Algebra del operador nabla

Álgebra del operador nabla
Operadores de primer orden
∇φ =
Gradiente:
Divergencia:
∇·A =
∂φ
∂φ
∂φ
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
Rotacional:
∇∧A =
∂Az
∂Ay
ux +
−
∂y
∂z
∂Ax ∂Az
uy +
−
∂z
∂x
∂Ay
∂Ax
uz
−
∂x
∂y
Aplicación sobre productos
∇(φψ)
∇ · (φA)
∇ ∧ (φA)
∇ · (A ∧ B)
∇ ∧ (A ∧ B)
∇(A · B)
=
=
=
=
=
=
ψ ∇φ + φ ∇ψ
∇φ · A + φ ∇ · A
∇φ ∧ A + φ ∇ ∧ A
(∇ ∧ A) · B − (∇ ∧ B) · A
A(∇ · B) + (B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B
A ∧ (∇ ∧ B) + (A · ∇)B + B ∧ (∇ ∧ A) + (B · ∇)A
Operadores de segundo orden
∇ · (∇φ) = ∇2 φ =
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ 2
∂x2 ∂y 2
∂z
(Laplaciano)
∇ ∧ (∇φ) = 0
∇ · (∇ ∧ A) = 0
∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
Identidades de Green
1a identidad:∇ · (φ∇ψ) = ∇φ · ∇ψ + φ∇2 ψ
2a identidad:∇ · (φ∇ψ − ψ∇φ) = φ∇2 ψ − ψ∇2 φ
Resumen de fórmulas de coordenadas curvilı́neas ortogonales
x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ
x2 + y 2 = ρ = r sen θ
y
=ϕ=
arctg
x
y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ
z=
z
=
r cos θ
ϕ
x2 + y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 = r
ρ
x2 + y 2
= arctg
=θ
arctg
z
z
= z = r cos θ
z
Diferencial de longitud:
dr = h1 dq1 u1 + h2 dq2 u2 + h3 dq3 u3
dr = dxux + dy uy + dzuz
dr = dρ uρ + ρ dϕ uϕ + dzuz
dr = drur + r dθ uθ + r sen θ dϕ uϕ
arctg
y
x
=
ϕ
Diferencial de volumen:
dτ = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3
dτ = dx dy dz
dτ = ρ dρ dϕ dz
dτ = r2 sen θ dr dθ dϕ
=ϕ
Vector de posición:
r = xux + y uy + zuz
r = ρ uρ + zuz
r = rur
hx = 1
hρ = 1
hr = 1
Factores de
escala:
∂r hi = ∂qi Delta de Dirac:
δ(q1 − q1 )δ(q2 − q2 )δ(q3 − q3 )
h1 h2 h3
δ(r − r ) = δ(x − x )δ(y − y )δ(z − z )
hy = 1
hϕ = ρ
hθ = r
hz = 1
hz = 1
hϕ = r sen θ
δ(r − r ) =
δ(ρ − ρ )δ(ϕ − ϕ )δ(z − z )
ρ
δ(r − r ) =
δ(r − r )δ(θ − θ )δ(ϕ − ϕ )
r2 sen θ
δ(r − r ) =
Gradiente:
ux = cos ϕuρ − sen ϕuϕ = sen θ cos ϕur + cos θ cos ϕuθ − sen ϕuϕ
uy = sen ϕuρ + cos ϕuϕ = sen θ sen ϕur + cos θ sen ϕuθ + cos ϕuϕ
uz =
uz
=
cos θur − sen θuθ
sen θ cos ϕux + sen θ sen ϕuy + cos θuz = sen θuρ + cos θuz = ur
cos θ cos ϕux + cos θ sen ϕuy − sen θuz = cos θuρ − sen θuz = uθ
− sen ϕux + cos ϕuy
=
uϕ
= uϕ
Vectores unitarios:
1 ∂r
ui =
hi ∂qi
cos ϕux + sen ϕuy = uρ = sen θur + cos θuθ
− sen ϕux + cos ϕuy = uϕ =
uϕ
uz
= uz = cos θur − sen θuθ
∇φ =
1 ∂φ
1 ∂φ
1 ∂φ
u1 +
u2 +
u3
h1 ∂q1
h2 ∂q2
h3 ∂q3
∇φ =
∇φ =
∂φ
∂φ
∂φ
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂φ
1 ∂φ
∂φ
uρ +
uϕ +
uz
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂φ
1 ∂φ
1 ∂φ
ur +
uθ +
uϕ
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂ϕ
∂Az
∂Ax
∂Ay
∂Ay
∂Az
∂Ax
−
−
−
∇∧A=
ux +
uy +
uz
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
1 ∂Az
∂Aρ
∂Aϕ
∂Az
1 ∂(ρAϕ ) ∂Aρ
−
−
−
∇∧A=
uρ +
uϕ +
uz
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂ϕ
∂(sen θAϕ ) ∂Aθ
1 ∂Ar
∂(rAϕ )
1
1
1 ∂(rAθ ) ∂Ar
−
−
−
∇∧A=
ur +
uθ +
uϕ
r sen θ
∂θ
∂ϕ
r sen θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
∇φ =
Rotacional:
h1 u1 h2 u2
∂
1
∂
∇∧A =
h1 h2 h3 ∂q1
∂q2
h A h A
1
∇·A=
1
h1 h2 h3
1
2
3
3
Divergencia:
∂(A1 h2 h3 ) ∂(h1 A2 h3 ) ∂(h1 h2 A3 )
+
+
∂q1
∂q2
∂q3
∇·A=
∇·A=
∇·A=
2
h3 u3 ∂ ∂q3 h A ∂Ay
∂Az
∂Ax
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Az
1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aϕ
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1 ∂(sen θAθ )
1 ∂Aϕ
1 ∂(r2 Ar )
+
+
2
r
∂r
r sen θ
∂θ
r sen θ ∂ϕ
∇2 φ =
1
h1 h2 h3
∂
∂q1
Laplaciano:
h2 h3 ∂φ
h1 h3 ∂φ
h1 h2 ∂φ
∂
∂
+
+
h1 ∂q1
∂q2
h2 ∂q2
∂q3
h3 ∂q3
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
1 ∂
∂ 2φ
∂φ
1 ∂ 2φ
∇2 φ =
+ 2
ρ
+ 2
2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂
∂ 2φ
∂φ
1 ∂
1
∂φ
1
∇2 φ = 2
r2
+ 2
sen θ
+ 2
2
r ∂r
∂r
r sen θ ∂θ
∂θ
r sen θ ∂ϕ2
∇2 φ =