ÁNGULO HORIZONTAL - Cambridge College Secondary Maths

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ÁNGULO HORIZONTAL : Se llama así a aquellos
ángulos contenidos en un plano horizontal.
L
h
L
v
DIRECCIONES
PRINCIPALES
P
h
DIRECCIONES
SECUNDARIAS
N
N
α
N
N
4 4
O
E
O
4
4
S
S
“α”
E
S
S
h
OBSERVACIONES
ROSA NÁUTICA
Es un diagrama ubicado en planos horizontales y diseñado
en base a la ubicación de los puntos cardinales que son :
norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O - W)
La Rosa Náutica se emplea para localizar la posición de
objetos o personas ubicados en el plano horizontal
mediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.
La Rosa Náutica contiene a las treinta y dos (32) direcciones
notables de la brújula, las cuales son obtenidas trazando
bisectrices a partir de las direcciones principales, siendo el
ángulo que forman dos direcciones notables consecutivas
de 11°15', tal como se observa en el gráfico.
RUMBOS Y DIRECCIONES
Para ubicar la posición de una persona u objeto con
respecto a un punto determinado en el plano horizontal, se
emplean con frecuencia los rumbos o direcciones;
entendiéndose por :
RUMBO : El ángulo agudo horizontal que forma la
dirección de la persona u objeto con respecto al eje norte
- sur, cuando ésta se desvía hacia el este (E) u oeste (O)
DIRECCIÓN : La línea recta sobre la cual se encuentra la
persona u objeto con respecto a una Rosa Náutica,
quedando determinada dicha dirección por su rumbo.
1
N
E
O
N
E
O
S
S
O
N
DIRECCIONES OPUESTAS
El opuesto de una dirección dada, se obtiene cambiando
las direcciones que aparezcan por sus respectivos
opuestos, sin cambiar el ángulo
NOTA : En todo problema donde se incluyan ángulos
verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar
diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y
ubicación del problema.
Ejemplo :
Una persona de altura “h” observa en un determinado
instante un helicóptero en la dirección Nα°E, con un ángulo
de elevación θ° y a una altura “H”
POSICIONES DE LA ROSA NÁUTICA
2
S
E
01. Calcular el mayor ángulo formado por las direcciones:
SE
S y N
A) 250°
D) 270°
NE
A) 4/3
D) 1/3
B) 210°
E) 185°
B) 50 m
D) 150 m
E) 50
C) 100
m
m
03. Un auto parte en la dirección NE y recorre 40
km,
luego se dirige hacia el este, recorriendo una distancia
“d” y finalmente se dirige hacia el E53°S, llegando a un
punto ubicado al este del punto de partida; calcule el
valor de “d”, si el auto se desplazó en total 90 km
A) 10 km
D) 40 km
B) 20 km
E) 50 km
C) 30 km
04. Carlos y Sofía se encontraban conversando muy
juntos y luego de despedirse Sofía se dirige en la
dirección oeste y Carlos en la dirección E53°/2 N.
Luego de caminar 2 y
m respectivamente, Carlos
va al encuentro de Sofía en la dirección OθS. Hallar el
valor Tgθ
A) 1/8
D) 1
B) 1/4
E) 2
C) 1/2
05. Dos embarcaciones parten de un puerto al mediodía
y siguen las direcciones SE y S60°E. Determinar la
relación que guardan sus velocidades, si en todo
instante uno se halla al norte del otro
A)
/2
D) 3/2
B)
/2
E) 2/3
C)
/3
06. Dos barcos salen de un punto en direcciones que
forman un ángulo recto, siendo el primero de ellos en
la dirección EθN (θ<45°). Si después de navegar
ambos barcos cierto tiempo a la misma velocidad
desde el primero se ve al segundo en la dirección
S27°O, ¿en qué dirección salió el segundo barco?
A) E18°S
B) O17°N
C) O27°N
D) E72°S
E) E27°S
07. Un bote sobre un puerto parte en la dirección N(90°α)E avanzando 120 m. Si otro al este del puerto lo
alcanza recorriendo 20
m en la dirección O(45°-
1
B) 3/4
E) 1/4
C) 1/2
C) 225°
02. Dos torres están en la misma dirección NE de una
persona. Esta persona camina 200 m y una de las
torres está en la dirección norte y la otra al NO de
dicha persona. Hallar la distancia entre las torres, si la
persona camina en la dirección este
A) 100 m
α)N, hallar : Ctg(45°+α)
08. Desde los extremos de un diámetro
de una pista
semicircular parten dos atletas que van hacia el
encuentro, el cual se realiza en un punto P que está al
NθE de A y al NxO de un punto C que se localiza en la
prolongación de
y al este de A si B equidista de A
y C. Hallar Tgx
A) Tgθ+Ctgθ
C) 2Tgθ + Ctgθ
E) 3Tgθ + Ctgθ
B) Tgθ + 2Ctgθ
D) Tgθ + 3Ctgθ
09. Pepe desea ir a su academia que se encuentra al EθS
de él, pero primero va a la casa de María situado a “d”
m de él en la dirección SθO. Luego ambos deciden ir
al cine, situado a “D” m al sur de ellos para finalmente
ir a la academia situado a “x” m al este del cine. Hallar
x
A) DTgθ + dSecθ
B) DCtgθ + dCscθ
C) DSecθ + dTgθ
D) dCtgθ + DCscθ
E) DCscθ + dSecθ
10. Una persona que se dirige hacia el oeste observa a
dos objetos en la dirección NθO camina una cierta
distancia y observa que uno de los objetos se
encuentra al norte y el otro al NE. Avanza una
distancia “x” metros y observa que el objeto más
alejado de su primera posición se encuentra en la
dirección EθN. Hallar “x”, si los objetos se encuentran
separados una distancia “d”
A) dCtgθ(Secθ + Cscθ)
B) dTgθ(Secθ+Cscθ)
C) dCtgθ(Senθ+Cosθ)
D) d(Senθ+Cosθ)
E) N.A.
11. Dos barcos “A” y “B” se encuentran separados una
distancia de 6 km. B se encuentra con respecto de “A”
en la dirección S70°E. Un submarino se encuentra con
respecto de “B” en la dirección S20°O y con respecto
de “A” en la dirección S10°E. ¿A qué distancia se
encuentra el submarino del barco A?
A) 6 km
D) 12
B) 6
km
km
C) 12 km
E) N.A.
12. Desde un faro se observa a dos barcos A y B en la
dirección N35°O y S55°O respectivamente en ese
mismo instante B es observado desde A en la
dirección S25°O. Si la velocidad de A es de 24 km/h,
la velocidad de B es de 24
km/h y la distancia inicial
de A al faro es de 5 km, hallar la distancia entre A y B
al cabo de una hora y 15 minutos
A) 60 km
B) 60
km C) 70 km
D) 80 km
E) 90
km
13. Una persona sale de su casa y se dirige al sur,
recorriendo 18 km en esa dirección, luego se va hacia
el oeste y recorre una distancia igual al doble de la
anterior, finalmente avanza 60 km en la dirección
N37°O; determine qué distancia la separa de su casa.
A) 60 km
D) 78 km
B) 64 km
E) 80 km
C) 72 km
14. Dos autos A y B parten simultáneamente de una
estación de gasolina, con velocidades constantes y en
las direcciones S15°E y E15°S respectivamente, al
cabo de cierto tiempo el auto “B” es observado desde
“A” en la dirección E15°N y a 30 km de distancia;
calcule la diferencia de los espacios recorridos por los
autos hasta el momento de la observación
A) 5
km
D) 20
km
B)10
km
E) 30
km
C) 15
km
15. Desde un helicóptero que está a 50 m sobre el nivel
del mar, se observa una lancha hacia el este con un
ángulo de depresión de 45° y hacia el sur se observa
un barco con un ángulo de depresión de 30°; calcule
la distancia que separa al barco de la lancha.
A) 50 m
B) 60 m
C) 80 m
D) 75 m
E) 100 m
16. Una persona al dirigirse hacia el sur de su casa
recorre una distancia “x” y desde allí ve la chimenea
con ángulo de elevación “θ”. Luego se dirige al oeste
recorriendo “x” observa la chimenea con un ángulo de
elevación que es complemento de “θ”. Hallar “Tgθ”
A)
B)
D)
E)
C)
17. Un alumno de la academia propone el siguiente
problema : “Si estuviese al sur de la academia vería su
parte más alta con un ángulo de elevación de 37° y si
me desplazo al oeste una distancia igual al doble de la
que me encontraba inicialmente, la observaría con un
ángulo de elevación “θ”. ¿A qué es igual Ctgθ?
A)
D) 4
/3
/3
B) 2
/3
E) 5
/3
C)
18. Desde la parte más alta de un poste, un pajarito
observa a dos palomas en direcciones NθE y S(90°θ)E, con ángulos de depresión complementarias α y β
respectivamente. A qué es igual :
si además el segmento que une a las palomas es
2
paralela a la dirección norte - sur
A) 1/8
D) 1
B) 1/4
E) 2
C) 1/2
19. Un avión que con una inclinación θ en la dirección este
- oeste. ¿Cuál es el valor de la Secθ, para que un
observador vea al avión primero hacia el NE y hacia el
norte con ángulos iguales al complemento de θ?
A)
B)
D)
E)
C)
20. Desde dos puntos en tierra A y B se observa la parte
superior de una torre con ángulos de elevación de 37°
y 53° respectivamente, determine la altura de la torre
si los puntos A y B se encuentran al sur y al este de la
torre y la distancia que los separa es 2
m
A) 12 m
D) 24 m
B) 16 m
E) 30 m
C) 20 m
TAREA
21. Miriam recorre 80 km en la dirección N53°O, luego
80
km en la dirección SO y finalmente 120 km hacia
el este. ¿A qué distancia se encuentra Miriam de su
posición inicial?
A) 24 km
D) 40 km
B) 30 km
E) 42 km
C) 36 km
elevación Φ. Si la distancia entre A y B es d, ¿a qué es
igual la altura?
B)
N y el segundo con dirección
C)
NO
D)
O. Si ambos avanzan la misma distancia, indique
usted en qué dirección se encuentra A respecto a B
A) E
NE
B) NE
S
E) NE
D) SO
E
C) O
SO
23. Un móvil se desplaza 40 km según la dirección S60°O
con respecto a un punto inicial. Luego se desplaza 20
km según la dirección N60°O. Hallar el
desplazamiento total con respecto a su nueva
ubicación
A) 10
km
D) 20
km
B) 15
km C) 20
E) 25
km
km
24. Un barco sale en dirección NE a una velocidad de 10
m/s. Luego de transcurrir
segundos se dirige hacia
el norte con la misma rapidez durante 3 segundos.
¿En qué dirección está el barco al final del recorrido
respecto al punto de partida?
A) N37°E
B) N58°E
D) N
E) NArcTg
E
C) N
E
E
25. Adrián y Jaime, salen de sus casas siguiendo dos
rumbos E37°N y EθN(θ>45°) respectivamente. Para
encontrarse en una tienda, caminan después hacia el
este una distancia de 44(8 +7) metros retornando
luego cada uno a su casa, pero ahora con rumbos de
O16°S y O30°S. ¿Qué distancia los separaba
inicialmente si la casa de Adrián se encuentra al norte
de la de Jaime?
A) 220 m
B) 329 m
C) 429 m
D) 529 m
E) 829 m
26. Desde lo alto de un acantilado se observa en la
dirección O(90°-α)S a una boya bajo un ángulo de
depresión de 45° y en la dirección EαS a un bote bajo
un ángulo de depresión de 30°. Si la distancia que
separa a la boya y el bote a 80 m, calcular la altura del
acantilado
A) 10 m
B) 10
m C) 20 m
D) 40 m
E) 40
m
27. Dos estaciones de radar A y B tienen que calcular la
altura de un avión por ubicación simultánea. De A se
ve en la dirección N
3
NO con un ángulo de
A)
22. Dos móviles A y B parten del mismo punto, el primero
con dirección NE
θ, de B se ve en la dirección O
NE con un ángulo de elevación
E)
28. Un muchacho ubicado en la azotea de un edificio
observa los ojos de una chica con un ángulo de
depresión “θ”, al oeste del edificio de 2
m de altura,
luego el muchacho observa a la misma chica al sur del
edificio con una depresión angular de 60°. Calcular
“Ctgθ”, si la chica mide
m y se ha desplazado una
distancia de 2
m
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
E) 5
29. Un hombre que está al sur de un faro observa que su
sombra proyectada por la luz del faro tiene 4 m de
longitud, caminando 60 m hacia el oeste, observa que
su sombra es de 5 m de longitud. Si la persona mide
1 m, hallar la altura del faro
A) 18 m
D) 21 m
B) 19 m
E) 22 m
C) 20 m
30. Desde un puerto “P” se observa a un bote en la
dirección S15°E a
km de distancia. Este bote
está navegando a una velocidad uniforme de 2 km/h
con rumbo N30°O. ¿Qué tiempo debe transcurrir,
después de la primera observación para que el bote
esté lo más cerca al puerto?
A) 01 h 33 min B) 01 h 15 min
C) 01 h 52 min
D) 02 h 52 min E) 02 h 33 min
4