Ampliación y soluciones 4: Aplicaciones lineales

Ampliación y soluciones 4: Aplicaciones lineales
1. Para las siguientes aplicaciones lineales f : U → V calcular tanto el núcleo como la imagen y decir
las propiedades de la aplicación (ver si es inyectiva y suprayectiva).
(a) U = V = R3
f (x, y, z) = (z, x + y, −z).
(b) U = V = R3
(c) U = R3 , V = R4
4
2
(d) U = R , V = R
(e) U = R3 , V = R2
(f) U = V = R3
3
(g) U = R , V = R
f (x, y, z) = (x − y + 2z, y − z, x + 2z).
f (x, y, z) = (z, x + y, −z, y − x).
f (x, y, z, t) = (x − 3y + 8t, 2x).
f (x, y, z) = (x + y + z, 0).
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 + x2 − x3 , x3 ).
f (x, y, z) = x − 2y + 3z.
(h) U = V = P3 [R] (=polinomios de grado ≤ 3)
f [p(x)] = xp0 (x)
2. Sea f un endomorfismo de R3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
Ã
!
1 0 0
−1 0 1
3 0 0
Hallar la matriz asociada a f respecto de la base
B 0 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
3. Se considera la aplicación lineal
f : R2 → R3
que cumple que
f (1, 0) = (2, 3, −1)
f (0, 1) = (0, −2, 3)
Dadas bases respectivas de R2 y R3
B = {(−1, 2), (3, 0)}, B 0 = {(0, 0, −1), (0, 2, 1), (−1, 1, 4)}
se pide obtener las matrices asociadas siguientes
MC2 →C3 (f ), MB→C3 (f ), MC2 →B0 (f )
siendo C2 la base canónica de R2 y C3 la base canónica de R3 .
4. Supongamos que tenemos una aplicación lineal
f : R3 → R2
y que consideramos en el primer espacio vectorial la base canónica C y en el segundo una base B.
Supongamos que
³
´
1 −1 0
MC→B (f ) = −2
0 2
Dado el vector v = (2, −1, 2) ∈ R3 hallar f (v)B . Hallar los posibles w ∈ R3 tales que f (w)B =
(2, 4).
1
5. (Extraído de un examen) Consideremos en R3 la base
B = {e1 = (−2, 1, 1), e2 = (1, −1, 0), e3 = (3, 2, −4)}
y el endomorfismo f tal que
MB→B (f ) =
Ã
1 −1
a
1 −1 b − 1
−2
2
c
!
siendo a, b, c ∈ R tales que f (e2 + e3 ) = e1 + e2 .
(a) Justifica que a = 2, b = 3 y c = −2.
(b) Calcula la matriz de f respecto de la base canónica y su expresión analítica.
(c) Calcula ker f e Im f . ¿Es f inyectiva?¿Es f suprayectiva?
6. (Extraído de un examen) Consideremos en R3 la base
B = {u1 = (−1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 0)}
y el endomorfismo f tal que
MC→C (f ) =
Ã
donde a ∈ R cumple que f (u2 + u3 ) = (5, 1, −2).
−1
2 a
1
0 1
1 −1 0
!
(a) Demuestra que a = 1.
(b) Calcula la expresión analítica de f y la matriz de f respecto de la base B.
(c) Calcula ker f e Im f . ¿Es f inyectiva?¿Es f suprayectiva?
7. Determinar la matriz asociada en las bases canónicas para cada una de las siguientes aplicaciones
lineales:
(a) En R3 la proyección ortogonal de base U =< (1, 1, 0), (0, 1, −1) > .
(b) En R3 la simetría ortogonal de base W =< (1, 1, 0), (0, 1, −1) > .
8. Supongamos que B = {u, v} es una base de R2 y que tenemos un endomorfismo f de R2 que
cumple que
f (u) = 5u + 2v
f (v) = 3u − v
Hallar la matriz asociada a f respecto de la base B.
9. Hallar la matriz asociada respecto de las bases canónicas a una aplicación lineal
f : R3 → R2
que satisface que
f (2, 0, −1) = (5, 3)
f (0, 1, −3) = (−4, 5)
f (−2, 3, 0) = (−9, 4)
10. Decir si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas (justificando la respuesta):
a) Existe una aplicación lineal inyectiva
f : R3 → R4
cuyo núcleo es
ker f = {(x, y, z) : x − y + z = 0}
2
b) Existe un endomorfismo f de R2 tal que respecto de dos bases B y B 0 tiene por matrices
asociadas
³
´
³
´
1 2
1 1
MB→B (f ) = 1 3
MB0 →B0 (f ) = 0 0
c) Es biyectivo el endomorfismo de R3 cuya matriz asociada respecto de ciertas bases es la
siguiente
Ã
!
1 0 0
0 2 0
1 4 8
Soluciones
Ejercicio 1
a) No es ni inyectiva ni suprayectiva ni biyectiva pero sí es endomorfismo. Unas ecuaciones implícitas
de ker f son z = 0, x + y = 0 y una base de Im f es {(0, 1, 0), (1, 0, −1)}.
b) Es inyectiva, suprayectiva y biyectiva y también un endomorfismo. Por tanto ker f = 0 e Im f =
3
R.
c) Es inyectiva pero no suprayectiva ni biyectiva. ker f = 0 y una base de Im f es
{(0, 1, 0, −1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, −1, 0)}
d) Es suprayectiva pero no inyectiva ni biyectiva. Im f = R2 y unas ecuaciones implícitas de ker f
son x − 3y + 8t = 0, 2x = 0.
e) No es ni inyectiva ni suprayectiva ni biyectiva. Una ecuación implícita de ker f es x + y + z = 0
y una base de Im f es {(1, 0)}.
f) No es ni inyectiva ni suprayectiva ni biyectiva pero sí es endomorfismo. Unas ecuaciones implícitas
de ker f son x1 + x2 + x3 = 0, x3 = 0 y una base de Im f es {(1, 1, 0), (1, −1, −1)}.
g) Es suprayectiva pero ni inyectiva ni biyectiva. Im f = R y una ecuación implícita de ker f es
x − 2y + 3z = 0.
h) No es ni inyectiva ni suprayectiva ni biyectiva pero sí un endomorfismo. Una base de ker f es {1}
y una base de Im f es {x, x2 , x3 }.
2. La matriz requerida es
Ã
!
3
3
3
0 −1 −1
MB0 →B0 (f ) =
−2 −1 −1
3. Como
f (−1, 2) = −f (1, 0) + 2f (0, 1) = −(2, 3, −1) + 2(0, −2, 3) = (−2, −7, 7)
f (3, 0) = 3f (1, 0) = 3(2, 3, −1) = (6, 9, −3)
se tiene que las matrices pedidas son
!
Ã
!
Ã
!
à 9
− 2 −4
2
0
−2
6
5
3 −2
9
b) MB→C3 (f ) = −7
c) MC2 →B0 (f ) =
a) MC2 →C3 (f ) =
−1
2
−1
3
7 −3
−2
0
4. Para lo primero se tiene que f (v)B = (3, 0).
Para lo segundo se tiene que
{w ∈ R3 : f (w)B = (2, 4)} = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y = 2, −2x + 2z = 4} =
= {(x, y, z) ∈ R3 : x = x, y = x − 2, z = x + 2}
De este modo los vectores son de la forma w = (x, x − 2, x + 2) para cualquier x ∈ R.
5.(b) La matriz pedida es
Ã
!
6 −1
6
4
0
4
MC→C (f ) =
−8
1 −8
3
5.(c) Una base de ker f es {(−1, 0, 1)} por lo que f no es inyectiva (ni biyectiva). Una base de Im f
es {(−1, 0, 1), (3, 2, −4)} por lo que f tampoco es suprayectiva.
à 6.(b) La expresión
! analítica es f (x, y, z) = (−x+2y+z, x+z, x−y). La matriz pedida es MB→B (f ) =
−2 −3 −2
1
2
1
−4 −3 −3
6.(c) Una base de ker f es {(1, 1, −1)} por lo que f no es inyectiva (ni biyectiva). Una base de Im f
es {(−1, 1, 1), (1, 1, 0)} por lo que f tampoco es suprayectiva.
Ã
!
2
1
1
2 −1
7.(a) Para la proyección se obtiene la matriz 13 1
1
−1
2
Ã
!
1
2
2
1 −2
7.(b) Para la simetría se obtiene la matriz 13 2
2 −2
1
8. La matriz pedida es
³
´
5
3
MB→B (f ) = 2 −1
9. La matriz solicitada es
MC3 →C2 (f ) =
10.
1) No
2) No
3) Sí
³
4
3 −1
1
1
2 −1
´