D - Canek

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Optimización.
E: Se quiere construir un recipiente cilı́ndrico de base circular con tapa y una capacidad para 600 l.
Calcular las dimensiones que debe tener para que se requiera la mı́nima cantidad de material en
su construcción.
(Considerar que 1 l = 1 dm3 .)
D: H Usamos la figura
•
r
h
El área total que deseamos que sea mı́nima es el área lateral 2πrh más el área de las dos bases
2πr2 :
A = 2πrh + 2πr2 ,
donde r & h son dos variables, pero como V = 600dm3 y V = πr2 h , tenemos
600 = πr2 h;
luego, despejando h
600
.
πr2
Sustituyendo este valor en la fórmula del área total, la podemos expresar como función de una
única variable r:
600
A(r) = 2πr 2 + 2πr2 .
πr
Simplificando,
1200
A(r) =
+ 2πr2 = 1200r−1 + 2πr2 .
r
Busquemos el valor de r que hace que A sea mı́nima.
Derivando A(r)
−1200
dA(r)
=
+ 4πr.
dr
r2
Igualando a cero:
r
r
1200
1200
−1200
3 1200
3 300
3
⇒ r=
⇒ r=
.
+ 4πr = 0 ⇒ 4πr = 2 ⇒ r =
2
r
r
4π
4π
π
h=
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
2
Y ya que
600
h=
π
300
π
2
3
r
(2)(300)
(2)(300)1/3
3 300
⇒ h=
⇒
h
=
⇒
h
=
2
⇒ h = 2r,
π 1/3
π
3002/3
π 2/3
π
dA(r)
−1200
=
+ 4πr = −1200r−2 + 4πr, calculamos la segunda derivada:
dr
r2
d2 A(r)
2400
= 3 + 4π,
2
dr
r
r
300
la cual es positiva, por lo que para r =
& h = 2r, tenemos efectivamente un área mı́nima.
π
a partir de