Transformadas de la imagen

Transformadas de la imagen
Digital Image Processing, Gonzalez, Woods, Addison Wesley, ch 3
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Transformada de Fourier en el
caso continuo
Transformada de Fourier de una funcion continua
La transformada inversa recupera la función a partir de
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La transformada de Fourier de una función real es compleja
En forma exponencial:
Donde, el espectro de Fourier es
El ángulo de fase es
El espectro de potencia es
La variable u es la variable frecuencia debido a la relación de Euler
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Continua e integrable
Integrable
Esta definido el par de transformadas directa e inversa
Espectro y fase
Ejemplo:
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Transformada discreta de Fourier
Discretización de la función continua, tomando N muestras
Adoptando la notación
Denota una muestra uniformemente
espaciada de una función continua
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El par de transformadas discretas de Fourier se define como:
Teniendo en cuenta que
representa
Las frecuencias de muestreo en los planos
espacial y transformado se relacionan como:
Caso de dos variables
La transformada en el caso discreto siempre existe
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El problema de la
visualización del
espectro:
Es necesario escalar el
rango de valores para
poder visualizarlo como
una imagen en niveles
de gris.
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Separabilidad: se puede calcular la transformada
multidimensional como iteraciones de la transformada
unidimensional en cada dimensión
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Traslación: la traslación en un dominio se corresponde con la
multiplicación por un término exponencial.
El espectro de potencia es
invariante a traslación en el
plano espacial.
Para cambiar el origen de coordenadas
al centro del cuadrado de las
frecuencias, para visualización
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La transformada discreta es periódica de periodo N
También posee
simetría conjugada
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Usualmente se desplaza el origen al centro del cuadrado NxN para
visualizar mejor el espectro de la función
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Rotación: la rotación en el plano espacial se corresponde con
la rotación en el plano transformado
Coordenadas polares
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La transformada es distributiva respecto de la suma pero no del
producto
El escalado de la función y de
su dominio se transforman
correspondientemente:
El valor medio corresponde con la transformada en el origen
Transformada del Laplaciano de la función
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Convolución de dos funciones continuas 1D
La convolución con la función impulso corresponde a extraer
el valor de la función en la posición del impulso
Teorema de la convolución: la convolución y el producto son
duales bajo la transformada de Fourier
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Ejemplo de convolución
con un tren de impulsos.
La función se repite en
cada posición del
impulso.
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Ejemplo de convolución
de dos funciones
continuas detallando los
pasos computacionales
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La convolución en el caso discreto exige tener en cuenta la
periodicidad de las funciones discretas. Si las funciones son de
periodo M, la convolución será también discreta y del mismo
periodo. El problema es determinar M.
Garantiza que no se produce solapamiento
Los periodos serán adyacentes
Los periodos estan separados
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Secuencias extendidas para garantizar el tamaño del periodo
Expresión para la convolución discreta
Esta expresión garantiza la consistencia con la
definición de la convolución en el caso continuo.
El teorema de la convolución también es valido en el
caso discreto.
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Comparación entre la convolución en el caso continuo y en el
caso discreto. La convolución discreta es una función
periódica de periodo M.
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Caso bidimensional continuo y discreto
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Ilustración de los
procesos
computacionales
de la convolución
continua en dos
dimensiones.
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Correlación: es una medida de la similitud
Teorema de la correlación:
dualidad del producto y la
correlación
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Ejemplo detallado de la
realización de la correlación
en el caso continuo.
La correlación es una
transformación de
localización: nos
indica donde se
encuentra la función
más parecida al
patrón.
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Muestreo
¿Cuantas muestras se deben tomar para que no se
pierda información en el proceso de muestreo o
discretización?
Se trata de establecer las condiciones en las que una
función continua puede ser recuperada completamente
a partir de un conjunto finito de valores muestreados.
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Efecto del muestreo en el dominio
frecuencial: frecuencias de
muestreo excesivamente bajas
producen interferencias
frecuenciales y pérdida de
información.
Si la frecuencia de muestreo está por encima de
la frecuencia de Nyquist, se puede recuperar la
función original a partir del muestreo,
aplicando una ventana a la transformada que
seleccione el periodo en el origen.
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Al realizar un muestreo en un intervalo finito estamos multiplicando una
ventana a la función muestreada, o convolucionando la transformada de la
función discretizada con la de la ventana, esta última no es finita, por
tanto la función así muestreada no es de banda limitada y no será
recuperable.
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Transformada discreta de
Fourier: Al discretizar el
plano transformado
estamos convolucionando
la discretización espacial
con un tren de impulsos
que convierten la función
en periódica.
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Muestreo 2D
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Condiciones de
muestreo para la
recuperación de la
imagen original.
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Transformadas separables
Transformada directa
Kernel separable
Transformada inversa
Kernel directo de la
transformada
Kernel inverso de la
transformada
Kernel simétrico
Caso de la transformada
de Fourier bidimensional
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La transformada separable y simetrica puede calcularse
aplicando dos transformadas unidimensionales
En forma matricial
F es la matriz imagen, A es la matriz kernel de transformación
Para obtener la transformación inversa se calcula:
Si
La inversa es exacta
Sino se obtiene una aproximación
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Transformada de Walsh
K-esimo bit en la
representación binaria de z
Separabilidad y
simetría
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Base de funciones de la
transformada de Walsh
cuando la imagen es de
tamaño 4x4. Los
coeficientes de la
transformada se obtienen
multiplicando la imagen por
cada una de las funciones de
la base.
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Transformada de Hadamard
Separabilidad y
simetría
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Discrete Cosine Transform (DCT)
La base de funciones son funciones coseno y el resultado
de la transformación es siempre real, lo que simplifica los
cálculos.
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Transformada en componentes principales:
Hotelling, Karhunen-Loeve
Población de vectores aleatorios de media y matriz de covarianza
Dadas M muestras de la población de vectores aleatorios,se puede calcular
Puesto que la matriz de covarianza es real y simetrica, se puede diagonalizar y
encontrar el conjunto de autovectores ortogonales de la matriz. Sean
estos
autovectores ordenados por autovalor
dispuestos por columanas en una matriz
A.
Errir de reconstrucción de los datos originales si
consideramos solo los K autovectores de mayor autovalor
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