POSTULADOS SOBRE LA RECTA ׀׀ ׀׀ ׀׀ ׀׀ ׀׀ PROFESOR MIGUEL

POSTULADOS SOBRE LA RECTA
POSTULADO 1
Existen infinitos puntos
Existen infinitas rectas
Existen infinitos planos
Es decir:
En una recta existen infinitos puntos.
En un plano existen infinitas rectas.
En el espacio existen infinitos planos.
POSTULADO 2: ( DE LA DISTANCIA)
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
DE TRIÁNGULOS
POSTULADO 15:(POSTULADO LAL)
Toda correspondencia LAL es una congruencia.
B
—
—
A
‫׀׀‬
A cada par de puntos diferentes corresponde un
número positivo único.
E
—
POSTULADO 3: (DE LA REGLA)
Podemos establecer una correspondencia entre
los puntos de una recta y los números reales de
manera que:
C
—
D
‫׀׀‬
F
POSTULADO 16: (POSTULADO ALA)
- A cada punto de la recta le corresponde
exactamente un número real.
Toda correspondencia ALA es una congruencia.
- A cada número real le corresponde
exactamente un punto de la recta.
- La DIASTANCIA entre dos puntos
cualesquiera es el valor absoluto de la
diferencia de sus números correspondientes.
- La distancia entre dos puntos cualesquiera es
ÚNICA.
POSTULADO 4: (DE LA COLOCACIÓN DE
LA REGLA)
Dados dos puntos A y B de una recta, se puede
escoger un sistema de coordenadas de tal
manera que la coordenada de A sea cero y la
coordenada de B sea positiva.
POSTULADO 5: (DE LA RECTA)
Dados dos puntos A y B distintos, existe una y
sólo una recta que contiene a ambos.
C
A
E
‫׀׀‬
‫׀׀‬
B
D
F
‫׀׀‬
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
POSTULADO 17: (POSTULADO LLL)
Toda correspondencia LLL es una congruencia.
D
E
‫׀׀‬
B
—
—
≡
≡
F
A
‫׀׀‬
C
Trabajo hecho por MAM/
P
A
DEMOSTRACIÓN FORMAL DE
UN TEOREMA
O
B
JJJG
JJJG
8) Datos: 1) En la figura, GA es opuesto a GE .
JJJG JJJG
2) GB ⊥ GC
Demostrar que ( AGB es complementario con
SEMI-INSCRITO
m arcPB
2
m∡APB =
( EGC.
Solución
A
P
DEMOSTRACIÓN
AFIRMACIONES/
RAZONES
JJJG
JJJG
A1) GA opuesto a GE
R1) Dato
A2) ( AGB suplemento de ( BGE
R2) Postulado 12.
A3) m ( AGB + m ( BGE = 180º
R3) Ángulos suplementarios
JJJG JJJG
A4) GB ⊥ GC
R4) Dato
A5) m ( BGC = 90º
O
B
EX-INSCRITO
m∡APB =
m arcAB
2
A
R5) Definición de perpendicular y ( recto.
O
P
A6) m ( BGE = m ( EGC + 90º
R6) Adición de ángulos
A7) m ( AGB + m ( EGC + 90º = 180º
R7) Sustitución de la afirmación 6 en la 3.
A8) m ( AGB + m ( EGC = 90º
R8) Reducción en 7
A9) ( AGB es complemento de ( EGC
B
EXTERIOR
m∡APB = 180 – m arc AB
A
R9) Def. de (s complementarios en 8
C
P
O
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
D
B
A
EXTERIOR
O
B
m∡APB =
CENTRAL
m arcAB - m arcCD
2
m∡AOB = m arcAB
A
P
A
O
C
O
B
P
B
INSCRITO
m∡APB =
m arcAB
2
EXTERIOR
m∡APB =
m arcAB - m arcBC
2
Trabajo hecho por MAM/
TEOREMA VI-5
C
A
O
P
B
Las parejas de tangentes trazadas desde un
mismo punto exterior a una circunferencia son
congruentes.
D
D
INTERIOR
m∡APB =
m arcAB + m arcCD
2
B
A
TEOREMAVI-1
En toda circunferencia, rectas secantes
paralelas intersecan arcos congruentes.
B
L1
C
A
L2
D
DA = DO
TEOREMA VI-6
Los arcos de intersección determinados por dos
circunferencias secantes y congruentes, son
congruentes.
B
L1//L2 ↔ AB = CD
P∙
TEOREMA VI-2
En toda circunferencia, a cuerdas congruentes
le corresponden arcos congruentes.
R
Q∙
R
A
B
L1
BPA = BOA
C
A
L2
D
AB=CD↔arc AB=arc CD
TEOREMA VI-3
Todo radio es perpendicular a una recta
tangente en su punto de tangencia.
PROPIEDADES PARTICULARES
DE LOS TRIÁNGULOS
1) Los lados de un Δ ABC miden AB = 12cm,
BC = 14cm y AC = 16 cm. En el interior del Δ
se toma un punto O. ¿Cuál de los siguientes
valores puede ser igual a
OA + OB + OC?
a) 20cm b) 21cm c) 20 2 cm d) 42cm e) 46cm
Solución
O
B
C
12
L
P
A
L:Tangente ↔OP ⊥ L
TEOREMA VI-4
Si un radio es perpendicular a una cuerda,
entonces dicho radio biseca tanto a la cuerda
como al arco que subtiende
A
D
14
C
16
Por el Teorema IV-5:
En Δ COA: OA + OC > 16
En Δ AOB: OA + OB > 12
En Δ BOC: OB + OC > 14
______________________
2 OA + 2 OB + 2 OC > 42
OA + OB + OC > 21 (1)
B
O
H
O
14
12
O
B
OD ⊥ AB → AH = HB y
arc AD = arc DB
A
C
12 + 14 > OA + OC
Trabajo hecho por MAM/
75 > OA + OB + OC + OD
B
Además: OA + OB >10
O
A
De donde:
C
14 + 16 > OA + OB
2( OC + OB + OA + OD) > 50
OA + OD > 15; OD + OC > 13
B
OC + OB + OA + OD > 25
12
O
A
OC + OB > 12
C
16
Por consiguiente:
16 + 12 >OB + OC
Sumando
miembro a miembro las desigualdades de las
tres gráficas auxiliares tenemos:
3) En la figura: AD = 28cm, hallar BC.
84 > 2 OA + 2 OB + 2 OC; es decir:
42 > OA + OB + OC
25 < OA + OB + OC + OD < 75
(2)
B
De (1) y (2) tenemos:
30º
21 < OA + OB + OC < 42
Por lo tanto OA + OB + OC puede ser igual
a 20 2
2) Los lados de una figura de cuatro lados
ABCD miden AB = 10cm; BC = 12cm;
CD = 13cm; AD = 15 cm. Si en el interior de la
figura se toma un punto O. Hallar los límites en
que varía la suma OA + OB + OC + OD.
B
x
20º
A
28cm
D
C
B
20º
14
20º
A
30º
40º
14
M
14
x
D
40º
C
Solución
10
12
A
O
C
15
13
D
Solución
Por Teorema IV-5:
AB + BC + CD > OA + OC
BC + CD + AD > OA + OB
AB + AD + CD > OB + OC
Trazamos la mediana referente a la hipotenusa
del Δ rectángulo ABD.
Como BM es mediana del Δ rectángulo ABD,
por el Teorema IV-16:
1
BM = AD = 14cm
2
Como m ∡ ABM = 20º;
m ∡ MBD = 70º. Como Δ MBD es isósceles,
m ∡ MDB = 70º y m ∡ BMD = 40º.
Por consiguiente: Δ MBC es isósceles, y
x = 14 cm.
AD + AB + BC > OD + OC
150 > 2( OA + OB + OC + OD)
Trabajo hecho por MAM/
4) En la figura AD = 15cm; ED = 17 cm. Hallar
BE.
C
B
α
α
x
6) En el ΔPQR, acutángulo. p = 25 , q = 20.
Hallar “r”.
Si la proyección de q sobre p mide 15.
Solución
P
E
17
A
r=?
q = 20
D
15
15
Q
R
p = 25
Solución
B
x
r 2 = p 2 + q 2 − 2 p (15)
C
α
α
E
r 2 = 252 + 20 2 − 2(25)(15)
r 2 = 625 + 400 − 750
r 2 = 16,58 r = 275
17
17
A
H
15
r =16,58
D
GEOMETRÍA CARTESIANA
Trazamos DH ⊥ BC
ΔECD ≅ ΔCHD; por consiguiente
ED = DH = 17cm
PLANO CARTESIANO
y
En Δ rectángulo EAD, por Teorema de
Pitágoras. Tenemos:
EA2 = 172 − 152 → EA = 8cm
x + EA = 17
x + 8 = 17
x
P(x,y)
-2 1
Q(-2,-2)
S(5,1)
-2
x
5
x
x = 9cm
5) En el Δ ABC, recto en B. La hipotenusa mide
10cm y el cateto mayor mide 8cm. ¿Cuánto
mide la proyección del cateto menor sobre la
hipotenusa?
B
c=?
m
H
n
b = 10
Solución
b a 10 8
64
→m =
= → =
a m
8 m
19
m = 6,4cm
Eje X: eje de las abscisas.
Eje Y: eje de las ordenadas.
Para el punto P:
a=8
C
Las rectas perpendiculares se llaman ejes
cartesianos.
A
Abscisa → x
Ordenada → y
El par ordenado (x,y) constituye las
coordenadas del punto P.
Las rectas reales perpendiculares en el plano
constituyen un sistema de coordenadas.
Las coordenadas de Q son:
Abscisa: -2
Ordenada: -2
Las coordenadas de S son:
Abscisa: 5
Ordenada: 1
Trabajo hecho por MAM/
ESPACIO CARTESIANO
Z
z
P(x,y,z)
Y
y
x
M
X
Y
Las
coordenadas de P son: x, y, z.
Z
M
X
X
y=–p
5
P
F(0,p)
P(x,y)
-3
x 2 = 4py
Y
p>0
4
Las coordenadas de P son: 4, -3, 5
Y
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE
VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE EN UN
EJE COORDENADO
A
y=–p
V
L
X
P(x,y)
F(0,p)
L
Y
A
P(x,y)
V
X
F(p,0)
x 2 = 4py
p<0
x=–p
y 2 = 4px
p>0
X
F(p,0)
P(x,y)
A
x=–p
y 2 = 4px
p< 0
Trabajo hecho por MAM/