) = SPROP (x) ,
[4.31]
por lo que la pérdida de satisfacción que a cada contribuyente le supone el pago del im­
puesto:
S X (x) − S X−T (x) = S X (x) − SPROP (x) + (S PROP (x) − S X−T (x)) ≤
≤ S X (x) − SPROP (x) ,
[4.32]
será menor al aplicar un impuesto progresivo que un proporcional de igual recaudación y
esa reducción será menor en la medida en que aumente la progresividad del impuesto para todos los
niveles de renta, dado que bajo ese supuesto la curva de Lorenz de la distribución de renta neta se
desplaza hacia arriba (teorema de Jakobsson-Fellman-Kakwani).
— 127 — Si WX, WX-T y WPROP representan, respectivamente, los niveles de bienestar, evaluados
mediante la REID asociada al índice de Gini, asociados a las distribuciones de renta antes de impues­
tos, después de impuestos y a la disponible tras la aplicación de un impuesto proporcional equivalen­
te, resulta:
1
µ
WX = (1- GX)
2
2
[2.6]
1
µ(1- α)
(1- GX-T )
W X-T =
2
2
[4.33]
1
µ(1- α)
(1- GX) ,
WPROP =
2
2
[4.34]
E(S X ) =
E(SX-T ) =
E(SPROP) =
de modo que a partir de esas expresiones, se obtiene:
1
µ(1- α)
(W X-T - WPROP) =
(GX - GX-T) =
2
2
µ(1- α)
µα
=
IK ,
IRS =
2
2
E(SX-T) - E(SPROP) =
[4.35]
igualdades que proporcionan una interpretación normativa a los índices de Reynolds-Smolensky, IRS, y
de Kakwani, IK. Cuando t(x) es progresivo (IRS>0, IK>0) es E(SX-T)>E(SPROP), y un incremento de la pro­
gresividad sin que varíe la recaudación (α permanece fijo) implica mayor satisfacción media con relación
al impuesto proporcional equivalente, o lo que es lo mismo, menor es la reducción de la satisfacción
social respecto a la ausencia de imposición. Si el impuesto es regresivo (IRS<0, IK<0) las conclusiones
irían en sentido contrario, mientras que si es proporcional (IRS=IK=0), es E(SX-T)=E(SPROP)87.
Las consideraciones anteriores se sintetizan en la siguiente proposición.
Proposición 4.3. Si t(x) es un impuesto que grava la renta y que no altera la ordenación
inicial de las unidades impositivas, se verifica:
a) Si t(x) es positivo, independientemente de su carácter, su aplicación implica una dis­
minución de la satisfacción para todos los niveles de renta.
b) La reducción de la satisfacción social media coincide con la mitad de la disminución
de bienestar, evaluado mediante la REID asociada al índice de Gini, al pasar de la
distribución de renta bruta a la de renta neta.
c) Si t(x) es progresivo (regresivo) la reducción de la satisfacción, para cada nivel de
renta, es menor (mayor) que la que implica el impuesto proporcional equivalente.
d) El índice de Reynolds-Smolensky (Kakwani) es, salvo una constante, el cociente en­
tre el aumento de la satisfacción media que supone la sustitución de un impuesto
proporcional por otro progresivo de igual recaudación y la renta media disponible (el
impuesto medio).
El conflicto entre progresividad y recaudación, en términos de satisfacción media, se pone de manifiesto cuando varía α, ya
que, en ese caso, también lo hace la renta media disponible, µ(1-α), y aunque aumentasen o disminuyesen IRS , IK, el efecto
sobre E(SX-T)-E(SPROP) sería incierto.
87
— 128 — Efecto sobre la satisfacción neta
El pago de un impuesto positivo supone una disminución de la satisfacción para todos
los niveles de renta y tiene también ese efecto sobre la privación cuando la renta máxima soporta la
mayor carga fiscal. Sin embargo, el efecto sobre la satisfacción neta no es uniforme a lo largo de la
escala de rentas, sino que depende del percentil que ocupa cada unidad dentro de la distribución.
Si SNX(x) y SNX-T(x) son, respectivamente, la satisfacción neta del individuo con renta
bruta x en la distribución antes y después de impuestos, se tiene a partir de [2.7], [4.21] y [4.28]:
SNX (x) = SX (x) - PX (x) = µ - x * (1- F(x))
[2.7]
SNX-T (x) = SX-T (x) - PX-T (x) = µ(1- α) - (x * -t(x*))(1- F(x)) ,
[4.36]
de donde:
SNX (x) - SNX - T (x) = µα - t(x*)(1- F(x)) ,
[4.37]
función estrictamente creciente que se anula para el nivel de renta x2 que cumple la condición:
1- F(x 2) =
µα
,
t(x*)
[4.38]
de forma que para x<x2 (x>x2) es SNX(x)<SNX-T(x) (SNX(x)>SNX-T(x)). Este nivel de renta, que separa
a quienes ganan y pierden -en términos de satisfacción neta- como consecuencia de la aplicación del
impuesto, es aquel tal que la proporción de contribuyentes con renta superior a él, coincide con la
relación existente entre el impuesto medio y el que soporta la renta máxima. El valor de ese cociente,
si el impuesto es progresivo, o simplemente creciente, será “pequeño” y, por lo tanto, x2 tenderá a ser
“elevado”. En definitiva, lo que determina la variación de la satisfacción neta de un individuo, como
consecuencia del pago del impuesto, no es su carga fiscal, sino su posición en la distribución.
En la distribución de renta después de impuestos, a partir de [4.28], es inmediato que la
satisfacción neta es nula para el nivel de renta x0 definido mediante la igualdad:
1- F(x 0) =
µ(1− α)
,
x * −t(x*)
[4.39]
mientras que en la distribución de renta antes de impuestos se verificaba esta condición para el nivel
de renta x1 definido mediante:
1− F(x 1 ) =
µ
x*
A partir de las igualdades que los definen, es sencillo determinar la posición relativa de
t(x*)
1­
1- F(x1)
x * < 1 , y que, si el tipo medio global del impuesto
=
x0, x1 y x2. Teniendo en cuenta que
1- F(x 0)
1- α
es menor que el que soporta la renta máxima, la monotonía de la función de distribución implica x0<
x1< x2. En el siguiente cuadro se resumen estos resultados:
— 129 — TABLA 4.1 EVOLUCIÓN DE LA SATISFACCIÓN NETA A LO LARGO DE LA ESCALA DE RENTAS ((T(X*)/X*)>α) SNX
SNX-T
SNX- SNX-T
(0, x0)
x0
(x0, x1)
x1
(x1, x2)
x2
(x2, x*)
-
0
-
+
-
0
+
-
+
+
-
+
+
0
+
+
+
La condición bajo la cual se satisface lo anterior es más débil que la de la progresividad.
µ
, de
Si el impuesto fuese proporcional, t(x)= αx, para x>0, es evidente que F(x 0 ) = F(x1) = F(x 2 ) = 1x*
modo que x0= x1= x2, por lo que un impuesto de ese tipo no modifica el nivel de renta a partir del cual
cambia el signo de la satisfacción neta. Para este tipo de impuesto la satisfacción neta es menor que
la asociada al impuesto progresivo, dado el comportamiento de la privación y satisfacción del indivi­
duo con nivel de renta bruta x en las distribuciones de renta disponible tras la aplicación de ambos
tipos de impuestos.
Para analizar el efecto del impuesto sobre el valor esperado de la satisfacción neta, bas­
ta tener en cuenta la expresión [2.8] junto con las siguientes, que se obtienen a partir de ella:
E(SNX-T) = µ(1- α) -
x * -t(x*)
,
2
[4.40]
t(x*)
.
2
[4.41]
E(SNX - SNX- T ) = µα -
También en esta cuestión lo relevante es la carga fiscal que recae sobre la renta máxi­
ma. La satisfacción neta media en la distribución de renta disponible es mayor que la asociada a la
distribución de renta inicial si el impuesto que soporta la renta máxima es superior al doble del im­
puesto medio. Para el impuesto proporcional equivalente a t(x), es inmediato que:
E(SNPROP) = (1- α)(µ -
x*
)
2
[4.42]
y, en consecuencia:
E(SNX-T) - E(SNPROP) =
t(x*) - αx *
,
2
[4.43]
de modo que siempre que el tipo medio al que se grava la renta máxima sea mayor que el tipo medio
global, la satisfacción neta media asociada a la distribución de renta disponible será superior a la
asociada a la distribución resultante de aplicar un impuesto proporcional de igual recaudación.
Proposición 4.4. Si el impuesto t(x) que grava la renta presenta tipos medios y margina­
les menores que la unidad, se verifica:
a) Su aplicación no tiene un efecto uniforme sobre la satisfacción neta asociada a cada
nivel de renta, sino que depende del percentil correspondiente.
— 130 — b) Ganan (pierden) en términos de satisfacción neta las unidades impositivas cuyo nivel
de renta es inferior (superior) al que cumple que la proporción de unidades con renta
superior coincide con el cociente entre el impuesto medio y el que recae sobre la ren­
ta máxima.
c) La satisfacción neta media de la sociedad aumenta al aplicar un impuesto en el que
la renta máxima soporte una carga superior al doble del impuesto medio. Además, un
impuesto que grave la renta máxima a un tipo mayor que el tipo medio global, da lu­
gar a una distribución de renta disponible cuya satisfacción neta media es mayor a la
asociada a la distribución de renta neta que resultaría de aplicar un impuesto propor­
cional de recaudación equivalente88.
4.4 Privación/satisfacción bajo el enfoque de Hey y Lambert generalizado, e imposición
En esta sección se estudia la incidencia de un impuesto sobre la renta en la privación /
satisfacción a nivel individual y sobre el conjunto de la sociedad cuando esos conceptos se definen a
partir de la generalización del enfoque de Hey y Lambert mediante una ponderación dependiente de
un parámetro cuya variación implica asignar distinto peso a la privación / satisfacción asociadadas a
diferentes niveles de renta. En consecuencia, las funciones a las que hacemos referencia son las
obtenidas en la sección 2.2 del capítulo segundo y, como allí, utilizaremos, para simplificar la nota­
ción, el subíndice HL cuando hagamos referencia a los resultados de Hey y Lambert. El esquema de
análisis es análogo al empleado en la sección anterior.
Efecto sobre la privación
Designemos por PX(x) y PX-T(x) la privación del individuo o unidad impositiva con nivel de
renta bruta x en las distribuciones de rentas antes y después de impuestos, respectivamente. Si el
pago del impuesto no altera la ordenación preexistente de los contribuyentes, a partir de [2.10], la
privación asociada al nivel de renta inicial x en la distribución de renta neta, es:
PX −T (x) = (1+ λ)(1− F(x)) λ [µ(1− α)(1− L X −T (F(x))) −
[4.44]
− (x − t(x))(1− F(x))] ,
siendo LX-T(F(x)) la curva de Lorenz de la distribución de la renta disponible. Si h(x) es la diferencia
entre la privación antes y después de impuestos para el nivel de renta x, es decir,
h(x) = PX (x) − PX−T (x) , es fácil comprobar el signo de la derivada de h(x). En efecto:
[
= (1+ λ) − λ(1− F(x))
′ (x) =
h ′(x) = PX′ (x) − PX−T
λ−1
]
f(x)(PX,HL (x) − PX−T,HL (x)) − (1− F(x)) λ+1 t ′(x) ,
[4.45]
y teniendo en cuenta que la diferencia (PX,HL (x) − PX −T,HL (x)) es positiva89, h´(x) es negativa para
todo nivel de renta positivo si y sólo si el impuesto presenta tipos marginales positivos, t´(x)>0, lo que
equivale a que sea absolutamente progresivo. En tal caso, la función h(x) es estrictamente decrecien­
Si en la distribución de renta inicial es x*>2µ, es evidente que t(x*)>αx* implica t(x*)>2µα, de modo que la primera condición
es consecuencia de la segunda.
88
89
Véase Imedio, Parrado y Sarrión (1999).
— 131 — te y, dado que se anula en el nivel de renta máxima, se puede asegurar que h(x)>0, 0<x<x*. Es decir,
la aplicación de un impuesto estrictamente creciente implica una reducción de la privación relativa
para todos los niveles de renta.
Para el conjunto de la sociedad, la reducción media de la privación, aplicando [2.14], vie­
ne dada por:
x*
E(PX − PX−T ) =
∫ (PX (x) − PX−T (x))dF(x) =
0
[4.46]
= µG X (λ + 2) − µ(1− α)G X−T (λ + 2) = GA X (λ + 2) − GA X−T (λ + 2),
diferencia de los índices absolutos de Gini generalizados de las distribuciones antes y después de
impuestos. En concreto, para un impuesto de capitación, t(x)=a, la privación media de cada unidad
impositiva y la de la sociedad no varían, ya que las diferencias entre los niveles de renta no se modifi­
can ni tampoco la posición de cada individuo. Todo impuesto estrictamente creciente, al reducir las
diferencias iniciales entre niveles de renta sin modificar el rango, produce una disminución de la pri­
vación en el ámbito individual y, por tanto, a nivel social.
Es interesante observar que también en este contexto se pone de manifiesto el significa­
do distributivo del parámetro λ. Cuando su valor se incrementa se asigna mayor peso a la incidencia
del impuesto sobre las rentas bajas de la distribución, y en el límite, si λ→∞, la variación de la priva­
ción media:
GA X (λ + 2) − GA X−T (λ + 2) → µ − x 1 − (µ(1− α) − (x 1 − t(x 1 ))) = µα − t(x 1 )
depende únicamente de la diferencia entre el impuesto medio y el impuesto que recae sobre la renta
mínima de la distribución.
Dado un impuesto progresivo en el sentido habitual o relativo, tipos medios crecientes, la
desigualdad absoluta y la relativa de la distribución sobre la que incide se reducen, ya que
0<t(x)/x<t´(x), x>0. El estudio del efecto de un impuesto de este tipo sobre la definición generalizada
de privación requiere la comparación de la privación en el caso de impuestos proporcionales y pro­
gresivos de recaudación equivalente.
La privación para un individuo con renta inicial x tras la aplicación de un impuesto pro­
porcional viene dada por:
PPROP (x) = (1+ λ)(1− F(x)) λ [µ(1− α)(1− L(F(x))) −
− x(1− α)(1− F(x))] = (1- α)PX (x) , x > 0 ,
[4.47]
ya que para un impuesto de este tipo, al dejar invariante la desigualdad relativa, las curvas de Lo­
renz de las distribuciones de renta antes y después de impuestos coinciden. A partir de [4.47] resul­
ta, PPROP(x)=(1-α)PX(x). Es decir, un impuesto proporcional reduce la privación asociada a cada
nivel de renta en una proporción que coincide con el tipo medio impositivo. Si se denomina PX-T(x) a
la privación de un individuo con renta inicial x tras la aplicación de un impuesto progresivo de igual
recaudación que el proporcional, y consideramos la diferencia entre las expresiones [4.44] y [4.47],
resulta :
— 132 — h(x) = PX-T (x) - PPROP (x) =
= (1+ λ)(1− F(x))[µ(1− α)(L X (F(x)) −L X−T (F(x))) +
[4.48]
+ (t(x) − αx)(1− F(x))].
En la función anterior los dos primeros factores son positivos, mientras que el que figura
entre corchetes coincide con la diferencia entre las mismas funciones de privación que estamos con­
siderando cuando se parte de la definición de Hey y Lambert: PX-T, HL(x)-PPROP, HL(x). Esta diferencia es
negativa según se demuestra en Imedio, Parrado y Sarrión (1999). En consecuencia es h(x)<0, para
x>0, de manera que para cualquier nivel de renta perteneciente al intervalo [0, x*],
PX−T (x) < PPROP (x) , lo que implica que un impuesto progresivo reduce la privación de cada contribu­
yente en mayor cuantía que el impuesto proporcional de igual recaudación.
Para el conjunto de la sociedad, la reducción media de la privación que supone la aplica­
ción de un impuesto progresivo frente a uno proporcional de recaudación equivalente, viene dada por90:
E(PPROP − PX−T ) = E(PPROP ) − E(PX−T ) =
[4.49]
= µ(1− α)[G X (λ + 2) −G X−T (λ + 2)] = µ(1− α)IRS (λ + 2),
siendo IRS (λ + 2) el índice de Reynolds-Smolensky generalizado definido en la sección 4.1.
De nuevo, en la igualdad anterior un aumento del parámetro λ implica, dado el significa­
do del índice IRS(λ+2), asignar mayor peso al efecto redistributivo del impuesto en los niveles inferio­
x
x − t(x 1)
αx 1 − t(x 1)
, en cuyo caso:
)=
res de renta. Si λ→∞, IRS (λ + 2) → (1− 1 ) − (1− 1
µ
µ(1− α)
µ(1− α)
E(PPROP ) − E(PX−T ) → αx 1 − t(x 1 ) ,
por lo que la reducción de la privación media que supone la progresividad frente a la proporcionalidad
sólo depende de la diferencia entre el impuesto que pagaría la renta mínima con un gravamen pro­
porcional y el que realmente paga con el progresivo de igual recaudación.
Bajo la hipótesis de que el impuesto presente tipos marginales inferiores a la unidad a lo
largo de toda la escala de rentas (caso de no reordenación de los contribuyentes), la relación entre
IRS(λ+2) y el índice generalizado de progresividad de Kakwani IK(λ+2), permite rescribir la expresión
[4.50] de la siguiente forma:
E(PPROP − PX−T ) = µ(1− α)IRS (λ + 2) = µαIK (λ + 2) .
[4.50]
La igualdad anterior indica que un aumento en la progresividad del impuesto sin que va­
ríe la recaudación (α permanece fijo), implica una mayor reducción en la privación media de la socie­
dad. Si t(x) fuese regresivo (IRS(λ)<0, IK(λ)<0) las conclusiones serían las contrarias, la privación
social media aumentaría al pasar de un impuesto proporcional a uno regresivo de recaudación equi­
valente91.
90
A
esta
expresión
se
llega
teniendo
en
cuenta
IRS (λ + 2) = GX (λ + 2) − CX−T (λ + 2) = GX (λ + 2) − GX−T (λ + 2) .
que
no
existe
reordenación,
y,
por
tanto,
En la igualdad anterior, cuando λ→∞ sólo se tiene en cuenta, una vez más, la desviación de la proporcionalidad en relación
a la carga tributaria que recae sobre la renta mínima.
91
— 133 — Es interesante observar que si WX, WX-T y WPROP son, respectivamente, los niveles de
bienestar asociados a la distribución de renta antes de impuestos, a la distribución de renta neta y a
la que resulta de la aplicación de un impuesto proporcional equivalente, se tiene:
WX = µ(1− κG X (λ + 2)) ,
[4.51]
WX−T = µ(1− α)(1− κG X−T (λ + 2)) ,
[4.52]
WPROP = µ(1− λ)(1− κG X (λ + 2))
[4.53]
y, por lo tanto:
WX−T − WPROP = µ(1 − α)κ(G X (λ + 2) − G X−T (λ + 2)) =
= µ(1 − α)κIRS (λ) = µακIK (λ)
[4.54]
En particular, para κ=1 la valoración del bienestar se realiza mediante la renta equivalen­
te igualmente distribuida (REID) asociada al índice de Gini generalizado. En tal caso:
E(PPROP ) − E(PX−T ) = WX−T − WPROP
[4.55]
De esta forma se puede enunciar la siguiente proposición.
Proposición 4.5. Cuando el bienestar social se evalúa mediante la función de bienestar
social que asigna a cada distribución de renta la REID asociada al índice de Gini generalizado, la
ganancia de bienestar que supone la progresividad impositiva frente a la proporcionalidad, coincide
con la reducción de la privación social media.
En la siguiente proposición se resumen los principales efectos sobre la privación, cuando se
define en el sentido que estamos considerando en este epígrafe, al aplicar un impuesto sobre la renta.
Proposición 4.6. Si sobre una distribución de renta incide un impuesto, t(x), cuya aplica­
ción no altera la ordenación inicial de las unidades impositivas, se verifica:
a) Se reduce la privación relativa de cada unidad impositiva cuando t(x) presenta tipos
marginales positivos a lo largo de la escala de rentas.
b) La reducción de la privación social media coincide con la disminución de la desigual­
dad absoluta, evaluada mediante el índice absoluto generalizado de Gini, al pasar de
renta bruta a la de renta disponible.
c) Si t(x) es progresivo, reduce la privación de cada contribuyente y lo hace en mayor
medida que el impuesto proporcional de recaudación equivalente. La reducción de la
privación social media aumenta al hacerlo la progresividad del impuesto, debido al
incremento del índice de Reynolds-Smolensky generalizado o del índice de Kakwani
generalizado.
d) El índice de Reynolds-Smolensky generalizado es igual al cociente entre la reducción
de la privación social media que supone la sustitución de un impuesto proporcional
por otro progresivo de igual recaudación y la renta media disponible.
e) El índice generalizado de progresividad de Kakwani es el cociente entre la reducción
de la privación especificada anteriormente y el impuesto medio.
— 134 — Efecto sobre la satisfacción
El análisis del efecto de la imposición sobre la satisfacción relativa es análogo al de la
privación. Si SX(x) y SX-T(x) representan la satisfacción de un individuo con renta bruta x en las distri­
buciones de renta antes y después de impuestos:
S X−T (x) = (1+ λ)(F(x)) λ [(x − t(x)F(x)− µ(1− α)L X−T (F(x))] .
[4.56]
Se comprueba fácilmente que SX(x)>SX-T(x), x>0 si t´(x)>0. Es decir, al igual que ocurre
con la privación, la aplicación de un impuesto estrictamente creciente supone una reducción, para
todo nivel de renta positivo, de la satisfacción relativa. Para ello, si se considera la función
g(x) = S X (x) − S X−T (x) se obtiene:
[
g ′(x) = (λ + 1) F(x) λ (S ′X,HL (x) − S ′X −T,HL (x)) +
]
+ λF(x) λ−1(S X,HL (x) − S X−T,HL (x)) ,
[4.57]
y teniendo en cuenta que S X,HL (x) > S X −T,HL (x) y que S ′X,HL (x) > S ′X −T,HL (x) , si el impuesto es es­
trictamente creciente y no supone reordenación, la derivada de g(x) es positiva y como g(0)=0, dicha
función es positiva para todo el intervalo de rentas.
Para el conjunto de la sociedad la reducción media de la satisfacción, aplicando [2.20],
viene dada por:
*
*
E(S X − S X−T ) = WX,λ+2
− µ − WX−T,λ+2
+ µ(1− α) =
*
*
= WX,
λ+2 − WX−T, λ+2 − µα ,
[4.58]
*
donde Wx,λ+2
es la función de bienestar de la sociedad medida a través del valor esperado del esta­
dístico de orden mayor en muestras de tamaño92 λ+2. La expresión anterior es positiva ya que para
todo nivel de renta es S X (x) > S X − T (x) . En consecuencia, la reducción en la satisfacción es la dife­
rencia entre las funciones de bienestar basadas en la renta máxima, y el impuesto medio. Como su­
cedía con la privación, un impuesto de capitación, deja invariante la satisfacción media de la sociedad
y la de cada individuo, al no modificar las diferencias de rentas, ni sus posiciones, mientras que, todo
impuesto estrictamente creciente, al reducir las diferencias iniciales de renta, conlleva la disminución
de la satisfacción a nivel individual, y en consecuencia, a nivel global. En particular, esto último tam­
bién sucederá al aplicar un impuesto progresivo al ser t´(x)>0 para todo x>0.
En la satisfacción la incidencia distributiva del parámetro λ es contraria a la que presenta
en el caso de la privación, en el sentido de que al aumentar se valor se asigna mayor peso a las ren­
tas de la cola derecha de la distribución. Por lo tanto, la variación de la satisfacción media antes y
después de impuestos depende cada vez más, cuando crece λ, del comportamiento del gravamen en
las rentas altas. En el caso extremo, si λ→∞:
E(S X ) − E(S X−T ) → x * −(x * −t(x*)) − µα = t(x*) − µα ,
esa variación es la diferencia entre el impuesto que recae sobre la renta máxima y el impuesto medio.
92
Recuérdese que esta interpretación sólo es válida para valores enteros del parámetro λ.
— 135 — Si SPROP(x) es la satisfacción del individuo con renta inicial x en la distribución que resulta
de aplicar un impuesto proporcional de tipo medio α, se tiene:
SPROP (x) = (1+ λ)F(x) λ [(x − αx)F(x) − µ(1− α)L x (F(x))] =
= (1− α)S X (x) ,
de manera que la satisfacción de cada individuo se reduce en una proporción que coincide con el tipo
medio impositivo, y esa misma reducción se produce para el conjunto de la sociedad:
E(S PROP ) = (1− α)E(S x ) .
Al comparar el efecto de un impuesto progresivo sobre la satisfacción con el del impues­
to proporcional equivalente en recaudación, mediante un razonamiento análogo al realizado para la
privación resulta que para cada nivel de renta es:
SPROP (x) > S X−T (x) .
[4.59]
La aplicación de un impuesto progresivo reduce la satisfacción individual en mayor me­
dida que el proporcional de igual recaudación. Para el conjunto de la sociedad la reducción media es:
*
*
E(S X−T ) − E(S PROP ) = WX−T,
λ+2 − (1− α)WX, λ+2
[4.60]
y se expresa como la diferencia entre los niveles de bienestar asociados a las respectivas distribuciones de
*
. Esa diferencia depende en mayor medida del compor­
renta disponible evaluadas mediante la FES WX,λ+2
tamiento del impuesto en la cola derecha de la distribución conforme crece λ. Cuando λ→∞, resulta:
E(S X−T ) − E(S PROP ) → (x * −t(x*)) − (1− α)x* = (αx * −t(x*)) < 0 ,
de manera que la variación del bienestar social se identifica con la diferencia entre cómo quedaría
gravada la renta máxima con un impuesto proporcional y el gravamen que realmente soporta con el
progresivo de igual recaudación.
En la siguiente proposición se recogen los principales resultados relativos al efecto de la
imposición sobre la satisfacción.
Proposición 4.7. Supongamos que sobre una distribución de renta incide un impuesto,
t(x), cuya aplicación no altera la ordenación inicial de las unidades impositivas. Se verifica:
a) Si t(x) es estrictamente creciente a lo largo de la escala de rentas, reduce la satisfac­
ción relativa de cada unidad impositiva.
b) La reducción de la satisfacción social media debido a la introducción de un impuesto es la di­
ferencia entre las funciones de bienestar basadas en la renta máxima y el impuesto medio.
c) Si t(x) es progresivo, reduce la satisfacción de cada contribuyente y lo hace en mayor
medida que el impuesto proporcional de recaudación equivalente.
d) La reducción de la satisfacción social media debido a la sustitución de un impuesto
proporcional por uno progresivo de igual recaudación es la diferencia de bienestar en
ambos casos medida a través del valor esperado del estadístico de orden mayor en
muestras de tamaño λ+2.
— 136 — Aunque no vamos a analizar el efecto de un impuesto sobre la satisfacción neta por las
razones que quedaron señaladas en la sección 2.2 del capítulo segundo, es evidente que la inciden­
cia del gravamen no será constante a lo largo de la escala de rentas ya que tanto la privación como la
satisfacción se modifican en el mismo sentido con su introducción, circunstancia que, por otra parte,
es lo habitual en esta magnitud.
4.5. Aplicación. Análisis de la incidencia de la tarifa nominal del IRPF (1994) sobre la privación
4.5. y la satisfacción relativa
La fuente estadística utilizada es la Memoria de la Administración Tributaria correspon­
diente al año 1994. La distribución de renta inicial se identifica con la base liquidable del IRPF para
ese año y la distribución de renta disponible con la que resulta de restar a la anterior la cuota integra
del impuesto. Así, podemos asegurar que el tributo depende exclusivamente de nivel de renta y no
existe reordenación.
A partir de 1992, primer año de aplicación de la Ley 18/1991 del Impuesto sobre la Renta
de las Personas Físicas, se configura un “tributo individual”, dejando la tributación conjunta, norma
general anterior, como régimen optativo. Dado que la Memoria de la Administración Tributaria no
proporciona información por separado para cada una de esas modalidades, la distribución de renta
93
neta es el resultado de aplicar una tarifa ficticia , t(x), que sería combinación de las tarifas nominales,
individual y conjunta, mediante las que se diseña el tributo.
Para caracterizar la distribución empírica de la renta antes y después de impuestos se ha
estimado el modelo triparamétrico de Dagum (1977) del que hemos hecho uso en capítulos anteriores.
Los parámetros obtenidos mediante el método no lineal de minimización de la suma de los
cuadrados de las diferencias entre los valores observados y estimados, figuran en la Tabla 4.2. Junto a
ellos se recogen los valores estimados para la media, mediana, moda, índice de Gini, así como la suma
de cuadrados de los errores (S.C.E.) y el estadístico de Kolmogorov (K) del modelo ajustado a la distri­
bución de renta inicial y disponible a través del programa EPID proporcionado por Dagum.
TABLA 4.2 PARÁMETROS ESTIMADOS DEL MODELO TRIPARAMÉTRICO DE DAGUM PARA LA RENTA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994 β
λ*
δ
βδ
Media estimada
Mediana estimada
Moda estimada
Gini
SCE de F(x)*
K
Antes de impuestos
Después de impuestos
1,358
17995804,5
1,749
9104991,9
2,314
2,336
3,142
2232,2
1627
1130,4
0,4109
17,574
0,019
4,085
1759,7
1298,8
922,5
0,3933
58,113
0,035
(*) Correspondientes al ingreso medido en miles de pesetas. Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID. 93
Si F y G son las funciones de distribución de la renta antes y después de impuestos respectivamente, al ser F(x)=G(x-t(x)),
-1
para todo x >0, es inmediato que t(x)=x-G (F(x)).
— 137 —
El ajuste realizado es bueno dado los pequeños valores de la suma de los errores al
cuadrado y del estadístico de Kolmogorov94. Además, las diferencias entre los valores estimados y
observados para la media y mediana no superan el 7,2%. El producto βδ>1 indica que las distribucio­
nes son unimodales, tal y como muestra el Gráfico 4.1 en el que se representa la función de densidad
para cada distribución de renta, inicial y disponible. Ambas son asimétricas a la derecha, con cola
pesada, como es característico de este tipo de distribuciones. El gravamen produce una reducción del
apuntamiento de la distribución de renta inicial. Una vez reemplazados los parámetros por los valores
estimados las funciones de densidad adoptan las expresiones siguientes:
fX (x) = 56548311,9 x -3,31416 (1+ 17995804,5 x -2,31416 ) −2,35786
fX−T (x) = 37197977 x -3,33573 (1+ 9104991,81 x -2,33573 ) -2,74911
GRÁFICO 4.1 FUNCIONES DE DENSIDAD DE LA RENTA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994 Funciones de densidad
0,0007
0,0006
f(x)
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
Renta antes y después de impuestos en miles de ptas.
Renta antes de impuestos
Renta después de impuestos
Fuente: Elaboración propia.
La comparación de las estimaciones de la renta media inicial y disponible permiten calcu­
lar el impuesto medio, que asciende a 472.500 pesetas, y el tipo medio global, α=0,2117.
Los valores de las curvas de Lorenz estimadas para ambas distribuciones figuran en la
Tabla 4.3, donde se aprecia la incidencia del impuesto sobre la desigualdad de la distribución de la
renta. Dada la progresividad de la tarifa es LX-T(F(x))>LX(F(x)) para todos los niveles de renta. Esto se
traduce en una reducción de 1,76 centésimas en el índice de Gini, pasando de 0,4109 en la distribu­
ción inicial a 0,3933 para la renta disponible.
94
A un nivel de significación del 5%, el contraste de Kolmogorov-Smirnov nos lleva a aceptar la hipótesis nula de que el mode­
lo de Dagum se ajusta bien a las funciones de distribución observadas.
— 138 — TABLA 4.3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA BASE LIQUIDABLE IRPF-1994. TARIFA NOMINAL.
CURVAS DE LORENZ ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS X(miles de pesetas.)
F(x)
t(x)
LX(F(x))
LX-T(F(x))
1500
0,038
1141
0,006
0,008
1600
0,063
1166
0,012
0,015
1700
0,094
1191
0,022
0,025
1900
0,174
1143
0,051
0,056
1000
0,220
1169
0,070
0,077
1100
0,267
1195
0,092
0,100
1200
0,314
1220
0,116
0,125
1300
0,361
1246
0,142
0,152
1400
0,406
1271
0,170
0,180
1500
0,449
1296
0,198
0,209
1600
0,489
1321
0,226
0,237
1800
0,563
1371
0,282
0,294
1900
0,595
1396
0,309
0,321
2100
0,653
1445
0,360
0,372
2300
0,701
1494
0,408
0,420
2600
0,759
1567
0,471
0,483
2900
0,803
1639
0,526
0,537
4000
0,897
1903
0,667
0,677
6000
0,957
1383
0,797
0,803
159991
0,995
3817
0,943
0,945
Fuente: Elaboración propia a partir de los resultados de EPID.
En esta sección analizamos la incidencia de la tarifa nominal del IRPF (1994) comparán­
dola con la del impuesto proporcional de recaudación equivalente, t(x)=0,2117x, sobre la privación /
satisfacción, bajo diferentes supuestos.
Estudio del efecto del impuesto sobre la privación/satisfacción bajo el enfoque de Hey y
Lambert
A partir del ajuste del modelo de distribución de probabilidad, es inmediato obtener a par­
tir de las correspondientes definiciones las funciones que proporcionan la privación media individual
antes y después de impuestos. En el Gráfico 4.2 se representa la propuesta de Hey y Lambert (1980)
(expresión [1.3]) y cuyos valores figuran en la Tabla 4.4.
— 139 — TABLA 4.4 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT F(x)
PX(x)
PX-T(x)
PX-PROP(x)
SX(x)
SX-T(x)
SX-PROP(x)
SNX(x)
SNX-T(x)
SNX-PROP(x)
0,038
1736,939
1304,793
1369,273
1114,739
1113,702
11113,736
-1732,200
-1301,091
-1365,537
0,063
1641,885
1233,168
1294,340
1119,685
1117,427
11117,635
-1632,200
-1225,742
-1286,705
0,094
1549,677
1164,344
1221,649
1117,477
1113,241
11113,777
-1532,200
-1151,104
-1207,872
0,174
1376,227
1035,616
1084,915
1144,027
1132,940
11134,708
-1332,200
-1002,676
-1050,207
0,220
1295,897
1976,056
1021,589
1163,697
1147,524
11150,214
-1232,200
-928,532
-971,375
0,267
1220,195
1919,868
1961,911
1187,995
1165,557
11169,369
-1132,200
-854,311
-892,542
0,314
1149,222
1867,106
1905,961
1117,022
1187,137
11192,251
-1032,200
-779,969
-813,709
0,361
1082,958
1817,749
1853,724
1150,758
1112,264
11118,847
-932,200
-705,485
-734,877
0,406
1021,295
1771,727
1805,113
1189,095
1140,875
11149,068
-832,200
-630,852
-656,044
0,449
1964,047
1728,915
1759,982
1231,847
1172,844
11182,771
-732,200
-556,071
-577,212
0,489
1910,987
1689,162
1718,154
1278,787
1208,013
11219,775
-632,200
-481,149
-498,379
0,563
1816,393
1618,110
1643,583
1384,193
1287,186
11302,869
-432,200
-330,924
-340,714
0,595
1774,318
1586,436
1610,415
1442,118
1330,792
11348,533
-332,200
-255,644
-261,882
0,653
1699,298
1529,854
1551,275
1567,098
1425,053
11447,058
-132,200
-104,801
-104,217
0,701
1634,829
1481,130
1500,452
1702,629
1527,482
11553,900
67,800
46,352
53,448
0,759
1554,239
1420,107
1436,921
1922,039
1693,621
11726,867
367,800
273,514
289,946
0,803
1488,916
1370,562
1385,425
1156,716
1871,608
11911,869
667,800
501,046
526,444
0,897
1331,828
1251,213
1261,588
2099,629
1588,022
11655,191
1767,801
1336,809
1393,602
0,957
1198,811
1150,102
1156,728
3966,604
3007,052
13126,975
3767,793
2856,950
2970,247
0,995
1155,492
1141,505
1143,746
13822,663 10465,055 10896,757 13767,171 10423,550
10853,011
Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de los resultados de EPID.
GRÁFICO 4.2
FUNCIONES DE PRIVACIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT
Privación
2000
P(x)
1500
1000
500
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Renta inicial
P(x) antes de impuesto
P(x) tras IRPF
Fuente: Elaboración propia.
— 140 — P(x) tras impuesto proporcional
En el Gráfico 4.2. se observa que el impuesto produce una disminución en la privación,
siendo ésta mayor en el caso del IRPF (1994), progresivo, que en el del proporcional de recauda­
ción equivalente. Es más, para ambos impuestos, a medida que se eleva el nivel de renta esa dis­
minución es menor, originando que las curvas se aproximen progresivamente entre sí y al eje de
abscisas. Si bien la diferencia en la privación de la renta disponible tras el impuesto progresivo y el
proporcional equivalente no se identifica claramente en el Gráfico 4.2, la Tabla 4.4 sí muestra dicha
diferencia.
GRÁFICO 4.3 FUNCIONES DE SATISFACCIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN EL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT Satisfacción
9000
S(x)
7500
6000
4500
3000
1500
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Renta inicial
S(x) antes de impuesto
S(X) tras IRPF
S(x) tras impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
En el Gráfico 4.3. figura la satisfacción para la renta antes y después de impuestos,
tanto para el IRPF (1994) como para el proporcional de igual recaudación. En el mismo se advierte
que en las distribuciones de renta disponible la satisfacción, para cada nivel de renta, es menor que
en la distribución inicial y que esa disminución es más reducida en la que resulta del proporcional.
Por otra parte, al aumentar el nivel de renta también lo hace la disminución de la satisfacción que
se produce como consecuencia de la imposición. Los valores de dicha función se recogen en la
Tabla 4.4.
— 141 — GRÁFICO 4.4 FUNCIÓN DE SATISFACCIÓN NETA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT Satisfacción neta
9500
SN(x)
6500
3500
500
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
-2500
Renta inicial
SN(x) antes de impuesto
SN(x) tras IRPF
SN(x) tras impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
Como se ha indicado en la sección 4.2.1, el efecto del pago del impuesto sobre la satis­
facción neta no es uniforme a lo largo de la escala de rentas. Siguiendo la notación empleada en
dicha sección, x0 es la renta cuyo tipo medio coincide con el tipo medio global del impuesto,
α=t(x0)/x0, x1 es aquel nivel de renta que paga un impuesto igual al impuesto medio, t(x1)=µα, y x2
aquel cuya renta disponible coincide con la renta media neta, x2-t(x2)=µ(1-α). Para el impuesto que
analizamos, x0=2.100.000 pesetas, x1=2.300.000 pesetas y x2=2.200.000 pesetas. Para aquellos indi­
viduos cuya renta disponible sea mayor que la renta disponible media, (x-t(x))>1.757.900, la satisfac­
ción neta tras la aplicación de un impuesto progresivo es positiva, mientras que la satisfacción neta
tras el pago de dicho impuesto es menor para los niveles de renta con carga impositiva superior al
impuesto medio, x>x1. A partir del nivel de renta x0 la satisfacción neta tras el impuesto progresivo es
menor que la misma tras un impuesto proporcional. En el Gráfico 4.4 no se pueden diferenciar fácil­
mente los niveles de renta x0, x1 y x2, pero sí el comportamiento de la función. No obstante, en la Ta­
bla 4.4 se puede analizar el comportamiento de la misma para cada tipo de impuesto.
En la Tabla 4.5 se recoge el efecto global del IRPF-94 y del impuesto proporcional equi­
valente sobre los valores medios de las magnitudes objeto de estudio.
TABLA 4.5
ÍNDICE DE GINI, RENTA MEDIA, PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN SOCIAL MEDIA Y BIENESTAR
PARA LAS DISTRIBUCIONES ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS
Gini
Media
Privación/Satisfacción
social media
Bienestar
Renta inicial.
0,4109
2232,2
917,21
1314,99
Renta disponible tras IRPF.
0,3933
1759,7
692,09
1067,61
Renta disponible tras impuesto
proporcional.
0,4109
1759,7
723,06
1036,64
Fuente: Elaboración propia.
— 142 —
El índice de Gini experimenta una disminución al aplicar una tarifa progresiva y no varia
con la proporcional. Por lo tanto, al disminuir también la renta media de la distribución, lo mismo su­
cede con la privación / satisfacción media para el conjunto de la sociedad en ambos supuestos, aun­
que en menor medida en el caso del impuesto proporcional. A partir de la diferencia entre los valores
medios de la privación en ambos casos, se obtiene que el índice de Reynolds-Smolensky para el
IRPF-94 es IRS=0,0176, mientras que el índice de Kakwani es IK=0,0655. El signo positivo de ambos
muestra, una vez más, la progresividad de la tarifa nominal del impuesto.
Tal y como se ha indicado en este capítulo, cuando el bienestar se evalúa mediante la
REID asociada al índice de Gini, la ganancia de bienestar derivada de la aplicación de un impuesto
progresivo frente al proporcional de igual recaudación, coincide con la reducción de la privación me­
dia, 30.970 pesetas, en este caso. El bienestar medio en la distribución de renta inicial es 1.314.990,
en la de renta disponible tras la aplicación de la tarifa del IRPF es de 1.067.610 pesetas, mientras que
en la de la renta disponible que resulta del proporcional equivalente es de 1.036.640 pesetas. Por lo
tanto, queda clara la ventaja que supone la progresividad frente a la proporcionalidad, fijado el nivel
de recaudación.
Estudio del efecto del impuesto sobre la privación /satisfacción bajo el supuesto de que los
individuos muestran preocupación por el status
Si en vez del enfoque de Hey y Lambert suponemos que los individuos muestran pre­
ocupación por el status, los resultados obtenidos muestran la importancia de la carga que recae sobre
la renta máxima.
GRÁFICO 4.5 FUNCIONES DE PRIVACIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE BASADO EN EL STATUS P(x)
Privación
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Renta inicial
P(x) antes de impuesto
P(x) tras IRPF
P(x) tras impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
La privación para cada nivel de renta, en la distribución de renta disponible tras la apli­
cación de un impuesto es menor que para la renta inicial siempre que la mayor carga fiscal sea sopor­
— 143 — tada por el contribuyente que tenga una mayor renta. En el Gráfico 4.5, se muestra el caso de la tarifa
nominal del IRPF, que al ser progresiva, reduce la privación para cada nivel de renta pero lo hace en
mayor medida que la proporcional equivalente en recaudación. Además, tal y como se aprecia en
dicho gráfico, esta reducción es menor al aumentar el nivel de renta, Tabla 4.6.
TABLA 4.6 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE BASADO EN EL STATUS F(x)
PX(x)
PX-T(x)
PX-PROP(x)
SX(x)
SX-T(x)
SX-PROP(x)
SNX(x)
SNX-T(x)
SNX­
(x)
PROP
0,038
94028,5
70299,9
74125,1
1114,0
1113,5
1111,1
-94014,5
-70286,4
-74114,0
0,063
91540,2
68439,4
72163,5
1127,8
1126,0
1122,0
-91512,4
-68413,4
-72141,5
0,094
88382,7
66078,6
69674,4
1148,6
1144,2
1138,3
-88334,2
-66034,4
-69636,1
0,174
80459,5
60154,3
63428,2
1112,8
1198,9
1188,9
-80346,7
-60055,3
-63339,3
0,220
75968,7
56796,4
59888,0
1155,9
1135,0
1122,9
-75812,8
-56661,4
-59765,2
0,267
71317,7
53318,8
56221,6
1205,2
1175,8
1161,8
-71112,5
-53143,0
-56059,8
0,314
66634,8
49817,2
52529,9
1259,7
1220,4
1204,7
-66375,1
-49596,8
-52325,2
0,361
62025,3
46370,6
48896,1
1318,0
1267,9
1250,7
-61707,3
-46102,7
-48645,4
0,406
57569,4
43038,7
45383,4
1379,0
1317,2
1298,8
-57190,4
-42721,5
-45084,6
0,449
53323,5
39863,9
42036,3
1441,4
1367,4
1348,0
-52882,1
-39496,5
-41688,3
0,489
49323,3
36872,8
38882,8
1504,4
1417,8
1397,6
-48818,9
-36455,0
-38485,2
0,563
42122,6
31488,6
33206,3
1628,7
1516,8
1495,6
-41493,9
-30971,8
-32710,7
0,595
38925,2
29097,8
30685,7
1689,0
1564,6
1543,1
-38236,2
-28533,2
-30142,6
0,653
33291,0
24885,0
26244,1
1803,8
1655,3
1633,7
-32487,2
-24229,7
-25610,5
0,701
28571,1
21356,0
22523,3
1909,8
1738,7
1717,2
-27661,3
-20617,3
-21806,1
0,759
22913,5
17125,9
18063,3
1051,5
1849,7
1828,9
-21862,0
-16276,2
-17234,4
0,803
18592,1
13895,0
14656,6
1173,4
1944,9
1925,0
-17418,7
-12950,1
-13731,6
0,897
19526,3
17117,7
17509,8
1489,6
1190,5
1174,3
-8036,7
1-5927,2
1-6335,5
0,957
13796,5
12835,3
12992,9
1778,4
1413,4
1401,9
1-2018,1
1-1421,9
1-1590,9
0,995
11326,1
11243,2
11257,1
2104,0
1662,8
1658,7
1-1777,9
1-1419,6
1-1401,6
Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de los resultados de EPID.
A diferencia del caso de la privación, cualquier impuesto positivo reduce la satisfac­
ción, independientemente de la carga fiscal que recaiga sobre la renta máxima, y si el impuesto es
progresivo la reducción de la satisfacción se produce para todo nivel de renta y en menor medida
que para el proporcional equivalente. Por ello, la satisfacción tras la aplicación de un impuesto pro­
gresivo es superior que tras la del proporcional que obtenga una misma recaudación. El Gráfico
4.6. no muestra con claridad este comportamiento, pero los datos de la Tabla 4.6. permiten com­
probarlo.
— 144 — GRÁFICO 4.6 FUNCIONES DE SATISFACCIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN EL ENFOQUE BASADO EN EL STATUS Satisfacción
2000
S(x)
1500
1000
500
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Renta inicial
S(x) antes de impuesto
S(x) tras IRPF
S(x) tras impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
Respecto a la satisfacción neta, el pago de un impuesto positivo no tiene el mismo
efecto sobre todos los niveles de renta, ya que no depende de la carga fiscal que soporta cada nivel
de renta, sino de la posición ocupada en la distribución.
GRÁFICO 4.7 FUNCIONES DE SATISFACCIÓN NETA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE BASADO EN EL STATUS SN(x)
Satisfacción neta
0
-10000 0
-20000
-30000
-40000
-50000
-60000
-70000
-80000
-90000
-100000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Renta inicial
SN(x) antes de impuesto
SN(x) tras IRPF
SN(x) tras impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
En el Gráfico 4.7. se observa que la satisfacción neta tras la aplicación de un impuesto
progresivo es siempre superior que la asociada a la renta disponible tras el proporcional equivalente. En
cambio, la satisfacción neta de la renta inicial es inferior que la de la renta disponible, sea el gravamen
— 145 —
progresivo o proporcional, hasta el nivel de renta x2 definido en la sección 4.3, a partir del cual sus
posiciones se invierten. El nivel de renta para el que la satisfacción neta (ya sea de la renta disponible o
inicial) se anula es muy elevado debido a la relación entre la renta máxima y la media (la renta máxima es
más de 7 veces la media). Para que la satisfacción neta tras un impuesto progresivo se anule para valores
cercanos a la renta media disponible, como ocurre con la formulación propuesta por Hey y Lambert, es
necesario que, si no se modifica el tipo medio global, la renta máxima se grave con un tipo de 0,96.
A nivel global, el efecto de un impuesto en la privación del conjunto de la sociedad
depende de la diferencia entre el impuesto que recae sobre la renta máxima, y el impuesto medio, y
de la variación en la desigualdad absoluta al pasar de la renta bruta a la disponible. Evidentemente,
tal y como muestra la Tabla 4.7, al aplicar la tarifa nominal del IRPF la desigualdad absoluta se
reduce más que al aplicar el proporcional equivalente. Esto, unido a que la diferencia entre el
impuesto que recae sobre la renta máxima y el impuesto medio es positiva, motiva la mayor privación
social media para el caso de un gravamen proporcional que para uno progresivo.
TABLA 4.7
ÍNDICE DE GINI Y PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN MEDIA SOCIAL PARA LA DISTRIBUCIÓN
ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS, PARA EL ENFOQUE BASADO EN EL STATUS
Renta inicial.
Renta disponible tras IRPF.
Renta disponible tras im­
puesto proporcional.
Gini absoluto
Privación
social media
Satisfacción
social media
Satisfacción neta
social media
Bienestar
917,21
692,09
48425,29
21774,10
657,49
533,80
-47767,80
-21240,30
1314,99
1067,61
723,06
38174,89
518,32
-37656,57
1036,64
Fuente: Elaboración propia.
La reducción de la satisfacción social media depende de la variación en la desigualdad
absoluta, -225.121 pesetas y –194.150 pesetas para el impuesto progresivo y proporcional
respectivamente, y del impuesto medio, 472.500 pesetas. Obviamente, la reducción en la satisfacción
producida al introducir un impuesto progresivo es mayor que la de uno proporcional equivalente en
recaudación. Respecto a la satisfacción neta social media, la aplicación del impuesto produce un
aumento en la misma, ya que la carga que soporta la renta máxima es muy superior al doble del
impuesto medio. Además, la satisfacción neta tras la aplicación de la tarifa del IRPF es mayor que si
se aplica la proporcional equivalente como muestra la Tabla 4.7.
Si comparamos el bienestar asociado a la distribución de renta disponible tras la aplicación
de la tarifa del IRPF con la que resulta de aplicar el proporcional equivalente, medidos mediante la REID
asociada al índice de Gini, se pueden obtener de nuevo los índices de Reynolds-Smolensky y de Kakwani.
Además, se puede comprobar que la reducción en la satisfacción social media, de 657.490 pesetas a
533.800 pesetas, coincide con la disminución del bienestar, al pasar de la distribución de renta bruta a la
de renta neta, de 1.314.990 pesetas a 1.067.610 pesetas, es decir, 123.690 pesetas.
Estudio del efecto del impuesto sobre la privación / satisfacción bajo el enfoque que generaliza
el propuesto por Hey y Lambert
En el caso en que trabajemos a partir del enfoque que generaliza el propuesto por Hey y
Lambert, al introducir un impuesto progresivo se reduce tanto la privación como la satisfacción para
todos los niveles de renta. Los valores de la privación y satisfacción, según niveles de renta, para la
renta bruta y disponible, haciendo que el parámetro, λ, que figura en sus definiciones (véase [2.9],
[2.18]), tome el valor λ=5, vienen recogidos en la Tabla 4.8.
— 146 — TABLA 4.8 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y SATISFACCIÓN NETA ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT GENERALIZADO (λ=5) F(x)
PX(x)
PX-T(x)
PX-PROP(x)
SX(x)
SX-T(x)
SX-PROP(x)
0,038
0,063
0,094
0,174
0,220
0,267
0,314
0,361
0,406
0,449
0,489
0,563
0,595
0,653
0,701
0,759
0,803
0,897
0,957
0,995
8607,254
7132,214
5665,358
3170,932
2251,372
1553,904
1048,110
1694,399
1454,005
1294,151
1189,535
1178,299
1150,426
1121,168
1119,093
1112,700
1110,860
1110,023
1110,000
1110,000
6465,793
5356,782
4256,648
2386,138
1695,709
1171,442
1790,815
1524,345
1343,062
1222,408
1143,383
1159,282
1138,190
1116,039
1116,891
1112,047
1110,652
1110,017
1110,000
1110,000
6785,317
5622,506
4466,146
2499,726
1774,814
1224,982
1826,252
1547,413
1357,904
1231,887
1149,415
1161,725
1139,752
1116,687
1117,168
1112,129
1110,678
1110,018
1110,000
1110,000
11110,000
11110,000
11110,001
11110,042
11110,195
11110,710
11112,141
11115,516
11112,481
11125,345
11147,004
11130,087
11198,348
11403,395
11713,952
11394,041
12324,251
17328,392
19153,899
81069,128
11110,000
11110,000
11110,001
11110,032
11110,145
11110,529
11111,594
11114,107
11119,298
11118,895
11135,072
11197,241
11148,404
11302,353
11535,982
11048,693
11751,368
15542,719
14520,422
61376,950
11110,000
11110,000
11110,001
11110,033
11110,154
V1110,560
11111,688
11114,348
11119,839
11119,980
11137,055
11102,551
11156,363
11318,006
11562,826
11098,958
11832,266
15777,158
15099,505
63908,854
Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de los resultados de EPID.
GRÁFICO 4.8
FUNCIONES DE PRIVACIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT GENERALIZADO (λ=5)
Privación
14000
12000
P(x)
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
Renta inicial
P(x) antes de impuesto
P(x) tras IRPF
Fuente: Elaboración propia.
— 147 — P(x) tras impuesto proporcional
De nuevo, la introducción de un gravamen progresivo provoca una reducción en la
privación de mayor cuantía que la que causaría el proporcional de igual recaudación. Asímismo,
Gráfico 4.8, la reducción de la privación con ambos impuestos disminuye a medida que aumenta el
nivel de renta.
GRÁFICO 4.9 FUNCIONES DE PRIVACIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT (λ=0) Y HEY Y LAMBERT GENERALIZADO (λ=5) Privación después del IRPF
12000
10000
P(x)
8000
6000
4000
2000
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
Renta inicial
Lambda =5
Lambda=0
Fuente: Elaboración propia.
Como se ha comentado en este capítulo, el parámetro λ tiene un carácter distributivo
e introduce juicios de valor al asignar distintas ponderaciones a la privación asociada a disferentes
niveles de renta. En el Gráfico 4.9 se comprueba que, dado que la definición de privación de Hey y
Lambert se obtiene cuando λ=0, y que al aumentar λ la incidencia del impuesto sobre la privación
asociada a las rentas más bajas es mayor. La curva de privación para el caso λ=5, o para
cualquier otro valor positivo, queda situada por encima de la correspondiente a λ=0 para los
niveles de renta bajos (inferiores a 1.200.000 pesetas aproximadamente). Sucede lo contrario con
las rentas altas.
— 148 — GRÁFICO 4.10 FUNCIONES DE SATISFACCIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994,
SEGÚN EL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT GENERALIZADO (λ=5) Satisfacción
50000
S(x)
40000
30000
20000
10000
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
Renta inicial
S(x) antes de impuestos
S(x) tras IRPF
S(x) despues de impuesto proporcional
Fuente: Elaboración propia.
Al igual que para la privación, la introducción de un impuesto progresivo produce una dis­
minución en la satisfacción, mayor que la que provocaría el proporcional equivalente, como se observa
en el gráfico 4.10, aunque en este caso, al elevarse el nivel de renta la reducción en la satisfacción au­
menta. A diferencia de lo que ocurre en la privación, al aumentar el valor de λ, la importancia de la inci­
dencia del impuesto sobre la satisfacción de las rentas altas aumenta, y por lo tanto, bajo el enfoque de
Hey y Lambert (λ=0) la incidencia del impuesto sobre la satisfacción en el extremo derecho de la distri­
bución es menor o igual que bajo el enfoque generalizado (λ>0), y así lo muestra el Gráfico 4.11.
GRÁFICO 4.11 FUNCIONES DE SATISFACCIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS PARA 1994, SEGÚN EL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT (λ=0) Y HEY Y LAMBERT GENERALIZADO (λ=5) Satisfacción después del IRPF
10000
S(x)
8000
6000
4000
2000
0
0
1000
2000
3000
Renta inicial
Lambda =5
Fuente: Elaboración propia.
— 149 — Lambda=0
4000
5000
En el conjunto de la sociedad, el efecto que la tarifa nominal del IRPF-94 tiene sobre la
privación media de la sociedad coincide con la disminución en la desigualdad absoluta medida a
través del índice de Gini absoluto generalizado. En cambio, el efecto sobre la satisfacción social me­
dia es la diferencia entre funciones de bienestar que centran su interés en las rentas altas y el im­
puesto medio, (véase [4.58]). Éstos y otros valores se muestran en la Tabla 4.9.
TABLA 4.9 PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN MEDIA SOCIAL PARA LA DISTRIBUCIÓN ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS, PARA LA GENERALIZACIÓN DEL ENFOQUE DE HEY Y LAMBERT (λ=5) Gini generalizado
Privación social
media
Satisfacción social
media
Bienestar
Renta inicial.
0,672988
1502,24
3354,02
729,96
Renta disponible tras
impuesto progresivo.
0,642458
1130,53
2538,84
629,17
Renta disponible tras im­
puesto proporcional.
0,672988
1184,26
2644,06
575,44
Fuente: Elaboración propia.
También en este enfoque, la reducción de la privación social media producida por la apli­
cación de un tributo progresivo es mayor que la que produciría uno proporcional de recaudación equi­
valente. Es más, al igual que para el enfoque de Hey y Lambert, la diferencia entre ambas privaciones
sociales medias nos permite calcular los valores de los índices de Reynolds-Smolensky, y de Kakwa­
ni generalizados de orden λ+2=7, que toman los valores 0,031 y 0,114 respectivamente, ambos posi­
tivos y que indican la progresividad global del gravamen cuando la desigualdad se evalúa con el
índice de Gini generalizado.
La satisfacción social media sigue un comportamiento similar al de la privación; es decir,
al introducir un impuesto la misma se reduce, y en mayor medida cuanto más acentuada es su pro­
gresividad. La diferencia entre la satisfacción media de la sociedad asociada a la renta disponible tras
un impuesto progresivo, 2.538.840 pesetas, y la asociada tras la aplicación del proporcional equiva­
lente, 2.644.060 pesetas, coincide con la diferencia de bienestar, 105.220 pesetas, medido a través
del valor esperado del estadístico de orden mayor en muestras de tamaño λ+2=7.
Si el bienestar se evalúa a través de la REID asociada al índice de Gini generalizado, la
disminución en la privación social media, al pasar de 1.130.530 pesetas a 1.184.260 pesetas, coinci­
de con la ganancia de bienestar que supone la progresividad impositiva frente a la proporcionalidad,
al pasar de 629.170 a 575.440 pesetas, es decir, 53.720 pesetas.
En definitiva, los resultados obtenidos para la tarifa del IRPF-94 son acordes, para las di­
ferentes formulaciones de la privación / satisfacción con los que proporciona, en cada caso, el plan­
teamiento teórico que se ha desarrollado en este capítulo.
4.6. Conclusiones
Dada una distribución de renta sobre los individuos de una población, en este capítulo se
ha analizado el efecto que sobre ella tiene un impuesto horizontalmente equitativo, en el sentido de
que no altere la ordenación inicial de las unidades impositivas, en relación a la privación / satisfacción
tanto a nivel individual, como sobre el conjunto de la sociedad.
— 150 — El estudio de este efecto cuando se trabaja con los enunciados de Hey y Lambert pone
de manifiesto:
a) La aplicación del impuesto reduce la privación / satisfacción de cada contribuyente.
b) Si el impuesto es progresivo, esa reducción es mayor que en el caso del proporcional
de igual recaudación.
c) Para la población la reducción de la privación / satisfacción media que supone un im­
puesto creciente es igual a la disminución de la desigualdad absoluta, medida a tra­
vés del índice absoluto de Gini, al pasar de la distribución de renta inicial a la de
renta disponible.
d) La diferencia entre la privación / satisfacción media asociada a la distribución de ren­
ta neta resultante de aplicar un impuesto, y la asociada a la distribución que se ob­
tiene a partir del impuesto proporcional de recaudación equivalente, es igual a la
diferencia de bienestar, valorado mediante la REID asociada al índice de Gini, que
proporcionan ambas distribuciones. Este resultado permite interpretar los índices de
Kakwani y de Reynolds-Smolensky en términos de privación / satisfacción.
e) El efecto que tiene el pago de un impuesto sobre la satisfacción neta de cada contri­
buyente no es uniforme a lo largo de la escala de rentas.
Para el caso en el que la privación / satisfacción se formula atendiendo al rango que ca­
da individuo ocupa en la distribución, juega un papel esencial la carga fiscal que soporta la renta má­
xima. Se puede afirmar:
a) La aplicación del impuesto reduce la privación de cada nivel de renta si la renta má­
xima soporta la mayor carga.
b) La satisfacción de cada individuo disminuye siempre que el impuesto sea positivo.
c) Sobre la satisfacción neta el efecto del impuesto no es uniforme a lo largo de la esca­
la de rentas, depende del percentil en que esté situado cada individuo. El nivel de
renta que separa a quienes, como consecuencia de su aplicación, ganan o pierden
en términos de satisfacción neta, viene determinado por la relación existente entre el
impuesto medio y el que grava la renta máxima.
d) Si el impuesto es progresivo reduce la privación (satisfacción) para cada nivel de ren­
ta y lo hace en mayor cuantía que el proporcional de recaudación equivalente.
e) Para el conjunto de la sociedad, la reducción de la privación media que se deriva de
la aplicación del impuesto depende de la diferencia entre el impuesto medio y el que
grava la renta máxima, junto a la variación de la desigualdad absoluta que supone el
paso de la distribución de renta bruta a la de renta disponible.
f) La reducción de la satisfacción media depende del impuesto medio y de la variación
de la desigualdad absoluta, aunque esa reducción es menor en la medida en que
aumente la progresividad del impuesto. En general, un impuesto progresivo reduce
la privación (satisfacción) media en mayor (menor) cuantía que el proporcional equi­
valente y esa reducción depende, a su vez, del valor del índice de Kakwani (o de
Reynolds-Smolensky) asociado al impuesto.
— 151 — g) La satisfacción neta media de la sociedad aumenta al aplicar un impuesto en el que
la renta máxima soporte una carga superior al doble del impuesto medio y si, ade­
más, grava la renta máxima a un tipo mayor que el tipo medio global, da lugar a una
distribución de renta disponible cuya satisfacción neta media es mayor a la asociada
a la distribución de renta que resultaría de aplicar un impuesto proporcional de re­
caudación equivalente. Una condición suficiente para que se verifique esta última
condición es que el impuesto sea progresivo.
Comparando estos resultados con la incidencia que tiene un impuesto sobre la privación
/ satisfacción, cuando éstas se definen en el sentido de Hey y Lambert, destaca, como era de espe­
rar, la relevancia que en esta formulación tiene la carga o el tipo medio que se aplica a la renta máxi­
ma. Otra diferencia evidente es que bajo el primer enfoque un impuesto sobre la renta no tiene ningún
efecto sobre la satisfacción neta media de la sociedad, dado que ésta es nula para cualquier distribu­
ción de rentas.
Cuando la privación/satisfacción se definen generalizando la propuesta de Hey y Lam­
bert mediante la introducción de una ponderación dependiente de un parámetro 8>0 y de la función
de distribución de la renta, sobre la incidencia de un impuesto que no implique reordenación se obtie­
nen las siguientes conclusiones:
a) Si sus tipos marginales son positivos reduce tanto la privación como la satisfacción
asociadas a cada nivel de renta.
b) Si el impuesto es progresivo esa reducción es mayor que la producida por el propor­
cional de recaudación equivalente.
c) La reducción de la privación social media inducida por un impuesto creciente coinci­
de con la disminución de la desigualdad absoluta que tiene lugar al pasar de la dis­
tribución de renta inicial a la de renta disponible, evaluada mediante el índice de Gini
absoluto generalizado.
d) Al aumentar el valor de 8 tiene mayor importancia la incidencia del impuesto sobre
las rentas bajas de la distribución, de modo que cuando 864 el efecto global sobre la
privación sólo depende de la diferencia entre el impuesto medio y el que soporta la
renta mínima de la distribución.
e) La reducción de la satisfacción social media es la diferencia entre los valores de las
funciones de bienestar basadas en los estadísticos de mayor orden correspondien­
tes a muestras de un tamaño dado procedentes de las distribuciones antes y des­
pués de impuestos, y el impuesto medio. Al aumentar 8 también lo hace la
importancia de la incidencia del impuesto sobre las rentas altas. Cuando 864 el efec­
to global se identifica con la diferencia entre el impuesto que soporta la renta máxima
y el impuesto medio.
f) Si el bienestar social se evalúa mediante la REID asociada al índice de Gini generali­
zado, la ganancia de bienestar que supone la progresividad impositiva frente a la
proporcionalidad coincide con la reducción de la privación social media.
g) Los índices de Kakwani y de Reynolds-Smolensky generalizados admiten una inter­
pretación normativa a partir de la reducción de la privación social que supone la sus­
titución de un impuesto proporcional por otro progresivo de igual recaudación.
— 152 — h) La reducción de la satisfacción social media que se produce al sustituir un impuesto
proporcional por el progresivo equivalente en recaudación coincide con la variación del
bienestar, evaluado mediante el valor medio del estadístico de mayor orden para mues­
tras de tamaño λ+2, asociado a las respectivas distribuciones de renta disponible.
i) Al aumentar λ la mencionada variación de bienestar depende cada vez más del com­
portamiento del impuesto en los niveles altos de renta. Cuando 864 coincide con la
diferencia entre la carga que soporta la renta máxima y la que soportaría con un im­
puesto proporcional equivalente.
Los resultados anteriores, en lo que se refiere a la privación, son formalmente semejan­
tes a los obtenidos a partir del enfoque de Hey y Lambert al pasar del índice de Gini ordinario al gene­
ralizado, quedando claro, en este último, el significado distributivo del parámetro λ. En el contexto de
la satisfacción los resultados que derivan bajo ambos enfoques son de diferente naturaleza. Ello es
consecuencia de que en la formulación de Hey y Lambert la satisfacción media es una medida abso­
luta de desigualdad, mientras que en la formulación generalizada coincide con una función de bienes­
tar en la que el interés se centra en las rentas altas.
— 153 — CAPÍTULO 5 PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ENTRE POBLACIONES E IMPOSICIÓN SOBRE LA RENTA El objetivo de este capítulo es análogo al del anterior, si bien el análisis se plantea en el
contexto del capítulo tercero. Es decir, se trata de estudiar la incidencia de un impuesto sobre la renta
con relación a la privación / satisfacción, formulada en el sentido de Hey y Lambert, cuando se consi­
dera una partición de una población A en k subpoblaciones {Ai}1≤i≤k cuyos elementos son homogéneos
respecto a ciertas características. Es evidente que las características que, en cada caso, se conside­
ren relevantes se fijarán según la finalidad del análisis que se pretenda realizar. Para nuestro propósi­
to vamos a considerar dos situaciones que suponen dos enfoques diferentes al modelizar un
impuesto sobre la renta:
a) Contemplar diferencias de tratamiento fiscal basadas en factores ajenos a la renta
(estado civil, edad, número de hijos, tener o no hipotecada la vivienda habitual, etc.). En este caso la
distribución del impuesto no está generada por una única tarifa t(x) aplicable a todas las unidades
impositivas, sino mediante un código impositivo constituido por k tarifas diferentes que se aplican a
distintas subpoblaciones de contribuyentes, cuyas respectivas distribuciones de renta presentarán, en
general, solapamiento.
b) Suponer que antes de aplicar la tarifa, cada contribuyente ha realizado las deduccio­
nes (de tipo general, por trabajo dependiente, por situación familiar, etc.) que le corresponden según
la legislación tributaria. En este caso, la tarifa impositiva t(x) recae sobre la base liquidable y el resul­
tado de su aplicación es la cuota íntegra. Esta forma de proceder es la que se contempla en el IRPF
vigente en nuestro país. La tarifa nominal es lineal por tramos y se modeliza mediante una sucesión
estrictamente creciente de tipos marginales y un conjunto de niveles de renta que definen los interva­
los {[xi-1,xi]}1≤i≤k a los que se aplican dichos tipos. Ahora las subpoblaciones, cuyas distribuciones de
renta no presentarán solapamiento, estarán integradas por las unidades cuya base liquidable perte­
nece a cada uno de los tramos anteriores: a la subpoblación Ai pertenecen los contribuyentes cuyo
nivel de renta pertenece al intervalo [xi-1, xi], 1≤i≤k, de la tarifa t(x).
El tratamiento del supuesto a) presenta una mayor dificultad. La incidencia de cada ti(x),
sobre la desigualdad y el bienestar, sobre su correspondiente subpoblación, es una cuestión bien
conocida en la literatura, tanto en relación con un impuesto proporcional de recaudación equivalente
como con relación a las variaciones de los índices habituales de progresión local. Una cuestión dife­
rente es el desarrollar una teoría similar en relación al código impositivo. De hecho, ese paso, que
permitiría incorporar un mayor realismo en la modelización del impuesto, requiere la adopción de
nuevos puntos de vista y es objeto de líneas recientes de investigación (Lambert (1994), Moyes y
Shorrocks (1998)) con resultados prometedores pero en las que permanecen numerosas cuestiones
abiertas.
Abordaremos, en primer lugar, el caso más general descrito en a), algunos de cuyos re­
sultados pueden trasladarse al supuesto b), aunque este último caso, más sencillo desde el punto de
vista teórico, no conduce a una mayor simplicidad formal ni a obtener expresiones de interpretación
más sencilla.
Notación. Además de la introducida en los dos capítulos anteriores, si Ai y Aj , i≠j, son
dos subpoblaciones Pij* representará la privación entre ellas después de impuestos, esto es,
PXi −Ti ,X j −Tj ≡ Pij* y análogamente para la satisfacción y el bienestar. Por otra parte, si F es la función
de distribución de la renta antes de impuestos en la población A, µ su media, L(F(x)) la curva de
Lorenz y GX su índice de Gini, para las características de las distribuciones de renta de las
subpoblaciones utilizaremos la misma notación acompañada del subíndice i. El mismo criterio
— 157 — utizaremos para los parámetros impositivos. Con ello, si T es la recaudación total del impuesto,
α=T/nµ es el tipo medio global, τ=µα es el impuesto medio y µ(1-α) la renta media disponible, Ti, αi, τi,
µi(1-αi)=µi-τi son los correspondientes a la subpoblación Ai. Si
si =
ni
nµ
n µ (1− α i )
T
nτ
, q i = i i , q i* = i i
, ri = i = i i ,
n
T
nτ
nµ
nµ(1− α)
[5.1]
representan para la subpoblación i-ésima su participación en la población total, en la renta total antes
de impuestos, en la renta total disponible y en la recaudación total, respectivamente, se verifican las
igualdades:
k
∑
i=1
q i*
k
si =
∑
k
qi =
i=1
∑
q i* =
i=1
1− α i
=
qi , α =
1− α
k
∑ ri =1
i=1
[5.2]
∑ qi α i , τ = ∑ s i τ i .
Es evidente que cuando las subpoblaciones se identifican con intervalos de renta que no
se solapan, algunos de los parámetros anteriores se pueden expresar a partir de las curvas de Lorenz
asociadas a las distribuciones de renta antes y después de impuestos o mediante la curva de concen­
tración de la carga impositiva. En concreto:
s i = F(x i ) − F(x i−1) , qi = L(F(x i )) − L(F(x i−1))
qi* = L X − T (F(x i )) − L X −T (F(x i−1)) , ri = L T (F(x i )) − L T (F(x i−1)) .
[5.3]
5.1. Efecto de un código impositivo
Si {t1(x),t 2 (x),...t k (x)} es un código impositivo, siendo ti(x) la tarifa correspondiente a la
subpoblación Ai, se define la “tarifa promediada” como:
k
τ(x) =
∑ ϑi (x)t i (x) ,
[5.4]
i=1
siendo ϑi(x) la proporción de unidades contribuyentes que tienen renta x y que pertenecen a la sub­
población Ai. De este modo, τ(x) es el impuesto medio que soportan las unidades con renta x inclui­
das en las distintas subpoblaciones. En cada subpoblación, la tarifa ti(x) sólo depende del nivel de
renta y la renta después de impuestos será una función creciente de la renta antes de impuestos,
esto es: 0<t´i(x)<1, 1#i#k. Es evidente que no es posible obtener una expresión funcional para una
tarifa t(x) definida en toda la población, ya que unidades con un mismo nivel de renta soportarán una
carga diferente según la subpoblación a que pertenezcan. Sin embargo, ello no impide el cálculo,
para el conjunto de la población, de la curva de concentración del impuesto, CT, o de la curva de con­
centración, LX-T, y la curva de Lorenz, L*X−T , para la distribución de renta después de impuestos, a
partir de los conjuntos de datos {ti(xj)}, {xj-ti(xj)} que genera la aplicación de las diferentes tarifas. Estos
datos se ordenarán según los niveles de renta inicial (si se trata de curvas de concentración) o de la
renta después de impuestos (si se trata de curvas de Lorenz).
— 158 — 5.1.1. Caso de dos subpoblaciones. Relación entre la privación / satisfacción antes y después de
5.1.1. impuestos
Supongamos dos poblaciones Ai, Aj en las que la renta antes de impuestos tiene funcio­
nes de distribución Fi, Fj, y sobre las que recaen sendas tarifas ti(x), tj(x), respectivamente. Si ∆ij=E|Xi­
Xj|=Gij(µi+µj) es la diferencia media de Gini entre las distribuciones antes de impuestos, mediante:
[
∆*ij = E (X i − t(X i )) − (X j − t(X j ) = Gij* µ i (1− α i ) + µ j (1− α j
]
∆ t ,t = E t i (X i ) − t j (X j )
[5.5]
i j
se representa la diferencia media de Gini entre las distribuciones después de impuestos95 y la dife­
rencia media de Gini entre ambas tarifas96.
Una relación importante entre las distintas diferencias medias de Gini, se recoge en la
siguiente proposición.
Proposición 5.1. En general se verifica la siguiente desigualdad:
− ∆*ij ≤ ∆ ij − ∆ ti ,t j ≤ ∆*ij
[5.6]
y si en la población unión Ai∪Aj el impuesto es creciente y su aplicación no modifica la ordenación
inicial de los contribuyentes97, es válida la igualdad:
∆*ij = ∆ ij − ∆ ti ,t j
[5.7]
Demostración. Si a y b son dos números reales cualesquiera, es sabido que se verifica:
a − b ≤ a−b ,
desigualdad equivalente a:
− a−b ≤ a − b ≤ a−b .
Por lo tanto, si (x,y)∈Ai∪Aj, haciendo a=x-y, b=ti(x)-tj(y), y teniendo en cuenta la monoto­
nía y linealidad del operador esperanza, se obtiene [5.6]. Si suponemos que en la población unión la
tarifa combinada es monótona creciente y que su aplicación no conlleva reordenación (esto es, para
es
inmediato
que
todo
(x,y)∈Ai∪Aj,
x < y → t i (x) < t j (y) , x - t i (x) < x − t j (y) ),
x − t i (x) − (y − t j (y)) = x − y − t i (x) − t j (y) , de donde se sigue [5.7].
95
Gij* es el coeficiente de Gini entre las poblaciones i y j respecto a sus distribuciones de renta disponible.
96
∆ t ,t = E ti (Xi ) − t j (X j ) = (τi + τ j )Gt i ,t j , donde el último factor es un coeficiente que mide el grado de desigualdad existente
i
j
entre los pagos impositivos que recaen sobre las unidades de las poblaciones Ai y Aj. 97
Es evidente que en cada población se satisfacen ambas condiciones si su tarifa es creciente y presenta tipos marginales
menores que la unidad. Sin embargo, al considerar la unión de ambas poblaciones dichas condiciones, en general, no tienen
por qué cumplirse. — 159 — En consecuencia, la magnitud de ∆*ij − ∆ ij + ∆ ti ,t j ≥ 0 depende de la reordenación que
implica la aplicación del código, de que un mismo nivel de renta, por estar incluido en subpoblaciones
diferentes, pueda estar gravado de forma diferente y de la posible monotonía del impuesto.
La privación media antes de impuestos entre las poblaciones Ai y Aj, teniendo en cuenta
[3.8], viene dada por:
Pij =
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij ,
2
2
mientras que después de impuestos será:
Pij* =
[
]
1
1
µ j (1− α j ) − µ i (1− α i ) + ∆*ij .
2
2
[5.8]
A partir de las dos igualdades anteriores, la relación entre ambas es:
Pij − Pij* =
1
1
(τ j − τ i ) + (∆ ij − ∆*ij ) .
2
2
[5.9]
El valor de la diferencia entre las privaciones medias antes y después de impuestos
depende, por lo tanto, de la diferencia entre los impuestos medios y de la variación de la desigual­
dad absoluta entre ambas poblaciones al pasar de la distribución de renta inicial a la de renta dis­
ponible. El signo de Pij − Pij* no queda determinado a priori, si bien a partir de [5.6] se obtiene una
cota superior:
Pij − Pij* ≤
1
1
(τ j − τ i ) + ∆ ti ,t j .
2
2
[5.10]
Cuando las tarifas ti y tj satisfagan las condiciones bajo las cuales es válida la expresión
[5.7], se obtiene la igualdad:
Pij* = Pij −
[
]
1
(τ j − τ i ) + ∆ ti ,t j .
2
[5.11]
El valor máximo de ∆ ti , t j se alcanza cuando no existe solapamiento entre las distribucio­
nes de los pagos impositivos de los contribuyentes de las poblaciones Ai y Aj. Dado que ese máximo
es τ j − τ i
, se puede asegurar que (τ j − τ i ) + ∆ ti ,t j es, en general, un número real no negativo y, en
consecuencia, si en A i ∪ A j se satisface [5.7], es Pij*
≤ Pij .
Para la satisfacción media, después de impuestos, de Ai respecto a Aj se obtiene, a partir
de [3.18] y de las igualdades anteriores:
S ij* = Pji* =
[
]
1
1
µ i (1− α i ) − µ j (1− α j ) + ∆*ij ,
2
2
— 160 — [5.12]
siendo:
S ij − S ij* =
1
1
(τ i − τ j ) + (∆ ij − ∆*ij )
2
2
[5.13]
1
1
(τ i − τ j ) + ∆ ti ,t j .
2
2
[5.14]
expresión que admite la siguiente acotación:
S ij − S ij* ≤
En particular cuando la aplicación de cada tarifa en su respectiva población no suponga
reordenación en la unión de ambas, se tiene la igualdad:
S ij* = S ij −
[
]
1
(τ i − τ j ) + ∆ ti ,t j .
2
[5.15]
Dado que este supuesto es poco realista cuando el impuesto viene dado mediante un
código impositivo, en adelante supondremos, en esta sección, que existe reordenación y que {ti(x),
tj(x)} no es monótono creciente en A i ∪ A j .
La satisfacción neta media antes de impuestos entre Ai y Aj, a partir de [3.15], es
SNij = µ i − µ j , de modo que tras la aplicación de las tarifas se expresará como:
SNij* = S ij* − Pij* = µ i (1− α i ) − µ j (1− α j ) = SNij − (τ i − τ j ),
[5.16]
por lo que disminuirá si el impuesto medio en Ai es mayor que en Aj.
Proposición 5.2. a)Si sobre las poblaciones Ai y Aj inciden, respectivamente las tarifas
ti(x) y tj(x) sin que con ello se modifique la ordenación inicial, según niveles de renta, en la población
A i ∪ A j , se puede asegurar que la privación / satisfacción entre ambas poblaciones disminuye tras el
pago del impuesto. b) Cuando las tarifas implican reordenación sólo se puede asegurar que la satis­
facción neta entre Ai y Aj después de impuestos es menor que la inicial si el impuesto medio en Ai es
mayor que en Aj, aunque no se puede establecer una conclusión análoga al considerar por separado
la privación y la satisfacción entre ambas poblaciones.
Un resultado importante que utilizaremos más adelante es el que deriva de siguiente
proposición.
Proposición 5.3. Sea ∆ij la diferencia media de Gini entre las poblaciones Ai y Aj, con funciones
de distribución Fi y Fj respectivamente. Si Fi^ ≥ L Fi y Fj^ ≥ L Fj , y E(X i^ ) = E(X i ) = µ i , E(X ^j ) = E(X j ) = µ j
(permanecen constantes las rentas medias), la diferencia media de Gini entre las distribuciones Fi^ y
Fj^ es menor que entre Fi y Fj. Esto es, ∆^ij ≤ ∆ ij .
Demostración. La diferencia media de Gini según [3.4] y [3.8]:
∆ ij = 2E i (xFj ) + 2E j (xFi ) − (µ i − µ j ) ,
— 161 — teniendo en cuenta que:
Ei (xFj ) = µi − E j (µiL(Fi (x))),
E j (xFi ) = µ j − Ei (µ jL(Fj (x))),
también puede expresarse como:
∆ ij = µ i + µ j − 2(E i (µ jL(Fj (x))) + (E j (µ iL(Fi (x)))).
Si, por hipótesis es L(Fi^ ) ≥ L(Fi ) , L(Fj^ ) ≥ L(Fj ) , el enunciado es inmediato por la mono­
tonía del operador esperanza al no modificarse las rentas medias.
La proposición anterior indica que si la distribución de renta existente en cada población
se sustituye por otra que la domine estocásticamente en el sentido de Lorenz, la desigualdad entre
ambas poblaciones, cuando se evalúa a través de su diferencia media de Gini, disminuye. Como co­
rolario de la proposición anterior se obtiene el siguiente resultado:
Proposición 5.4. Si sobre las poblaciones Ai y Aj las tarifas ti(x) y tj(x) son ambas pro­
gresivas y se sustituye cada una de ellas por la proporcional de recaudación equivalente, la desigual­
dad entre las distribuciones de renta disponible aumenta: ∆*ij,PROP ≥ ∆*ij .
Demostración. La sustitución de cada tarifa por la proporcional equivalente no modifica
la renta media disponible de cada población. Por otra parte, en cada población la distribución de renta
neta tras la aplicación de la tarifa proporcional es dominada, en el sentido de Lorenz, por la distribu­
ción de renta neta que resulta de la aplicación de una tarifa progresiva. El enunciado es, por lo tanto,
consecuencia de la proposición anterior.
5.1.2. Descomposición de la privación / satisfacción y del bienestar en y entre subpoblaciones antes
5.1.2. y después de impuestos
En este epígrafe se trata de comparar los resultados obtenidos en la sección 3.2 del Ca­
pítulo 3 con los que resultan de aplicar el código {t 1(x), t 2 (x),...t k (x)} sobre la población A, siendo ti(x)
la tarifa que recae sobre la subpoblación Ai cuyos elementos son homogéneos respecto del conjunto
de características, distintas de la renta, que tienen incidencia impositiva. En cada subpoblación serán
válidos los resultados obtenidos por Imedio, Parrado y Sarrión (1999). Como ya hemos señalado, en
la población total se puede considerar lo que se denomina una tarifa promediada (expresión [5.4])
pero no una tarifa, en el sentido usual, que asigne a cada nivel de renta su carga impositiva, ya que el
gravamen que soporta cada unidad no depende sólo de su renta sino también de la subpoblación a
que pertenezca, por lo que un mismo nivel de renta puede soportar cargas diferentes. Ello no impide
el considerar, para el conjunto de la población, las diferentes curvas de Lorenz o de concentración y
sus índices asociados.
Al comparar las descomposiciones del índice de Gini de las distribuciones antes y des­
pués de impuestos, pretendemos obtener descomposiciones de los índices habituales que miden la
progresividad a través del efecto redistributivo o de la discrepancia del impuesto con el proporcional
equivalente en recaudación, aunque será necesario tener en cuenta algunas matizaciones. Una difi­
cultad que se presenta en este tipo de descomposiciones, basadas en las de los correspondientes
índices de Gini, es que no pueden trasladarse a los coeficientes de concentración ya que éstos últi­
mos se obtienen a partir de la ordenación inicial de rentas existente en la población, ordenación que
— 162 — se verá modificada, en general, como consecuencia de la aplicación del código impositivo. Por ejem­
plo, aunque es inmediato el cálculo del coeficiente de concentración del impuesto para la población
total, CT, y para cada subpoblación, CTi, entre ellos no se puede plantear, en principio, una relación
análoga a la existente entre G, los Gi y los Gij.
A partir de la expresión [3.19] que proporciona la descomposición del índice de Gini aso­
ciado a la distribución de renta antes de impuestos, es evidente que para la distribución de renta dis­
ponible, si G* es su índice de Gini, podemos escribir:
k
∑ siq*j Gij* ,
G* =
[5.17]
i=1
siendo Gii* = Gi* el índice de Gini después de impuestos de la subpoblación Ai y Gij* = G *ji el índice de
Gini entre las distribuciones de renta disponible de las subpoblaciones i-ésima y j-ésima. La ecuación
anterior se puede expresar, aplicando [3.20] a [3.22] como:
*
G * = G *d + Ges
, G d* =
k
∑ si qi* Gi* , G es* = ∑ s i q *j Gij* ,
i=1
[5.18]
i≠ j
*
siendo G d* y Ges
las componentes que cuantifican la desigualdad dentro y entre las subpoblaciones,
tras la aplicación de las respectivas tarifas. Si en las igualdades anteriores multiplicamos ambos
miembros por la renta media neta de la población, :(1-"), y teniendo en cuenta que:
µ(1− α)s i qi* Gi* = s i µ(1− α i )qi Gi* = s i2 µ i (1− α i )Gi* = s i2Pi*
µ(1− α)s i q *j = s i q j µ(1− α j ) = s i s j µ j (1− α j ) ,
resulta:
P * = µ(1− α)G * =
k
k
i=1
i,=
j1
i≠j
∑ s i2Pi* + ∑ s i s jµ j (1− α j )Gij*
.
[5.19]
Si en el segundo sumatorio se agrupan los sumandos dos a dos:
s i s j µ j (1− α j )Gij* + s i s j µ i (1− α i )Gij* = s i s j ∆*ij = s i s j (Pij* + Pji* )
una forma equivalente de expresar [5.19] es la siguiente:
k
P * = µ(1− α)G * =
∑ s i2Pi* + ∑ s i s j ∆*
ij .
i=1
[5.20]
i<j
En consecuencia, la privación (satisfacción) media total, después de impuestos, se pue­
de descomponer en la forma:
*
*
P * = Pd* + Pes
, S * = S *d + S es
,
— 163 — siendo:
Pd* = µ(1− α)G *d =
k
k
i=1
i=1
∑ s i2Pi* , S d* = µ(1− α)G*d = ∑ s i2 S i* ,
[5.21]
las componentes que incorporan la contribución a la privación (satisfacción) media total, después de
impuestos, de la privación (satisfacción) existente dentro de las subpoblaciones, mientras que,
*
*
Pes
= µ(1− α)G es
=
∑ s i s j (Pij* + Pji* ) = ∑ s i s j ∆*ij ,
i<j
*
S es
=
*
µ(1− α)G es
=
∑
i<j
s i s j (S ij*
+ S *ji )
=
i<j
[5.22]
∑
s i s j ∆*ij
,
i<j
cuantifican la contribución a P* y a S* de la privación y de la satisfacción entre subpoblaciones, des­
pués de impuestos.
La satisfacción neta media, antes y después de impuestos, en cada subpoblación, entre
subpoblaciones y en la población total son nulas según se demostró en el epígrafe 3.2.2. del capítulo
tercero.
Comparando el valor de estas magnitudes con las correspondientes a la distribución de
la renta antes de impuestos, se obtiene un conjunto de relaciones. En primer lugar:
P − P * = S − S * = µG − µ(1− α)G * = GA − GA * .
[5.23]
Esto es, la diferencia entre las privaciones (satisfacciones) medias antes y después de
impuestos coincide con la diferencia entre los niveles de desigualdad en términos absolutos asocia­
dos a las distribuciones de renta inicial y de renta disponible, evaluados mediante el índice absoluto
de Gini. Este resultado coincide con el obtenido en el capítulo anterior. Ahora se trata de descompo­
ner la diferencia [5.23], distinguiendo entre las aportaciones a la misma de las diferencias en y entre
subpoblaciones, teniendo en cuenta:
*
P − P * = (Pd − Pd* ) + (Pes − Pes
)
*
S − S * = (S d − S *d ) + (S es − S es
),
[5.24]
siendo:
k
Pd − Pd* = S d − S *d =
*
Pes − Pes
=
∑ s i2 (GA i − GA i*
)
i=1
*
S es − S es =
∑ s i s j (∆ ij −
[5.25]
∆*ij ) .
i<j
Por lo tanto, la diferencia entre las privaciones (satisfacciones) medias antes y después
de impuestos tiene una componente que es una suma ponderada de esas mismas diferencias dentro
— 164 — de cada subpoblación, y una segunda componente que se expresa como suma ponderada de la va­
riación de la desigualdad absoluta entre pares de subpoblaciones, evaluadas a través de las diferen­
cias medias de Gini.
Si cada una de las tarifas ti(x) es absolutamente progresiva, tipos marginales positivos,
se puede asegurar que GA i − GA i* > 0 , 1≤i≤k. Sin embargo, esa condición no implica que la aplica­
ción del código impositivo reduzca la desigualdad absoluta en la población total. Es decir, aunque la
*
y,
diferencia Pd − Pd* sea positiva, el signo de P − P * también depende del que presente Pes − Pes
sobre el valor de esta última expresión sólo disponemos, en principio, de una cota superior. En efecto,
como consecuencia de [5.6], se tiene:
*
*
Pes − Pes
= S es − S es
=
∑ sis j (∆ij − ∆*ij ) ≤∑ sis j∆ t t .
i j
i< j
[5.26]
i< j
Si se dan las condiciones necesarias para la validez de la igualdad [5.7], se puede ase­
gurar que la variación en la privación entre subpoblaciones derivada de la aplicación de un impuesto
es positiva, en conjunto y para cada una de sus componentes98. Si además no existe solapamiento
*
es máxima99.
entre las cargas impositivas de las subpoblaciones, la variación de Pes − Pes
En relación al bienestar, definido como la esperanza de la función de utilidad
U(x,F) = x − P(x) , el asociado a la población total, en la distribución de renta disponible, es:
W * = µ(1− α)(1− G * ) = µ(1− α) − P * .
[5.27]
Al igual que sucede en la distribución de la renta antes de impuestos (expresiones [3.30],
[3.31], [3.32], [3.33]), W* admite la descomposición:
*
W * = Wd* + Wes
,
Wd* =
k
∑ s i2 Wi* ,
[5.28]
i=1
*
Wes
=
∑ s i s j (µ j (1− α j ) − Pij* ) ,
i≠j
*
siendo Wd* la aportación del bienestar dentro de las subpoblaciones al bienestar medio global y Wes
la correspondiente al bienestar entre subpoblaciones. En esta última componente, cada sumando
µ j (1− α j ) − Pij* = Wij* representa el bienestar de la subpoblación i-ésima respecto a la j-ésima, i ≠ j ,
mientras que en la suma anterior Wi* = µ i (1− α i )(1− Gi* ) = µ i (1− α i ) − Pi* ,1≤i≤k, es el bienestar asocia­
do a la subpoblación i en la distribución de renta neta.
98
Bajo ese supuesto,
Pes − Pes* = ∑ s i s j ∆ t i ,t j
.
i< j
99
Su valor es
Pes − Pes* =
∑s s
i j
τ i − τ j
.
i< j
— 165 — Comparando [5.28] con [3.31], [3.32] y [3.33], resultan las igualdades:
*
W − W * = (Wd − Wd* ) + (Wes − Wes
),
[5.29]
siendo:
W − W * = τ − (GA − GA * ) = τ − (P − P * )
Wd − Wd* =
k
k
i=1
i=1
∑ s i2 (Wi − Wi* ) = ∑ s i2 τi − (Pd − Pd* )
*
Wes − Wes
=
[5.30]
∑ s i s j τ j − (Pes − Pes* ) .
i≠j
En consecuencia, la variación de bienestar en la población total al pasar de la distribu­
ción de renta bruta a la de renta neta es la diferencia entre el impuesto medio y la variación de la des­
igualdad, en términos absolutos, entre ambas distribuciones. La variación del bienestar dentro de las
subpoblaciones se expresa como la diferencia entre una suma ponderada del impuesto medio aso­
ciado a cada tarifa y la variación de la privación (satisfacción) dentro de las subpoblaciones. La varia­
ción del bienestar entre subpoblaciones es la diferencia entre otra suma ponderada de los impuestos
medios de cada tarifa y la variación de la privación (satisfacción) entre subpoblaciones al pasar de la
distribución de renta inicial a la de renta neta.
Proposición 5.5. La aplicación de un código impositivo en el que cada una de sus tari­
fas sea estrictamente creciente: a) Disminuye la privación, la satisfacción y el bienestar en cada
subpoblación y con ello la componente de los valores medios en la población, para cada una de
esas magnitudes, que recoge la aportación en las subpoblaciones. b) En general, su efecto sobre
los valores medios en la población es incierto al depender del signo de la variación de la desigual­
dad entre subpoblaciones ( ∆*ij − ∆ ij , i≠j). c) La variación del bienestar entre subpoblaciones será
positiva en el supuesto, poco realista, de que la aplicación del código conserve, en la población, la
ordenación inicial de los contribuyentes. En ese caso, la aplicación del impuesto disminuye el bien­
estar de la población.
5.1.3. Progresividad frente a proporcionalidad
Supongamos que cada componente del código impositivo {t 1(x), t 2 (x),...t k (x)} es una ta­
rifa progresiva sobre su respectiva subpoblación. Este supuesto no permite afirmar que su aplicación
reduzca la desigualdad en la población total. Moyes y Shorrocks (1993) demuestran, a este respecto,
un resultado de imposibilidad: no es factible diseñar unas tarifas progresivas para el impuesto sobre
la renta que, siendo diferentes para distintos grupos de la población, cumplan la propiedad de que,
para cualquier distribución, la desigualdad global disminuya como consecuencia de su aplicación100.
En un trabajo más reciente (Moyes y Shorrocks (1998)) se profundiza en este sentido y se demuestra
que una estructura impositiva que nunca aumente la desigualdad, en el sentido de la curva de Lorenz,
100
Dicho de otro modo, dado un conjunto finito de tarifas diferentes y progresivas, es posible encontrar sendas distribuciones
de renta antes de impuestos tales que, en términos globales, la desigualdad se incremente para una de ellas y disminuya para
la otra como consecuencia de su aplicación. Una demostración muy sencilla de este enunciado puede verse en Lambert
(1994).
— 166 — es incapaz de discriminar entre distintos tipos de contribuyentes con diferentes necesidades y cir­
cunstancias que, además de la renta, tengan incidencia fiscal101.
Si en cada subpoblación su tarifa se sustituye por la proporcional equivalente,
t ip (x) = α i x , 1#i#k, la nueva estructura impositiva {t1p (x),t 2p (x),...t kp (x)} dará lugar a la misma re­
caudación en cada subpoblación y en la población total, si bien sobre ésta el impuesto resultante no
será proporcional, dado que individuos con la misma renta que pertenezcan a subpoblaciones dife*
rentes serán gravados con tipos también diferentes. Designemos por GPROP
≠ G el índice de Gini de
*
*
la distribución de renta disponible que resulta en la población total y mediante PPROP
, Pi,PROP
las
privaciones medias asociadas a la población total y a cada subpoblación, respectivamente102. Se veri­
ficará una relación análoga a la [5.20]:
*
*
PPROP
= µ(1− α)GPROP
=
k
*
+ ∑ s i s j ∆*ij,PROP ,
∑ s i2Pi,PROP
i=1
[5.31]
i<j
a partir de la cual resulta:
*
*
PPROP
− P * = µ(1− α)(GPROP
− G* ) =
k
*
− Pi* ) + ∑ s i s j (∆*ij,PROP - ∆*ij ) . [5.32]
∑ s i2 (Pi,PROP
i=1
i<j
Como en cada subpoblación la tarifa inicial, progresiva, se ha sustituido por la proporcio­
nal de igual recaudación, y su aplicación no da lugar a reordenación, se tiene:
*
Pi,PROP
− Pi* = µ i (1− α i )(Gi − Gi* ) = µ i (1− α i )IRS i = τ iIK i ,
[5.33]
siendo IRSi e IKi los índices de Reynolds-Smolensky y de Kakwani, respectivamente, asociados a ti(x).
Con ello, teniendo en cuenta que s i µ i (1− α i ) = µ(1− α)qi* , resulta:
k
∑ s i qi*IRSi + L .
*
*
PPROP
− P * = µ(1− α)(GPROP
− G * ) = µ(1− α)
[5.34]
i=1
siendo:
L=
∑ s i s j (∆*ij,PROP − ∆*ij )
[5.35]
i<j
101
En ese trabajo se prueba que si, además, la estructura impositiva nunca reduce la renta relativa del miembro más pobre del
grupo más necesitado, entonces quedan eliminadas todas las estructuras salvo la que grava a todos los individuos de forma
proporcional. En definitiva, es imposible diseñar una estructura impositiva estrictamente progresiva cuando se consideran
grupos heterogéneos. Ello no implica que, bajo este supuesto, la imposición progresiva sea imposible. Lo que se afirma es la
imposibilidad de construir una estructura progresiva para cualquier distribución de renta inicial, cuando se contempla la diferen­
cia, según sus necesidades, entre las unidades impositivas.
102
Es evidente, a partir de los resultados obtenidos anteriormente, que las mismas consideraciones serán válidas para la
satisfacción en y entre subpoblaciones, y para la satisfacción en la población total.
— 167 — una cantidad positiva como consecuencia de la Proposición 5.4. En el caso en que se satisfaga la
igualdad ∆*ij = ∆ ij − ∆ tit j , una igualdad análoga será también válida para el código proporcional. En
consecuencia, bajo este supuesto L puede expresarse como:
L=
∑ s i s j (∆ t t
i j
i< j
−∆ tit j ,PROP )
Si además de la condición anterior, tampoco existe solapamiento en las distribuciones de
las cargas impositivas, el valor de L es cero. Ello es debido a que en este caso las diferencias medias
de Gini entre las cargas impositivas alcanzan sus valores máximos tanto bajo el supuesto de progresivi­
dad como de proporcionalidad: ∆ti,tj=⏐τj-τi⏐=∆ti,tj,PROP, y ambos coinciden. En un ejemplo numérico poste­
rior se analiza este caso y se subrayan sus limitaciones en el contexto de los códigos impositivos.
Una expresión alternativa a [5.34] utilizando los índices de Kakwani, teniendo en cuenta
[5.33] y la relación s i τ i = τr i , es la siguiente:
k
*
*
PPROP
− P * = µ(1− α)(GPROP
− G* ) = τ
∑ siriIKi + L .
[5.36]
i=1
Por lo tanto, la variación del índice de Gini en la población viene dada por:
k
*
− G* =
GPROP
∑ s iqi*IRSi + µ(1− α) L ,
1
[5.37]
i=1
o bien, mediante:
*
− G* =
GPROP
α
1− α
k
∑ siriIKi + µ(1− α) L .
1
[5.38]
i=1
Dado que cada ti(x) es progresiva, los índices IRSi, IKi son positivos, 1#i#k, y al serlo tam­
*
> G * . Conviene observar que el primer sumando de [5.37] es una suma ponderada
bién L, es GPROP
de los índices de Reynolds-Smolensky asociados a cada componente de la estructura impositiva, en
la que las ponderaciones son el producto de las participaciones de cada subpoblación en el tamaño
de la población total y en el volumen total de renta disponible, mientras que en [5.38] el primer su­
mando del segundo miembro es una suma ponderada de los índices de Kakwani y en ella las ponde­
raciones son el producto de la participación de cada subpoblación en el tamaño y en la recaudación
totales103.
La siguiente proposición sintetiza los resultados obtenidos, hasta ahora, en este apartado.
Proposición 5.6. Cuando en un código impositivo sus componentes son progresivas y
cada una de ellas se sustituye por la proporcional de recaudación equivalente, la privación (satisfac­
103
Aunque a este resultado hemos llegado a partir de la comparación entre privaciones medias, es evidente que podría obte­
nerse directamente a partir de la descomposición de los índices de Gini asociados a las correspondientes distribuciones de
renta disponible.
— 168 — ción) en cada subpoblación, entre subpoblaciones y en la población total aumenta. Lo mismo sucede
con la desigualdad, absoluta o relativa, evaluada mediante los índices de Gini (absolutos o relativos).
En concreto, la variación del índice de Gini en la población total se puede descomponer como una
suma ponderada de los índices de Reynolds-Smolensky (o de Kakwani) asociados a cada una de las
tarifas del esquema impositivo, junto a otro sumando cuyo valor depende de la variación de la des­
igualdad entre las distribuciones de renta neta de las subpoblaciones, al pasar del código inicial al
proporcional.
El efecto de la sustitución del código impositivo, por el proporcional equivalente, sobre el
bienestar en la población total, en las subpoblaciones y entre ellas, es fácil de analizar a partir de los
resultados anteriores.
Sobre la población total, se tiene:
*
*
WPROP
− W * = µ(1− α)(1− GPROP
) − µ(1− α)(1− G * ) =
*
*
= µ(1− α)(G * − GPROP
) = P * − PPROP
< 0,
[5.39]
mientras que en cada subpoblación, se verifica:
*
Wi,PROP
− Wi* = µ i (1− α i )(Gi* − Gi ) =
*
= Pi* − Pi,PROP
= −µ i (1− α i )IRSi = −τ iIKi < 0.
[5.40]
En consecuencia, la variación de bienestar que deriva de la sustitución del esquema im­
positivo, admite las descomposiciones que resultan de [5.34] y [5.36], mediante un cambio de signo:
*
WPROP
−W
*
k
∑ s iqi*IRSi − L ,
= −µ(1− α)
[5.41]
i=1
o bien:
k
*
WPROP
− W * = −τ
∑ s iriIKi − L ,
[5.42]
i=1
donde el sumando L recoge, en este contexto, la variación de bienestar entre subpoblaciones. Esto es:
*
*
*
*
Wes,PROP
− Wes
= Pes
− Pes,PROP
= −L .
[5.43]
Proposición 5.7. Cuando en un código impositivo sus componentes son progresivas y
cada una de ellas se sustituye por la proporcional de recaudación equivalente, el bienestar, evaluado
mediante la REID asociada al índice de Gini, en cada subpoblación y en la población total, disminuye.
Lo mismo sucede con la variación del bienestar entre subpoblaciones. La cuantía de estas disminu­
ciones viene dada por las expresiones [5.39] a [5.43].
Cuando L=0 porque se verifica [5.7] y además no existe solapamiento entre las cargas
impositivas de subpoblaciones diferentes, a partir de [5.43], [5.41] y [5.42] se obtienen las siguientes
relaciones:
— 169 — *
*
*
*
Wes,
PROP = Wes , Pes,PROP = Pes .
W
*
k
∑
*
= WPROP
+ µ(1− α)
k
∑ s iriIKi .
*
s i q i*IRSi = WPROP
+τ
i=1
i=1
Por lo tanto, bajo el supuesto que estamos considerando la sustitución del código de tari­
fas progresivas por el de proporcionales equivalentes no modifica el bienestar entre subpoblaciones,
y la diferencia de bienestar en la población es una suma ponderada de los índices de Kakwani o de
Reynolds-Smolensky asociados a cada una de las tarifas del código inicial. Es evidente que al au­
mentar la progresividad de cada una de las tarifas del código, y con ello el valor de los citados índi­
ces, mayor es la pérdida de bienestar que implica el paso de la progresividad a la proporcionalidad.
5.2. Efecto de una única tarifa
A diferencia de la sección anterior, ahora trabajamos con un impuesto sobre la renta típi­
co, en el que la tarifa que se aplica a la base liquidable es lineal por tramos. De este tipo es la tarifa
nominal vigente en España para el IRPF desde hace años, y en particular la correspondiente al año
2000, que es la utilizada en los ejemplos y gráficos que aparecen a continuación.
Como se señaló al inicio del capítulo, identificamos la escala de rentas antes de impues­
tos con la de la base liquidable (una vez practicadas las deducciones de distinto tipo que sean perti­
nentes según las circunstancias de cada unidad impositiva) y las subpoblaciones estarán integradas
por las unidades cuya base pertenece a cada uno de los tramos que se contemplan en la tarifa nomi­
nal del IRPF. Esto es, a la subpoblación Ai pertenecen los contribuyentes cuyo nivel de renta es del
intervalo [xi-1, xi], 1≤i≤k, el i-ésimo de la tarifa t(x).
Con este planteamiento t(x) es la cuota íntegra asociada al nivel de renta x, siendo
0<t(x)/x<1 y t´(x)<1, para todo x>0, de modo que la renta disponible, x-t(x), es positiva y una función
estrictamente creciente de la renta inicial, por lo que la aplicación de la tarifa no produce reordenacio­
nes de las unidades impositivas. En los niveles de renta xi mediante los que se definen los distintos
tramos, las características del impuesto (tipos medios y marginales) no serán, en general continuas
(presentan discontinuidades de salto) ni, por lo tanto, derivables.
5.2.1. La tarifa lineal por tramos. Características generales
La tarifa t(x) se modeliza mediante una sucesión estrictamente creciente de tipos marginales:
0<m1<m2<...<mk-1<mk<1,
y un conjunto de rentas:
0=x0<x1<x2<...<xk-1<xk=x*,
que definen los intervalos a los que se aplican dichos tipos, de forma que el tipo mínimo m1 se aplica
sobre las rentas (x0,x1], mientras que el marginal más alto, mk, se aplica sólo a las rentas x>xk-1. Por lo
tanto, si xi-1≤x≤xi es:
i−1
t(x) =
∑ m j (x j − x j−1) + mi (x − x i−1) ,
j=1
— 170 — [5.44]
siendo t(0)=0. Una expresión equivalente a la anterior es:
t(x) = t(x i−1) + mi (x − x i−1) .
[5.45]
En el siguiente gráfico se representa la tarifa nominal correspondiente al IRPF del 2000.
GRÁFICO 5.1 CUOTA DEL IRPF 2000 9000000
Cuota del i mpuesto t(x)
8000000
7000000
6000000
5000000
4000000
3000000
2000000
1000000
0
0
5000000
10000000
15000000
20000000
Base liquidable
Fuente: Elaboración propia.
Este impuesto es progresivo, debido a la estructura de tipos marginales crecientes para
las rentas mayores que x1. En el primer tramo, [0,x1], es proporcional. Por otra parte, la tarifa t(x) es
convexa, lo que junto a la condición t(0)=0 implica la progresividad104. Conviene observar que en las
rentas xi el tipo marginal no está definido, ya que t´(xi+)=mi+1, mientras que t´(xi-)=mi, por lo que en
cada uno de estos puntos la función de tipos marginales, que es escalonada, presenta una disconti­
nuidad de salto cuya longitud es mi+1-mi. (véase Gráfico 5.2)
En cuanto a los tipos medios, si xi-1≤x≤xi el asociado al nivel de renta x es:
α(x) =
t(x ) − mi x i
t(x) t(x i−1) + mi (x − x i−1) t(x i ) − mi (x i − x)
=
=
= mi + i
< mi ,
x
x
x
x
lo que, de nuevo pone de manifiesto la progresividad del impuesto105. Es inmediato comprobar que
α(x) es una función estrictamente creciente en (xi-1, xi), dado que:
104
Una demostración de este resultado puede verse en Imedio, Parrado y Sarrión (1999).
105
Por definición se cumple t(xi-1)<mixi-1, t(xi)<mixi. El impuesto medio del intervalo [xi-1,xi] coincide con el impuesto que recae
sobre su renta media, t(µi):
xi
105
τi =
∫ (t(x
i−1 ) + m i (x
− x i−1 ))dFi (x) =t(x i−1 ) + mi (µ i − x i−1 ) = t(µ i ) ,
x i−1
105
y, por lo tanto, el tipo medio del intervalo es αi=τi/µi =t(µi)/µi.
— 171 — d(α(x)) m i x i −1 − t(x i −1) m i x i − t(x i )
=
=
> 0,
dx
x2
x2
lo que indica que en el interior de cada tramo los tipos medios son estrictamente crecientes, si bien la
tasa de crecimiento es cada vez menor, ya que:
d 2 (α(x))
dx
2
=
2(t(x i −1) − mi x i −1)
x3
<0.
En definitiva, en el interior de cada tramo la función de tipos medios α(x) es una función
estrictamente creciente y estrictamente cóncava de la renta. En los puntos xi la función de tipos me­
dios es continua pero no es derivable, por lo que la gráfica de α(x) presenta en ellos puntos angulo­
sos. El salto de la derivada en cada uno de ellos es:
α´(x i+ ) − α´(x i− ) =
mi +1 − mi
.
xi
Estas características se aprecian en el gráfico 5.2.
GRÁFICO 5.2 TIPOS MEDIOS Y MARGINALES PARA LA TARIFA DEL IRPF 2000 50,00
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
0
5000000
10000000
Tipo medio
15000000
20000000
25000000
Tipo marginal
Fuente: Elaboración propia.
5.2.2. Curvas de concentración. Índices de progresión global
x
1
La curva de concentración de la carga fiscal, L T (F(x)) =
t(s)dF(s) , si x∈[xi-1, xi],
µα
∫
0
teniendo en cuenta la expresión de la tarifa, [5.45], viene dada por:
— 172 — L T (F(x)) =
mi
µ (α − m i )
L X (F(x)) + i i
F(x) ,
α
µα
[5.46]
mientras que si se considera la distribución truncada correspondiente al i-ésimo intervalo, su curva de
concentración de la carga es:
L T,i (Fi (x)) =
mi
α − mi
L X,i (Fi (x)) + i
Fi (x) .
αi
αi
[5.47]
Es inmediato que en los niveles de renta que delimitan los intervalos de la tarifa, se tiene:
i
L T (F(x i )) =
i
∑ rj = τ ∑ s j τ j ,1 ≤ i ≤ k.
1
j =1
[5.48]
j =1
La curva de Lorenz de la distribución de renta disponible, en la población total,
x
L X − T (F(x)) =
1
(s − t(s))dF(s) , para x∈[xi-1, xi], tiene la expresión:
µ(1− α)
∫
0
L X − T (F(x)) =
1− mi
µ (α − mi )
L X (F(x)) − i i
F(x),
1− α
µ(1− α)
[5.49]
mientras que la correspondiente a la subpoblación i-ésima, es:
L X − T,i (Fi (x)) =
1− mi
α − mi
L X,i (Fi (x)) − i
F(x).
1− α i
1− α i
[5.50]
Para los niveles de renta que definen los intervalos de la tarifa, se verifica:
i
L X − T (F(x i )) =
∑
j =1
q *j =
1
µ(1− α)
i
∑ s jµ j (1- α j ) ,1 ≤ i ≤ k.
[5.51]
j =1
Las expresiones [5.47] y [5.50] son válidas para cualquier tramo de la tarifa, excepto para
el primero. En éste el impuesto es proporcional y, por lo tanto, coincide la curva de concentración de
la carga con las de Lorenz de las distribuciones de renta antes y después de impuestos: LT,1(F1(x))=
LX-T,1(F1(x))= LX,1(F1(x)).
Conviene recordar que las integrales anteriores se consideran en el sentido de RiemanStieltjes, por lo que son válidas tanto para el caso en que la variable aleatoria renta sea discreta, co­
mo continua. Por otra parte, cuando la aplicación del impuesto no modifica la ordenación previa de las
unidades impositivas, como sucede en nuestro caso, para la distribución de renta disponible coinci­
den la curva de Lorenz y la de concentración, y, en consecuencia, también coinciden el índice de Gini
de dicha distribución, GX-T=G*, y su índice de concentración, CX-T.
La forma y características (crecimiento y convexidad) de las curvas LT y LX-T son las
habituales para las asociadas a impuestos positivos. Por tratarse de una tarifa que cumple la
— 173 — dα(x)
> 0 , para todo x>0, como consecuencia del teorema de
dx
Jakobsson (1976), Fellman (1976) y Kakwani (1977), en cuanto a sus posiciones relativas se verifica:
condición básica de progresividad,
L T (F(x)) < L X (F(x)) < L X − T (F(x)) , 0 < x < x k = x * .
A partir de estas curvas se calculan los índices sintéticos de progresividad. En primer
lugar vamos a considerar los que cuantifican la progresividad de la tarifa comparándola con la
proporcional de recaudación equivalente, y, a continuación, los que identifican la progresividad con el
efecto redistributivo. Lo haremos, en primer lugar, para cada uno de los tramos y posteriormente para
el conjunto de la distribución.
En el primer tramo de la tarifa, los índices de Kakwani y de Reynolds-Smolensky son
ambos nulos como consecuencia de la proporcionalidad. Para 2≤i≤k, a partir de [5.47], el coeficiente
de concentración de la carga en el tramo i-ésimo es:
xi
C T,i = 2
m
∫ (Fi (x) − L T,i (Fi (x))dFi (x) = αii Gi > Gi ,
[5.52]
xi−1
siendo Gi el índice de Gini de la distribución de la renta inicial en dicho tramo. En consecuencia, el
índice de Kakwani se expresará como:
IK,i = C T,i − Gi =
mi − α i
Gi > 0 ,
αi
[5.53]
mientras que el de Reynolds-Smolensky, IRS,i, dado que la aplicación de la tarifa no supone
reordenación de las unidades impositivas y, con ello, es:
IRS,i = Gi − Gi* =
αi
IK, ,
1− α i i
[5.54]
vendrá dado por:
IRS,i =
mi − α i
Gi > 0 ,
1− α i
[5.55]
siendo ambos función estrictamente creciente del tipo marginal del tramo. Nótese que el índice de
Gini en la distribución de renta neta para el tramo i-ésimo, se expresa, a partir de [5.54] como:
Gi* =
1− mi
Gi < Gi .
1− α i
[5.56]
Para el conjunto de la distribución, los índices de Kakwani y de Reynolds-Smolensky se
pueden obtener a partir de sus definiciones teniendo en cuenta las igualdades [5.46] y [5.49] que
proporcionan, respectivamente, la curva de concentración del impuesto y la curva de Lorenz de la
distribución de renta disponible. Ambos índices se pueden expresar a partir de los correspondientes a
cada tramo de la tarifa. El cálculo que conlleva todo ello es sencillo, aunque laborioso, y se podría
— 174 — realizar de forma directa. Sin embargo esas relaciones las obtendremos al comparar la privación
media de la distribución de renta neta que resulta de aplicar la tarifa t(x) con la resultante de
considerar el impuesto proporcional equivalente.
5.2.3. Descomposición de la privación, la satisfacción y el bienestar antes y después de impuestos
Si la tarifa del impuesto es lineal por tramos, como su aplicación no supone reordenación
ni en las subpoblaciones ni en la población total, se simplifican algunos de los resultados obtenidos
en la sección 5.1, cuando incidía un código impositivo. La principal implicación es que la relación en­
tre las diferencias medias de Gini entre cada par de subpoblaciones, en las distribuciones antes y
después de impuestos, viene dada por la igualdad [5.7]: ∆*ij = ∆ ij − ∆ ti ,t j . Como, además, no existe
solapamiento entre las distribuciones de renta de las subpoblaciones, ni antes ni después de aplicar
el impuesto, se tiene:
i < j → ∆*ij = ∆ ij − ∆ ti ,t j = µ j − µ i − (τ j − τi ) = (1− α j )µ j − (1− α i )µ i .
[5.57]
A partir de la igualdad anterior o teniendo en cuenta [5.11] y [5.15], la relación entre la
privación (satisfacción), antes y después de impuestos, entre Ai y Aj es:
Pij* = Pij − (τ j − τ i ) = µ j − µ i − (τ j − τ i ) < Pij , si i < j ,
[5.58]
S *ji = S ji − (τ j − τi ) = µ j − µ i − (τ j − τ i ) < S ij , si i < j ,
mientras que para i>j, Pij = Pij* = S ji = S *ji = 0 .
La descomposición de la privación (satisfacción) media total, después de impuestos, co­
incide con la obtenida en el epígrafe 5.2.1 (igualdades [5.19] a [5.22]), si bien, en este caso, la priva­
ción (satisfacción) entre subpoblaciones admite una expresión más sencilla a partir de la participación
de cada subpoblación en el volumen total de renta después de impuestos:
∑ (s iq *j − s jqi* )
*
*
Pes
= S es
= µ(1− α)
[5.59]
i< j
La descomposición del bienestar medio total, en la distribución de renta disponible, es la
dada por las igualdades [5.27] y [5.28], aunque el bienestar entre subpoblaciones lo podemos expre­
sar ahora como:
∑ s jqi*
*
Wes
= 2µ(1− α)
[5.60]
i< j
Al comparar los valores medios de estas magnitudes con los asociados a la distribución
de la renta antes de impuestos, se obtienen expresiones análogas a [5.23], [5.24], [5.25], [5.29] y
[5.30], aunque ahora es posible determinar el signo de las diferencias. En efecto, como no sólo cada
ti(x) es progresiva sobre la subpoblación Ai, salvo t1(x) que es proporcional, sino que la tarifa t(x) es
progresiva en la población total, se tiene:
— 175 — P − P * = S − S * = µG − µ(1− α)G * > 0
[5.61]
W − W * = µ(1− G) − µ(1− α)(1− G * ) > 0 ,
ya que disminuye la renta media y la desigualdad en la población total (G*<G), mientras que el bien­
estar siempre disminuye al aplicar un impuesto positivo. El comportamiento de estas magnitudes en
cada subpoblación será idéntico al que presentan en la población total y, en consecuencia:
k
Pd − Pd* = S d − S *d =
∑ si2 (GA i − GA i*
) > 0
i=1
[5.62]
k
Wd − Wd*
=
∑
s i2 (Wi
− Wi* )
> 0,
i=1
mientras que sobre los valores medios entre subpoblaciones, de los que al actuar un código impositi­
vo sólo se podía proporcionar una cota superior, se puede asegurar que, al incidir una única tarifa,
son positivos, al ser ∆ ti ,t j = τ j − τ i para i<j. Se verifica:
*
*
Pes − Pes
= S es − S es
=
∑ si s j (∆ ij − ∆*ij ) = ∑ s i s j (τ j − τi ) = τ∑ (s irj - s jri ) > 0
i< j
i< j
Wes -
*
Wes
= 2τ
i< j
∑ s jri > 0 ,
[5.63]
i< j
siendo los ri las participaciones de las subpoblaciones en la recaudación total.
Proposición 5.8. Una tarifa lineal por tramos que sea estrictamente creciente disminuye
la privación, la satisfacción y el bienestar en cada intervalo. El mismo efecto produce sobre los valo­
res medios de esas tres magnitudes tanto en la población total como sobre cada una de sus dos
componentes: las que proporcionan sus valores medios en y entre las subpoblaciones.
5.2.4. Progresividad frente a proporcionalidad
Cuando la tarifa t(x) se sustituye por la proporcional de recaudación equivalente,
tPROP(x)=αx, siendo α el tipo medio global, la participación relativa de cada subpoblación en el volu­
men total de renta disponible y en la recaudación total, coincide con su participación en la distribución
de renta antes de impuestos, es decir:
qi = qi* = ri , 1 ≤ i ≤ k.
[5.64]
El tipo medio de cada subpoblación, bajo el impuesto proporcional, será α, cuya rela­
ción con los αi dependerá del intervalo al que pertenezca el nivel de renta, x0, cuyo tipo medio coin­
t(x 0 )
= α . Ese nivel de renta separa a quienes ganan y pierden con
cide con el tipo medio global,
x0
la progresividad frente a la proporcionalidad, de modo que si x 0 ∈ [x h−1, x h ] , será αi<α, para i<h, y
αi>α, para i>h.
— 176 — La aplicación del impuesto proporcional deja invariante el índice de Gini en la población,
*
GPROP
*
= G , y en cada intervalo, Gi,PROP
= Gi , mientras que la desigualdad entre las subpoblaciones en
la distribución de renta neta es ∆*ij = (1− α)(µ j − µ i ) , si i<j. Con ello, en cuanto a la privación106 se tiene:
*
*
*
PPROP
= µ(1− α)G , Pi,PROP
= µ i (1− α)Gi , Pij,PROP
= (1− α)(µ j − µ i ), i < j,
[5.65]
de donde resulta la descomposición:
k
∑ s i2µ iGi + µ(1− α)∑ (s iq j − s jqi ) .
*
PPROP
= µ(1− α)G = (1− α)
i=1
[5.66]
i< j
La variación de la privación que, en cada contexto, implica la sustitución de la tarifa pro­
gresiva t(x) por la proporcional equivalente, teniendo en cuenta lo anterior junto a las igualdades
[5.53], [5.55] y [5.56], viene dada por las expresiones:
*
PPROP
− P * = µ(1− α)(G − G* ) = µ(1− α)IRS = µαIK > 0
[5.67]
*
Pi,PROP
− Pi* = µ i (1− α)Gi − µ i (1− α i )Gi* = µ i (m i − α)Gi =
= µ i (1− α i )
mi − α
m −α
IRS,i = µ i α i i
IK,i
mi − α i
mi − α i
*
Pij,PROP
− Pij* = ∆*ij,PROP − ∆*ij = µ j (α j − α) − µ i (α i − α) > 0.
[5.68]
[5.69]
En la población total la sustitución de la tarifa lineal por la proporcional equivalente au­
menta la privación media y esa variación se puede expresar, como es sabido, en función de los índi­
ces de Reynolds-Smolensky o de Kakwani. Lo mismo sucede con la privación entre subpoblaciones
(consecuencia de la Proposición 5.4), y esa variación, en este caso, depende de la diferencia entre
los impuestos medios de las subpoblaciones junto a la diferencia entre sus rentas medias. Sin em­
bargo, la incidencia de dicha sustitución en las subpoblaciones no es la misma en todas ellas ya que
depende del signo de la diferencia mi-α, que será negativa en los intervalos cuyo tipo marginal sea
menor que el tipo medio global, y positiva en los intervalos en los que suceda lo contrario, lo que ocu­
rrirá en aquellos que soportan un mayor gravamen como consecuencia de la progresividad. Por lo
tanto, la privación de los primeros disminuye y la de los segundos aumenta al sustituir la tarifa lineal
por tramos por la proporcional de idéntica recaudación total.
La descomposición de la variación de los valores medios de la privación, a partir de las
igualdades anteriores, se expresa como:
*
PPROP
− P* =
k
∑ si2
µi (mi − α)Gi + ∑ sis j [µ j (α j − α) − µi (αi − α)] ,
i =1
[5.70]
i< j
o de forma equivalente:
106
Las conclusiones sobre la satisfacción son simétricas. Para hacer menos reiterativa la exposición no aludiremos a ellas.
— 177 — *
PPROP
− P * = µ(1− α)IRS =
∑ siqi* mii − α i IRS,i + µ(1− α)∑ [si (q j − q*j ) − s j (qi − qi* )].
k
m −α
= µ(1− α)
i =1
[5.71]
i< j
La progresividad de la tarifa t(x) implica que el primer miembro de la expresión anterior
es positivo. El segundo sumando del segundo miembro, que representa la variación de la privación
*
*
− Pes
), es también positivo, mientras que el signo del primer
media entre subpoblaciones ( Pes,PROP
sumando no puede determinarse en general ya que depende del lugar que ocupe en la escala de
rentas, en cada caso concreto, el nivel de renta que separa a quienes ganan y a quienes pierden con
la progresividad frente a la proporcionalidad.
Una consecuencia interesante de [5.71] es que induce una descomposición de los índi­
ces de Reynolds-Smolensky y de Kakwani asociados a la tarifa t(x) a partir de los correspondientes a
cada uno de sus intervalos. El primero de ellos se descompone del siguiente modo:
∑ siqi* mii − αi IRS,i + ∑ [si (q j − q*j ) − s j (qi − qi* )],
k
IRS =
m −α
i =1
[5.72]
i< j
mientras que el de Kakwani, teniendo en cuenta la relación [5.54] y su análoga para el conjunto de la
distribución y las igualdades [5.1], se expresa en la forma:
k
IK =
∑ siri mii − αi IK,i + ∑ [si (rj − q j ) − s j (ri − qi )].
i =1
m −α
[5.73]
i< j
Ambas descomposiciones presentan una clara analogía formal. En el índice de Rey­
nolds-Smolensky, que mide el efecto redistributivo, intervienen las participaciones de las subpobla­
ciones en el volumen total de renta disponible, en tanto que en el índice de Kakwani, que valora la
discrepancia del impuesto respecto de la proporcionalidad, aparecen las participaciones de las sub­
poblaciones en la recaudación total.
En la siguiente proposición se sintetizan los principales resultados obtenidos, hasta aho­
ra, en este epígrafe.
Proposición 5.9. Si se considera una tarifa lineal por tramos, identificando cada uno de
ellos con una subpoblación de contribuyentes, y se sustituye por un impuesto proporcional de recau­
dación equivalente, se verifica: a) Aumenta la privación / satisfacción media en la población total y
entre las subpoblaciones. b) Su incidencia en la privación / satisfacción dentro de cada subpoblación
no es uniforme: disminuye en aquellas cuyo tipo medio es menor que el tipo medio global de la tarifa
y aumenta en las que soportan un mayor gravamen como consecuencia de la progresividad (su tipo
medio es mayor que el global). c) Mediante la descomposición de la variación que se produce en la
privación social media se obtiene una descomposición aditiva de los índices globales de progresivi­
dad y de redistribución en el conjunto de la población a partir de sus análogos en cada intervalo de la
tarifa (igualdades [5.72] y [5.73]).
El efecto que produce sobre el bienestar, evaluado mediante la REID asociada al índice
de Gini, la sustitución de la tarifa lineal a tramos por la proporcional equivalente, en la población total,
en las subpoblaciones y entre las mismas, es consecuencia de los resultados anteriores.
— 178 — Sobre la población total se verifica:
*
WPROP
− W * = µ(1− α)(1− G) − µ(1− α)(1− G * ) = µ(1− α)(G * − G) =
*
= P * − PPROP
= −µ(1− α)IRS = −τIK < 0 ,
[5.74]
por lo que el bienestar, como es habitual, disminuye proporcionalmente a la progresividad de la tarifa
inicial.
En cada subpoblación la variación del bienestar, utilizando [5.68], es:
*
Wi,PROP
− Wi* = µi (1− α)(1− Gi ) − µi (1− αi )(1− Gi* ) =
*
) = µi (αi − α) + µi (1− αi )
= µi (αi − α) + (Pi* − Pi,PROP
= µi (αi − α) + µi αi
mi − α
IRS,i =
mi − αi
[5.75]
mi − α
IK,i .
mi − αi
Por lo tanto, en los intervalos cuyo tipo medio con la tarifa t(x) es mayor que el tipo medio
global (les beneficia la proporcionalidad frente a la progresividad) es mi>αi>α, lo que implica, según la
*
igualdad anterior, Wi,PROP
> Wi* y su bienestar aumenta al aplicar el impuesto proporcional. Sucede lo
contrario en los intervalos en los que la progresividad supone menos gravamen que la proporcionalidad.
En relación a la variación del bienestar entre subpoblaciones, teniendo en cuenta [5.69],
se verifica:
*
Wij,* PROP − Wij* = µ i (1− α) − Pij,PROP
− (µ i (1− α i ) − Pij* ) =
*
= µ i (α i − α) + (Pij* − Pij,PROP
) = 2µ i (α i − α) − µ j (α j − α) , i < j
[5.76]
de manera que el efecto de la sustitución de la tarifa lineal por tramos por la proporcional equivalente
es incierto: depende de la relación entre las rentas medias iniciales de los intervalos entre los que se
establece la comparación.
La variación del bienestar en la población admite la siguiente descomposición:
*
*
*
*
WPROP
− W * = (Wd,PROP
− Wd* ) + (Wes,PROP
− Wes
),
[5.77]
donde el primer sumando del segundo miembro recoge la aportación debida a la variación del bienes­
tar en las subpoblaciones:
k
*
Wd,PROP
− Wd* =
*
− Wi* ) ,
∑ s i2 (Wi,PROP
[5.78]
i=1
mientras que la aportación de la variación del bienestar entre las subpoblaciones se puede expresar,
a partir de [5.60], mediante:
∑ s j (qi − qi* ) = 2∑ si s jµi (α i − α) ,
*
*
Wes,PROP
− Wes
= 2µ(1− α)
i< j
— 179 — i< j
[5.79]
expresión en la que el signo de sus sumandos depende, de nuevo, de que la participación de cada
intervalo en el volumen total de renta aumente o disminuya al pasar de la distribución inicial a la de la
renta disponible. En definitiva, no se puede hacer una afirmación general sobre el signo de las expre­
siones [5.78] y [5.79], sólo se puede asegurar que la suma de ambas es negativa.
En la siguiente proposición se sintetizan los resultados acerca de la variación del bienestar.
Proposición 5.10. Cuando una tarifa lineal por tramos, progresiva, se sustituye por la
proporcional de igual recaudación: a) Disminuye el bienestar, evaluado mediante la REID asociada al
índice de Gini, en la población total y esa disminución es proporcional a la progresividad global de la
tarifa inicial. b) El efecto sobre cada intervalo no es uniforme para todos ellos: el bienestar aumenta
(disminuye) en aquellos cuyo tipo medio inicial es mayor (menor) que el tipo medio global. c) En rela­
ción al bienestar entre las subpoblaciones el efecto es incierto, y depende tanto de la relación entre
sus rentas medias iniciales, como de la existente entre sus respectivos tipos medios.
El particularizar los resultados de esta sección al caso de dos intervalos no ofrece dificul­
tad. Sin embargo, las tarifas lineales por tramos que se presentan en la realidad, en particular la del
107
IRPF, no han llegado, por ahora, a ese grado de simplicidad .
5.3. Ejemplos numéricos de la incidencia de un código impositivo
A fin de ilustrar los resultados obtenidos en este capítulo cuando el impuesto se genera
mediante un código impositivo formado por distintas tarifas, progresivas, cada una de las cuales inci­
de sobre una subpoblación diferente, vamos a considerar dos ejemplos numéricos. En el primero la
aplicación del código implica reordenación de los contribuyentes, según sus niveles de renta antes y
después del impuesto, en la población total. En el segundo, las distribuciones de renta inicial en las
subpoblaciones no presentan solapamiento y la aplicación del código no altera la ordenación preexis­
tente en la población.
El motivo de recurrir a este tipo de ejemplos, frente a una aplicación empírica similar a
las realizadas en los capítulos anteriores, es la dificultad de encontrar una fuente de datos que permi­
ta la división de la población en subpoblaciones homogéneas respecto a las características, distintas
de la renta, que determinan la carga fiscal y, a su vez, disponer de información fiscal para cada una
de ellas. Para ello sería necesario disponer de datos que recogieran simultáneamente características
socioeconómicas y fiscales.
Para el caso en que el impuesto está definido mediante una tarifa lineal por tramos, cada
uno de los cuales se identifica con una subpoblación, no se realiza una aplicación empírica al no dis­
poner de una fuente estadística adecuada. Desde el punto de vista teórico ese tipo de análisis no
supone dificultad utilizando los resultados de la sección 5.2.2. A partir de 1991 en el IRPF se admite
la posibilidad de elegir, en determinados casos, entre las modalidades de tributación individual y con­
junta, pero en los datos aportados por la Memoria de la Administración Tributaria no se diferencia
entre ambas. Esta situación se mantiene hasta la reforma del impuesto realizada en 1999, en la que
de nuevo la tarifa nominal del impuesto es única. Sin embargo, para ese año y siguientes no dispo­
nemos aún de datos sobre la base liquidable. No obstante, en la sección 5.2.1 sí se han analizado las
características estructurales, no dependientes de la distribución de la renta, de la tarifa nominal del
IRPF para el año 2000.
107
No obstante, el impuesto lineal puro podría ser una alternativa deseable mediante la cual, además de las ventajas que
presenta en cuanto a simplicidad y eficiencia, se puede conseguir cualquier grado de progresividad y de efecto redistributivo.
(Véase Imedio (1996)).
— 180 — Ejemplo 1. En el caso en que se aplica un código impositivo que introduce reorde­
nación, vamos a suponer que la población se divide en dos subpoblaciones homogéneas respecto a
todas las características que determinan la carga fiscal, excepto la renta, y que entre sus distribucio­
nes existe solapamiento. La primera de las subpoblaciones está compuesta por tres unidades imposi­
tivas y la segunda por dos. En la Tabla 5.1 se muestran los valores de sus respectivas rentas, su
carga fiscal y su renta disponible, junto al conjunto de parámetros y de índices que se obtienen a par­
tir de ellos, para cada grupo y para la población, y que son relevantes para el análisis realizado en la
sección 5.1.
TABLA 5.1 APLICACIÓN DE UN CÓDIGO IMPOSITIVO A DOS SUBPOBLACIONES SOLAPADAS. PARÁMETROS RELEVANTES Subpoblación 1
Subpoblación 2
X
10
20
30
20
140
t(x)
11
14
12
11
14
x-t(x)
19
16
18
19
36
Población
s
3/5
2/5
q
½
½
q*
43/98
55/98
r
17/22
5/22
∆12
40/3
40/3
∆12*
79/6
79/6
∆12*PROP
128/9
128/9
∆t1,t2
25/6
25/6
∆t1,t2,PRP
10/3
10/3
20
30
24
µ(1-α)
43/3
55/2
98/5
α
17/60
1/12
11/60
τ
17/3
5/2
22/5
G
2/9
1/6
7/30
G*
6/43
17/110
57/245
Ct
22/51
3/10
14/55
IRS
32/387
2/165
1/210
IK
32/153
2/15
7/330
µ
Fuente: Elaboración propia.
En cada subpoblación ti(x) es una tarifa progresiva que sólo depende del nivel de renta,
cuya aplicación no produce reordenación. En la población, el solapamiento junto al tratamiento des­
igual de unidades con igual renta, implica reordenación y se verifica la desigualdad
∆*1,2 > ∆ 1,2 − ∆ t1,t2 .
— 181 — Los valores de los índices de Gini, los valores medios de la privación, de la satisfacción y
del bienestar en y entre subpoblaciones, y para la población total, en las distribuciones antes y des­
pués de impuestos vienen recogidos en la Tabla 5.2.
TABLA 5.2
ÍNDICE DE GINI, PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS
Dentro
Entre
Total
1
2
D
1,2
2,1
ES
G
1/6
1/6
1/10
4/15
4/15
2/15
7/30
G*
6/43
17/110
1/14
79/251
79/251
79/490
57/245
P
40/9
5
12/5
35/3
5/3
16/5
28/5
P*
2
17/4
7/5
79/6
0
79/25
114/25
S
40/9
5
12/5
5/3
35/3
16/5
28/5
S*
2
17/4
7/5
0
79/6
79/25
114/25
W
140/9
25
48/5
55/3
55/3
44/5
92/5
W*
37/3
93/4
204/25
43/3
43/3
172/25
376/25
Fuente: Elaboración propia.
Al ser t1(x) más progresivo que t2(x), como indican sus respectivos índices de concentra­
ción de la carga, de Kakwani o de Reynolds-Smolensky, la aplicación de t1(x) en su subpoblación
reduce la desigualdad relativa en un 16,3%, la privación / satisfacción en un 55% y el bienestar en un
20,7%, porcentajes todos ellos sensiblemente superiores a los correspondientes a las mismas reduc­
ciones en la otra subpoblación: 7,3%, 15% y 7%, respectivamente. Por ello los valores de cada una
de esas magnitudes eran mayores en la primera subpoblación al considerar las distribuciones de
renta antes de impuestos y sucede lo contrario en las distribuciones de renta disponible.
En relación a los efectos del impuesto sobre los valores de las magnitudes entre ambas
subpoblaciones, como se puede observar en la Tabla 5.2, aumenta la desigualdad entre ellas, tam­
bién lo hace la privación de la primera respecto de la segunda y disminuye la satisfacción y el bienes­
tar. Si se compara la segunda subpoblación con la primera, disminuye tanto la privación como el
*
*
bienestar y aumenta la satisfacción. Nótese que S12
= P21
= 0 dado que las distribuciones de renta
disponible en cada subpoblación no presentan solapamiento.
El efecto del código impositivo sobre las componentes que recogen la aportación dentro
y entre subpoblaciones a los valores medios poblacionales de las distintas magnitudes se recogen en
la tercera columna de cada bloque de la Tabla 5.2 y, de forma más resumida en la Tabla 5.3, en la
que se comparan los valores medios de la privación, de la satisfacción y del bienestar antes y des­
pués de impuestos, para las componentes en, entre y para la población total.
TABLA 5.3
DIFERENCIAS EN PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS
Dentro
Entre
Total
P-P*
1
2
Dentro
1,2
2,1
Entre
22/9
3/4
1
-3/2
5/3
1/25
— 182 — 26/25
S-S*
22/9
3/4
1
5/3
-3/2
1/25
26/25
W-W*
29/9
7/4
36/25
4
4
48/25
84/25
Fuente: Elaboración propia.
La diferencia Pd − Pd* = S d − S d* = 1 es positiva, como sucede en general, ya que en ca­
da subpoblación la aplicación de su tarifa disminuye la desigualdad absoluta y, con ello, la privación /
satisfacción media. El mismo signo presenta Wd − Wd* = 36 / 25 , dado que el impuesto reduce el bie­
nestar en cada subpoblación.
Al considerar las diferencias entre las componentes que recogen las variaciones de las
magnitudes entre subpoblaciones, sus signos dependen de la variación de la desigualdad entre las
mismas (expresiones [5.25] y [5.30]) que produce la aplicación del código. En nuestro ejemplo
∆12 − ∆*12 = 1/ 6 > 0 ,
de
modo
que,
en
este
caso,
al
ser
Pe − Pe* = S e − S e* = 1/ 25
y
We − We*
= 48 / 25 , el valor global de la privación, de la satisfacción y del bienestar entre ambas sub­
poblaciones ha disminuido como consecuencia del impuesto. Con ello, la distribución de renta dispo­
nible sobre la población es más igualitaria que la inicial, lo que no siempre ocurre al introducir
diferencias de tratamiento fiscal, y también disminuyen los valores medios poblacionales de las tres
magnitudes objeto de estudio.
Sustitución del código progresivo {t1(x), t2(x)} por el proporcional equivalente en re­
caudación, { t1(x)=17x/60, t2(x)=x/12}. En este supuesto no existe ambigüedad en relación a los re­
sultados que se obtienen.
TABLA 5.4
DIFERENCIAS EN PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR DESPUÉS DE IMPUESTOS PROGRESIVO Y
PROPORCIONAL
Dentro
Entre
Total
P*PROP-P*
1
2
Dentro
1,2
2,1
Entre
32/27
1/3
-12/25
-19/36
-19/36
-19/75
-11/15
S*PROP-S*
32/27
1/3
-12/25
-19/36
-19/36
-19/75
-11/15
W*PROP-W*
-32/27
-1/3
-12/25
-19/36
-19/36
-19/75
-11/15
IRS
32/387
2/16
IK
32/153
2/15
Fuente: Elaboración propia.
Como se refleja en la Tabla 5.4, la incidencia de esa sustitución coincide con los enun­
ciados de las Proposiciones 5.6 y 5.7. Esto es, aumenta la privación y la satisfacción en cada subpo­
blación, entre subpoblaciones y en la población total. Lo mismo sucede con la desigualdad. Sin
embargo, la variación del bienestar, en cada uno de los tres ámbitos es negativa (la progresividad es
también, en este contexto, una opción mejor que la proporcionalidad). Nótese que en el ejemplo que
estamos considerando el valor de L, expresión [5.35], siempre positivo, es L=19/75. Por otra parte, es
inmediato comprobar que se satisfacen las igualdades [5.37] y [5.38] que permiten expresar la varia­
ción de la desigualdad que tiene lugar en la población, debida a la sustitución de las tarifas por sus
— 183 — proporcionales equivalentes, a partir de los índices de Kakwani y de Reynolds-Smolensky asociados
a t1(x) y t2(x).
Ejemplo 2. Ahora consideramos el caso dos subpoblaciones cuyas rentas iniciales no
están solapadas y sobre las que incide un código impositivo que no introduce reordenación en la
población total, monótono creciente y en el que las distribuciones de las respectivas cargas
fiscales no se solapan. Las dos primeras condiciones implican el que se satisfaga la igualdad [5.7].
Esto es, ∆*1,2 = ∆ 1,2 − ∆*t 1 , t 2 . De la tercera condición, junto con las anteriores, se obtiene a partir de
la expresión [5.35] L = s1s2 (∆*ij,PROP − ∆*ij ) = s1s2 (∆ t t − ∆ t t ,PROP ) =0. A partir de los datos que figuran
i j
i j
en la Tabla 5.5, de los que se deducen los parámetros e índices de interés para el análisis, es inme­
diato comprobar que se satisfacen las condiciones señaladas y sus implicaciones.
TABLA 5.5 APLICACIÓN DE UN CÓDIGO IMPOSITIVO A DOS SUBPOBLACIONES NO SOLAPADAS. PARÁMETROS RELEVANTES Subpoblación 1
Subpoblación 2
Población
X
8
20
25
30
t(x)
2
18
19
12
x-t(x)
6
12
16
18
s
½
q
28/83
55/83
q*
9/26
17/26
R
10/31
21/31
∆12
27/2
27/2
∆12*
8
8
∆12*PROP
8
8
∆ t1t 2
11/2
11/2
∆ t1t 2 ,PROP
11/2
11/2
µ
14
55/2
83/4
µ(1-α)
9
17
13
5/14
21/55
31/83
α
1/2
τ
5
21/2
31/4
G
3/14
1/22
71/332
G*
1/6
1/34
5/26
Ct
3/10
1/14
¼
IRS
1/21
3/187
5/232
IK
3/35
2/77
3/83
Fuente: Elaboración propia.
— 184 —
Conviene subrayar que la situación considerada en este segundo ejemplo no será la ha­
bitual al modelizar el impuesto mediante un código. La introducción de diferencias de tratamiento
fiscal en función de características distintas a la renta incorporará, en general, reordenación en la
población total, tratamiento desigual de individuos iguales en renta y solapamiento entre subpoblacio­
nes tanto en la distribución de las cargas impositivas, como en las distribuciones de renta antes y
después de impuestos. En definitiva, este ejemplo respondería más bien a un estudio de la progresi­
vidad del impuesto por tramos. Es inmediato que t(x) es progresivo en cada subpoblación, siéndolo
más en la primera, pero no lo es en la población total108.
De todos modos, este ejemplo ilustra las diferencias más significativas en relación a un
código impositivo, más realista, del tipo considerado en el ejemplo anterior. Para no hacer una des­
cripción excesivamente prolija, nos limitaremos a resaltar dichas diferencias.
En las Tablas 5.6 y 5.7, las análogas a las Tablas 5.2 y 5.3, se recoge el efecto del im­
puesto sobre los valores medios, en y entre subpoblaciones y para el total, de la desigualdad, de la
privación/satisfacción y del bienestar.
TABLA 5.6
ÍNDICE DE GINI, PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS
Dentro
1
Entre
Total
2
D
1,2
2,1
ES
G
3/14
1/22
17/332
27/83
27/83
27/166
71/332
G*
1/6
1/34
1/26
4/13
4/13
2/13
5/26
P
3
5/4
17/16
27/2
0
27/8
71/16
P*
3/2
½
½
8
0
2
5/2
S
3
5/4
17/16
0
27/2
27/8
71/16
S*
3/2
½
½
0
8
2
5/2
W
11
105/4
149/16
½
55/2
7
261/16
W*
15/2
33/2
6
9
9
9/2
21/2
Fuente: Elaboración propia.
TABLA 5.7 DIFERENCIAS EN PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR ANTES Y DESPUÉS DE IMPUESTOS Dentro
Entre
1
2
Dentro
1,2
P-P*
3/2
¾
19/16
S-S*
3/2
¾
19/16
W-W*
7/2
39/4
53/16
Total
2,1
Entre
11/2
0
11/8
31/16
0
11/2
11/8
31/16
-17/2
37/2
15/2
93/16
Fuente: Elaboración propia.
Al ser las rentas iniciales de la subpoblación 2 estrictamente mayores que las de la subpo­
*
= 0 . Por otra
blación 1 y conservar la ordenación relativa tras la aplicación del impuesto es P21 = P21
108
La sucesión de tipos medios correspondiente a la sucesión de rentas (8,20,25,30) es (0.25,0.40,0.36,0.40).
— 185 —
parte, a partir de la expresión [5.11] y al no existir solapamiento entre las cargas impositivas es
*
P12
− P12 = τ 2 − τ1 =-5,5<0. Con ello, la aplicación del código disminuye la privación media en y entre
subpoblaciones y en la población total (Tabla 5.7). El mismo efecto se produce en relación al bienestar.
Si se sustituye el código inicial por el proporcional de recaudación equivalente
{t1(x)=5x/14, t2(x)=21x/55}, se obtienen los resultados que figuran en la Tabla 5.8.
TABLA 5.8 DIFERENCIAS EN PRIVACIÓN, SATISFACCIÓN Y BIENESTAR DESPUÉS DE IMPUESTOS PROGRESIVO Y PROPORCIONAL
Dentro
P*PROP-P*
Entre
Total
1
2
Dentro
1,2
2,1
Entre
3/7
3/11
27/154
0
0
0
27/154
S*PROP-S*
3/7
3/11
27/154
0
0
0
27/154
W*PROP-W*
-3/7
-3/11
-27/154
0
0
0
-27/154
IRS
1/21
3/187
5/232
IK
3/35
2/77
3/83
Fuente: Elaboración propia.
Como se argumentó al inicio de este ejemplo, en este caso es L=0. Por lo tanto, la susti­
tución del código deja invariante los valores medios de la privación, de la satisfacción y del bienestar
entre poblaciones. La variación de esas magnitudes en la población total es consecuencia de la que
tiene lugar dentro de las subpoblaciones. El aumento del valor medio de la privación y de la satisfac­
ción y la disminución del valor medio del bienestar depende del grado de progresividad de las tarifas
iniciales del código.
5.4. Conclusiones
Cuando se considera una partición de una población en un número finito de subpobla­
ciones, al analizar el efecto de un impuesto sobre la renta en relación a la privación, a la satisfacción
y al bienestar en y entre las subpoblaciones, se han contemplado dos posibilidades.
En la primera, los elementos de cada subpoblación son homogéneos respecto al conjun­
to de características, distintas de la renta, que determinan la carga fiscal. En este caso la distribución
del impuesto se genera mediante un código impositivo formado por tarifas diferentes y cada una de
ellas se aplica a una subpoblación.
El segundo enfoque consiste en suponer que sobre la población recae una tarifa lineal
por tramos, cada uno de los cuales se identifica con una subpoblación. Por lo tanto, las distribuciones
de renta de las subpoblaciones no se solapan y cada subpoblación está formada por las unidades
cuya base liquidable pertenece a un intervalo de la tarifa.
Cuando se considera un código impositivo cuyas tarifas son estrictamente crecientes y
con tipos marginales inferiores a la unidad, se han obtenido los siguientes resultados:
a) Disminuye la privación, la satisfacción y el bienestar en cada subpoblación.
— 186 — b) Su efecto sobre los valores medios en la población de las magnitudes anteriores es in­
cierto, ya que depende del signo de la variación de la desigualdad entre subpoblaciones.
Si las componentes del código son progresivas y se sustituyen por sus respectivas pro­
porcionales de recaudación equivalente:
a) La privación (satisfacción) en cada subpoblación y en la población total aumenta.
b) La variación del índice de Gini en la población total se puede descomponer como
una suma ponderada de los índices de Reynolds-Smolensky (o de Kakwani) asocia­
dos a cada una de las tarifas del esquema impositivo, junto a otro sumando cuyo va­
lor depende de la variación de la desigualdad entre las distribuciones de renta neta
de las subpoblaciones, al pasar del código inicial al proporcional.
c) El bienestar, evaluado mediante la REID asociada al índice de Gini, en cada subpo­
blación y en la población total, disminuye. Lo mismo sucede con la variación del
bienestar entre subpoblaciones
Si el impuesto se genera mediante una tarifa lineal por tramos:
a) Disminuye la privación, la satisfacción y el bienestar en cada intervalo.
b) Lo mismo sucede con los valores medios de las tres magnitudes anteriores tanto en
la población total, como en relación a cada una de sus dos componentes (valores
medios en y entre subpoblaciones).
Cuando la tarifa lineal, progresiva, se sustituye por la proporcional de recaudación
equivalente:
a) Aumenta la privación y la satisfacción media en la población total y entre las subpo­
blaciones.
b) El efecto sobre la privación y la satisfacción dentro de cada subpoblación depende
de su tipo marginal: disminuye en aquellas cuyo tipo marginal es menor que el tipo
medio global de la tarifa y aumenta en las que sucede lo contrario.
c) La descomposición de la variación que se produce en la privación social media indu­
ce una descomposición aditiva de los índices globales de progresividad y de redistri­
bución en el conjunto de la población a partir de sus homólogos en cada intervalo.
d) El bienestar en la población total disminuye proporcionalmente a la progresividad
global de la tarifa inicial.
e) La variación del bienestar en cada intervalo no es uniforme: aumenta en aquellos cu­
yo tipo medio inicial es mayor que el tipo medio global.
f) El efecto sobre la variación del bienestar entre las subpoblaciones es incierto. De­
pende tanto de la relación entre sus rentas medias iniciales, como de la existente en­
tre sus respectivos tipos medios.
— 187 — Como consecuencia del conjunto de conclusiones anteriores se puede afirmar que cuan­
do la tarifa lineal por tramos o las tarifas de un código impositivo son progresivas y presentan tipos
marginales inferiores a la unidad, se pueden obtener resultados concluyentes, en algunos aspectos,
sobre la incidencia del gravamen respecto a la privación, a la satisfacción y al bienestar. Sobre otros
aspectos habría que analizar cada caso en particular.
También en el contexto del análisis realizado en este capítulo, queda probado que la
progresividad es una forma ventajosa, frente a la proporcionalidad, para obtener con el gravamen una
recaudación dada.
— 188 — CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y CUESTIONES DE INVESTIGACIÓN FUTURA En este último capítulo no vamos a repetir las conclusiones de este trabajo, resumidas al
final de cada uno de los capítulos anteriores. Su objetivo es sintetizar las aportaciones realizadas, (véa­
se la Tabla 1 para un resumen analítico de las mismas) y referirnos a algunas de las cuestiones pen­
dientes de investigación y/o desarrollo futuro, relacionadas con las que se han tratado en esta memoria.
Aportaciones. En el primer capítulo no hemos incluido conclusiones, dado que su finali­
dad era proporcionar una visión general del estado actual de las cuestiones analizadas, que vienen
recogidas en la Tabla 2. No obstante, nos parece de interés resaltar dos aspectos:
• A partir de la sugerencia de Hey y Lambert (1980) se hace un desarrollo detallado de
la privación utilitarista y se particularizan los resultados al caso de funciones de utilidad isoelásticas
(véase Tabla 3).
• Se plantea una axiomática que recoge las condiciones mínimas que, a nuestro juicio,
debe satisfacer toda medida de privación/satisfacción.
El contenido del capítulo segundo sí supone la introducción de puntos de vista diferentes
a los utilizados hasta ahora en la medición de la privación (véase Tabla 3).
• Por un lado se admite la posibilidad, totalmente plausible, de que los individuos estén
más interesados, al compararse con otros, en la posición que ocupan en la distribución de la renta
que en el propio nivel de renta. La definición que se propone, basada en la diferencia de rangos, im­
plica que la privación entre dos individuos está relacionada con su diferencia de rentas, aunque no de
forma lineal.
TABLA 1
RESUMEN ANALÍTICO DE LAS APORTACIONES A LA MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN
Definición de la
privación a partir
de una función de
utilidad.
Definición de la
privación a partir
del status.
Privación
Satisfacción
⎧U(z) − U(x) si z > x
P(x,z) = ⎨
si z ≤ x
⎩0
⎧U(x) − U(z) si x > z
S(x,z) = ⎨
si x ≤ z
⎩0
P(x) = (1 − F(x))(U(x + ) − U(x)) =
S(x) = F(x))(U(x) − U(x − ) =
= U(1 − L U (F(x))) − U(x)(1 − F(x))
= U(x)F(x) − UL U (F(x))
E(P(X)) = UGU
E(S(X)) = UGU
⎧F(z) − F(x), z > x
P(x,z) = ⎨
0,
z≤x
⎩
⎧ F(x) − F(z), x > z
S(x,z) = ⎨
0,
x≤z
⎩
P(x) = x * (1 − F(x)) − µ(1 − L(F(x)))
S(x) = µL(F(x))
E(P(x)) =
1
((x * −µ) − µG)
2
E(S(x)) =
µ
1
(1­ G) = W X
2
2
(Sigue)
— 192 —
(Continuación)
Privación
Satisfacción
⎧⎪(λ + 1)(1 − F(x))λ P (x, z) ,z > x
HL
P(x, z) = ⎨
,z ≤ x
⎪⎩
0
Generalización de
la definición de
privación de Hey
y Lambert.
⎧⎪(λ + 1)F(x)λ S (x, z)
HL
S(x, z) = ⎨
⎪⎩
0
x>z
x≤z
P(x) = (λ + 1)(1− F(x))λ [µ(1− L(F(x))) − x(1− F(x))]
S(x) = (λ + 1)F(x)λ [xF(x) − µL(F(x))]
E(P(X)) = µG(λ + 2) , λ≥0
E(S(X)) = Wλ* + 2 − µ
*
λ+2
) , λ entero
siendo Wλ + 2 = E(X
positivo.
P = Pd + Pes
S = S d + S es
k
Pd = µG d =
Descomposición
de la privación y
satisfacción de­
ntro y entre sub­
poblaciones.
k
∑ si2Pi
S d = µG d =
i =1
i=1
k
Pes = µGes =
k
∑ s i s jPij
S es = µG es =
∑ s i s jS ji
i,j=1
i≠ j
i,j=1
i≠ j
Siendo Pi = µ iGi
Pij = Ei (Pij (X)) =
∑ s i2Si
Siendo S i = µ iGi
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij
2
2
Sij = E j (Pji (X j )) =
1
1
(µ i − µ j ) + ∆ ij
2
2
W = Wd + Wes
k
Wd =
Descomposición
del
bienestar
dentro y entre
subpoblaciones.
∑ s i2 Wi
i =1
k
Wes =
∑ sis j (µ j − Pij )
i,j =1
i≠ j
Siendo Wi = µ i (1 − Gi ) = µ i − Pi
• Una segunda aportación consiste en extender el planteamiento de Hey y Lambert dis­
criminando, mediante un parámetro distributivo, la privación asociada a diferentes niveles de renta.
Una consecuencia importante es la incorporación del índice de Gini generalizado como medida de
privación social.
En el tercer capítulo, al considerar una partición de la población en subpoblaciones y
descomponer aditivamente la privación media en la existente dentro de las subpoblaciones y la exis­
tente entre ellas, se generalizan los resultados de Yitzhaki (1982a) y Kakwani (1984b), en varios sen­
tidos (véase Tabla 3):
— 193 — • En primer lugar, el criterio para realizar la partición puede ser cualquiera. El caso más
relevante es aquél en que se consideran características distintas a la renta. El supuesto que analiza
Yitzhaki, partición según niveles de renta, se obtiene como caso particular.
• Se introduce el concepto de bienestar entre subpoblaciones, no habitual en la literatu­
ra, pero que, además de facilitar el tratamiento analítico, tiene una interpretación económica clara.
La relación entre privación e imposición sobre la renta es una cuestión poco tratada en la
literatura (Chakravarty y Mukherjee (1998), Imedio, Parrado y Sarrión (1999)), por lo que, a nuestro
juicio, presenta cierto interés la metodología empleada y los resultados obtenidos en los capítulos
cuarto y quinto (véase Tabla 4). En particular:
• Se expresan e interpretan los índices de progresividad impositiva y de efecto redistributivo
a partir de la variación de la privación social media que se produce como consecuencia del impuesto.
• Al contemplar una partición de la población se obtiene una descomposición de los va­
lores globales de los citados índices a partir de los de sus homólogos en cada subpoblación.
TABLA 2
APORTACIONES A LA MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN EN LA LITERATURA
Yitzhaki (1979, 1982a)
Definen la privación a partir de las diferencias de renta.
Hey y Lambert (1980)
La privación social media coincide con una medida de desigualdad
(índice absoluto de Gini).
Hey y Lambert (1980)
Podder (1996)
Definen la privación a partir de una función de utilidad. (Sólo anali­
zan algunas funciones por la conveniencia de los resultados)
Chakravarty y Chakraborty (1984)
Chakravarty (1990)
Proponen la composición de la privación con funciones que satisfa­
cen ciertas condiciones para conseguir que la privación social media
coincida con una función de evaluación social.
Kakwani (1984b)
Muestra interés por el extremo inferior de la distribución.
Berrebi y Silber (1985)
Definiciones ad hoc a fin de que la privación media coincida con una
medida de desigualdad.
Paul (1991)
Sensibilidad de la privación ante las transferencias de renta efectua­
das entre individuos con renta superior.
TABLA 3
APORTACIONES PROPIAS. FORMULACIONES ALTERNATIVAS
Aportaciones
Rasgos característicos
Definición de la privación a partir de una Definición a partir de diferencias en la utilidad proporcionada por la
renta. Se hace un estudio detallado para la función isoelástica.
función de utilidad.
Definición de la privación cuando el inte­ Definición a partir de las diferencias en rango. Papel fundamental de
rés se centra en las diferencias de status. la renta máxima.
Generalización de la definición de priva­
ción de Hey y Lambert.
Depende de un parámetro distributivo que introduce juicios de valor
discriminando entre niveles de renta. El índice de Gini generalizado
evalúa la privación media de la sociedad.
Para una partición de la población se Se contemplan dos casos: solapamiento o no de las distribuciones
descompone la privación social media de renta de las subpoblaciones. De ella se deriva la descomposición
en dos componentes: dentro y entre del bienestar social.
subpoblaciones.
— 194 — TABLA 4
APORTACIONES PROPIAS. EFECTO DE UN IMPUESTO SOBRE LA RENTA
SOBRE LA PRIVACIÓN/SATISFACCIÓN Casos analizados
Progresivo
Proporcional*
Privación basada en el Reduce la privación y satisfacción para Reduce la privación (satisfacción) para
cada nivel de renta y para el conjunto de cada nivel de renta en menor (mayor)
status
cuantía que el progresivo y la reducción
la sociedad.
depende del valor del índice de Kakwani
y Reynolds-Smolensky.
Generalización del enfo­
que de Hey y Lambert.
Reduce la privación y satisfacción para
cada nivel de renta. La reducción de la
privación media de la sociedad coincide
con la disminución del índice de Gini
absoluto generalizado.
Reduce la privación y satisfacción para
cada nivel de renta y para la sociedad
en su conjunto, pero en menor medida
que el progresivo. Su comparación con
el progresivo permite interpretar los
índices de Kakwani y ReynoldsSmolensky generalizados.
Descomposición de la
privación y satisfacción
dentro y entre subpobla­
ciones.
Si se aplica un código impositivo, cuyas
tarifas son crecientes y con tipos margi­
nales inferiores a la unidad, disminuye
la privación, la satisfacción y el bienes­
tar dentro de las subpoblaciones.Pero
su efecto sobre los valores medios en la
población es incierto.
Al aplicar un código proporcional, dismi­
nuye la privación, la satisfacción y el
bienestar dentro de las subpoblaciones
y en la pobalción total, pero en menor
cuantía que con el progresivo.
Si se aplica una única tarifa disminuye
la privación y la satisfacción entre subSi se aplica una única tarifa lineal por poblaciones y sus valores medios para
tramos, estrictamente creciente, dismi­ la sociedad pero en menor medida que
nuye la privación, la satisfacción y el con el progresivo.
bienestar para cada nivel de renta, en y
entre subpoblaciones, y sus valores
medios para la sociedad.
* Nos referimos al impuesto proporcional equivalente en recaudación.
Cuestiones de desarrollo futuro. Aunque la gama de posibilidades es muy amplia, se­
ñalaremos aquellas más directamente relacionadas con las que se han estudiado en este trabajo.
• Nuevas formulaciones de la privación que dependan tanto de la diferencia de rentas,
como de la diferencia de rangos entre individuos.
• Análisis de la privación a través de la metodología de variables latentes.
• Profundizar en el estudio de la privación entre subpoblaciones en dos aspectos con­
cretos. Si la definición inicial se basa en la diferencia de rentas, sería razonable introducir un sistema
de ponderaciones decreciente al ir aumentando la diferencia entre las rentas medias de las subpobla­
ciones que se comparan. En el supuesto de interés por el status, queda pendiente el desarrollo de
una descomposición análoga a la realizada en el capítulo tercero.
• Obtener descomposiciones de la privación y del bienestar de una población en la que
se contempla una partición finita, inducidas por las de índices de desigualdad descomponibles, como
los de entropía generalizada, diferentes al de Gini.
• Extender los resultados de Chakravarty y Mukherjee (1998) al caso de la satisfacción
neta en el enfoque utilitarista.
— 195 — • La ampliación del análisis de la incidencia de un código impositivo sobre la privación y
el bienestar en y entre subpoblaciones está condicionada al desarrollo de la teoría actualmente dis­
ponible sobre dichos códigos. Esta teoría está lejos de ser una cuestión cerrada.
El tipo de problemas que se abordan en esta memoria, y otras cuestiones anexas, nece­
sitan un cierto grado de formalización. Es evidente que al proponer formulaciones alternativas de la
privación es necesario, en primer lugar, que tengan un significado económico preciso y que no incor­
poren supuestos que entren en conflicto con el comportamiento observado de los individuos. Por otra
parte, también es una condición necesaria que su tratamiento analítico sea abordable. No se trata de
esquivar aquellos problemas que no se adapten fácilmente al análisis matemático o de considerar a
éste más importante que la relevancia de los propios resultados de dicho análisis, pero no cabe duda
de la utilidad de las Matemáticas para desarrollar intuiciones económicas ni de que el desarrollo rigu­
roso de las ideas económicas puede, a su vez, sugerir nuevas ideas. En todo caso, el papel del análi­
sis formal en el campo económico no sólo es netamente positivo, sino, en muchos casos,
imprescindible.
— 196 — BIBLIOGRAFÍA
ATKINS, A.B. (1970): On the measurement of inequality. Journal of Economic Theory, 2, pp. 244-263.
BERREBI, Z. M. y SILBER, J. (1989): Deprivation, The Gini index of inequality and the flatness of an
income distribution. Mathematical Social Sciences, 12, pp. 229-237.
— (1985): Income Inequality Indices and Deprivation: A Generalisation, Quarterly Journal of econom­
ics, 100, pp. 807-810.
— (1987): Regional differences and the components of growth and inequality change. Economics
Letters, 25, pp. 295-298.
BIRTA, L.G. (1978): OPTPAK, A program package for unconstrained function minimization. TECHNI­
CAL REPORT TR78-05, UNIVERSITY OF OTTAWA, OTTAWA, ONTARIO.
BISHOP, J.A., CHAKRABORTI, S. y THISTLE, P.D. (1989): Asymptotically distribution-free statistical infer­
ence for generalised Lorenz Curves. Review of Economics and Statistics, 71, pp. 725-77.
— (1990): An asymptotically distribution-free test for Sen´s welfare index. Oxford Bulletin of Econom­
ics and Statistics, 52, pp. 105-13.
— (1991): Relative deprivation and Economic welfare: A statistical investigation with Gini-based wel­
fare indices. The Scandinavian Journal of Economics, 93, pp. 421-437.
BISHOP, J.A., FORMBY, J.P. y SAKANO, R. (1995): Lorenz and Stochastic dominance comparisons of
European income distributions. Research on economic inequality, 6, pp. 77-92.
BLACKORBY, C. y DONALDSON, D. (1978): Measures of relative inequality and their meaning in terms of
social welfare. Journal of Economic Theory, 18, pp. 59-80.
— (1984): Ethical social index numbers and the measurement of effective tax / benefit progressivity.
Canadian Journal of Economics, 17.
— (1984): Ethically significant ordinal indices of relative inequality. En Basmann R.L. y Rhodes G.F.,
Jr (eds.), Advances in Econometrics, Vol. 3, pp. 149-168. JAI Press, Greenwich, CT.
— 198 — CARBONARO, J. (1990): Global indicators of poverty. En Dagum, C. y Zenga, M. (Eds.), Income and
wealth distribution, inequality and poverty, Ed. Springer-Verlag, Berlín, pp. 254-271.
CERIOLI A. y ZANI, S. (1990): A fuzzy approach to the measurement of Poverty en Dagum, C. y Zenga, M.
Income and wealth distribution, inequality and poverty, Ed. Springer-Verlag, Berlín, pp. 272-284.
CHAKRAVARTY, S.R. (1985): Normative indices for the measurement of horizontal inequity. Journal of
Quantitative Economics, 1.
— (1990): The measurement of relative deprivation. En Chakravarty, S.R., Ethical social index num­
bers. Cap. 5. Springer-Verlag.
— (1997): Relative Deprivation and Satisfaction orderings. Indian Statistical institute, Calcuta, India.
CHAKRAVARTY, S.R. y CHAKRABORTY A.B. (1984): On Indices of Relative Deprivation, Economic Let­
ters, 14, pp. 283-287.
CHAKRAVARTY, S.R. y MUKHERJEE D. (1998): Lorenz domination, utilitarian deprivation rule and equal
sacrifice principle. The Manchester School Journal, 66, pp. 521-531.
CHAKRAVARTY, S.R., CHATTOPADHYAY, N. y MAJUMDER A. (1995): Income inequality and relative depri­
vation. keio Economics Studies, 32.
CHAUDHURI, A. (1986): Some Implications of Intensity Measure of Envy. Social Choice and Welfare, 3,
pp. 255-270.
COWELL, F. (1977): Measuring inequality. Phillip Allan. London.
— (1998): Measurement of inequality. STICERD, London School of Economics. London.
CROSBY, F. (1976): A model of egoistical Relative deprivation. Psychological Review 83, pp. 85-113
— (1979): Relative deprivation Revisited: A response to Miller, Bolce and Halligan. American Political
Science Review, 73, pp. 103-112.
DAGUM C. (1977): A new model of personal income distribution: specification and estimation. Econo­
mie Apliquée, XXX, n.º 3, pp. 413-437.
— (1980): Inequality measures between income distribution with applications. Econometrica, 48,
pp. 1791-1803.
— (1985): Analysis of income distribution and inequality by education and sex in Canada. En Bas­
mann R.L. y Rhodes G.F., Jr (eds.), Advances in Econometrics, Vol. 3, pp. 149-168. JAI Press,
Greenwich, CT.
— (1987): Measuring the economic affluence between populations of income receivers. Journal of
Business and Economic Statistics, vol. 5, 1, pp. 5-12.
— 199 — DAGUM C. (1993): Fundamentos de bienestar social de las medidas de desigualdad en la distribución
de la renta. Cuadernos de Ciencias Económicas y Empresariales, 24, Universidad de Málaga.
— (1997a): A new approach to the decomposition of the Gini income inequality ratio. Empirical Eco­
nomics, 22, pp. 515-531.
— (1997b): Decomposition and interpretation of Gini and Generalized entropy inequality measures.
Proceedings of the American Statistical Association, Business and Economic Statistics Section,
pp. 200-205.
DAGUM, C. y CHIU, K. (1991): User´s manual for the program EPID (Econometric Package for income
distribution) for personal computers. Versión revisada. Ottawa: Statistics Canada.
DAGUM, C. y ZENGA, M. (Eds.) (1990): Income and wealth distribution, inequality and poverty, Ed.
Springer-Verlag, Berlín.
DASGUPTA A., SEN A. y STARRET D. (1973): Notes on the measurement of inequality. Journal of Eco­
nomic Theory, 6, pp. 180-187.
DAVIS, J. (1959): A formal interpretation of the Theory of the relative Deprivation. Sociometry, 20,
pp. 280-296.
DELHAUSSE, B. y LUTTGENS, A. y PERELMAN, S. (1993): Comparing measures of poverty and relative
deprivation: An example for Belgium. Journal of Population Economics, 1, pp. 83-102.
DONALDSON D. y WEYMARK J.A. (1980): A single-parameter generalization of the Gini indices of ine­
quality. Journal of Economic Theory, 22, pp. 67-86.
EICHORN, W., FUNKE, H., y RICHTER, F. (1984): Tax progression and inequality of income distribution.
Journal of Mathematical Economics, 13.
FELLMAN, J. (1976): The effects of transformations on Lorenz curves, Econometrica, 44, pp. 823-824.
FERNÁNDEZ MORALES, A. (1990): La medición de la pobreza a través de índices. Una síntesis de la
literatura. Cuadernos de Ciencias Económicas y Empresariales, n.º 23.
FERNÁNDEZ MORALES, A. y COSTA, M. (1998): Descomposición de los índices de Gini y entropía gene­
ralizada: desigualdad y nivel de estudios en España e Italia (1991). Estadística Española. Vol. 40,
n.º 143.
FOSTER, J. y SHORROCKS, F. (1988): Poverty orderings. Econometrica, 173-177.
FOSTER, J.E. (1985): Inequality measurement. En Peyton Young, ed., Fair Allocation, American
Mathematical Society, Proceedings of R.Butts y J.Hintikka, eds., Logic, Methodology and Phi­
losophy of Science, Reidel.
FOSTER, J.E., GREER, J. y THORBECKE, E. (1984): A class of decomposable poverty measures,
Econometrica, vol. 52, n.º 3, pp. 654-662.
— 200 — GURR, T. R., (1968): A causal model of civil strife: A comparative analysis using new indices. Ameri­
can political science review, 62, pp. 1104-1124.
HEY, J.D. y LAMBERT P.J. (1980): Relative Deprivation and the Gini Coefficient: Comment, Quarterly
Journal of Economics, 95, pp. 567-573.
HIRSCHMAN, A, (1973): The changing tolerance for income inequality in the course of economics de­
velopment . Quarterly journal of economics, 87, pp. 544-566.
IMEDIO OLMEDO, L. (1996): Distancias entre distribuciones de renta. Aplicación a la imposición. Tesis
Doctoral, Universidad de Málaga.
IMEDIO, L. PARRADO, M. SARRIÓN, M.D. (1999): Privación relativa e imposición sobre la renta Hacien­
da Pública Española, 149-2.
INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA (1992): Encuesta de Presupuestos Familiares. Metodología y
resultados de 1990.
— Encuesta Continua de Presupuestos Familiares 1996.
JAKOBSSON, U. (1976): On the measurement of the degree of progression, Journal of Public Economics, 5,
pp. 161-168.
KAKWANI, N. (1977): Applications of Lorenz curves in economics analysis, Econometrica, 45, pp. 719-727.
— (1981): Welfare measures: An international comparison. Journal of development economics 8,
pp. 21-45.
— (1983): Redistribution effects of income tax and cash benefits in Australia, Paper 18 Centre for
applied economic research, The University of New South Wales, Kensington.
— (1984a): Issues in measuring poverty. En Basmann R.L. y Rhodes G.F., Jr (eds.), Advances in
Econometrics, Vol. 3, pp. 149-168. JAI Press, Greenwich, CT.
— (1984b): The relative Deprivation curve and its applications, J. Business and Economics Statistics, 2,
pp. 384-405.
— (1984c): On the measurement of tax progresivity and redistributive effect of taxes with applications
to horizontal and vertical equity. En R.L. Basmann y G.F. Rhodes, Jr (eds.), Advances in Econo­
metrics, Vol. 3. JAI Press, Greenwich, CT.
— (1984d): Welfare rankings of income distributions. En R.L. Basmann y G.F. Rhodes, Jr (eds.),
Advances in Econometrics, Vol. 3, JAI Press, Greenwich, CT.
— (1985): Measurement of welfare with applications to Australia. Journal of Developments Economics,18,
pp. 429-461.
— (1986): Analysing Redistribution Policies: A Study Using Australian Data. Cambridge University
Press, Cambridge.
— 201 — KIEFER, D.W. (1985): Distributional tax progressivity measurement. National Tax Journal, 37.
KING, M. (1983): An index of inequality with applications to horizontal equity and social mobility.
Econometrica, 51.
LAMBERT, P. (1985): Social welfare and the Gini revisited. Mathematical Social Sciences 9, pp. 19-26.
— (1994): Measuring progressivity with differences in tax treatment. En Creedy J.: Taxation, poverty
and income distribution. Edward Elgar, University press, Cambridge.
— (1996): La distribución y redistribución de la renta. Un análisis matemático. Instituto de Estudios
Fiscales. Madrid.
LAMBERT, P. y ARONSON J.R. (1992): Inequality decomposition analysis and the Gini coefficient revis­
ited. Economic Journal, 103.
LAYARD, R. (1980): Human satisfaction and public policy. Economic Journal, 90, pp. 737-750.
LIU, P. W. (1987): Measuring tax progressivity as weighted deviations from proportional tax: a comment.
Public Finance, 42.
MEYER, J. (1977): Second degree stochastic dominance with respect to a function. International Eco­
nomic Review, XVIII (junio 1977), pp. 477-487.
MINISTERIO DE ECONOMÍA Y HACIENDA. (1997): Memoria de la Administración Tributaria 1995.
MOYES, P. (1988): Progressive taxation and after tax welfare. Mimeografiado. Université de Bourdeaux.
MOYES, P. y SHORROCKS A. (1993): Redistributive taxation and differences in needs: a benchmark
result and a research agenda. En Ed. Eichhorn W., Models and measurement of welfare and ine­
quality. Heidelberg: Springer Verlag.
— (1998): The impossibility of a progressive tax structure. Journal of Public Economics, 69.
MUKHERJEE D. (1997): Deprivation reducing income tax functions. Research on economic inequality.
Vol. 7, pp. 153-163.
MUKHERJEE D. y SHORROCKS A. (1982): A decomposition analysis of the trend in U.K. income inequality.
Economic Journal, 92.
MULIERE, P. y SCARSINI, M. (1989): A note on stochastic dominance and inequality measures. Journal
of Economic Theory, 49.
PAUL, S. (1991): An index of relative deprivation, Economics letters, 36, pp. 337-341.
PFINGSTEN, A. (1987): Axiomatically based local measures of tax progression. Bulletin of Economic
Research, 39.
— 202 — PFINGSTEN, A. (1988): Progressive taxation and redistributive taxation: different labels for the same
product? Social Choice and Welfare, 5.
PODDER, N. (1996): Relative deprivation, envy and economic inequality. Kyklos, 49, pp. 353-376.
PYATT, G. (1976): On the interpretation and disaggregation of Gini coefficients, Economic Journal, 86,
pp. 243-255.
— (1980): Poverty and welfare measure based on the Lorenz curve. Mimeo (Development research
centre, World bank, Washington, D.C).
RAO, V.M. (1969): Two decompositions of concentration ratios. Journal of the Royal Statistical Society A, 132,
pp. 418-425.
RUNCIMAN, W.G. (1966): Relative deprivation and social justice, Routledge, London.
SAWYER, J. (1971): Relative deprivation: A politically biased concept. Psychiatry, 34: pp. 97-99.
SEN, A. (1974): Informational bases of alternative welfare approaches: Aggregation and income distri­
bution. Journal of Publics Economics, Vol. 3, pp. 387-403 .
— (1976a): Poverty: an ordinal approach to measurement. Econometrica, Vol. 44, n.º 2, pp. 219-231.
— (1976b): Real national income. Review of Economics Studies, 43, pp. 19-39.
— (1979): Issues in the measurement of poverty, Scandinavian Journal of Economics, 81.
SEN, A.K. (1973): On economic inequality. Oxford University Press. London
SHESHINSKI, E.(1972): Relation between a social welfare function and the Gini index of income ine­
quality. Journal of economics theory 4, pp. 98-100.
SHORROCKS, A. (1982): On the distance between income distributions. Econometrica, 50, n.º 5,
pp. 1337-1339.
— (1983): Ranking income distributions. Economica, 50: pp. 3-17
— (1998): Deprivation profiles and deprivation indices. En The Distribution of Welfare and Household
Production: International perspectives. Cap.11, pp. 250-267. Cambridge University Press.
STARK, O. (1990): A relative deprivation approach to performance incentives in career games and
other contexts, Kyklos. 43: pp. 211-227.
STARK, O. y YITZHAKY, S. (1988): The migration response to relative deprivation. Journal of Population
Economics, 1.
STOUFFER S.A., SUCHMAN E.A., DEVINNEY L.C, STAR S.A. y WILLIAMS R.M., (1949): The American Sol­
dier: Adjustment During Army Life, Vol. 1. Princeton: Princeton University Press.
— 203 — TAKAYAMA, N. (1979): Poverty, Income Inequality and their measures: Professor Sen´s axiomatic ap­
proach reconsidered, Econometrica, Vol. 47, n.º 3, pp. 747-759.
THISTLE, P. (1989): Ranking distribution with generalized Lorenz Curves. Southern Economic Journal, 56,
pp. 1-12.
TOWNSEND, P. (1974): Poverty as relative deprivation: Resources and Style of living. En: Wedderburn,
D. Poverty, inequality and class structure. Cambridge University Press, London pp. 15-41.
VARIAN, H. (1974): Equity, Envy and Efficiency, Journal of Economic Theory, 9, pp. 63-91.
XU, K. Y OSBERG, L. (1998): A distribution free dominance test for deprivation dominance. Economet­
ric review, 17, pp. 415-429.
YITZHAKI, S. (1979): Relative deprivation and the Gini coefficient, Quarterly Journal of Economics, 93,
pp. 321-324.
— (1980): Relative deprivation and the Gini Coefficient: reply, Quarterly Journal of Economics, 95,
pp. 575-576.
— (1982a): Relative deprivation and economic welfare. European Economic Review, 17, pp. 99-113.
— (1982b): Stochastic dominance, mean-variance and Gini´s mean difference. American economic
review, 72, 1.
— (1983): On an extension of the Gini index. International Economic Review, 24, pp. 617-628.
ZUBIRI, I. (1985): Una introducción al problema de la medición de la desigualdad. Hacienda pública
Española, 95.
— 204 —