Evaluación B (resuelto)

Ampliación de Matemáticas
Primera prueba de evaluación
1. Comprueba que y = C1 x + C2 x ln x es una familia de soluciones de la ecuación x2 y 00 − xy 0 + y = 0.
Solución
Se tiene
y 0 = C1 + C2 (1 + ln x)
e
y 00 =
C2
x
Por tanto,
x2 y 00 − xy 0 + y = C2 x − C1 x − C2 x(1 + ln x) + C1 x + C2 x ln x = 0
2. Comprueba que y = C1 +C2 cos x+C3 sen x es una familia de soluciones de la ecuación y 000 +y 0 = 0.
Solución
Derivando,
y 0 = −C2 sen x + C3 cos x,
y 00 = −C2 cos x − C3 sin x
e
y 000 = C2 sen x − C3 cos x
Luego
y 000 + y 0 = C2 sen x − C3 cos x − C2 sen x + C3 cos x = 0
3. Calcula el miembro de la familia y = C1 + C2 cos x + C3 sen x que sea solución del problema de
valor inicial:
½ 000
y + y0 = 0
y(π) = 0,
y 0 (π) = 2, y 00 (π) = −1
Solución
Se tiene (véase el problema 2)
y(π) =
y 0 (π) =
y 00 (π) =
C1 − C2
−C3
C2
Luego debe ser
C1 − C2
−C3
C2
= 0
= 2
= −1
de forma que C1 = C2 = −1 y C3 = −2.
4. La figura muestra las gráficas de tres miembros de una familia de soluciones de la ecuación diferencial y 00 = f (x, y, y 0 ):
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Determina la correspondencia de cada curva solución con las condiciones adecuadas. (Razona las
respuestas).
a) y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
b) y(0) = 0, y(1) = 0.
c) y(0) = 0, y 0 (0) = 2.
Solución
a) La curva de color negro. Como se aprecia, la curva es tangente al eje X en x = 0. Por lo tanto,
y 0 (0) = 0.
b) La curva de color verde. Corta al eje X en x = 1. Por lo tanto, y(1) = 0.
c) La curva de color rojo. La derivada en x = 0 es positiva. Más precisamente y 0 (0) = 2.
5. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó en un 3 %. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera, proporcional a la
cantidad de sustancia en dicho instante, plantea el modelo que determine la cantidad de sustancia
existente en cualquier instante.
Solución
Llamemos x(t) a la cantidad de sustancia en un instante t (medido en horas) Entonces
dx
= kx
dt
con x(0) = 100 y x(6) = 97.
6. Comprueba que −2x2 y + y 2 = 1 es solución implícita de la ecuación 2xy dx + (x2 − y) dy = 0.
Solución
Derivando implíctamente, se tiene
−4xy − 2x2 y 0 + 2yy 0 = 0
o también, multiplicando por -1 y reordenando
2xy + (x2 − y)y 0 = 0
que podemos escribir en la forma
2xydx + (x2 − y)dy = 0