13.- Dado el problema de programación multiobjetivo: 0 , 6 8 2 .. 2

13.- Dado el problema de programación multiobjetivo:
Max f1 ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2
Min f 2 ( x1 , x 2 ) = − x1 + 2 x 2
s.a.
− x1 + 2 x 2 ≤ 8
x1 ≤ 6
x1 , x 2 ≥ 0
a) Determine el conjunto de puntos eficientes mediante el método de las
ponderaciones.
b) Si el decisor quiere que el primer objetivo sea mayor o igual que 5 (primer nivel
de prioridad) y que el segundo objetivo sea menor igual que 0 (segundo nivel de
prioridad), plantee el problema de programación por metas lexicográfico que ha
de resolverse, así como el problema que corresponde a cada nivel de prioridad.
c) En general, ¿toda solución eficiente es satisfactoria? Razone su respuesta.
Solución:
Para la aplicación del método de las ponderaciones tenemos que resolver un
problema de la forma:
Max λ (x1 + x2) + (1 - λ ) ( x1 - 2x2)
s.a.
- x1 + 2x2 ≤ 8
x1 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
Asignando ponderaciones obtenemos:
Ponderación λ
0.25
0.5
0.75
0
1
0.6
0.65
0.67
0.7
Solución
(6, 0)
(6, 0)
(6, 7)
(6, 0)
(6, 7)
(6, 0)
(6, 0)
(6, 0)
(6, 7)
F1
6
6
13
6
13
6
6
6
13
F2
-6
-6
8
-6
8
-6
-6
-6
8
b) Primer nivel de prioridad: que el primer objetivo sea mayor o igual que 5.
La meta será:
x1 + x2 ≥ 5
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
x1 + x2+ n1 – p1 = 5
la variable no deseada es n1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = n1
Segundo nivel de prioridad: que el segundo objetivo sea menor igual que 0.
La meta será:
- x1 + 2x2 ≤ 0
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
- x1 + 2x2 + n2 – p2 = 0
la variable no deseada es p2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = p2
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { n1, p2 }
s.a.
- x1 + 2x2 ≤ 8
x1 ≤ 6
x1 + x2+ n1 – p1 = 5
- x1 + 2x2 + n2 – p2 = 0
xi, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2
Nivel 1:
Min n1
s.a.
- x1 + 2x2 ≤ 8
x1 ≤ 6
x1 + x2+ n1 – p1 = 5
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min p2
s.a.
- x1 + 2x2 ≤ 8
x1 ≤ 6
x1 + x2+ n1 – p1 = 5
n1 = 0
- x1 + 2x2 + n2 – p2 = 0
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
c) En general, no toda solución eficiente es satisfactoria ya que no todos los puntos que
estén en la frontera eficiente podemos asegurar que van a cumplir los niveles de
aspiración especificados por el decisor y, de hecho, podría ocurrir que ninguna solución
eficiente los cumpliera.