1 Vibraciones amortiguadas libres . E: Un resorte de 21 cm alcanza

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Vibraciones amortiguadas libres .
E: Un resorte de 21 cm alcanza 30:8 cm después de colgarle una masa de 250 g. El medio por
el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 3 veces la velocidad
instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento, si la masa se libera de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 2 m/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza
su desplazamiento extremo, ¿cuál es la posición de la masa en ese instante?
D: H De acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es
mg
0:25.9:8/
D
D 25 N/m:
x
0:308 0:21
De forma que la ecuación diferencial que modela la posición x.t/ de la masa es
kD
0:25x 00 .t/ C 3x 0 .t/ C 25x.t/ D 0:
La ecuación característica asociada es
0:25r 2 C 3r C 25 D 0I
aplicando la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas resulta:
p
3 ˙ 9 4.0:25/.25/
D 6 ˙ 8i:
rD
0:5
De acuerdo con esto, la solución general de la ED es
x.t/ D c1 e
6t
cos 8t C c2 e
6t
sen 8t:
Sabemos que la masa parte de la posición de equilibrio, x.0/ D 0, lo que implica que c1 D 0,
por lo que
x.t/ D c2 e 6t sen 8t:
Derivando la posición obtenemos la velocidad:
v.t/ D 8c2 e
6t
cos 8t
6c2 e
6t
sen 8t:
Usando ahora la condición v.0/ D 2, tenemos que 2 D 8c2 , por lo cual c2 D 1=4. Finalmente, la
posición y la velocidad están dadas por
1
x.t/ D e 6t sen 8t mI
4
3 6t
v.t/ D 2e 6t cos 8t
e sen 8t m/s.
2
Por otra parte, el desplazamiento extremo se tiene en el primer instante en que v.t/ D 0:
3 6t
3
4
2e 6t cos 8t
e sen 8t D 0 ) sen 8t D 2 cos 8t ) tan 8t D :
2
2
3
Es decir, el tiempo para que la masa empiece a regresar es
1
4
t D arctan
D 0:1159 s.
8
3
La posición en ese instante es
x.0:1159/ D 0:0998 m:
6. canek.azc.uam.mx: 16/ 12/ 2010