1 TITULO: DIVISIBILIDAD EN LOS NATURALES. AUTORES: Ferreri

TITULO: DIVISIBILIDAD EN LOS NATURALES.
AUTORES: Ferreri, Marilina del Milagro - Siragusa, Sebastián.
PROFESORAS: Delgado Piñol, Erika - Esteley, Cristina - Viola, Fernanda Beatriz Villarreal, Mónica Ester.
CARRERA: Profesorado en Matemática.
FECHA: 22/11/2012.
1
Clasificación:
97 Mathematical Education.
Palabras Claves:
Divisibilidad en N. Factor. Múltiplo. Divisor. Números Primos.
Resumen:
El presente informe constituye el trabajo final de la materia MOPE. Dicho
informe contiene información sobre las prácticas docentes realizadas por los
autores, en un instituto de educación secundaria de la Ciudad de Córdoba
en el primer año de dicho nivel. El tema desarrollado fue Divisibilidad en los
Números Naturales. Dicho trabajo contiene la información general sobre la
institución, los cursos en los que se desarrollaron las prácticas, la
planificación y el análisis de las mismas. Junto con el análisis de un problema
desde un marco teórico.
2
INDICE
1. INTRODUCCIÓN
4
1.1. Algunas características sobre los cursos observados.
5
1.2. Calendario de observaciones y prácticas.
7
1.3. Consideraciones sobre la observación de día completo.
7
1.4. El trabajo en las clases de matemática.
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2. PLANIFICACIÓN ANUAL DE LA PROFESORA.
11
3. PLANIFICACIÓN DE LOS PRACTICANTES.
12
3.1. Objetivos.
12
3.2. Selección de los contenidos.
12
3.3. Organización y Secuencia de los contenidos.
13
3.4. Actividades desarrolladas en la clase.
14
3.5. Evaluación.
53
4. ANALISIS DE UN PROBLEMA DESDE UN MARCO TEORICO.
59
5. A MODO DE CONCLUSIÓN.
69
6. BIBLIOGRAFIA.
70
7. ANEXOS.
71
3
1. INTRODUCCIÓN
En el marco de la materia Metodología y Práctica de la Enseñanza, de la carrera de
Profesorado en Matemática, se llevaron adelante prácticas desde el día 21 de agosto
hasta el día 25 de septiembre del año 2012 en una institución de gestión privada, ubicada
en un barrio colindante a la zona céntrica de la Ciudad de Córdoba, aledaño a la Ciudad
Universitaria.
La institución escolar cuenta con nivel inicial, primario y secundario, ubicado en el
mismo edificio, separado por plantas; donde la planta baja está ocupada por los primeros
dos niveles, y la planta superior por el nivel secundario. La institución en el nivel
secundario, cuenta con Ciclo Básico y Ciclo Orientado, el cual posee dos orientaciones:
Orientación en Ciencias Sociales, y Orientación en Ciencias Naturales.
Las instalaciones edilicias cuentan con laboratorio de ciencias, laboratorio de
computación con acceso a internet, biblioteca, patio de recreación, cantina para ambos
niveles (inicial y primario por un lado, secundario por otro), además de aulas de
dimensiones rectangulares, y demás espacios escolares como sala de profesores,
preceptoría, dirección, baños, secretaría, etc. La distribución de las aulas a lo largo del
edificio es contigua a lo largo de un gran pasillo y cada una de ellas cuenta con
ventilación y luminarias eléctricas, y ventanales; sin embargo no poseen calefacción. Las
aulas de los cursos en donde se llevaron a cabo las prácticas, están separadas de las
demás y contiguas entre sí. La distribución edilicia se observa en el siguiente mapa:
4
Las prácticas se desarrollaron en el primer año del Nivel Secundario, en las divisiones
A y B, el cual se encuentra a cargo de una misma profesora.
La distribución espacial en ambos cursos, es de tres filas de bancos dobles, con
ubicaciones de los alumnos estables. Las aulas además cuentan con pizarrón de tiza y
escritorio para la profesora. En el momento de las observaciones, previas al inicio de las
prácticas, los mobiliarios eran escasos por lo que muchas veces era necesario que los
alumnos salieran a buscar sillas y/o bancos por las demás aulas del colegio.
La distribución de los alumnos dentro del aula era similar en ambas divisiones: las
mujeres ocupaban una sola fila, la más cercana a la puerta, sentadas de a pares; y los
varones se ubicaban en las filas restantes sentados de a pares en algunos casos y en
otros de forma individual. Cabe destacar que la profesora modificaba la ubicación de los
alumnos, cuando le parecía pertinente que esa ubicación no era la más adecuada para el
desarrollo de la clase sin interrupciones.
1.1 Algunas características de los cursos observados.
Primero A
El curso, está formado por un total de 25 alumnos, 13 mujeres y 12 varones. El grupo
fue descripto por la profesora como el más "revoltoso" de los dos, identificando un grupo
de alumnos varones que, a lo largo de las clases observadas, fue a quienes la profesora
siempre llamaba la atención sobre su comportamiento. Las mujeres, por su parte, eran
más "charlatanas" y la profesora sólo les pedía silencio o que no se distrajeran tanto a lo
largo del desarrollo de las clases.
Horarios
Lunes
7.40 a 8.20 Lengua
8.20 a 9.00 Lengua
9.10 a 9.50 Geografía
9.50 a 10.30 Geografía
10.45 a
Ed.
11.25
Tecnológica
11.25 a
Ed.
12.05
Tecnológica
12.05 a
13.00
Taller de
Inglés
13.00 a
13.40
Horarios Primer Año A
Martes
Miércoles
Geografía
Biología
Geografía
Matemática
Geografía
Lengua
Lengua
Lengua
Matemática
Matemática
Jueves
Matemática
Matemática
Biología
Biología
Taller de
Ingles
Taller de
Arte
Ed.
Tecnológica
Ed.
Tecnológica
Viernes
Computación
Computación
Física
Física
Ciudad. y
Part.
Ciudad. y
Part.
Ciudad. y
Part.
Física
5
Primero B
El grupo está integrado por un total de 25 alumnos, 10 mujeres y 15 varones, de los
cuales uno de ellos, cuenta con maestra integradora, ya que posee un diagnóstico de
retraso mental. En los días observados, la maestra se presentó los días miércoles y
trabajó con él en actividades diferenciadas, las cuales eran preparadas en conjunto con la
profesora del curso. Según comentarios de la profesora, el grupo de alumnos en este
curso, era más tranquilo en cuanto a conducta, es decir que no alteraban la clase con
molestar a sus compañeros o distracciones que pudieran entorpecer el normal desarrollo
de la clase, y se podía trabajar mejor con ellos. Los grupos de varones y mujeres estaban
bien diferenciados tanto espacialmente como en términos de relaciones, ya que los
grupos establecidos no hablaban entre sí.
Horarios
Horarios Primer Año B
Lunes
7.40 a 8.20
Geografía
8.20 a 9.00
9.10 a 9.50
9.50 a 10.30
10.45 a
11.25
11.25 a
12.05
12.05 a
13.00
13.00 a
13.40
Geografía
Lengua
Lengua
Física
Ciudad. y
Part.
Taller de
Inglés
Martes
Miércoles
Ed.
Lengua
Tecnológica
Ed.
Lengua
Tecnológica
Lengua
Matemática
Geografía Matemática
Geografía
Geografía
Jueves
Ed.
Tecnológica
Ed.
Tecnológica
Matemática
Matemática
Taller de Ingles
Taller de Arte
Viernes
Física
Física
Computación
Computación
Biología
Biología
Ciudad. y Part. Biología
Ciudad. y Part. Matemática
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1.2 Calendario de Observaciones y Prácticas.
El siguiente calendario, muestra las clases en donde realizamos las observaciones
durante las horas de matemática y la jornada de día completo, y los días en los cuales
desarrollamos nuestras prácticas.
1.3 Consideraciones sobre la observación de día completo.
Primero A
Por lo general en este día pudimos observar que, los profesores no lograban gestionar
el curso de una manera medianamente óptima. Nos referimos aquí, a la posibilidad de
proponer algún tipo de consigna y que los alumnos puedan apropiarse de la misma. Es
decir que, gestionar un curso no necesariamente es lograr un curso callado, sentado y en
“orden”.
Sin embargo, esta fue la sensación que tuvimos al observar a algunos profesores. Ya
que nos pareció que invertían gran parte del tiempo de clase, en lograr el clima de
trabajo que esperaban de los alumnos. Sea cual fuere este, les era necesario recurrir
demasiadas veces al llamado de atención de los alumnos, ya sea para poder comunicarse
con ellos o bien, para invitarlos a participar de las actividades propuestas para ese día.
Es por esto que no pudimos apreciar de manera profunda, cuáles eran efectivamente las
actividades planteadas.
En la materia Computación, la modalidad de trabajo se realizó con consignas y pautas
claras, seguidas de aclaraciones sobre las consecuencias de su incumplimiento, por lo
7
general, referidas al valor de las notas. Los alumnos acataron las consignas impartidas en
el aula para luego, desplazarse hacia el laboratorio de computación.
En el caso de Física, la profesora tenía planeado tomar una prueba ese día. Los
alumnos argumentaron que ella “no había dicho cuáles eran los temas” a evaluar y,
frente a esta situación, decidió postergar la prueba una semana más 1. Luego procedió
repartir una fotocopia con un texto y algunas preguntas acerca de la contenidos
específicos de la asignatura respecto a la materia y sus propiedades. La consigna era
leerla y contestar las preguntas. Destacamos aquí, que dado el mal comportamiento de
los alumnos, junto con el constante llamado a la conducta por parte de la profesora, no
fue posible completar toda la actividad o hacer algún cierre sobre la misma.
Existen en nuestra opinión, algunos indicadores dentro este contexto áulico que
podrían dar cuenta del comportamiento de los alumnos y de cómo están relacionándose
con el docente. Tienen que ver con la mayor o menor movilidad de cada uno de ellos por
el curso, con la predisposición o no de sacar sus elementos de trabajo de la mochila,
entre otros.
En la clase de Ciudadanía y Participación la situación con la conducta no mejoró e
incluso se intensificó un poco más. Es decir que, los indicadores mencionados
anteriormente, no solo que se intensificaron sino que aparecieron otros sucesos no
observados anteriormente.
La consigna para ese día, era realizar una puesta en común acerca de una
dramatización que se había hecho la clase anterior, cuya temática era la personificación
de los diversos actores involucrados en los conflictos de Villa La Maternidad y Barrio
Ituzaingó Anexo2.
La modalidad de trabajo era en grupos discutiendo sobre las posturas de cada actor
en su problemática, teniendo que responder preguntas por escrito a fin de dar un cierre
a la actividad. Este objetivo no se pudo lograr dado el comportamiento de los alumnos y
la cantidad de tiempo invertida en intentar controlar al curso. El profesor iba levantando
cada vez más la voz sin mayores cambios en lo descripto, y se detectaba un cierto mal
humor cuando se dirigía a alguno de ellos sean o no, participantes del bullicio.
El punto máximo de conflicto en esta clase, llego cuando dos alumnos comenzaron a
agredirse físicamente con golpes de puño. El profesor, al cabo de varios segundos que
venía durando este acontecimiento, tomó por los brazos a ambos y, sin decir nada, los
saco afuera del curso. Momentos más tarde, el director de la institución los haría entrar
nuevamente.
1 Esto, en nuestra opinión, fue un claro ejemplo de “intersticio” aprovechado por parte de los alumnos. En
el sentido de que hubiera sido mejor, asegurarse de proporcionar los temas antes. Esto fue aprovechado
en nuestras prácticas, ya que escribimos durante dos clases seguidas, la fecha de la evaluación y los temas
que comprendía.
2 Intentos de desalojo y juicios por agrotóxicos, respectivamente.
8
Primer Año B
A partir de la observación de un día completo de trabajo del grupo de alumnos,
mencionamos a continuación algunas características de los mismos. Los alumnos en
general se comportaban de forma adecuada para el ideal de clase de la profesora del
curso, es decir sin generar mayores conflictos y prestando atención al dictado de la
misma. Con respecto a los docentes, ellos recurrían al orden y al llamado de atención
mediante advertencias de sanción, para lograr el control de la clase. El material a
utilizar, en cada una de las materias observadas, fueron fotocopias que los docentes
llevaban preparadas para que los alumnos trabajen, ya sea con teoría, como fue en el
caso de Biología, como con ejercitación para llevar a cabo en esa clase, en el caso de
Matemática y Computación. El uso del pizarrón no era muy frecuente en el caso de las
otras materias observadas, ya que solo se utilizaba para aclarar alguna duda general o la
visualización de un ejemplo sobre los temas que se estaban tratando. Para finalizar, la
participación de los alumnos era de forma individual y esperaban que los docentes los
nombren para que ellos respondan las preguntas.
1.3 El trabajo en las clases de matemática.
Durante las clases de matemática, eran utilizados los siguientes materiales y recursos:
 El Cuadernillo de actividades que cuenta con una serie de ejercitaciones que
aborda los diferentes temas del programa. El mismo fue producido por la
profesora de matemática del curso y la vice directora de la institución, también
profesora de matemática.
La ejercitación, es acompañada al comienzo de cada unidad por un recorrido de
las definiciones que sustentan las actividades. Es bastante tradicional en el
sentido de que propone situaciones problemáticas que solo apuntan a aplicar las
definiciones y es de notar, que las mismas son abordadas desde la generalización
y expresadas algebraicamente. También aparece el uso de cuantificadores
universales y existenciales. Con esto intentamos mostrar que este material
didáctico, a nuestro parecer, no permite abordar teóricamente los conceptos
contenidos en la ejercitación.
El uso que se le daba a este material era para realizar como tarea fuera de clase
o, para ir completando alguna actividad particular durante la clase que la
profesora les indique.
 Las Fotocopias con actividades, eran el recurso más utilizado durante las clases.
Por lo general, eran actividades puntuales pensadas para cada día ya sea como
repaso o para ejercitación.
 El Pizarrón, era mayormente utilizado durante la corrección de actividades,
dando lugar a los alumnos para que muestren frente a la clase lo realizado.
9
El tiempo de clase, según lo observado, se distribuía de la siguiente manera: al inicio
de la clase, se repasaban ejercicios de clases anteriores y se brindaba una guía de
actividades a cada uno de los alumnos, explicando las consignas en primera instancia. A
continuación, los alumnos trabajaban con las actividades, ya sea en grupo o de forma
individual, consultando con la profesora las dudas que fueran surgiendo en la resolución
de las mismas. La profesora se movilizaba por el curso prestando atención a los pedidos
de los chicos y controlando que se lleven a cabo las actividades. Una vez que la mayor
parte de los alumnos completaban parte de la actividad, se llevaba a cabo la puesta en
común o corrección general de las mismas, haciendo pasar a alguno de los alumnos al
frente o repasando entre toda la clase. En el cierre de la clase, la profesora realizaba
anuncios sobre la tarea, o pedía que entreguen lo realizado hasta el momento para su
corrección posterior.
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2. PLANIFICACIÓN ANUAL DE LA PROFESORA
El programa anual para Matemática de los primeros años A y B se encuentra
estructurado en unidades que siguen el orden respecto a los ejes detallados en el Diseño
Curricular, en el tercer apartado de la propuesta denominado “Aprendizajes y
Contenidos”3.
En estas unidades se expresan exclusivamente contenidos, separados en contenidos
conceptuales y procedimentales. Estas unidades son:
Unidad I: Conjuntos Numéricos y sus operaciones. Esta unidad se subdivide en 3
partes y solamente para la segunda, que constituye el tema de práctica, detallamos los
contenidos conceptuales y procedimentales correspondientes:
Primera Parte: El conjunto de los números naturales.
Segunda Parte: Divisibilidad en los Naturales. Los contenidos4 abordados en dicho eje
son:
Contenidos conceptuales
Factores, múltiplos y divisores. Factor común. Números primos. Criba de
Eratóstenes. Descomposición de un número natural en factores primos. Múltiplo común
menor. Divisor común mayor.
Contenidos procedimentales
Identificación de factores o divisores, y múltiplos. Determinación de los números
primos menores que 100. Interpretación y uso de la descomposición única de un número
en factores primos. Producción de criterios divisibilidad sencillos. Identificación y
resolución de situaciones que involucren el uso del concepto de múltiplo común menor y
de divisor común mayor.
Tercera Parte: Racionales Positivos.
Unidad II: Elementos de Álgebra.
Unidad III: Geometría y Medida. Esta unidad se encuentra sub-dividida en dos ejes:
Figuras en el plano y Cuerpos.
Unidad IV: Introducción a la Estadística.
Cabe destacar que la profesora a cargo del curso, en los días anteriores al comienzo
de nuestras prácticas, había concluido el abordaje de los contenidos correspondientes a
la primera parte de la Unidad I explicada anteriormente, con una evaluación 5; lo cual nos
permitió contar con una base sobre el campo numérico en el cual estuvimos trabajando.
Dado que el tema que continuaría luego de nuestras prácticas, sería "Racionales
3 Diseño Curricular del Ciclo Básico de la Educación Secundaria. Versión definitiva 2011-2015. Ministerio
de Educación de la Provincia de Córdoba. Pág. 38 a 44.
4 Contenidos extraídos de forma textual, del Programa Anual 2012 para matemática, correspondiente a
primer año A y B de la institución.
5 Ver Anexo.
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Positivos"6, operaciones con fracciones, nuestro abordaje intentó cubrir todos los temas
de la segunda parte de la Unidad I prestando atención al concepto de Múltiplo Común
Menor, el cual se encuentra involucrado en la suma y resta de fracciones.
3. PLANIFICACIÓN DE LOS PRACTICANTES
Tema: Divisibilidad en los Números Naturales.
3.1 Objetivos
 Abordar los contenidos desde una perspectiva que se aproxime al uso de
propuestas lúdicas que involucren material concreto y ejercitación que proponga
la reflexión y observación de fenómenos matemáticos
 Fomentar el trabajo en grupo e intervenir a fin de potenciar las instancias
comunicativas entre alumnos, docentes y practicantes.
 Desarrollar la capacidad para resolver problemas y ejercicios y avalar la validez
de distintas soluciones en respuesta a un mismo problema o ejercicio.
 Fomentar la búsqueda de regularidades de una forma participativa, cada vez que
sea posible, desde un contexto acorde a la edad y cotidianeidad de los alumnos.
 Propiciar un ambiente de aprendizaje donde los alumnos se sientan cómodos con
nosotros como practicantes.
 Recuperar los conceptos de múltiplo y divisor y la reversibilidad de los mismos,
trabajando también los conceptos de "número divisible" y factor.
 Evidenciar la distinción de los números primos dentro del campo de los Números
Naturales.
 Reconocer la existencia de la factorización en números primos de un número
natural.
 Avanzar en la construcción de los conceptos de Divisor Común Mayor y Múltiplo
Común Menor.
3.2 Selección de los Contenidos
Por sugerencia de la profesora a cargo de los cursos de práctica, se optó por la
siguiente selección de contenidos pertenecientes a la Unidad I, Segunda Parte de su
planificación anual, detallada anteriormente:

Factores, múltiplos y divisores.

Identificación de factores o divisores, y múltiplos.
6 Expresado en la tercera parte de la primera unidad del Programa Anual 2012 para matemática,
correspondiente a primer año A y B de la institución.
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
Números primos.

Determinación de los números primos menores que 100.

Criba de Eratóstenes.

Descomposición de un número natural en factores primos.

Interpretación y uso de la descomposición única de un número en factores primos.

Múltiplo común menor.

Divisor común mayor.

Producción de criterios divisibilidad sencillos.
 Identificación y resolución de situaciones que involucren el uso del concepto de
múltiplo común menor y de divisor común mayor.
3.3 Organización y Secuencia de los Contenidos
La organización y secuenciación que elegimos para el tratamiento de los contenidos
enumerados anteriormente, se corresponde con una organización por disciplina en
secuenciación de relaciones conceptuales (Gvirtz y Palamidessi, 2008). Dicha
organización se corresponde con una estructura por asignatura donde los contenidos se
establecen según un orden lógico en términos de la relación que mantengan entre sí. A
continuación la describimos.
En primer lugar, decidimos comenzar nuestras prácticas con los conceptos de Factor,
Múltiplo y Divisor, para introducir el concepto de Divisibilidad desde un marco conocido
para los alumnos, ya que dichos conceptos habían sido vistos en su formación primaria, a
excepción del de factor. Por ello decidimos retomarlos y darles un nuevo significado
desde el punto de vista matemático de la reversibilidad. A continuación, se siguió con la
distinción de los Números Primos, dentro del campo de los Números Naturales, lo que
dio pie a la construcción de la Criba de Eratóstenes, de manera no formal, pudiendo así
dar a conocer los primeros números primos hasta el número 100.
El siguiente concepto en la secuenciación de contenidos, fue la descomposición en
números primos de un número natural, ya que nos pareció conveniente desde un punto
de vista lógico que una vez conocidos, pudiéramos relacionar la escritura de cualquier
número natural como producto de dos o más factores, y la consiguiente descomposición
en factores primos. La adquisición de este procedimiento, nos brindó la posibilidad de la
relación de dicha descomposición, con los múltiplos y divisores de un número,
proponiendo primero instaurar el concepto de Divisor Común Mayor. Esta decisión se
basó en el hecho de que la descomposición expresaba los divisores primos de un número
y que los otros divisores, se lograban a través del producto entre éstos. Para finalizar
nuestras prácticas, pretendíamos extendernos en este tema y finalizar con una
evaluación de todos los contenidos abordados. Pero debido al pedido expreso de la
profesora, quien continuaría con el tema "Racionales Positivos" de su planificación,
incorporamos una primera aproximación de la noción de Múltiplo Común Menor, y la
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correspondiente técnica de cálculo a través de la descomposición de los números en
factores primos.
Los conceptos siguientes, que mencionamos en el apartado correspondiente a la
selección de contenidos, no se pudieron llevar adelante en nuestras prácticas debido a
cuestiones de tiempo: Producción de criterios divisibilidad sencillos e Identificación y
resolución de situaciones que involucren el uso del concepto de múltiplo común menor y
de divisor común mayor.
3.4 Actividades desarrolladas en la clase
A continuación, agregamos la planificación de las actividades realizadas en el aula, las
cuales fueron presentadas a los alumnos en fotocopias, y la explicación del desarrollo de
nuestra práctica. La presentación de dicha planificación esta expresada en bloques de
actividades enumeradas según su duración y temática a abordar, en donde en cada una
de ellas se indica objetivos, organización de la clase, materiales utilizados. Las
actividades entregadas a los alumnos se encuentran recuadradas. Además en algunas se
describen dificultades y comentarios que se presentaron durante su desarrollo y los
cambios que tuvimos que ir atravesando a medida que transcurrían nuestras prácticas.
Durante la implementación de las clases planificadas, pudimos constatar lo que en las
observaciones percibíamos. Ambos cursos presentaban una dinámica de grupo muy
diferente y distintas predisposiciones al trabajo. Esto llevó en algunas clases a plantear
actividades diferenciadas ya que por ejemplo en primero B, existía una predisposición al
trabajo y a la puesta en común mayor a la que pudimos generar en primero A. Lo que
derivó entre otras cosas, en trabajar en primero A, los cierres de cada actividad con
resúmenes (entregados a los alumnos en fotocopias) de lo que se trabajaba oralmente en
primero B. Por lo tanto, se aclarará cuando se aborden las actividades de diferente
manera en cada curso.
14
Primera actividad
La primera actividad planteada para los alumnos fue un juego con fichas de madera.
Las reglas del juego se presentan más adelante.
Conceptos en juego:

Factor y divisor.

Número natural Múltiplo y Divisor.

Manejo de Tablas de doble entrada.

Números Naturales primos y compuestos.
Objetivos:

Reconocer factores y divisores de un número natural.
 Determinar si un número es múltiplo o divisor de otro, a través de la búsqueda y
observación de sus factores.

Reconocer la posible multiplicidad de factores para un número compuesto.

Evidenciar la existencia de números primos y su única factorización.

Usar las tablas como método de sistematización y consulta de datos.

Validar la equivalencia de distintas expresiones para una misma situación.
Materiales utilizados:

Fichas de madera (250 fichas, 20 cada dos alumnos).

Tabla en tamaño afiche y en tamaño A4 para cada grupo7.

Fibrón para completar dicha tabla.

Fotocopias explicativas.
En el comienzo de esta actividad con los alumnos, y nosotros como practicantes,
aprovechamos para comentar un poco de qué se trataría esta primera clase, para que
durante su transcurso, los alumnos pudieran identificar los distintos momentos que se
irían atravesando. Éstos referían a la primera etapa de juego y su posterior puesta en
común.
Como vimos en el período de observaciones, resultaba un poco complicado lograr
proponer las consignas en forma oral, por lo cual la decisión de entregar fotocopias con
las reglas del juego que siguen a continuación, nos fueron de gran ayuda para dar
comienzo a la clase.
A continuación presentamos la actividad, tal cual fue entregada a los estudiantes.
7 Ver Anexo.
15
¿Cómo vamos a jugar?
Se juega de a dos.
Los jugadores contarán con una bolsa de 20 fichas para ambos y se juega por turnos.
En cada turno uno de los jugadores, debe acertar cuantos rectángulos diferentes
puede formar utilizando todas las fichas que haya.
Por ejemplo, si se tienen 6 fichas se pueden formar dos rectángulos diferentes de
esta forma:
Hay que tener en cuenta también, que los rectángulos tienen que estar llenos por
dentro. Es decir, no pueden hacerse de esta forma:
Cuando un jugador pensó una cantidad de rectángulos posible, es momento de
corroborar si se puede construir esa cantidad usando todas las fichas con cada
rectángulo:
 Entre los dos, buscan armar la cantidad de rectángulos que el jugador dijo que se
podrían armar.
 Si el jugador o jugadora acertó, se anota un punto en la tabla y es el turno del
otro.

Si el jugador no acertó, es el turno del siguiente.

Gana el que junte más puntos.
Algunas adversidades del juego:
Antes de llevar a cabo la actividad en el aula reconocíamos la existencia de algunas
situaciones que podrían surgir de las propias reglas del juego o de la falta de
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herramientas teóricas, que podrían devaluar la calidad lúdica generando así desinterés en
los participantes:
 La posibilidad de empate era muy alta ya que resulta difícil sacar ventaja sobre
los puntos acumulados y, si se reconoce rápidamente la estrategia ganadora, se acumula
casi siempre un punto.
 En el caso de que un jugador arriesgue una cantidad correcta de posibilidades,
resultaba un tanto difícil ver que estas son únicas8.
Algunos logros del juego:
Esperábamos que se detectara rápidamente la posibilidad de expresar un número
como producto de otros dos pues era uno de los ejes centrales que esperábamos
rescatar del juego junto con las posibles expresiones que podían generarse a la hora de
representar las diferentes organizaciones rectangulares. Podríamos decir que esto se
logró satisfactoriamente.
Durante el juego, los alumnos mostraron bastante entusiasmo al momento de trabajar
con un material concreto. A medida que se recorrieron los bancos despejando dudas
sobre las reglas y las posibles construcciones rectangulares que podían hacerse, muy
pocos fueron los que optaban por construir otras no permitidas por reglas del juego
como torres u otras formas tridimensionales. Es decir que la gran mayoría optó por jugar
e intentar construir las representaciones rectangulares que la dinámica del juego
proponía.
Destacamos esto porque durante nuestras observaciones, varios alumnos
manifestaban de manera explícita su disconformidad con algunas de las consignas que se
planteaban en las clases9. Situación que nos llevó a pensar en esta propuesta lúdica.
Tampoco se observó que hubiera dificultad para ir completando la tabla. Sin embargo,
esta tarea, fue parte de las cosas que fuimos aclarando banco por banco.
Dentro de nuestra planificación, estaba pautado para esta clase trabajar en la
instancia lúdica, la construcción de una tabla colectiva desde el pizarrón con las
organizaciones rectangulares y sus posibles representaciones obtenidas durante el juego,
y un debate a modo de cierre utilizando la tabla y nuestras preguntas, para abordar los
conceptos en juego anteriormente planteados. En el plano concreto, solo pudimos
completar la tabla con las diferentes representaciones que los alumnos lograron y a
continuación presentamos unas fotografías de las mismas. La duración total de la clase
fue de 80 minutos en ambos cursos.
8 Una solución sería probar los posibles lados menores a la cantidad de fichas, mostrando que en cualquier
otro caso sobran o faltan fichas. Aunque esto restaría tiempo y desvirtuaría el objetivo que buscamos.
Otras variantes: manejar tarjetas con las respuestas y entregarlas en estos casos o bien, corregirlos en la
puesta en común.
9 Escuchábamos frases como “No quiero pensar”, “Esto me aburre", entre otras y observamos que
algunos alumnos no realizaban las tareas propuestas por la docente.
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Figura Nº1: Tabla realizada por los alumnos de primero A.
Figura Nº2: Tabla realizada por un grupo de alumnos con la representación numérica de los rectángulos
que pudieron formar con distintas cantidades de fichas.
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Figura Nº3: Tabla realizada por un grupo de alumnos con la representación "escrita" de los rectángulos
que pudieron formar.
Figura Nº4: Tabla realizada por un grupo de alumnos con la representación gráfica y numérica de los
rectángulos que pudieron formar.
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Segunda Actividad
En la clase posterior, entregamos una guía de preguntas y conclusiones con el
objetivo de realizar el cierre de la actividad. En el caso de primero A se trabajó en
grupos y en primero B, de manera oral frente al pizarrón. La duración estimada para esta
actividad fue de 40 minutos. A continuación presentamos dicha guía tal cual fue
entregada a los alumnos de primero A.
Guía de preguntas y conclusiones
En grupos de 4 o de 3, lean y respondan las preguntas que siguen a continuación.
Aprovechen la tabla construida entre todos la clase anterior, para obtener
información.
Tengan en cuenta que con estas respuestas, haremos carteles para pegar en la pared,
que
nos servirán para seguir trabajando y también, para la evaluación 10.
Sobre la forma en que escribimos:
1) Cuando se escriben los distintos rectángulos ¿Cuántas formas diferentes pueden
observar?
Para el cartel: ¿Cómo escribirías la conclusión?
Pongamos nombres a algunas cosas:
Tomemos como ejemplo al número 20 y alguna organización rectangular de él:
Vimos que podíamos escribir: 5x4
Entonces, 20=5x4.
Llamaremos a éstos números FACTORES de 20 (en el ejemplo son el 5 y el 4).
Diremos también que, si un número es FACTOR de 20, entonces es DIVISOR de 20.
2) ¿Cuáles son todos los factores o divisores de 24?
3) ¿Cuándo un número es múltiplo de otro?
Si nos fijamos bien, resulta que 24 está en la tabla de cada uno de sus factores.
Entonces, podemos decir que 24, es múltiplo de cualquiera de sus factores.
4) ¿Es 16 múltiplo de 3?
5) ¿Es 3 divisor de 16? ¿Qué número puede ser divisor de 16?
Para el cartel: ¿Cómo escribirías la conclusión?
10 Al no poder completar los carteles (ya que priorizamos el uso del tiempo en completar la actividad), un
error nuestro fue que los alumnos preguntaban si debían o no realizarlos. Además, no dimos un cierre a
dicha actividad. Mas si, retomamos el uso de los carteles en el repaso previo a la evaluación.
20
6) ¿Qué pasa ahora si divido a 24, por otro número que sea factor de él?
Entonces, podemos decir que 24 es DIVISIBLE por cada uno de sus factores.
7) Decidir por cuáles números es divisible el 18.
Para el cartel: ¿Cómo escribirías la conclusión?
8) ¿Hay algún número en la tabla realizada, que sea factor de todos los números con
los que jugamos?
Para el cartel: ¿Cómo escribirías la conclusión?
9) ¿Cuál o cuáles son los números con los que más rectángulos distintos pudieron
armar? Es decir, los que tienen más factores.
10) ¿Cuál es el que tiene menos formas de armar rectángulos? Es decir, el que tiene
menos factores.
11) ¿Cuáles son los posibles factores para éstos números?
¿Conocen algún nombre para este tipo de números? Es decir, ¿Cómo se llaman
aquellos números que solamente tienen como factores al 1 y a él mismo?
Para el cartel: ¿Cómo escribirías la conclusión?
Si miramos la tabla, tenemos estos números primos, y los otros.
¿Alguien conoce el nombre de los otros?
Bien, a esos números con los que podemos armar más de una representación
rectangular es decir, que hay más de una forma de escribirlos como producto de otros
números, les llamaremos números compuestos.
21
Figura Nº5: Respuestas de un alumno de primero A
Estas son las preguntas que se plantearon para terminar de poner en común las
definiciones abordadas anteriormente. En este caso, se presentaron en ambos cursos la
cual se completó en un tiempo aproximado de 40 minutos.
Para contestar con el compañero.
Lean atentamente las siguientes preguntas y respondan en hoja aparte.
Recuerden que pueden recurrir a la tabla para pensar las respuestas.
1) ¿Cuál o cuáles son los números con los que más rectángulos distintos pudieron
armar?
2) ¿Cuál o cuáles son los números con los que pudieron armar solo un rectángulo?
Para cada uno de éstos números expresa en forma de producto el rectángulo
encontrado.
3) ¿Cuáles son los factores para éstos números?
4) ¿Por cuáles números son divisibles los números listados en la pregunta 2?
5) ¿Conoces el nombre que se les da a los números listados en la pregunta 2?
22
6) ¿Conocen el nombre con que se denominan aquellos números que no son primos?
7) ¿El número 1 es primo o compuesto?
Figura Nº6: Respuestas sobre la actividad por parte de un alumno de primero A.
Tras analizar las conclusiones sobre el juego y los conceptos involucrados en el
mismo, se entregó a ambos cursos el siguiente resumen con teoría y ejemplos.
Para tener en cuenta...
Como vimos en el juego, podemos decir que si un número natural es el resultado de
una multiplicación de dos o más números, estos números se denominan Factores.
Por ejemplo, en el caso del 24, como
24=6x4 entonces decimos que el 6 y el 4 son factores de 24.
Además, el 24=4x3x2, luego el 4, 3 y 2 son factores de 24.
Si ahora multiplico esos factores del número entre sí, como vimos en el ejemplo
anterior, se obtiene ese mismo número, por lo que, el número original recibe el nombre
de múltiplo de los factores.
En el ejemplo anterior, 24 es múltiplo de 6 y 4; como además es múltiplo de 4, 3 y 2,
pues 24=6x4 y 24=4x3x2 respectivamente.
Otro ejemplo:
23
54=6X9, entonces se dice que 6 y 9 son factores de 54, y 54 es múltiplo de 6 y de 9
respectivamente.
Si ahora dividimos algún número natural por algunos de sus factores, la división es
exacta y es igual al otro factor, o al producto de sus otros factores. Entonces decimos
que los factores son divisores del número, o que dicho número es divisible por éstos
factores.
Por ejemplo, 6 es divisor de 54 porque 54:6=9.
Asimismo decimos que 54 es divisible por 6.
Luego, podemos ver que:
54 es MÚLTIPLO de 6 y de 9.
6 y 9 son los FACTORES de 54.
6 y 9 son DIVISORES de 54.
54 es DIVISIBLE de 54.
Y esto vale para cualquier número natural.
Caso especial:
Como es evidente, cualquier número natural, al multiplicarlo por 1 da el mismo
número, esto es por ejemplo, 18=18x1. Entonces el número 1 es factor de todos los
números naturales o divisor de cualquier número; por lo tanto todo número natural
es divisible por 1.
Volviendo al juego, vimos además que con algunos números solo había una única
forma de armar un rectángulo, esto es, un número que como factores sólo tiene al 1 y a
sí mismo. Los números con esta propiedad, se los denomina Números Primos.
Por Ejemplo:
19=19x1.
5=5x1.
De la misma forma podemos decir que los divisores de un número primo, son el 1 y él
mismo.
Antes de proseguir con la presentación de las actividades desarrolladas, deseamos
resaltar que en esta instancia de nuestras prácticas, observábamos que en el caso de
primero A, la metodología de trabajo adoptada tenía, a nuestro juicio, resultados
24
aceptables en términos de la gestión11 del curso y del trabajo en clase que los alumnos
efectivamente desarrollaban cuando la aplicábamos. Esto lo observamos desde la primera
clase, ya que no fue posible completar la actividad propuesta con la puesta en común.
Creemos que en parte por inexperiencia en el manejo de un curso y en parte, por la
tendencia de los alumnos a aprovechar cada momento para hacer otras cosas, como
charlar, jugar o molestar a otros compañeros. Este fue un factor decisivo en la
planificación de primero A al momento de pensar las puestas en común, ya que éstas se
hicieron en fotocopias debido a dichas circunstancias. Es decir que, nos permitió trabajar
dentro de una zona de comodidad, ya que la cotidianeidad del curso observada, dio
cuenta de un trabajo en el aula limitado muchas veces por el comportamiento de los
alumnos y otras, por la falta de propuestas que los interese12.
Es por esto que nos concentramos en desarrollar guías de actividades con preguntas e
información pertinente, que instasen a los alumnos a responder sobre lo que podría
haberse trabajado oralmente, pero con la posibilidad de hacerlo ellos mismos en grupo.
Esto nos permitía trabajar con ellos, casi de manera individual evacuando dudas e
invitándolos a trabajar (o a seguir haciéndolo cuando había momentos de
desconcentración). Además ayudaba el clima de trabajo que se generaba al tener una
actividad concreta para realizar puesto que frente a una actividad presentada en
fotocopias, la mayoría se disponía a resolverla.
La situación en primero B era muy distinta por el hecho que el grupo naturalmente
mostraba una predisposición a escuchar y participar en las puestas en común. Así como
también para trabajar de manera individual o grupal.
11 Ya en la primera clase de primero A, no fue posible completar la actividad propuesta con la puesta en
común. Creemos que en parte por inexperiencia en el manejo de un curso y en parte, por la tendencia de
los alumnos a aprovechar cada momento para hacer otras cosas, como charlar, jugar o molestar a otros
compañeros. Este fue un factor decisivo en la planificación de primero A al momento de pensar las puestas
en común, ya que éstas se hicieron en fotocopias debido a dichas circunstancias.
12 Esta última sostenemos que es posible a partir de un diseño orientado a estos fines. Anclado en la
búsqueda y uso de material lúdico junto con un profundo análisis de los conocimientos que pueden
extraerse de él. Esta opinión se sostiene a través de lo observado durante el juego y sobre cómo algunos
alumnos recurrieron a él , por ejemplo, para resolver más adelante preguntas como ¿quién era el factor?
“Ahh, los lados del rectángulo”.
25
Tercera Actividad
Objetivos:
 Observar cómo trabajan de forma individual, para evaluar la posibilidad de pensar
las siguientes semanas, en situaciones didácticas que se orienten más a la elaboración de
algunas conjeturas y búsqueda de regularidades.
 Lograr que los alumnos recurran a las nociones ya dadas para resolver distintos
problemas.
Materiales utilizados:
 Fotocopia para cada alumno de la guía de actividades extras que extrajimos de
diferentes libros de texto para primer año de la escuela Secundaria.

Pizarrón.
Se inicia la clase entregándoles una fotocopia con ejercicios y problemas para usar los
conceptos que fueron abordados en las clases anteriores. A continuación la presentamos.
Guía de Actividades
1. Respondan a cada una de las siguientes preguntas y justifiquen la respuesta:
1.
¿42 es divisible por 7?
2.
¿Es 12 múltiplo de 4?
3.
¿42 es múltiplo de 7?
4.
¿Es 4 divisor de 12?
5.
¿18 es divisor de 18?
6.
¿Es 12 divisible por 4?
7.
¿17 es factor de 17?
8.
¿Es 4 factor de 12?
2. Decidir si los siguientes números son primos o compuestos. Justifica tu respuesta.
a.
23.
b. 36.
c.
49.
d. 29
e. 51.
f.
2.
3. En un portero eléctrico hay 27 botones. Si hay tres departamentos por piso.
¿Cuántos pisos hay?
26
4. En una sala de cine las butacas están distribuidas 32 filas con 16 butacas en cada
fila, ¿Qué capacidad tiene la sala? Escribe la respuesta utilizando la expresión numérica.
5. Llegaron las vacaciones y los chicos del club se van de campamento. Son 54
varones y piensan ir a un camping en Entre Ríos, a orillas del río Uruguay. Tienen que
alquilar las carpas y las que les ofrecen son para 4 o para 6 personas. ¿Qué opción les
sirve, si quieren aprovechar la capacidad máxima de todas las carpas?
6. En la siguiente tabla, marca todos los números primos y responde las preguntas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
a.
¿Cuántos números primos pares hay?
b. Si un número es impar ¿Es primo?
c.
Encuentra dos números consecutivos que sean primos. ¿Hay otros? ¿Por qué?
d. En la tabla, hay pares de números primos que tienen sólo un número entre ellos
(3 y 5, 11 y 13, etc.). Estos números se llaman primos gemelos. Encuentra todos los
pares de números primos gemelos que aparecen en la tabla y márcalos con un color.
Busca en la tabla los dos números primos más alejados, tales que entre ellos no haya
ningún otro número primo.
La metodología adoptada en este punto con las guías de actividades, junto con el
hecho de requerir a los alumnos entregar cada actividad luego de ser completada para su
posterior corrección, nos permitió dar cuenta al menos de manera superficial, cómo
aplicaban los conceptos vistos; cómo se complementaba lo que algunos alumnos ya
sabían sobre el tema de práctica con el abordaje que nosotros proponíamos. En este
sentido, pudimos detectar que varios alumnos si bien recordaban nombres y conceptos,
lo hacían de manera frágil13 en el sentido de que muchas veces, los alumnos contestaban
con cierto conocimiento sobre algunos nombres y definiciones, pero lo hacían invirtiendo
sus significados. También, sucedía esto con algunos procedimientos como el cálculo del
divisor común mayor, en donde manejaban el algoritmo pero desconocían su significado.
Las preguntas de la tabla correspondiente a la actividad número seis, intentaron
13 En el sentido de Ausubel.
27
corregir y detectar aun más este tipo de situaciones. Así como también, evitar
generalizaciones matemáticamente incorrectas observadas en actividades anteriores. Un
ejemplo de esto fue la tendencia que tenían los alumnos a concluir que si un número era
impar, entonces era primo. Dada esta situación nos llevó a sistematizar estos predicados
correctamente en la carpeta con sus respectivos contraejemplos.
Figura Nº7: Respuestas de un alumno de primero A.
Cuarta actividad
Conceptos en juego:

Número naturales, primos y compuestos.

Descomposición de un número natural en factores primos.

Reemplazo de iguales por iguales, de manera no arbitraria.
Objetivos:

Reconocer la descomposición en dos o más factores para un número natural.

Reconocer la descomposición de un número en factores primos.
 Trabajar en la aproximación a esa descomposición en factores primos para
distintos números naturales.
Materiales a utilizados:

Fotocopias para cada alumno con la guía de actividades.
28
1. Para cada uno de los siguientes números, cuando sea posible, completen los
círculos14 en blanco con factores que al ser multiplicados, den como resultado ese
número inicial. No olviden escribir sobre la línea este producto.
(Números: 16; 20; 27; 13; 1; 56; 60; 42).
En esta actividad, conseguimos escribir algunos números como producto de factores.
Es decir, los hemos descompuesto en factores.
Vimos también, que para un mismo número, la cantidad de factores varía, no siempre
son solo dos.
2. Mientras completabas los distintos círculos con factores del número dado, ¿Usaste
algún número primo? Remarca con algún color todos los que hayan aparecido.
3. Responde junto con tu compañero o compañera de banco, las siguientes preguntas:
a) ¿Qué números pudieron escribir como producto de factores primos?
b) ¿Existirá algún número que no pueda escribirse como producto de factores
primos?
c) ¿Es posible escribir al 1 como producto de factores primos?
14 En el anexo, se exhibe la actividad original presentada a los alumnos, la cual contenía una terna de
estas imágenes para cada número propuesto. Cada globo central tenía escrito el número a descomponer.
29
d) ¿Podrías escribir el 48 como producto de factores primos? En caso afirmativo,
escribe dicho producto.
Al momento de corregir esta actividad, creemos haber observado un patrón general
acerca de cómo los alumnos iban apropiándose de los conocimientos en juego de cada
actividad. A grandes rasgos, la mayoría encontraba dificultades en cada actividad
propuesta. Pero mostraban avances cuando en la misma se involucraban conceptos de la
actividad anterior. Tomando como ejemplo este caso, hubo dificultades al momento de
trabajar con varios factores primos para comenzar a descomponer a un número. Pero, si
bien anteriormente no reconocían correctamente a los números primos, la mayoría los
eligió correctamente en esta ocasión. Así como también, reconocer a éstos números
como factores.
Figura Nº 8: Fotografía de la actividad de un alumno de primero B.
En el caso de primero A, nos llevamos las fotocopias para corregirlas y se les entregó
el resumen escrito que sigue. En el caso de primero B, la actividad fue corregida de
forma oral, y luego fue entregado el resumen.
30
Para tener en cuenta...
Todo número natural distinto de 1 puede ser escrito como producto de factores
primos, es decir puede ser descompuesto en factores primos.
Tal descomposición se denomina: descomposición de un número en factores primos.
Por ejemplo:
Vimos que el 42=7x3x2 entonces 7x3x2 es la descomposición del 42 en factores
primos.
Otro caso fue el del 27=3x3x3. (Preguntaremos aquí sí reconocen alguna forma más
económica de escribir ese producto)
Veamos con un ejemplo una posible estrategia para descomponer un número natural
en factores primos:
40=4x10
Si miramos estos dos factores, podríamos tratar de escribir al 4 y al 10 como producto
de otros dos factores:
4 = 2 x 2 y 10 = 2 x 5
De esta forma, podemos expresar al 40 de la siguiente manera,
40 =
4
2x2
x
10
2x5
Entonces,
40 = 2 x 2 x 2 x 5
Lo que estamos haciendo es reemplazar al 4 y al 10, por un producto de factores de
cada uno de ellos.
Resulta ahora que 40 queda escrito como producto de factores primos.
¿Qué pasaría si intentamos realizar esta operación de reemplazo otra vez?
Como los factores que quedaron son todos primos, el único reemplazo que podríamos
hacer es 2=2x1 y 5=5x1, entonces nos quedaría que 40 es
40 = 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 5 x 1
que es lo mismo que
40=2 x 2 x 2 x 5.
Resumiendo, hacer estos reemplazos nos llevan a encontrar la descomposición de un
número en factores únicamente primos.
Para nuestra planificación pensamos aprovechar la forma más económica en términos
de potencia si es que surgía de ellos la notación, puesto que lo central aquí era
31
reconocer la descomposición en primos. En el caso de primero A, muchos alumnos no
manejaban el uso de la potencia, por lo que no se optó por introducirla formalmente. Sin
embargo, en primero B sí se pudo formalizar el uso de esta notación.
A continuación presentamos una fotografía de la puesta en común en primero A. Ésta
fue la clase donde percibimos la complejidad de utilizar la potencia para escribir el
producto de primos repetidos en una descomposición.
Figura Nº9: Sistematización en el pizarrón de la descomposición de un número natural en factores
primos, en el curso de primero A.
Resaltamos aquí que, si bien la entrega de estos resúmenes de manera constante no
fue una actividad muy enriquecedora a la hora de construir sentido y, más aún si se
pretendía hacerlo desde la instancia del descubrimiento, la dinámica de grupo de primero
A y nuestra falta de experiencia, nos fueron llevando a recurrir a esta metodología dado
que resultó muy difícil proponer a los alumnos el uso de sus carpetas para el registro de
las conclusiones que pudiéramos trabajar oralmente.
Las carpetas y material bibliográfico, no fueron utilizados en las clases que
observamos en el día completo. El uso que los alumnos le daban en general, era para
32
guardar el material que los docentes le entregaran. Pero durante la clase, no tenía
ningún tipo de protagonismo. Esto es un aprendizaje que nos llevamos: No solo es
necesario abordar los contenidos curriculares durante el año, sino también, aquellas
prácticas y costumbres que posibilitan un mejor aprovechamiento de los escasos
recursos áulicos. La redacción y el registro de conclusiones, la capacidad de administrar
el propio material bibliográfico y las carpetas, son ejes que creemos, se deberían
fomentar y trabajar de manera transversal en nuestra futura práctica profesional en
términos del el lugar que propondremos darle a este tipo de recursos. Ya sea para
fomentar el registro de las conclusiones o como recurso para el posterior estudio. Pero
no, como un archivo de material didáctico fotocopiado.
También encontramos dificultad en utilizar el debate colectivo para observar y buscar
conclusiones frente a problemáticas que se pudieran plantear, ya que los alumnos no
dudaban en aprovechar cada instancia que les pareciera no formal, para acudir al
desorden generalizado.
En primero B observamos que este tipo de situaciones no se encontraban tan
acentuadas, por lo que efectivamente, fue posible plantear un debate colectivo con
preguntas orientadas a concluir lo que nuestros resúmenes contenían. Esta actividad
debía ser gestionada teniendo en cuenta los factores ya mencionados puesto que, si bien
se encontraban atenuados, no eran inexistentes.
Una vez finalizada la puesta en común sobre descomposición, se llevó adelante una
actividad que se desarrolló en simultáneo con la guía de actividades correspondiente
para ese día.
La misma consistió en construir la llamada "Criba de Eratóstenes" en un afiche, con
los números del 1 al 100. Se invitaba a distintos alumnos a tachar los múltiplos de los
números del mismo modo que el algoritmo de la construcción sugiere, quedando a la
vista los números primos. El objeto de la misma, era permitirle a los alumnos contar con
un ayuda memoria que ellos mismos construyeran, pudiendo facilitar el desarrollo de la
tarea de descomponer un número natural en factores primos. A continuación mostramos
imágenes de la criba con sus correspondientes números primos tachados en primero A.
Figura Nº 10: Criba de Eratóstenes realizada por los alumnos de primero A
33
Quinta actividad
Una vez entregado el resumen sobre descomposición de un número natural en
factores primos, se les pide a los chicos que realicen la siguiente actividad para utilizar
dicho concepto:
Descompongan en factores primos los siguientes números:
a) 20.
b) 80.
c) 13.
d) 91.
e) 55.
f) 81.
g) 104.
h) 72.
i) 64.
j) 39.
k) 67.
l) 210.
Figura Nº11: Actividad realizada, con su respectiva corrección, por un alumno de primero B.
34
En esta etapa de nuestras prácticas, las decisiones de planificación y selección de
contenidos que íbamos tomando, recurriendo a lo aprendido en nuestra formación previa
y a la búsqueda de situaciones de aprendizaje que considerábamos apropiadas,
comenzaron a verse atravesadas también por factores externos 15 que redujeron
considerablemente el tiempo que disponíamos para trabajar los contenidos.
Esto último, sumado al tiempo efectivo que la mayoría de los alumnos requería para
realizar las actividades propuestas en la clase 16, nos llevó a tomar algunas decisiones que
comentamos a continuación:
Sí abordaríamos la construcción de los conceptos de Divisor Común Mayor y Múltiplo
Común Menor. Profundizando en este último ya que el siguiente tema en la planificación
del docente a cargo, era operaciones con números racionales (suma y resta de fracciones
de distinto denominador).
No abordaríamos la construcción de criterios simples de divisibilidad, ya que
considerábamos que realizar esto de manera consistente suponía la observación de
regularidades en los múltiplos de cada número a generalizar. Lo que inevitablemente,
implicaba un tiempo en clase del que no dispondríamos.
En primero B, se presentó otra actividad extra –que mostramos a continuación- para
recordar la notación de potencia en la descomposición de un número en factores primos,
en cambio en primero A se siguió con la construcción del concepto de divisor común
mayor.
1) Descomponé en factores primos los siguientes números:
a) 85=
b) 72=
c) 120=
d) 132=
e) 198=
Luego expresa como potencias los resultados.
2) Expresa las siguientes descomposiciones en potencia y escribe de qué números se
trata:
a) 2x2x2x3=
b) 5x5x2x3=
c) 2x2x3x3x3=
15 Paros docentes, asambleas, jornada de educación sexual, feriados y actos escolares, conjugados con la
necesidad de la profesora titular de continuar con su planificación.
16 Destacamos que en el período observado, no se acostumbraba a proponer desde el aula, trabajo extra
en el hogar. Por lo tanto el tiempo de trabajo en clase, constituía casi la totalidad del estudio en
matemática.
35
d) 7x7x2=
e) 2x2x3x3x5=
Figura Nº12: Actividad realizada, con su respectiva corrección, por un alumno de primero B.
Sexta Actividad
Conceptos en Juego

Divisor Común Mayor (D.C.M.).

Descomposición de números naturales en factores primos.
Objetivos:

Explorar los conceptos que componen la definición de Divisor Común Mayor.

Evidenciar que la descomposición en factores primos permite calcularlo.


Aplicar un método más eficiente para calcularlo17.
Propiciar la observación y análisis de algunas propiedades y regularidades del
D.C.M.
17Sucede que para calcular el D.C.M de dos números a partir de su descomposición en factores primos, es
necesario encontrar todas las productorias de primos posibles para cada uno, para luego tomar el mayor en
común. Volviéndose un método tedioso y poco eficiente.
36
Materiales utilizados:

Fotocopias para cada alumno, con la guía de actividades.
Planteamos a los alumnos las siguientes consignas18.
Guía de actividades

Lee atentamente las siguientes consignas.

Para contestar, utiliza una hoja aparte.

Recuerda que puedes trabajar con tu compañero o compañera.
1- Dados los siguientes números naturales: 30; 42; 105.
a) Descompone en factores primos a cada uno de ellos.
b) A partir de dicha descomposición, encuentra la mayor cantidad de divisores
que puedas para cada número y para listarlos, ordénalos de menor a mayor.
2- Para los siguientes números: 72; 19; 1523.
a) ¿Cuál es el menor divisor es decir, el más chico que posee cada uno?
b) ¿Cuál es el mayor divisor es decir, el más grande, que posee cada uno?
3- Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Es posible encontrar algún divisor de 30 pero que sea mayor que 30?
b) ¿Es posible encontrar algún número natural que tenga divisores mayores que
él?
c) ¿Por qué crees que sucede esto?
4- Realiza la descomposición en factores primos para cada par de números y
encuentra todos los divisores de cada número.
(Ayuda: Recuerda listarlos de menor a mayor, para que te sea más fácil responder).
12 y 15.
4 y 8.
13 y 17.
2 y 3.
7 y 21.
5 y 24.
18 Esto se propone ya que en las materias observadas y en general, no se los prepara para asentar
conclusiones ni se explica el valor de este tipo de prácticas. Se hizo escrito para no perder tiempo
oralmente en acordar estas consignas.
37
6 y 9.
8 y 9.
15 y 6.
Responde:
a) Para cada par de números, ¿hay divisores que se repitan?
b) Para cada par de números, escribe los divisores que encontraste en común, es
decir, los que se repitieron.
c) Para cada par de números, ¿Cuál fue el divisor en común más grande que
encontraste?
Figura Nº13: Parte de la actividad para D.C.M. realizada por un alumno de primero B.
Siguiendo la línea de los objetivos planteados, con la primera actividad instamos a que
los alumnos utilizarán la descomposición de un número en factores primos, para
encontrar sus posibles divisores. Para esta primera actividad, los alumnos pudieron llevar
a cabo con éxito la descomposición en factores primos de los números planteados, ya sea
38
con la técnica explicada en clase o a través del denominado "método de la raya"19,
procedimiento aprendido anteriormente por ellos en su trayecto escolar. Uno de los
inconvenientes observados en esta actividad fue que algunos alumnos no encontraban
todos los divisores de un número, les faltaba escribir aquellos que resultaban del
producto entre los factores primos de la descomposición.
Antes de continuar con los conceptos (común y mayor divisor) que planteamos en el
primer objetivo, nos pareció conveniente rescatar el hecho de que el 1, es divisor de
todos los números.20 Así como también, un concepto familiar para la mayoría: los
divisores de un número son siempre menores o iguales a él. Para ello planteamos las
actividades número dos y tres.
Luego de haber trabajado (y repasado) los divisores de un número natural, exploramos
la situación en que éstos se repitan para diferentes pares de números 21, este es el caso
de la última actividad. Elegimos pares de números de manera tal que muestren diferentes
posibilidades al buscar divisores comunes: coprimos con primos, compuestos con
compuestos, primos con compuestos y coprimos con compuestos. Esto intentó evitar
que los alumnos realicen generalizaciones incorrectas22. Por ejemplo, que si uno de los
números es primo, el divisor común siempre es 1; si ambos son compuestos, existe
siempre un divisor común distinto de 1; etc.
En el caso de esta última actividad, los inconvenientes observados tuvieron con ver
con la identificación del divisor más grande entre dos números ya que, en su mayoría, los
alumnos al encontrar el listado de divisores se quedaban con el uno, y no indagaban más
allá. Además se observó que en algunos casos, se interpretó mal la consigna y no se
buscaba el mayor divisor entre pares de números sino entre el listado total de los
números planteados.
Para la realización de toda esta guía se utilizó un tiempo aproximado de 80 minutos en
ambos cursos. En su elaboración había sido previsto utilizar sólo medio módulo para su
resolución. Pero la última actividad llevó más tiempo de lo esperado. Se realizó luego de
esta actividad la sistematización del concepto de D.C.M., en el pizarrón en el caso de
primero B y con una fotocopia en el caso de primero A. El concepto fue presentado de la
siguiente manera:
19 Método de descomposición de un número natural en números primos, que consiste en colocar el
número a la izquierda de una raya vertical y los números primos que forman parte de su descomposición al
lado derecho de dicha línea.
20 Además, mantiene coherencia con las actividades anteriores, donde se destacó que el 1 es factor de
todos los números.
21 Aquí, elegimos números con una descomposición en factores primos de pocos primos para evitar caer
en cálculo extenso de sus posibles divisores.
22 Situación que se dio durante el trabajo con el concepto de número primo.
39
El Divisor común mayor entre dos o más números es el divisor más grande que divide
a todos los números considerados. En siglas, D.C.M.
La fotocopia entregada en primero A, continuaba con los siguientes conceptos:
Para tener en cuenta...
El Divisor común mayor entre dos o más números es el divisor más grande que divide
a todos los números considerados. En siglas, D.C.M.
Por ejemplo: Encontremos el Divisor Común Mayor entre 12 y 15.
Primero, calculemos cuáles son sus posibles divisores:
Veamos que una forma posible de hacer esto, es descomponiendo a cada uno, en
factores primos:
Para el 12: 12=2x6 y 6=2x3. Entonces: 12=2x2x3
Para el 15: 15=3x5.
Luego, tenemos como divisores de cada número: a los factores primos, al 1 y al
mismo número. Pero también podemos encontrar otros, multiplicando a los primos entre
sí:
Entonces los divisores pueden ser:
Para el 12: 1; 2; 3; 4; 6 y 12.
Para el 15: 1; 3.
¿Cuáles tienen en común?
Para el 12 y el 15, son comunes: 1 y 3.
Nos quedamos con el mayor de ellos. Es decir, el 3. Ya que el menor divisor, siempre
es 1 para cualquier par de números y por lo tanto, no tiene sentido preguntar por esto.
Resumiendo, cuando encontramos al número natural más grande que puede dividir a
otros simultáneamente, lo llamamos El Divisor común mayor. En siglas, D.C.M.
También, podemos pensarlo como el mayor factor en común entre dos o más
números.
Con la sistematización, en el caso de primero A se cerró la actividad sobre D.C.M.
En cambio en primero B se les brindó a los alumnos, la siguiente guía de ejercitaciones,
donde debían calcular el D.C.M.
1. Encuentra el Divisor común mayor de los siguientes números:
a) 4 y 2.
b) 7 y 3.
40
c) 9 y 27.
d) 40 y 36.
2. Dada la siguiente tabla23, descomponé cada uno de los números como producto de
factores primos, y escribe los productos de números repetidos con la notación de
potencia. Por ejemplo, si en la descomposición obtienes 2.2.2.3.5.5, lo puedes escribir
como 23.3.52 que resulta ser una notación matemática más económica. Luego encuentra
el D.C.M de cada par de números y exprésalo como producto de factores primos, usando
la notación de potencia si encuentras productos de números iguales.
Descomposición
en nº primos del
número A
Descomposición
Descomposición en
en nº primos del factores primos del DCM
número B
entre A y B
6=
9=
12=
15=
4=
8=
14=
28=
27=
81=
16=
12=
27=
18=
40=
36=
En la tabla tenemos cada par de números y su D.C.M escrito como producto de
números primos. Observa dichas descomposiciones y responde:
1) Los factores primos que aparecen en la descomposición del D.C.M que
corresponde a cada par de números dados, ¿aparecen en la descomposición de cada uno
de esos números?
2) Encierra con un círculo los factores que aparecen tanto en la descomposición del
D.C.M como en la descomposición de los números que corresponden a tal D.C.M.
3) ¿Hay algún D.C.M en la tabla donde sus factores primos no aparezcan en la
descomposición de los números dados?
4) En la puesta en común del 1º C surgieron las siguientes ideas, para calcular el
Divisor Común Mayor entre dos números:
23 La reproducción de la tabla en este trabajo se encuentra ajustada al diseño de la página pero se verá en
su magnitud entregada a los alumnos en el Anexo.
41
Pedro dice que el D.C.M entre dos números dados, se puede obtener multiplicando
los factores primos en común elevados al mayor exponente al que aparecen elevados en
los números dados.
Juan dice que el D.C.M, se puede obtener multiplicando los factores primos en común
elevados al menor exponente al que aparecen elevados los números dados.
¿Quién tiene razón? Justifica tu respuesta.
5) En el mismo curso, Orlando dijo que el Divisor Común Mayor de dos números
dados puede tener factores primos que no estén en alguno de los números dados. ¿Es
esto cierto? Justifica tu respuesta.
El primer ejercicio de esta nueva guía, nos dio pie para recurrir a un método más
eficiente para calcular el D.C.M. de dos números a través de la descomposición en
factores primos. La actividad que le seguía constaba de una tabla, en donde se debía
completar con la descomposición de ciertos números, algunos ya resueltos en los
ejercicios anteriores, para luego responder la guía de preguntas que hagan evidenciar las
regularidades entre dos números dados y su D.C.M.
Con las dos últimas preguntas, actividades número cuatro y cinco, pretendíamos
inducir a los alumnos a que descubrieran el método para encontrar el D.C.M. Estas
actividades supusieron un problema, ya que la mayoría de la clase, no entendió su
objetivo, y se tuvo que realizar entre todos en el pizarrón la lectura y realización de la
misma para encausar a los alumnos al método. Aún así, el objetivo de la actividad resultó
demasiado confuso y apelamos a la explicación del método de la siguiente forma,
haciendo que los alumnos registren en su carpeta de actividades el siguiente algoritmo:
Un método práctico para el cálculo del DCM entre dos o más números consiste en:
1) Descomponer en factores primos los números dados
2) Efectuar el producto entre los factores primos comunes en las descomposiciones
realizadas y elevarlos al menor de los exponentes con los que dichos factores aparecen
en la descomposición de los números dados. Este producto es el DCM entre los números
dados.
Esta última actividad se llevó a cabo en 40 minutos, el cual disponíamos en primero B,
y se logró explicar el método explicitado anteriormente con muchas dudas en su
resolución, lo cual se vio reflejado luego en la evaluación. Los alumnos durante la
explicación se encontraban bastante dispersos ya que estos 40 minutos eran de la última
hora de un día viernes, por lo que el cierre de la actividad se realizó de manera informal
y fue contemplado a la hora de evaluar, en el sentido de que no se le brindó demasiada
42
importancia en términos de puntaje debido a esta situación.
Séptima Actividad
Conceptos en Juego:

Múltiplo Común menor (m.c.m.).

Descomposición de números naturales en factores primos.

Potencia de un número natural.
Objetivos:

Explorar los conceptos que componen la definición de Múltiplo Común Menor.

Evidenciar que la descomposición en factores primos permite calcularlo.

Trabajar un método para calcularlo.
Este concepto, fue abordado de una manera similar al anterior (D.C.M), por lo cual el
espíritu de las actividades fue esencialmente el mismo. Se pretendió ofrecer una
metodología de trabajo ya conocida para los alumnos, ya que no poseíamos el tiempo
suficiente para ahondar en dicho contenido. Cabe destacar que sólo se buscó rescatar y
dejar en claro el concepto, debido al pedido expreso de la profesora del curso de
abordarlo por la necesidad que su planificación generaba para luego retomarlo en la
unidad siguiente a nuestra práctica que era "Racionales Positivos".
Guía de Actividades.
 Lee atentamente las siguientes consignas.
 Para contestar, utiliza una hoja aparte.
 Recuerda que puedes trabajar con tu compañero o compañera.
1- Dados los siguientes números naturales: 9; 13; 15.
a) Escribe cuál es el menor múltiplo de cada número. Es decir, el más chico que
posee cada uno.
b) ¿Es posible encontrar el mayor múltiplo de cada número? Es decir, encontrar
el múltiplo más grande que posee cada uno? ¿Por qué?
43
2- Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Es posible encontrar algún número natural que tenga múltiplos menores que él?
¿Por qué?
b) ¿Es posible encontrar el mayor múltiplo de un número natural? ¿Por qué?
3- Para cada par de números, lista los primeros seis múltiplos de cada uno. Recuerda
que listar múltiplos de un número, consiste en escribir uno al lado del otro de menor a
mayor, separados por “;” (punto y coma) y colocando puntos suspensivos para indicar
que la lista continúa.
Por ejemplo,
2: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...
3: 3; 6; 9; 12; 15; 18; ...
7 y 21.
8 y 9.
6 y 9.
12 y 15.
15 y 6.
4- Para cada par de números y sus listas de múltiplos responde las siguientes
preguntas:
a) Marca con un círculo los múltiplos que tienen en común.
b) Escribe los múltiplos que encontraste en común ¿Cuál fue el múltiplo en común
más pequeño que encontraste?
44
Figura Nº14: Actividad realizada por un alumno de primero B.
La idea de las actividades número uno y dos fue acotar la búsqueda de múltiplos de
un número, evidenciando que el menor múltiplo de un número es él mismo, y que no
tiene sentido ni es posible calcular el mayor de los múltiplos de un número.
Análogamente a lo abordado en el D.C.M., luego de haber trabajado (y repasado)
algunos múltiplos de un número natural, con la actividad número tres pretendíamos
explorar la situación en que éstos se repitan para diferentes pares de números, lo cual
permitió luego la sistematización del concepto de m.c.m.
En este punto, teníamos pensado trabajar con la misma lógica que en D.C.M.
incorporando una tabla para analizar las regularidades sobre la descomposición en
números de primos entre dos números y su múltiplo común menor, pero por cuestiones
de tiempo y con el objetivo de afianzar correctamente el concepto de m.c.m., que es lo
que la profesora de curso nos pidió, realizamos la institucionalización del concepto, de
45
forma oral en el pizarrón para el caso de primero B, y en forma de resumen teórico con
una copia para cada alumno en el caso de primero A que mostramos a continuación.
Para tener en cuenta...
El múltiplo común menor entre dos o más números naturales, es el menor de los
múltiplos comunes a ambos números. En siglas, m.c.m.
También podemos pensar al m.c.m entre dos o más números naturales, como el menor
número natural que es múltiplo de ambos números (Es decir, que se encuentra "en la
tabla de ambos").
Ejemplo:
Como vimos en el ejercicio 3, en el caso de 12 y 15, los primeros seis múltiplos de
ellos son, respectivamente:
12= 12; 24; 36; 48; 60; 72; ….
15=15; 30; 45; 60; 75; 90; ….
En este caso, el primer múltiplo que aparece en común, correspondiente al 15 y al 12,
es el 60. Entonces, el Múltiplo Común Menor de 12 y 15 es el número 60.
Entonces, cuando queremos encontrar el múltiplo común menor entre dos números
naturales, solo necesitamos listar los múltiplos que posee cada uno, y elegir el menor en
común.
Si necesitamos encontrar el múltiplo común menor entre dos números, un método
práctico para encontrarlo, sin tener que listar los múltiplos de cada número:
1- Descomponer en factores primos los números.
2- Realizar el producto entre los factores primos comunes y los no comunes, con el
mayor de los exponentes con los que aparecen dichos factores en la descomposición de
los números.
Ejemplo:
Si queremos encontrar el m.c.m entre 20 y 25, buscamos, como dice el primer paso,
la descomposición en factores primos de ambos:
20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5
25 = 5 x 5 = 52
Luego, como dice el segundo paso, tenemos que realizar el producto entre los
factores primos comunes y no comunes, tomando el mayor exponente de dichos factores:
 En este caso, los factores primos comunes de 20 y 25 son:
5 y 52.
 Los factores primos no comunes de 20 y 25 son:
22 y 2.
 Elegimos a cada uno con su mayor exponente,
46
52 y 22
y realizamos el producto entre ellos:
22 x 52 = 2 x 2 x 5 x 5 = 100
Entonces el m.c.m entre 20 y 25, es 100.
Como ilustra la imagen, la sistematización en primero B fue llevada a cabo de la
siguiente forma:
Figura Nº 15: Sistematización de m.c.m en primero B
A continuación de esta puesta en común, diseñamos las siguientes actividades de
cierre, como aplicación del concepto:
1- Encuentra el múltiplo común menor de los siguientes números:
a) 4 y 2.
b) 7 y 3.
c) 9 y 27.
d) 48 y 36.
e) 42 y 96.
2- Lee atentamente los siguientes problemas y resuélvelos. Recuerda que puedes
hacer un dibujo o diagrama que te ayude a plantearlos.
a) La luz de un faro destella cada 8 segundos, la luz de otro cercano, cada 10
segundos, y la de un tercer faro, cada 15 segundos. Si a las 8 horas destellan juntos,
47
¿A qué hora volverán a hacerlo simultáneamente?
b) En una autopista hay carteles indicadores de distancias a localidades próximas cada
12 km. y teléfonos para llamar a emergencias cada 5 km. En el km 22 se colocaron
ambos ¿En qué kilómetro volverán a colocarse un cartel y un teléfono juntos?
Los alumnos en esta instancia trabajaron de forma más desorganizada y la mayoría del
curso no logró completarla, lo cual influyó luego en la importancia que le dimos al
tratamiento de este tema en la evaluación. Esta actividad se llevó a cabo en 80 minutos
en ambos cursos, y la dinámica de trabajo se repitió como en las actividades anteriores,
de forma individual o en pequeños grupos.
Se observaron inconvenientes para la compresión de los problemas, en el sentido de
que los alumnos no sabían que debían hacer. Esta dificultad observada, la atribuimos a la
falta de tiempo en el tratamiento y apropiación del concepto, por lo cual nos centramos
en adelante a reforzar los otros contenidos vistos ya que, además, la fecha de la
evaluación estaba fijada y debíamos implementar un repaso de los contenidos vistos
antes de ella.
Octava Actividad
Objetivos:

Realizar una revisión de todos los contenidos abordados durante nuestra práctica.
 Reforzar los conceptos vistos a través de la colocación de carteles en las paredes
del aula durante la clase.
Materiales utilizados:

Fotocopias con una guía de actividades para cada alumno.
La planificación para el repaso, se basó en la aplicación de los conceptos y
procedimientos vistos. Se propusieron primero actividades que permitieran evidenciar las
definiciones vistas durante las clases anteriores, que ya habíamos escrito en afiches para
ir colgando en las paredes del aula durante el desarrollo de la clase, y luego actividades
de aplicación de las mismas. Esta actividad estuvo pensada para implementarse en 40
minutos en ambos cursos.
Los carteles constaron de las siguientes definiciones:
 Si un número natural es el resultado de una multiplicación de dos o más números,
estos números se denominan factores.

Los factores de un número natural, son divisores de dicho número.

Un número es divisible por sus factores.
 Decimos que un número natural es múltiplo de otro, cuando es el resultado del
producto entre ese número y otro factor cualquiera.

Un número natural que tiene exactamente dos divisores, el 1 y sí mismo, se
48
denomina número primo.

Un número natural, se dice compuesto, si tiene más de dos divisores.
 El Divisor común mayor entre dos o más números es el divisor más grande que
divide a todos los números considerados. En siglas, D.C.M.

El múltiplo común menor entre dos o más números naturales, es el menor de los
múltiplos comunes a ambos números. En siglas, m.c.m.
Figura Nº16: Cartel colocado en el aula de primero B con conceptos de factor y divisible.
49
Figura Nº17: Cartel colocado en el aula de primero B con concepto de múltiplo.
Figura Nº18: Cartel colocado en el aula de primero B durante la revisión de contenidos con conceptos
de número primo y compuesto.
50
Figura Nº19: Cartel colocado en el aula de primero B con conceptos de D.C.M y m.c.m.
La guía de actividades entregada a los alumnos fue la siguiente:
Actividades de revisión para la evaluación
1. Para el 90, ¿Cuales de los siguientes números son posibles factores de él? Para
cada caso justifica tu respuesta.
9
3
4
8
10
12
30
45
27
18
1
90
2. Nombra 4 divisores de 90.
3. Encuentra todos los divisores de:
a) 18
b) 24
c) 26
d) 37
4. Completen con las frases "es múltiplo de", "es divisor de", "es divisible por" para
obtener frases verdaderas.
a)
20
b) 7
4
21
51
c) 4
20
d)
7
21
5. Con tus palabras explica:
a) ¿Cuando un número es primo? Da ejemplos.
b) ¿Cuando un número es compuesto? Da ejemplos.
6. ¿Cuál de los siguientes números tiene el mayor factor primo?
39
51
77
91
121
7. Descompone a los siguientes números como producto de factores primos.
a) 91
b) 64
c) 72
d) 88
8. Para los siguientes pares de números encuentra el D.C.M
a) 25 y 120.
b) 36 y 40
9. Calcula para cada caso, el m.c.m.
a) 17 y 3.
b) 18 y 36.
c) 45 y 30.
Hacia la finalización de la clase, ya habíamos colocamos todos los carteles, quedando
a la vista de todos hasta el día de la evaluación inclusive 24. Todas las actividades fueron
pensadas en relación a los contenidos que fuimos abordando y según el enfoque que
fuimos desarrollando a través de los días, asegurándonos que se realicen en clase las
primeras seis actividades, y las demás quedando de tarea para el repaso de los alumnos.
Los inconvenientes que observamos en esta actividad, tuvieron que ver con hacer que
los alumnos recuerden los conceptos adquiridos primeramente tales como "Factor",
Múltiplo" y "Divisor", pero una vez recordados, pudieron aplicar las definiciones de
manera correcta. Las fortalezas y debilidades mostradas por los alumnos en dicho repaso
24 Es de notar que muy pocos de los alumnos recurrieron a éstos al momento de la evaluación.
52
nos ayudaron a diseñar la evaluación.
3.5 Evaluación.
Luego del desarrollo de las actividades detalladas anteriormente, se optó por una
evaluación escrita e individual, con una duración de 80 minutos y con cuatro ejercicios
con determinado puntaje que detallaremos más adelante.
A los contenidos a evaluar los dividimos en lo que llamamos ejes y fueron los
siguientes:
 Correcto uso de los conceptos de: Factor, Múltiplo, Divisor y Divisible, entre
números naturales.
 Manejo de los números primos hasta el 100. Distinción con los números
compuestos.
 Descomposición de un número natural en producto de factores primos.
 Cálculo del D.C.M. y m.c.m
 Los criterios que seguimos para la puntuación de cada eje de contenido fueron
definidos según el análisis de los dos aspectos centrales:
 El tiempo que se le dedicó al desarrollo de cada uno de los ejes.
 Los objetivos generales y específicos planteados para cada actividad.
Los puntajes definitivos difirieron levemente en ambos cursos, determinando que
sobre 10 puntos, el valor de cada contenido evaluado, fuera de:
 5 a 5,5 puntos: Correcto uso de los conceptos de Factor, Múltiplo, Divisor y
Divisible, entre números naturales.
 3,5 a 4 puntos: Correcta descomposición de un número natural en producto de
factores primos. Buen manejo de los números primos hasta el 100. Distinción con los
números compuestos.

1 punto: Cálculo correcto del D.C.M. y m.c.m.
Además, por cada actividad los puntajes tentativos fueron:

Actividad 1: 2,5 puntos.

Actividad 2: 2,5 a 3 puntos.

Actividad 3: 3,5 a 4 puntos.

Actividad 4: 1 punto.
Las evaluaciones tomadas fueron las mismas para ambos cursos, con dos temas (A y
B) en cada uno. A continuación, se detallan las actividades planteadas para uno de los
temas de la evaluación25:
25 Se plantearon las mismas evaluaciones en ambos cursos, con dos temas en cada uno con diferencias en
los números utilizados para cada actividad. Un ejemplo de cada actividad se encuentra expresada en este
informe, el contenido de cada evaluación se verá en el Anexo Adjunto.
53
PRIMER AÑO
EVALUACIÓN DE MATEMATICA
NOMBRE Y APELLIDO:
CURSO:
1. Une con flechas, las oraciones de la derecha con los números de la izquierda, para
que resulten afirmaciones correctas.
63 es múltiplo de
29
42 es divisible por
9
7 es divisor de
13
26 es múltiplo de
4
28 es divisible por
42
29 es factor de
6
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifica
tu respuesta.
a) El 1 es divisor de cualquier número natural.
b) 42 es múltiplo de 7.
c) El múltiplo más grande de 15 es 120.
d) 1 es factor de 512.
e) El divisor más chico de un número natural es él mismo.
f) El múltiplo más chico de un número natural, es siempre él mismo.
54
3. Completa el siguiente cuadro:
Número
Descomposición en
factores primos
Factores primos que
aparecen
75
52.3
3y5
81
30
96
54
41
Observa el cuadro, y responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el número que tiene el factor primo más grande es su descomposición?
b) ¿Cuál es el número que más factores primos tiene en su descomposición?
c) ¿Cuáles de los números descompuestos son divisibles por 3?
d) ¿Hay algún número que sea divisible por 5? ¿Cuál?
4. Resuelve el siguiente crucigrama numérico, es decir, complétalo con números.
Puedes realizar los cálculos necesarios a continuación.
A
B
C
D
E
Horizontales:
A. El primer número primo de dos cifras.
C. El M.C.M entre 21 y 12.
D. EL D.C.M entre 20 y 90.
E. Un número primo par.
Verticales:
A. El M.C.M entre 36 y 60.
B. El D.C.M entre 28 y 42.
55
En el anexo se podrán observar algunos puntos realizados por los alumnos.
Para el eje “Correcto uso de los conceptos de: Factor, Múltiplo, Divisor y Divisible,
entre números naturales”, planteamos la primera y la segunda actividad, en donde los
alumnos debieron tener presentes todos los conceptos involucrados en él.
Para los ejes “Manejo de los número primos hasta el 100. Distinción con los números
compuestos” y “Descomposición de un número natural en producto de factores primos”,
planteamos la actividad número tres, en donde los alumnos debían completa una tabla y
responder preguntas en base a la producción de la misma.
Para el último eje “Cálculo del D.C.M y m.c.m.”, ofrecimos la actividad número
cuatro en donde lo esencial era el correcto cálculo de ambos conceptos, para poder
completar correctamente el crucigrama y así poder observar si fueron comprendidos
tanto el procedimiento como el concepto en sí.
La evaluación se llevó a cabo en primer lugar en Primero B y una semana después en
Primero A y el porcentaje de aprobados y desaprobados en cada curso, se puede
observar en los siguientes gráficos:
56
En el caso de primero A, pudimos observar en las resoluciones que en la mayoría de
los casos identificaban y aplicaban correctamente los conceptos de "Factor", "Múltiplo"
y "Divisor" pero cuando debían pasar a analizar oraciones, para determinar si eran
verdaderas o falsas, mostraban un cierto desinterés en hacerlo, y debido a que solo
debían justificar las falsas, creemos que hubo una tendencia a colocar todo verdadero,
para no tener que realizar dicho trabajo matemático de justificación. Para la
descomposición de un número natural en factores primos, podemos decir que en general
podían descomponer, pero el análisis del cuadro y la consiguiente tarea de responder
preguntas sobre él fue dificultoso. Para el cálculo de m.c.m y D.C.M, se vio reflejada la
falta de tiempo en el tratamiento de los temas, ya que sólo pudieron aplicar el método
correctamente quienes recordaban como se hacía de su formación anterior.
Una situación que llamó nuestra atención, fue cuando tres alumnos al encontrar cierta
dificultad durante la evaluación, optaron por entregar sin intentar resolverla. Un cuarto
alumno accedió a intentarlo un poco más luego de que le presentásemos esa propuesta e
intentáramos encausarlo un poco en la resolución de la misma sin develar respuestas.
En lo que respecta al clima del aula durante esta instancia, cabe resaltar que llevó
tiempo dar comienzo a la misma. Esta situación era cotidiana durante las clases. Es
decir, lograr un cierto silencio para poder comunicarse con los alumnos, esperar un
tiempo más que prudencial para que la mayoría dispusiera de los elementos necesarios
para dar comienzo a las actividades, era algo habitual26.
Para el caso de primero B, podemos destacar en primer lugar que la mayoría de los
alumnos, pudieron comprender las definiciones de "Factor", "Múltiplo" y "Divisor" ya
26 Ubicarse en sus lugares, sacar una hoja, abrir la mochila o quitarla del banco, leer entre todos una
fotocopia. Todas cuestiones que demoraban su tiempo y nos costaba disminuirlo.
57
que en términos de puntajes, las actividades uno y dos correspondientes al primer eje
evaluativo fueron resueltas de forma correcta. En contraposición, el eje evaluativo en el
cual se observó mayores dificultades en términos generales, fue en el de
"Descomposición de un número natural en factores primos", y conjeturamos que esto se
debió a que hubo dificultades en el momento de la evaluación para comprender la
consigna para completar el cuadro y las preguntas que proseguían. Además se observó
que para algunos alumnos todavía no había quedado claro el reconocimiento de los 100
primeros números primos, lo cual llevó a un error frecuente en sus resoluciones. Para el
caso del último eje, se pudo observar que la mayoría recurría al algoritmo de cálculo
dado en clase, pero que se realizaba de forma "mecánica" sin poder llegar a comprender
el concepto. Esto se ve justificado, ya que la falta de tiempo con el que se dieron dichos
temas, no nos brindó la posibilidad de profundizar en su tratamiento y comprensión.
Para finalizar, es necesario destacar que, en el caso del alumno integrado que poseía
este curso, por recomendación de la profesora, se eliminaron ejercicios de la evaluación
y sólo logró completar la actividad Nº1 de la evaluación planificada. La actividad que
realizó este alumno, se complementó con ejercicios que la profesora preparó en ese
momento y que fue resuelta a través de su acompañamiento a lo largo de la hora. Por
todos estos motivos, la actividad fue corregida por nosotros pero no se le colocó una
nota numérica que definiera su rendimiento durante el desarrollo del tema.
La frecuencia de notas, en ambos cursos, se puede observar en el siguiente gráfico:
Con respecto a las notas observadas, podemos ver que la frecuencia de notas ha sido
variada y que en términos generales, los objetivos planteados para esta evaluación fueron
cumplidos. En el caso de los desaprobados, las notas reflejaron el nivel de errores que
tuvieron en los distintos apartados, y para las notas más bajas la no resolución de la
evaluación.
58
4. ANALISIS DE UN PROBLEMA DESDE UN MARCO TEORICO
Elegimos analizar el problema del pasaje entre la aritmética y el álgebra en el marco del
inicio de la escuela secundaria, debido a lo observado en nuestras prácticas explicando
brevemente lo sucedido en el aula y las posturas teóricas de distintos autores sobre el
mismo. Para ello subdividimos este apartado en los siguientes puntos:
4. 1. La Aritmética y el Álgebra: ¿pasaje, ruptura o articulación?
4. 2. La Aritmética como punto de apoyo y objeto del Álgebra pero también como
ruptura.
4. 3. Resignificación y nuevo status de los objetos matemáticos.
4.4. Reflexiones, Propuestas y Observaciones.
4. 1. La Aritmética y el Álgebra: ¿pasaje, ruptura o articulación?
El pasaje de la escuela primaria a la secundaria significa para el alumno transformaciones
importantes, tanto contextuales como en términos conceptuales. En matemática, dichas
transformaciones adquieren un especial protagonismo a propósito de la entrada al
pensamiento algebraico. Este problema supone un eje fundamental a tratar con especial
atención tanto en el diseño curricular para la educación secundaria como en las
decisiones que respectan a la planificación anual de matemática.
En un intento por contextualizar esta entrada, comenzamos por retomar las siguientes
definiciones27:
La aritmética es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los
números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta,
multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el
sentido de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de
las ciencias. (...) En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental,
enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al conjunto que reúne
el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro
operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como
27 Extraídas de http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica y http://es.wikipedia.org/wiki/Algebra
para las definiciones de Aritmética y Algebra respectivamente.
59
a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.).
El álgebra es la rama de la matemática que estudia las estructuras, las relaciones
y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales
ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la
combinatoria y la teoría de números. (...) Etimológicamente, la palabra «álgebra»
‫ جبر‬ŷabr, proviene del árabe y significa "reducción".
Estas definiciones, si bien no profundizan en la dirección del problema que nos
proponemos analizar, permiten dar cuenta acerca de la separación existente entre ambas
ramas. Tanto en sus objetos de estudio, como en la manera de abordarlos. Durante la
primaria es la aritmética protagonista, en gran parte, del trabajo matemático. En la
secundaria, aparecen contenidos y saberes que requieren un mayor grado de
generalización, dando lugar así al tratamiento de éstos desde un enfoque más algebraico.
Combinando lo observado durante nuestras prácticas28, nuestras propias concepciones
acerca de dichas disciplinas y el análisis de algunos materiales bibliográficos para la
educación, consideramos que en la práctica concreta de la enseñanza media, esta
separación no solo existe, sino que también se constituye como un escenario impregnado
de complicaciones y consecuencias devenidas de las maneras en que se suelen abordar
estas diferentes, pero complementarias, formas de pensar en matemática.
A partir de esto, entendemos que no se debería concebir a la enseñanza de la Aritmética
y Álgebra, como dos disciplinas disjuntas que puedan planificarse e implementarse de
manera secuencial y separada.
Nuestras prácticas se desarrollaron en un primer año de nivel secundario. Esta es la
etapa por excelencia en donde comienzan a conjugarse estas diferentes maneras de
hacer y pensar matemática y donde colisionan las costumbres aritméticas de los
alumnos, con nuevas relaciones entre viejos y nuevos objetos matemáticos. Es por esto
que la manera en que se comprendan estas ramas en este marco escolar, repercutirá
directamente en la forma de abordarlas y de rescatar sus potencialidades para recontextualizarlas en el aula, a fin de propiciar una construcción de sentido más
coherente y menos contradictoria para los alumnos.
Existen diferentes posturas teóricas las cuales se pueden abordar para analizar la
problemática que nos ocupa en profundidad, que suponen que dentro de un espacio
28 Respecto a las realizadas por nosotros, por la profesora y en general, en otras instancias vinculadas a
la educación media.
60
didáctico en el campo escolar, la transición entre estas áreas de la matemática puede
producirse a través de: una articulación entre sus prácticas (Sadovsky, 2003), una
ruptura que implica la renuncia de un sentido para abrir caminos a otros sobre diferentes
objetos matemáticos; o una transformación de los conocimientos a través del
establecimiento de un "puente" entre lo numérico y lo algebraico (Schliemann, A. y
otros, 2011).
Una primera aproximación que se puede establecer entre la enseñanza de la Aritmética y
el Álgebra, es la que evidencia Sadovsky (2003, p.3):
Poder sintetizar un conjunto de soluciones a través de operaciones aritméticas,
pone en evidencia más claramente el aspecto modelizador de la actividad
matemática, aspecto que (…) aparece más oculto en los problemas aritméticos
de solución única, dado que, el modelo utilizado -la o las operaciones
aritméticas seleccionadas- se “esfuman” rápidamente en los resultados
numéricos. El recorte de un problema en términos de la o las relaciones que
caracterizan sus soluciones, estructura estas últimas y hace posible que pueda
verse “algo en común”, donde antes se veían soluciones aisladas”.
4. 2. La Aritmética como punto de apoyo y objeto del Álgebra.
Se considera que la práctica aritmética en el aula reorganiza enriquece y consolida
aquello que se constituirá como punto de apoyo y objeto en las prácticas algebraicas
(Sadovsky, 2003, p.3). En este sentido, es necesario que las cuatro operaciones básicas
en torno al cálculo, tengan para los alumnos un significado construido a partir de haber
resuelto una cantidad considerable de problemas para que, luego, puedan ser tratados
como instancias de algo más general (Chemello, G. y otros, 2010).
La aritmética así pensada forma parte del álgebra y brinda un nivel básico de
generalización, que suele permanecer implícito y que servirá para enfrentarse a un nuevo
tipo de trabajo que incluirá nuevas formas de representar, resolver y argumentar
basándose en la disponibilidad y flexibilidad de lo conocido. (Sadovsky, P., 2003;
Chemello, G. y otros, 2010).
Por otro lado, el Álgebra se presenta como un instrumento que modeliza la aritmética
pero a la vez, con sus herramientas y enfoques metodológicos, supone rupturas
esenciales que permitirán la restructuración y la problematización de la aritmética misma.
En este sentido se dice que el álgebra es una práctica que conlleva nuevas relaciones
que antes no eran visibles desde lo puramente numérico, enriqueciendo el trabajo de
generalización y trascendiendo el nivel instrumental de las operaciones (Napp, C. y
otros, 2005; Sadovsky, P., 2003).
El álgebra provee, en pocas palabras, un escenario que abre la puerta desde un marco
más formal, a la conjetura y a la validación colectiva, a través de un conjunto de
61
herramientas donde la aritmética está contenida.
4.3. Resignificación y nuevo status de los objetos matemáticos.
Cuando se plantea profundizar el carácter algebraico de las prácticas aritméticas, los
objetos matemáticos puestos en juego adquieren un nuevo significado y se reestructuran
tanto en el uso como en el sentido en el cual son interpretados. En este sentido,
Sadovsky (2003) señala que el tipo de conocimientos que producen los alumnos de
séptimo grado29, cuando se enfrentan a problemas que suponen algún grado de ruptura
con las prácticas aritméticas, empujan hacia el trabajo algebraico lo cual implica otorgar
un nuevo status a determinados objetos matemáticos utilizados durante el trayecto
escolar de un alumno. Algunos de los objetos matemáticos que adquieren un nuevo
status en esta transición son:


El signo igual.
La noción de variable.
En nuestras prácticas, ambos objetos matemáticos fueron trabajados y a continuación
explicaremos algunas problemáticas que surgieron en torno a los mismos abordadas a
partir del desarrollo teórico de distintos autores.
Tanto Barrallobes, G. (2000) como Schliemann y otros (2011), observan que el status del
signo igual plantea un problema esencial de ruptura, pues en las prácticas aritméticas de
nivel primario es utilizado como el anuncio de un resultado, es decir que tiene una
función de separación en el encadenamiento de un cálculo en un sentido unidireccional
que produce un resultado a la derecha a partir de los datos iniciales de la izquierda.
En la experiencia de nuestras prácticas, este carácter unidireccional del signo igual se
vio reflejado al momento de trabajar con conceptos como factor, múltiplo, divisor y
divisible.
Cuando presentamos ejemplos o ejercicios numéricos de la forma a.b=c para la mayoría
de los alumnos fue fácil observar que si el producto de a por b "daba como resultado" c,
entonces éstos eran factores de c. Sin embargo, les fue muy difícil evidenciar que al
mismo tiempo c era múltiplo de a y de b.
Resultó de forma análoga, que cuando incorporamos los conceptos de divisor y divisible
como tomábamos divisor como un sinónimo de factor, los alumnos interpretaban bien el
concepto resultante de la relación a "la derecha del igual". Pero no así el significado a la
inversa. Es decir, si a.b=c, c "era divisible" por a y por b resultando difícil sistematizarlo
y lograr una compresión acabada del concepto.
29 Sadovsky se refiere a séptimo grado debido a que en Buenos Aires la escuela primaria comprende siete
años y la secundaria, cinco. El séptimo grado referido equivale al primer año de la escuela secundaria
en la provincia de Córdoba.
62
Cuando se ingresa a la escuela media, gran parte de las tareas consisten en transformar
igualdades variando el sentido de las expresiones, lo cual traduce, que en estos casos, el
signo igual debe tomar el carácter de un símbolo que exprese una relación de
equivalencia, con sus tres propiedades: Reflexividad, simetría y transitividad.
Considerando esto, cuando los alumnos permanecen en la función unidireccional del
signo igual, se llegan a expresiones que violan o ignoran la transitividad y la simetría de
la igualdad. En este sentido, tomamos un ejemplo de Schliemann y otros (2011) donde
los estudiantes pueden aceptar alegremente 3+5=8+4=12 pero rechazan 8=3+5 y
3+5=7+1. Esto testifica que de las tres propiedades de esta relación los estudiantes
usualmente no reconocen la simetría y la transitividad.
Estas dificultades en la apropiación de las propiedades del signo igual se observaron
también cuando trabajamos en la descomposición de números primos. Pudimos observar
que si bien, la mayoría comprendía aritméticamente los fundamentos procedimentales de
dicha descomposición, les resultaba muy difícil explicitar este proceso de manera escrita,
es decir no se evidenció un uso del signo igual que diera cuenta de una descomposición a
través de la transitividad. Es también ejemplo de esto, el buen manejo algorítmico de la
descomposición de un natural en primos con el método de la "raya" 30 (ver Figura 20)
frente a la dificultad de expresarlo como producto de estos. Para abordar este contenido,
en nuestras prácticas incorporamos una forma de expresar el producto a través de
globos (ver Figura 19). Como se puede observar en las imágenes de las figuras 19, 20 y
21, los chicos utilizaron estas herramientas, pero muy pocos lograron la expresión
numérica que evidencia la descomposición.
Figura 20. El producto a través de globos
30
Método de descomposición de un número natural en números primos, que consiste en colocar el número
a la izquierda de una raya vertical y los números primos que forman parte de su descomposición al
lado derecho de dicha línea.
63
Figura 21. El método de “la raya”
Figura 22. Otro modo de descomponer números
Por otra parte, observamos ciertas dificultades en el trabajo de los alumnos relacionadas
a la noción de variable. Cuando se comienzan a analizar las relaciones que producen las
soluciones de un problema, es necesario destacar que se debe trasladar la noción de
variable al carácter algebraico. En aritmética, la concepción de variable se encuentra
implícita en la resolución de operaciones que involucran números y medidas particulares.
Cuando se introducen luego las letras como símbolos para las variables, estas son mal
64
interpretadas al tomar el lugar de los números (Sadovsky, 2003). A continuación
presentamos dos problemas trabajados en nuestras prácticas en los cuales los alumnos
presentaron alguna de las dificultades mencionadas.
- En un portero eléctrico hay 27 botones. Si hay tres departamentos por piso. ¿Cuántos
pisos hay?
- En una sala de cine las butacas están distribuidas 32 filas con 16 butacas en cada fila,
¿Qué capacidad tiene la sala? Escribe la respuesta utilizando la expresión numérica.
En ambos casos, la concepción algebraica de estos problemas recuerda la expresión
a.b=c donde se desconoce una de las tres variables. La gran mayoría de los alumnos
resolvieron sin problemas estos ejercicios pero aparentemente sin la necesidad de
recurrir a dicha expresión, ya que simplemente efectuaron la operación aritmética
necesaria para resolverlos. Por ejemplo, algunos alumnos realizaron una división para
obtener el resultado, y otros lograron obtener la respuesta a través de saber que 27=3.9
para el primer problema. Para el segundo problema, la mayoría resolvió la multiplicación
indicada implícitamente. Entonces nos preguntamos, ¿cómo hicieron para determinar qué
operación debían realizar? A este nivel de análisis al menos podemos concluir que
manejaban las condiciones mínimas para resolver cada problema, es decir reconocían las
variables involucradas y las relaciones entre ellas. Esto supone la capacidad de llevar el
problema al campo del trabajo aritmético, conocido por ellos. Podemos destacar que los
problemas expuestos en realidad se podían resolver directamente y no era necesario
poner en juego nada más en el obrar de los alumnos. En este sentido, reflexionamos
sobre qué problemas deberíamos plantear para que emerja la necesidad de recurrir a los
conceptos de divisibilidad abordados y se evidencie la necesidad de acudir a la
estructura algebraica para resolver cada tipo de problemas.
4.4. Reflexiones, propuestas y observaciones.
A partir del análisis realizado anteriormente, podemos expresar que todos los aspectos
considerados aquí, dan cuenta de lo mucho que se necesita encarar de otra forma el
abordaje de la matemática en el primer año de la escuela secundaria, para potenciar las
producciones de los alumnos y generar las condiciones necesarias para lograr una
ruptura entre las prácticas aritméticas y algebraicas de manera significativa y eficaz en el
hacer matemático requerido.
En este sentido, nosotros mismos nos encontramos mirando diferente. A riesgo de
generalizar demasiado, esta nueva mirada nos invitó a pensar un poco y a retomar
algunos elementos que podrían orientarnos en nuestro futuro desarrollo y práctica
65
profesional. Considerando esto, planteamos algunas ideas puntuales que pueden servir
como eje en el diseño y planificación de esta transición.
En relación al signo igual, consideramos que el nuevo status de este signo debe
encararse de tal forma que se produzca un movimiento desde una concepción
procedimental hacia una concepción estructural (Kieran, C.,1992).
Además creemos importante para futuras prácticas diseñar y seleccionar problemas que
movilicen la noción de variable a nuevos criterios de interpretación que permitan el
tratamiento independientemente del contenido y en donde se puedan observar las
relaciones, características, estructura de las operaciones y propiedades involucradas,
logrando un avance en el nivel de generalización que se espera de esta transición.
También queremos reflexionar sobre la relación entre el Álgebra y la Geometría. Como
plantea Sessa (2005) “pensar la geometría como herramienta para validar leyes y
resolver problemas algebraicos y, a su vez, concebir al álgebra como herramienta para
resolver problemas geométricos constituyen dos facetas de un juego de marcos31” (p.63).
Es aquí donde nosotros creemos que el carácter intuitivo que posee la geometría, sirve
como punto de apoyo en esta construcción de sentido hacia un pensar algebraico. Es
decir, si los alumnos manejan el trabajo aritmético, puesto que frente a un problema,
muestran capacidad de establecer relaciones que llevaban a las soluciones requeridas, y
aceptamos esta arista intuitiva de la geometría como herramienta para la validación, nos
preguntamos: ¿sería posible diseñar ambientes de aprendizaje que "tiren" hacia una
mayor generalización a través de la exploración tanto geométrica como aritmética?
La respuesta a esta pregunta no está “a la derecha del igual”, no conocemos todas las
“reglas” ni todas las “relaciones entre las variables”. La respuesta a esta pregunta es
una búsqueda y supone un reto importante a nuestra futura práctica profesional.
Requiere ampliar nuestra formación, implica una mirada creativa orientada a estos fines,
nos invita a repensar el espacio y tiempo en el aula, recurrir a distintos dispositivos
pedagógicos, al material concreto y, por sobre todo, al trabajo colaborativo.
31
Nos permitimos retomar la nota al pie de Sessa: “(…) Según Douady, un marco está constituido por
objetos de una rama de la matemática (…), por relaciones entre éstos, por formulaciones diversas y por
imágenes mentales asociadas a objetos y relaciones. La autora sostiene que, para abordar un problema
matemático, cambiar de marco es un medio de obtener formulaciones diferentes de un problema que,
sin ser completamente equivalentes, permiten la puesta en juego de herramientas y técnicas cuyo uso
no surgía en la primera formulación”. Pág. 63.
66
También, en este intento de armar propuestas que intenten mejorar el pasaje que hoy se
realiza en el marco de la escuela primaria a la secundaria, consideramos que el error en
las producciones matemáticas de los alumnos debe ser contemplado desde otro punto de
vista. Debe constituirse como objeto para la enseñanza, en el sentido de tomarlo como
base para la evolución del razonamiento matemático.
Considerando esto, al hablar de problemas aritméticos, cuando se produce el error, es
necesario cambiar el foco sobre el cual se analizará. En vez de condenar los errores
culpabilizando a los estudiantes, sería útil considerarlos en el proceso de aprendizaje y
en la transición de la aritmética al álgebra, ya que los errores procedentes por ejemplo
de problemas del tipo de solución única de cálculo, pueden ayudar a la entrada de
criterios para validar la cantidad de soluciones de un problema y a la incorporación de la
noción de variable de manera no formal, como un primer paso hacia la algebrización y
generalización de las prácticas matemáticas de los alumnos.
Además, retomando lo que dice Rico (1995) los alumnos con frecuencia inventan sus
propios métodos, no formales pero originales para la realización de las actividades, los
cuales pueden retomarse como método para el establecimiento de relaciones entre
objetos matemáticos y producción de conocimientos significativos. Siguiendo este eje,
creemos que es importante cuestionar el error, ya que “los alumnos que cometen un
error no consideran el significado de los símbolos y conceptos con los que trabajan”
(Rico, 1995, p.84), en cambio si se hiciera este proceso de cuestionamiento, se podría
dar significado a éstos y apuntar a lo dicho anteriormente.
Consideramos que este análisis es muy escaso, pero nuestro objetivo es plasmar algunas
de las ideas que fueron surgiendo a medida que desarrollamos el mismo. Ideas sobre las
cuales se pueden debatir para mejorar el pasaje de las prácticas aritméticas a las
algebraicas a través de objetos que ya se encuentran presentes en una clase de
matemática.
67
5. A MODO DE CONCLUSIÓN
Como cierre de este informe, queremos expresar lo que la experiencia significó para
nosotros, tanto fuera como dentro del aula. En primer lugar la tarea de planificación fue
un desafío que nos invitó a un gran esfuerzo, brindándonos una retrospectiva sobre
nuestro aprendizaje como estudiantes tanto en nuestro trayecto escolar previo como de
la carrera de profesorado.
A su vez, consideramos que dicha tarea fue enriquecedora en nuestra formación
docente, ya que nunca habíamos experimentado el proceso de la planificación de una
clase y el intento de un análisis de todas las posibilidades que aparecen al confeccionarla
e implementarla.
Al ingresar al aula, la experiencia se convirtió en un espacio de aprendizaje constante,
tanto en la relación con los alumnos, como con el conocimiento que nos enfrentaba todos
los días a repensar actividades y nuevas propuestas para cumplir con nuestros objetivos.
En relación a los alumnos, queremos agradecer su predisposición a recibirnos y
entablar con nosotros una relación especial, que nos permitió llevar adelante nuestras
propuestas al ámbito del aula.
Queremos aprovechar además este espacio para agradecer a la profesora del curso,
quien nos permitió llevar a cabo nuestras prácticas con total libertad y que nos ayudó
con sus recomendaciones y consejos para nuestra futura profesión.
Para finalizar agradecemos también, a nuestras profesoras de la cátedra, Mónica,
Cristina, Fernanda y Erika, quienes nos ayudaron en todo este proceso, de distintas
formas y en diferente medida, enriqueciendo nuestra formación y colaborando para que
demos lo mejor de nosotros.
68
6. BIBLIOGRAFIA
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UVQuebec: Canadá. Disponible en http://es.scribd.com/doc/81754458/AlgebraBarallobres-1 Acceso el día 01/11/12.
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articulación. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación, 2010. (pp. 37-38).
Disponible en http://portal.educacion.gov.ar/secundaria/files/2009/12/Cuadernopara-docentes-Articulaci%C3%B3n-entre-el-Nivel-Primario-y-el-Nivel-Secundario.pdf
Acceso el día 16/10/12.
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http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPECCBA/publicaciones/EducacionSecundaria
/Tomos2v.html. Acceso el día 01/11/12.
Garaventa, L. y otros (2006) Cuadernillo 1 en Legorburu, N. (Ed.) Nueva Carpeta de
Matemática I. Buenos Aires: AIQUE. (pp. 28 a 44).
Gvirtz. S y Palamidessi, M (2008) El ABC de la tarea docente: Currículum y Enseñanza.
Buenos Aires: AIQUE. (pp. 175-207).
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(pp. 390-419). Traducción no literal ni completa realizada por Vilma María Mesa en una
primera versión.
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inicios del nivel medio. La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar
matemática. Buenos Aires: Secretaría de Educación. Gobierno de la ciudad Autónoma de
Buenos Aires. (pp. 8-9). Disponible en
http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf Acceso el día
16/10/12.
69
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Rico, L.(Eds) Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica. México
Sadovsky, P. (2003) Condiciones Didácticas para un Espacio de Articulación entre
Practicas Aritméticas y Practicas Al
gebraicas, tesis de doctorado de la Universidad de Buenos Aires. Argentina. (pp. 1-43).
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niños a las actividades en el aula. Buenos Aires: Paidós. (pp. 15-44).
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Kulesz, O. (Ed.). Buenos Aires: Libros del Zorzal. (pp. 63-68)
Sevesso de Larotonda, J. y otros.(2005) Matemática 7. Buenos Aires: Kapelusz. (pp. 2127).
70
7. ANEXOS
71
Anexo 1: Evaluación presentada por la profesora antes del comienzo de nuestras prácticas.
72
Jugador A
Jugador B
Cantidad de Fichas
Cantidad de
Rectángulos
Rectángulos
encontrados
20
14
8
18
11
17
15
13
16
9
19
10
12
7
Anexo 2:
Tabla presentada a los alumnos en la primer actividad para el registro del juego.
73
Descomposición en nº primos del número A
Descomposición en nº primos del número A
6=
9=
12=
15=
4=
8=
14=
28=
27=
81=
16=
12=
27=
18=
40=
36=
Anexo 3:
Descomposición en factores primos del DCM entre A y B
Tabla que formó parte de las actividades sobre el divisor común mayor.
Actividad
1. Para cada número dado, cuando sea posible, completen los círculos en blanco
con los factores que al ser multiplicados, den como resultado ese número inicial. No
olviden escribir sobre la línea este producto, usando la expresión matemática.
74
75
76
Anexo 4: Actividad para la iniciación de la descomposición de los números primos.
77
PRIMER AÑO
EVALUACIÓN DE MATEMATICA
NOMBRE Y APELLIDO:
CURSO:
TEMA 1
1. Une con flechas, las oraciones de la derecha con los números de la izquierda, para
que resulten afirmaciones correctas.
42 es divisible por
29
63 es múltiplo de
9
26 es múltiplo de
13
7 es divisor de
4
29 es factor de
42
28 es divisible por
6
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifica tu
respuesta.
a) El 1 es divisor de cualquier número natural.
b)54 es múltiplo de 9.
c) El múltiplo más grande de 30 es 150.
d) 1 es factor de 342.
e) El múltiplo más chico de un número natural, es siempre él mismo.
f) El divisor más chico de un número natural, es él mismo.
3. Completa el siguiente cuadro:
Descomposición en factores
primos
Número
75 52.3
Factores primos que
aparecen
3y5
54
30
41
78
81
96
Observa el cuadro, y responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el número que tiene el factor primo más grande es su descomposición?
b)¿Cuál es el número que más factores primos distintos tiene en su descomposición?
c) ¿Cuáles de los números descompuestos son divisibles por 3? Justifica.
d) ¿Hay algún número que sea divisible por 5? ¿Cuál? Justifica.
e) ¿Es 54 divisible por 27? Justifica.
4. Resuelve el siguiente crucigrama numérico, es decir, complétalo con números. Puedes
realizar los cálculos necesarios a continuación.
A
B
C
D
E
Horizontales:
A. El primer número primo de dos cifras.
C. El M.C.M entre 21 y 12.
D. EL D.C.M entre 20 y 90.
E. Un número primo par.
Verticales:
A. El M.C.M entre 36 y 60.
B. El D.C.M entre 28 y 42.
Anexo 5: Otro de los temas presentados en la evaluación
79
Anexo 6: Resoluciones de la evaluación.
80
Anexo 7: Resoluciones de la evaluación
81
Anexo 8: Resoluciones de la evaluación
82
83
Anexo 9: Resoluciones de la evaluación
84
Anexo 10: Resoluciones de la evaluación
85
Anexo11: Resoluciones de la evaluación32
32 Resaltamos en esta imagen que se evidencia en la resolución, el método propuesto en clase para la
descomposición de un número como producto de factores primos.
86
Anexo 12: Resoluciones de la evaluación
87