las familias de distribuciones beta de varianza constante y

LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA
CONSTANTE Y MESOCÚRTICAS EN EL MÉTODO PERT
RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO
EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ
JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES
JOSÉ M ANUEL HERRERÍAS VELASCO
Universidad de Granada
1. INTRODUCCIÓN
Es suficientemente conocido el papel tan importante que juega la distribución
beta en el método PERT, debido a su facilidad de adaptarse a situaciones reales
en ambiente de incertidumbre, que se transforman en ambiente de riesgo
mediante el concurso de tres estimaciones subjetivas sobre el menor (a), el
mayor (b) y el valor modal (m) de la variable objeto de estudio: duración de una
actividad, T, flujo de caja de una inversión, Q, etc. Además, se une a lo anterior
una facilidad de cálculo de las características estocásticas de la variable que
modeliza el fenómeno real de interés, a saber, (Véase p.e. Hillier-Lieberman):
(b − a ) 2
a + 4m + b
2
µ=
σ =
(1)
36
6
Hace aproximadamente una década, Herrerías(1989) y (1992) obtuvo,
utilizando la clásica ecuación diferencial de Pearson (véase p.e. EldertonJohnson), un sistema de modelos probabilísticos que permiten una ponderación
variable para el valor modal en la expresión de la media (1). Desde la pregunta
de Sasieni (1986) ya se aboga por este tipo de distribuciones como modelos
probabilísticos para el método PERT.
Las características estocásticas de estos modelos, una vez que se estandariza
su recorrido al intervalo [0,1], mediante el cambio de variable:
x−a
z=
(2)
b−a
donde a y b son, respectivamente los valores menor y mayor del recorrido de la
variable X, son los siguientes (Véase Dumas de Rauly, 1968):
p
1 + k m0
µ=
=
(3)
p+q
k+2
con
Índice
Índice de autores
178
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
m −a
b−a
(1 + k m0 )[1 + k (1− m 0 )]
pq
σ2 =
=
2
( p + q + 1)( p + q )
(k + 2) 2 (k + 3)
m0 =
(4)
donde se ha hecho uso de la parametrización introducida por Gallagher para la
distribución beta de parámetros p y q, siendo:
p = 1 + k m0
q = 1 + k (1 − m 0 )
(5)
por lo que en consecuencia
p+q= k +2
(6)
Por otra parte, los coeficientes de Fisher de asimetría y curtosis son
respectivamente:
γ1 =
γ2 =
µ4
µ22
µ22
µ32 2
−3= 6
siendo
µ4
µ3
=
=
2( q − p ) p + q + 1
(7)
pq ( p + q + 2 )
p ( p + 1)( p − 2 q ) + q ( q + 1)( q − 2 p )
pq ( p + q + 2 )( p + q + 3 )
[
3( p + q + 1) 2 ( p + q ) 2 + pq ( p + q − 6)
pq( p + q + 2 )( p + q + 3)
(8)
]
Índice
deduciéndose el signo de la asimetría según sean p y q:
p > q ⇔ γ1 < 0 ⇔ Asimetría a la izquierda ⇔ m 0 > 1 2
p<q
⇔ γ1 > 0
⇔ Asimetría a la derecha
p=q
⇔
⇔
γ1 = 0
2. LA FAMILIA
CONSTANTE
DE
Caso simétrico
DISTRIBUCIONES
⇔
⇔
m0 < 1 2
m0 = 1 2
BETA
DE
VARIANZA
Definición 1
Se dice que una distribución beta es de varianza constante si, una vez
estandarizado el recorrido de la variable en el intervalo [0,1], su varianza es
1 36 .
Teorema 1
Dada una distribución beta de varianza constante, el intervalo posible para
la constante de integración es (2,872265877864803, 6].
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
179
Demostración:
Igualando la expresión (4) de σ 2 a 1 36 se obtiene la siguiente ecuación:
m 02 − m 0 +
que determina unos valores de
( k + 2) 2 ( k + 3 )
36 k 2
−
k +1
k2
=0
(9)
m0 dados por
1 k+2
±
6−k
(10)
2
6k
tiene que estar en el intervalo [0,1], esto sólo es posible
m0 =
como quiera que m 0
para k perteneciente al intervalo (2,872265877864803, 6], puesto que:
a) k debe de ser menor o igual que seis para que m 0 sea real
b)
k+2
1
6 −k ≤
o lo que es equivalente k 3 + 7 k 2 − 20 k − 24 ≥ 0
6k
2
Esta última ecuación cúbica presenta dos permanencias y una variación en
los signos de los coeficientes, por lo que sólo tiene una raíz positiva, que es,
aproximadamente, k=2,872265877864803, con lo queda demostrada la tesis
del teorema.
Corolario 1
Los modelos de varianza constante y ponderación entera de la moda se
reducen a los que se obtienen para K=3, 4, 5 y 6.
3. ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE VARIANZA CONSTANTE Y
PONDERACIÓN ENTERA VARIABLE
Cabe preguntarse si para los valores de k reseñados en el corolario 1 y para
cualquier valor modal estandarizado suministrado por el experto, el valor exacto
de σ 2 dado por (4), puede aproximarse por 1 36 .
Véase lo que ocurre para los sucesivos valores de k y algunos valores
representativos de m 0
3.1 Para k=3 y para los distintos valores señalados de m 0 , se tiene que:
m0
0
1 5 3
−
2 18
0,25
0,5
0,75
1 5 3
+
2 18
1
σ 2 (m 0 )
24 1
25 36
1
36
273 1
200 36
3 1
2 36
273 1
200 36
1
36
24 1
25 36
Índice
Índice de autores
180
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
Así que el error que se comete, al usar siempre 1 36 para la varianza es
1 1
1
, que se produce para m 0 = . Observándose que en
2 36
2
 1 5 3


 y en  1 + 5 3 ,1 el error es por defecto, mientras que en
0, −


 2 18 
 2 18 
1 5 3 1 5 3
 −
 es por exceso.
, +
2
18 2
18 

menor que
3.2 Para k=4 y para los distintos valores señalados de
m0
0
σ 2 (m 0 )
5 1
7 36
1
2
−
2
4
1
36
m0 , se tiene que:
0,25
0,5
0,75
8 1
7 36
9 1
7 36
8 1
7 36
1
2
+
2
4
1
36
1
5 1
7 36
Así que el error que se comete, al usar siempre 1 36 para la varianza es
menor que
2 1
1
, que se produce para m 0 = , 0 y 1 .
7 36
2
Índice
 1
 1
2 
2 
Observándose que en 0, −
y en  +
,1 el error es por defecto,
 2
4 
4 
 2

1
2 1
2 
mientras que en  −
, +
es por exceso.
2
4 2
4 

En este caso se aprecia también que si m 0 está próximo al centro del
intervalo [0,1], el modelo clásico del PERT (1), funciona bien, ya que la σ 2
será ligeramente mayor que 1 36 para valores de m 0 que estén en el
1
2 1
2 
intervalo  −
, +
.
2
4 2
4 

En particular si m 0 ∈ [0, 25 , 0 ,75 ] , el error está comprendido entre un séptimo
y dos séptimos de 1 36 , siendo σ 2 ligeramente inferior que 1 36 para los
valores de m 0 que estén en el interior de los intervalos
 1
2 
y
0, −
4 
 2
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
 1
 + 2
 2
4


,1 , coincidiendo con 1 36 en el caso de que

181
m0 sea igual a
1
2
±
.
2
4
3.3 Para k=5 y para los distintos valores señalados de
m0
0
0,25
σ 2 (m 0 )
27 1
49 36
1539 1
1568 36
1 7
−
2 30
1
36
0,5
441 1
392 36
m0 , se tiene que:
1 7
+
2 30
1
36
0,75
1
1539 1
1568 36
27 1
49 36
Así que el error que se comete, al usar siempre 1 36 para la varianza es
1
43 1
, que se produce para m 0 = . Observándose que en
2
104 36
 1 7 
1 7 
0, 2 − 30  y en  2 + 30 ,1 el error es por defecto, mientras que en




menor que
1 7 1 7 
, +
 −
 es por exceso.
 2 30 2 30 
Índice
3.4 Para k=5 y para los distintos valores señalados de
m0 , se tiene que:
m0
0
0,25
0,5
0,75
1
σ (m0 )
7 1
16 36
55 1
64 36
1
36
55 1
64 36
7 1
16 36
2
Así que el error que se comete, al usar siempre 1 36 para la varianza es
9 1
, y este se produce en los extremos del intervalo.
16 36
Observándose que siempre el error es por defecto, salvo cuando coincide en
m0 = 1 2 .
menor que
En el Anexo 1 se han dibujado las correspondientes gráficas de
σ (m0 ) según los valores de k.
De todo lo anterior se deduce:
a) Que el mayor valor para σ 2 (m0 ) se alcanza en todos los modelos cuando
2
m 0 = 1 2 , que corresponde con el caso simétrico.
Índice de autores
182
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
b) Que el error para las colas es por defecto para los distintos modelos k = 3, 4,
5 y 6.
1 1
c) Que el error menor para las colas lo tiene el modelo para k=3:
.
25 36
d) En conjunto, el modelo que da menor error para todo el recorrido de m 0 es el
correspondiente a k=4.
A continuación se da un procedimiento para obtener la constante de
ponderación, k, adecuada para que el modelo sea de varianza constante.
4. REGLA EMPÍRICA
De acuerdo con las tablas que dan el valor de σ 2 en función de m 0 puede
darse una regla empírica para utilizar un k determinado de acuerdo con el m 0
estimado por el experto, de manera que σ 2 sea, aproximadamente 1 36 .
Dado un valor modal por el experto, se estandariza y se le resta 1 2 , para
finalmente
igualarlo,
sin
tener
en
cuenta
su
signo,
a
k+2
1
*
6 − k = m 0 = m 0 − ; con lo que se obtendrá el valor de k.
6k
2
Para facilitar la resolución de la ecuación cúbica resultante, lo que hacemos
es construir una tabla desde 2,872265877864803 hasta 6, para los valores de
k+2
6 − k , con lo que dado el m0* , se dice cuál es su correspondiente k.
6k
(Véase anexo 2, construido con el programa Mathematica, versión 2.2). De
manera que si m0* > 0 ⇔ m0 > 1 2 ⇔ p > q , por el contrario si
m0* < 0 ⇔ m0 < 1 2 ⇔ p < q , siendo p y q los dados por (5) y a partir de ellos,
queda perfectamente identificada la distribución beta y pueden obtenerse las
características estocásticas que interesen, utilizando (3), (4), (7) y (8).
5. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA MESOCÚRTICAS
Definición 2
Se dice que una distribución beta es mesocúrtica si su coeficiente de curtosis
de Fisher es cero.
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
183
Teorema 2
Dada una distribución beta mesocúrtica, el intervalo posible para la
constante de ponderación, k, es (1,8557725066 35989 , ∞ ) .
Demostración:
Igualando la expresión (8) del coeficiente de curtosis a cero,
2
m0 − m0 +
que determina unos valores de
m0 =
Si k → ∞ ⇒ m 0 =
1 1
±
2 2
Como quiera que
(k + 2)2 (k + 3) − k + 1 = 0
k 2 (5k + 16 )
k2
µ4
µ22
= 3,
(11)
m0 dados por :
1 k +2
±
2
2k
k +4
5 k + 16
(12)
1 1
= ± 0, 2236067977 49979
5 2
m0 tiene que estar en [0,1], esto sólo es posible si
k ∈ (1,8557725066 35989 , ∞ ) , ya que son los valores de k que hacen que
k+ 2 k +4
1
≤ ⇔ k 3 + 2 k 2 − 5 k − 4 ≥ 0 , que tiene una sola raíz positiva
2k
5 k + 16 2
que es 1,8557725066 35989 , que será el menor valor de k posible.
6. ANÁLISIS DE LOS MODELOS MESOCÚRTICOS Y PONDERACIÓN
ENTERA VARIABLE
k +4
una función decreciente para k>0, se tiene que para
5k + 16
k = 1,855772506635989 , m 0 está en uno de los extremos del intervalo [0,1] y,
Por ser
k +2
2k
1
± 0, 2236067977 49979 .
2
Luego sólo se puede encontrar una solución de k coherente (que sea positiva)
para k → ∞ ,se tiene que m 0 =
si:
m 0 ∉ (0, 2763932022 50021 , 0, 7236067977 49979 )
(13)
para que el modelo beta sea mesocúrtico. En otro caso es imposible determinar
una k positiva. (Véase Herrerías y Pérez 1997).
En el caso que interesen que los modelos mesocúrticos tengan una
ponderación entera para el valor modal, que sea la que se consideró en los
Índice
Índice de autores
184
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
modelos de varianza constante, sólo habrá que analizar aquellos que se obtienen
para k=3, 4, 5 y 6.
1. Para k=3, se tiene que m 0 = 1 ± 5
7
es decir que
2 6 31
m 0 = 0 ,1040075305 73757 ó m 0 = 0 ,8959924694 26243 .
2. Para k=4, se tiene que m 0 = 1 ± 6
8
es decir que
2 8 36
m 0 = 0 ,1464466094 06726 ó m 0 = 0 ,8535533905 93274 .
3. Para k=5, se tiene que m 0 = 1 ± 7
9
es decir que
2 10 41
m 0 = 0 ,1720351000 33927 ó m 0 = 0 ,8279648999 66073 .
4. Para k=6, se tiene que m 0 = 1 ± 8
10
es decir que
2 12 46
m 0 = 0 ,1891650639 19895 ó m 0 = 0 ,8108349360 80105 .
Obsérvese que todos los
m0 están fuera del intervalo señalado en (13).
Amp liando el recorrido de k se tiene:
5. Para k=2, se tiene que m 0 = 1 ±
6
es decir que
2
26
m 0 = 0 ,0196155385 84739 ó m 0 = 0 ,9803844614 15261 .
6. Para k=7, se tiene que m 0 = 1 ± 9 11 es decir que
2 14 51
m 0 = 0 ,2014440517 06042 ó m 0 = 0 ,7985559482 93958 .
7. Para k=8, se tiene que m 0 = 1 ± 10 12 es decir que
2 16 56
m 0 = 0 ,2106812188 21078 ó m 0 = 0 ,7893187811 78922 .
8. Para k=9, se tiene que m 0 = 1 ± 11 13 es decir que
2 18 61
m 0 = 0 ,2178845059 31483 ó m 0 = 0 ,7821154940 68517 .
9. Para k=10, se tiene que m 0 = 1 ± 12 14 es decir que
2 20 66
m 0 = 0 ,2236602881 16897 ó m 0 = 0 ,7763397118 83103 .
Nótese que en estos casos también los m 0 verifican (13).
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
185
Teorema 3
La intersección de las familias de varianza constante y mesocúrticas, con
una misma moda estimada subjetivamente, no es vacía. El modelo resultante es
el de ponderación entera k=4.
Demostración:
Igualando las expresiones (10) y (12) que determinan la moda en los casos de
varianza constante mesocúrtica, respectivamente, tenemos:
4
k+2
k +2 k +4
6−k
k +4
6−k =
⇒
=
⇔ k 2 − k − 12 = 0 ⇔ k = 
6k
2k
5 k + 16
9
5 k + 16
− 3
La solución k=-3 no es coherente con la interpretación de k como
ponderación del valor modal y no se considera.
Cabe preguntarse cómo afecta a los parámetros p y q de las distribuciones
beta las propiedades de varianza constante y mesocurticidad.
pq
a) Como σ 2 =
, cuando se iguala a 1 36 , se tiene:
( p + q + 1)( p + q ) 2
pq =
(k + 3)( k + 2) 2
,
36
luego las soluciones de la ecuación
2
x − ( k + 2) x +
(k + 3)( k + 2) 2
=0
36
Índice
serán los valores de p y q
k+ 2 k+2
±
6−k ,
2
6
expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo puede ser 3, 4, 5 y 6,
ya que para k=2, una de las constantes, p ó q sería menor que uno, con lo que la
distribución beta no sería unimodal y para k>6 los valores serían imaginarios.
b) Como
x=
[
(
3 pq pq( p + q − 2 ) + 2 p 2 + q 2
µ4
µ22
µ4
µ22
y como
)]
( p + q ) ( p + q + 1)( p + q + 2)( p + q + 3)
( pq )2
( p + q + 1) 2 ( p + q )4
3( p + q + 1)[ pq( p + q − 2 ) + 2( p 2 + q 2 )]
=
pq ( p + q + 2 )( p + q + 3 )
4
=
(
)
pq ( p + q − 2 ) + 2 p 2 + q 2 = ( p + q )2 + pq( p + q − 6 )
Índice de autores
186
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
se tienen que, para que sea mesocúrtico el modelo probabilístico, basta con que:
( p + q + 1)[pq( p + q − 6) + 2( p + q )2 ]=
pq ( p + q + 2 )( p + q + 3)
que puede expresarse usando p + q = k + 2 , de la siguiente forma:
(k + 3)[pq(k − 4) + 2(k + 2)2 ] = pq(k + 4)(k + 5)
luego:
2 (k + 2 ) (k + 3 )
(k + 2) (k + 3)
=
− (k + 3 )(k − 4 ) + (k + 4 )(k + 5)
5k + 16
por lo que las soluciones de la ecuación:
2
pq =
2
x − (k + 2 )x +
2
(14)
(k + 2)2 (k + 3) = 0
5 k + 16
serán los valores de p y q:
x=
(k + 2) ± ( k + 2)
k +4
5 k + 16
2
expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo es válida a partir de
k=2 ya que, para k=1 una de las constantes p ó q sería menor que uno, con lo
que la distribución beta no sería unimodal.
Para que la distribución beta sea mesocúrtica y de varianza constante
simultáneamente debe ocurrir que:
(k + 2) 2 (k + 3) = (k + 2)2 (k + 3) ⇒ k = 4
5k + 16
36
resultado que corrobora el Teorema 3 anterior.
Como consecuencia de (14),se tiene:
i) La varianza de los modelos mesocúrticos estandarizados es
1
2
σ =
5k + 16
tomando su mayor valor cuando k=1,855772506635989
y por tanto σ 2 =0,0395434701127285.
ii) La media de los modelos mesocúrticos estandarizados es:
(k + 2) ± (k + 2) k + 4
p
5 k + 16
µ=
=
p +q
2( k + 2 )
µ=
1 1
±
2 2
k +4
5 k + 16
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
7. CARACTERÍSTICAS DEL PRODUCTO
a)
pq
Modelos de varianza constante, σ 2 = 1 36 , entonces:
(k + 2)2 (k + 3)
1
con µ = ±
36
2
b) Modelos mesocúrticos, γ 2 = 0 , entonces:
pq =
(k + 2)2 (k + 3)
1
con σ 2 =
5 k + 16
5k + 16
Modelo clásico, k=4, entonces:
pq =
c)
187
pq = 7
con σ 2 =
1
36
y µ=
y µ=
6−k
6
1 1
k +4
±
2 2 5 k + 16
1
2 3± 2
p
±
=
=
2
6
6
p+q
En este orden de ideas se encuentra también el siguiente resultado:
Si la distribución beta es de varianza constante y mesocúrtica, entonces la
distribución beta es de parámetros p = 3 ± 2 y q = 3 m 2 , según sea la
asimetría. En efecto, si la distribución es de varianza constante y mesocúrtica,
1
2
±
, por lo que
2
4
p = 1 + k m0 = 3 ± 2 y q = 1 + k (1 − m 0 ) = 3 m 2 c.q.d.
entonces k=4 , y por tanto, su moda será m 0 =
(
)(
)
Como consecuencia de ello se tiene que pq = 3 + 2 3 − 2 = 7
La forma de actuar será: dado el valor estandarizado de la moda, estimado
subjetivamente, se le resta 0,5 y con el número resultante se determina la
ponderación de k en los anexos 2 y/o 3. Es conveniente considerar aquella k que
sea menor, ya que así la varianza será mayor y los resultados no serán
excesivamente optimistas.
8. CONCLUSIONES
•
•
•
Los modelos mesocúrticos son más flexibles que los de varianza constante,
debido a que admiten ponderaciones enteras desde 2 hasta infinito, mientras
que los de varianza constante sólo admiten ponderaciones entre 3 y 6.
El modelo mesocúrtico de k=4, coincide con el de varianza constante para
la misma ponderación
Los modelos mesocúrticos no admiten modelos simétricos, por ello la
moda estimada por el experto no puede estar centrada sobre 0,5,ya que el
valor más pequeño de m *0 = m0 − 0,5 es
Índice
Índice de autores
188
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
1 1
= 0 ,2236067977 49979
2 5
Igualando las expresiones (10) y (12), se tiene que para la misma m 0 , al
m 0* =
•
modelo mesocúrtico corresponde un k mayor si k>4 y un k menor si
1
2
*
±
⇔ m 0 = 0,3535533905 93274 .
2
4
Luego se utilizarán los modelos mesocúrticos para valores de k<4 y los de
varianza constante para los valores de k>4.
k<4,siendo k=4 para m 0 =
BIBLIOGRAFÍA
DUMAS DE RAULY, D. (1968). L’estimation statistique. Gauthier-Villars
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Artículo defendido en la II Reunión Científica: Selección, Evaluación y Control de
Proyectos, celebrada en 1999 en Córdoba. Publicado en el libro titulado “Selección y
Evaluación de Proyectos: Fundamentos Básicos”, capítulo 2, pp. 31-57. Servicio de
Publicaciones de la Universidad de Almería .
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
189
ANEXO 1
2
σ ( m0 )
2
σ ( m0 )
k=3
0,042
k=4
0,035
0,04
0,038
0,0325
0,036
0,03
0,034
σ
2
( m0 ) = 1 3 6
0,0275
0,032
2
σ ( m0 ) = 1 36
0,03
0,025
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,028
0,0225
0,026
0
0,2
0,4
2
σ (m 0 )
0,6
0,8
1
0,02
σ 2 (m 0 )
k=5
0,035
k=6
0,0275
0,0325
0,025
0,03
0,0275
0
0,0225
0,025 0
0,2
0,0225
0,4
0,6
0,8
1
0,2
0,4
0,6
0,8
2
σ ( m0 ) = 1 3 6
0,02
2
σ ( m 0 ) = 1 36
0,0175
0,02
0,0175
0,015
0,015
0,0125
Índice
σ (m0 )
2
0,04
0,035
0,03
0,025
2
σ ( m 0 ) = 1 36
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
k=3
0,02
0,015
0,01
1
k=4
k=5
k=6
Índice de autores
190
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
ANEXO 2
m *0
k
m *0
k
m *0
k
0,000
6
0,030
5,9818026896483
0,060
5,9275435195834
0,001
5,9999797500342
0,031
5,9805713211348
0,061
5,9251236076530
0,002
5,9999190005468
0,032
5,9792998471534
0,062
5,9226647272689
0,003
5,9998177527679
0,033
5,9779882935910
0,063
5,9201669292400
0,004
5,9996760087480
0,034
5,9766366871595
0,064
5,9176302651945
0,005
5,9994937713576
0,035
5,9752450553965
0,065
5,9150547876229
0,006
5,9992710442874
0,036
5,9738134266653
0,066
5,9124405498375
0,007
5,9990078320484
0,037
5,9723418301556
0,067
5,9097876059928
0,008
5,9987041399711
0,038
5,9708302958834
0,068
5,9070960110820
0,009
5,9983599742093
0,039
5,9692788546920
0,069
5,9043658209379
0,010
5,9979753417332
0,040
5,9676875382502
0,070
5,9015970922326
0,011
5,9975502503359
0,041
5,9660563790571
0,071
5,8987898824787
0,012
5,9970847086310
0,042
5,9643854104377
0,072
5,8959442500289
0,013
5,9965787260524
0,043
5,9626746665458
0,073
5,8930602540773
0,014
5,9960323128551
0,044
5,9609241823640
0,074
5,8901379546593
0,015
5,9954454801151
0,045
5,9591339937036
0,075
5,8871774126521
0,016
5,9948182397293
0,046
5,9573041372057
0,076
5,8841786897753
0,017
5,9941506044163
0,047
5,9554346503408
0,077
5,8811418485913
0,018
5,9934425877157
0,048
5,9535255714099
0,078
5,8780669525053
0,019
5,9926942039891
0,049
5,9515769395440
0,079
5,8749540657664
0,020
5,9919054684195
0,050
5,9495887947065
0,080
5,8718032534676
0,021
5,9910763970122
0,051
5,9475611776904
0,081
5,8686145815462
0,022
5,9902070065946
0,052
5,9454941301216
0,082
5,8653881167843
0,023
5,9892973146183
0,053
5,9433876944580
0,083
5,8621239268093
0,024
5,9883473401496
0,054
5,9412419139901
0,084
5,8588220800940
0,025
5,9873571018897
0,055
5,9390568328415
0,085
5,8554826459573
0,026
5,9863266201547
0,056
5,9368324959693
0,086
5,8521056945642
0,027
5,9852559158862
0,057
5,9345689491645
0,087
5,8486912969266
0,028
5,9841450108491
0,058
5,9322662390530
0,088
5,8452395224903
0,029
5,9829939276321
0,059
5,9299244130937
0,089
5,8417504512009
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
m *0
k
m *0
k
191
m *0
k
0,090
5,8382241493700
0,120
5,7155236088599
0,150
5,5618067726712
0,091
5,8346606938220
0,121
5,7108843549603
0,151
5,5561824020723
0,092
5,8310601597981
0,122
5,7062106756265
0,093
5,8274226234005
0,123
0,094
5,8237481615775
0,095
5,8200368521263
0,096
0,152
5,5505270224493
5,7015026724876
0,153
5,5448407606509
0,124
5,6967604480229
0,154
5,5391237443504
0,125
5,6919841055614
0,155
5,5333761020438
5,8162887736941
0,126
5,6871737492814
0,156
5,5275979630487
0,097
5,8125010057775
0,127
5,6823294842102
0,157
5,5217894575021
0,098
5,8086826287224
0,128
5,6774514162237
0,158
5,5159507163590
0,099
5,8048247237292
0,129
5,6725396520459
0,159
5,5100818713908
0,100
5,8009303728422
0,130
5,6675942992484
0,160
5,5041830551830
0,101
5,7969996589609
0,131
5,6626154662501
0,161
5,4982544011347
0,102
5,7930326658347
0,132
5,6576032623163
0,162
5,4922960434540
0,103
5,7890294780640
0,133
5,6525577975583
0,163
5,4863081171590
0,104
5,7849901811003
0,134
5,6474791829300
0,164
5,4802907580741
0,105
5,7809148612467
0,135
5,6423675302415
0,165
5,4742441028282
0,106
5,7768036056578
0,136
5,6372229521295
0,166
5,4681682888526
0,107
5,7726565023396
0,137
5,6320455620858
0,167
5,4620634543792
0,108
5,7684736401500
0,138
5,6268354744420
0,168
5,4559297384374
0,109
5,7642551087986
0,139
5,6215928043701
0,169
5,4497672808525
0,110
5,7600009988469
0,140
5,6163176678850
0,170
5,4435764444430
0,111
5,7557114017081
0,141
5,6110101818402
0,171
5,4373567040184
0,112
5,7513864096473
0,142
5,6056704639287
0,172
5,4311088683762
0,113
5,7470261157815
0,143
5,6002986326816
0,173
5,4248328582996
0,114
5,7426306240794
0,144
5,5948948074670
0,174
5,4185288175550
0,115
5,7381999998315
0,145
5,5894591084889
0,175
5,4121968906891
0,116
5,7337343673000
0,146
5,5839916567865
0,176
5,4058372230262
0,117
5,7292338144183
0,147
5,5784925742326
0,177
5,3994499606651
0,118
5,7246984380917
0,148
5,5729619835325
0,178
5,3930352504768
0,119
5,7201283365464
0,149
5,5674000082232
0,179
5,3865932401007
Índice
Índice de autores
192
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
m *0
k
m *0
k
m *0
K
0,180
5,3801240779421
0,210
5,1741900896169
0,240
4,9483258243649
0,181
5,3736279131689
0,211
5,1669568434381
0,241
4,9405088694234
0,182
5,3671048957086
0,212
5,1597015765266
0,242
4,9326752791211
0,183
5,3605551762446
0,213
5,1524244604346
0,243
4,9248252404608
0,184
5,3539789062132
0,214
5,1451255667164
0,244
4,9169589408449
0,185
5,3473762378001
0,215
5,1378053694301
0,245
4,9090765680662
0,186
5,3407473239371
0,216
5,1304637405266
0,246
4,9011783103000
0,187
5,3340923182979
0,217
5,1231009543445
0,247
4,8932643560946
0,188
5,3274113752954
0,218
5,1157171853665
0,248
4,8853348943630
0,189
5,3207046500772
0,219
5,1083126086600
0,249
4,8773901143726
0,190
5,3139722985220
0,220
5,1008873998733
0,250
4,8694302057388
0,191
5,3072144772362
0,221
5,0934417352245
0,251
4,8614553584130
0,192
5,3004313435492
0,222
5,0859757914995
0,252
4,8534657626750
0,193
5,2936230555099
0,223
5,0784897460430
0,253
4,8454616091236
0,194
5,2867897718825
0,224
5,0709837767527
0,254
4,8374430886663
0,195
5,2799316521421
0,225
5,0634580620719
0,255
4,8294103925108
0,196
5,2730488564709
0,226
5,0559127809830
0,256
4,8213637121550
0,197
5,2661415457531
0,227
5,0483481130004
0,257
4,8133032393774
0,198
5,2592098815713
0,228
5,0407642381636
0,258
4,8052291662274
0,199
5,2522540262014
0,229
5,0331613370030
0,259
4,7971416850156
0,200
5,2452741426082
0,230
5,0255395906665
0,260
4,7890409883036
0,201
5,2382703944410
0,231
5,0178991806448
0,261
4,7809272688940
0,202
5,2312429460281
0,232
5,0102402890312
0,262
4,7728007198220
0,203
5,2241919623730
0,233
5,0025630983380
0,263
4,7646615343421
0,204
5,2171176091484
0,234
4,9948677917288
0,264
4,7565099059204
0,205
5,2100200526920
0,235
4,9871545525837
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Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
193
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Índice
Índice de autores
194
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
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k
m *0
k
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Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
195
m *0
k
m *0
k
m *0
k
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2,8722658778648
Índice
Índice de autores
196
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
ANEXO 3
m *0
K
m *0
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k
m *0
k
Índice
Índice de autores
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ...
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K
m *0
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k
m *0
197
k
Índice
Índice de autores
198
R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
m *0
K
m *0
0,409
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K
m *0
k
Índice
Índice de autores