bloque ii: ecuaciones diferenciales tema 6: sistemas de ecuaciones

BLOQUE II: ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
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INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS
En el estudio de las ciencias e ingenierı́a de desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos fı́sicos. Estos modelos a
menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una
función incógnita. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación
diferencial:
Definición 1.1 Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de
una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.
Usualmente se utiliza la notación y(x) para denotar a la función incógnita
que deseamos hallar. En este caso, x será la variable independiente mientras que y denota la variable dependiente. Algunos ejemplos sencillos de
ecuaciones diferenciales son los siguientes:
y 00 (x) = y(x),
dy = dx
o
y 0 (x) = x,
dy
siempre teniendo en cuenta que y 0 (x) = dx
.
Es importante aclarar que a menudo, y a fin de simplificar la notación,
escribiremos simplemente y para referirnos a y(x) o y 0 para referirnos a y 0 (x).
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las tres propiedades
siguientes:
• Clasificación según el tipo. Si una ecuación contiene sólo derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una
sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación
diferencial ordinaria. Por ejemplo,
y 0 (x) − 5y(x) = 1
y
du dv
−
=x
dx dx
son ecuaciones diferencial ordinarias. Una ecuación que contiene las
derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más
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variables independientes se llama ecuación diferencial parcial. Por
ejemplo,
∂u
∂v
∂2u
∂2u
∂u
=−
y
=
−2
2
2
∂y
∂x
∂x
∂t
∂t
son ecuaciones diferenciales parciales.
• Clasificación según el orden. El orden de la más alta derivada en
una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo,
d2 y
+5
dx2
dy
dx
3
− 4y = x
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la
ecuación diferencial x2 dy + xdx = 0 puede llevarse a la forma
x2
dy
+y =0
dx
dividiendo entre dx, es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de
primer orden. La ecuación
a2
∂4u ∂2u
+ 2 =0
∂x4
∂t
es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige
una buena base en la teorı́a de ecuaciones diferenciales ordinarias. En
consecuencia, a partir de ahora consideraremos exclusivamente ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Clasificación según la linealidad o no linealidad. Se dice que
una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma
an (x)
dn y
dn−1 y
dy
+
a
(x)
+ ... + a1 (x)
+ a0 (x)y = g(x).
n−1
dxn
dxn−1
dx
Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:
a) la variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de
primer grado, esto es, la potencia de cada término en y es 1; y
b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.
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Una ecuación que no es lineal se dice no lineal. Ası́
xdy + ydx = 0,
y 00 − 2y 0 + y = 0
y
2
d3 y
dy
2d y
−
x
+ 3x
+ 5y = ex
3
2
dx
dx
dx
son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primero, segundo y
tercer orden, respectivamente. Por otra parte,
x3
yy 00 − 2y 0 = x
y
d3 y
+ y2 = 0
dx3
son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo y tercer
orden, respectivamente.
Ante una ecuación diferencial, la meta debe de ser siempre intentar resolverla, es decir, encontrar sus soluciones.
Definición 1.2 Se dice que una función f cualquiera es solución de una
ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce
a una identidad.
Ejemplo 1.3 La función y = x4 /16 es una solución de la ecuación no lineal
dy
− xy 1/2 = 0.
dx
Para comprobarlo, observemos que
y0 =
dy
x3
x3
=4
=
,
dx
16
4
y por tanto
dy
x3
− xy 1/2 =
−x
dx
4
x4
16
para todo número real.
3
1/2
=
x3 x3
−
=0
4
4
Ejemplo 1.4 La función y = xex es solución de la ecuación lineal
y 00 − 2y 0 + y = 0.
De hecho, se observa inmediatamente que
y 0 = xex + ex
y
y 00 = xex + 2ex ,
y por tanto
y 00 − 2y 0 + y = xex + 2ex − 2(xex + ex ) + xex = 0
para todo número real.
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