Decoración geométrica en el Arte Nazar íí

Decoración geométrica en el
Arte Nazarí
Ejemplos:
visita matemática a la Alhambra de los alumnos del curso
ENSEÑAR MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XXI
Centro Mediterráneo – Universidad de Granada,
acompañados por
Ceferino Ruiz Garrido
Catedrático de la Universidad de Granada
Verano de 2009
Proporciones básicas
1× 1
1× C
1× 2
1× Φ
Bibliografía:
---, 7 Paseos por La Alhambra. Capítulo VII: C. Ruiz et alt, La Búsqueda y Materialización de la Belleza. La Geometría del Poder. Proyecto Sur de Ediciones,
Granada, 2007 (ISBN: 978-84-8254-350-5).
C. Alsina, R. Pérez y C. Ruiz, Simetría Dinámica. Colección Matemáticas, cultura y
aprendizaje, volumen 13, Editorial Síntesis, Madrid, 1989 (ISBN 978-84-7738-067-8).
C. Ruiz, Simetría en la Alhambra. Elia, EyD. Granada, 2004 (D.L.: GR-483-2004).
© Elia EyD – Granada, 2009
D.L.: GR 2150–2009
1× 3
1× 2
Poliedros Mocárabes
Rosáceas: sin traslaciones.
Mosaicos: traslaciones en dos direcciones independientes.
Dos clases infinitas de
rosáceas o rosetones,
según el orden n de los
giros:
Clasificación de Grupos Cristalográficos Planos
Sin isometrías
inversas
Con isometrías inversas
cm (c1m1)
σL, σL’a/2 , a⎢⎢L, L’ ≠ L
p1 (p111)
ta, tb
Cn: solamente giros
Dn: reflexiones y giros
En el ejemplo, una rosácea
diedral de orden 8.
cmm (c2mm)
rC,π, σL, σM, L ⊥ M, C ∉ L, C ∉ M
p2 (p211)
ta, tb, rC,π
2
f1
f1m
fm1
f1g
Siete tipos de frisos o grecas.
Pueden tener:
- una reflexión en la
dirección de traslación,
- reflexiones de ejes
paralelos y perpendiculares
a la traslación,
- semigiros alineados según
la dirección de traslación.
f2
p4 (p411)
ta, rC,π/2
4
p6 (p611)
rC,π/3, rC',π
2
3
p4m (p4mm)
σL, σM, σΝ, L⊥M, ∠ (L, N) = ∠ (N,M) = π /4
L∩ M∩ N =∅
p4g (p4gm)
rC,π/2 , σL, C ∉ L
p6m (p6mm)
σL, σM, σΝ, L⊥M, ∠ (L, N) = π /3, ∠ (N,M) = π /6
notación internacional
abreviada (ampliada)
generadores
NO
SI
¿Hay alguna reflexión en
deslizamiento cuyo eje no sea un
eje de reflexión?
NO
¿Hay alguna reflexión en
deslizamiento?
¿Hay
alguna
reflexión?
SI
NO
SI
120º
Los frisos más frecuentes en La Alhambra
son los del tipo f1, fm1 y fm2.
¿Hay reflexiones con ejes
perpendiculares?
¿Hay
alguna
reflexión?
¿Cómo es
la rotación
más
pequeña?
fm2
p31m (p31m)
rC,2π/3, σL, C ∉ L
σL, σM, σΝ, ∠ (L, M) = ∠ (M,N) = ∠ (L, N) = π /3
L∩ M∩ N = ∅
3
4
región
fundamental
Algoritmo de Reconocimiento de Grupos Cristalográ
Cristalográficos Planos
180º
f2m
pgg (p2gg)
σL,a/2 , σM,b/2 , L ⊥ M
p3m1 (p3m1)
3
3
Las 7 clases afines de los Frisos
Planos
pmg (p2mg)
ta, σL, σM,b/2, a⎢⎢L ⊥ M⎢⎢b
2
pmm (p2mm)
ta, tb, σL, σM, a⎢⎢L ⊥ Μ⎢⎢b
p3 (p311)
rC,2π/3,rC',2π/3
Frisos: todas las traslaciones en la misma dirección.
pg (p1g1)
tb, σL,a/2, a ⊥ b
pm (p1m1)
ta, tb, σL, a⎢⎢L, b ⊥ L
¿Hay
alguna
reflexión?
90º
¿Hay
alguna
reflexión?
60º
¿Hay
alguna
reflexión?
¿Hay alguna reflexión en
deslizamiento?
¿Están todos los centros de
rotación sobre ejes de reflexión?
SI
cm
NO
pm
SI
pg
NO
SI
SI
pmm
NO
cmm
NO
pmg
SI
pgg
NO
p2
SI
p3m1
NO
p31m
SI
p4m
NO
p4g
NO
SI
p1
¿Están todos los
centros de rotación
sobre ejes de
reflexión?
p3
¿Están todos los centros de
rotación sobre ejes de reflexión?
NO
p4
SI
p6m
NO
p6
La Alhambra de Granada es el único monumento anterior al siglo XX en el
que se realizaron representaciones de los 17 tipos de mosaicos planos.