A. Relaciones vectoriales. A.1. Vectores unitarios. ux, uy, uz

A. Relaciones vectoriales.
A.1. Vectores unitarios.
~ux , ~uy , ~uz
~uρ , ~uϕ , ~uz
~ur , ~uθ , ~uϕ
− coordenadas rectangulares (constantes)
− coordenadas cilı́ndricas
(no constantes, salvo ~uz )
− coordenadas esféricas
(no constantes)
A.2. Transformaciones de coordenadas.
x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ
y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ
z = r√cos θ
ρ = x2 + y 2 = r sen θ
ϕ =√
tan−1 (y/x)
√
r = x2 +√
y 2 + z 2 = ρ2 + z 2
θ = tan−1 ( x2 + y 2 /z) = tan−1 (ρ/z)
A.3. Transformaciones de las componentes coordenadas.
Ax =
=
Ay =
=
Az =
Aρ =
=
Aϕ =
Ar =
=
Aθ =
=
Aρ cos ϕ − Aϕ sen ϕ
Ar sen θ cos ϕ + Aθ cos θ cos ϕ − Aϕ sen ϕ
Aρ sen ϕ + Aϕ cos ϕ
Ar sen θ sin ϕ + Aθ cos θ sen ϕ + Aϕ cos ϕ
Ar cos θ − Aθ sen θ
Ax cos ϕ + Ay sen ϕ
Ar sen θ + Aθ cos θ
−Ax sen ϕ + Ay cos ϕ
Ax sen θ cos ϕ + Ay sen θ sen ϕ + Az cos θ
Aρ sen θ + Az cos θ
Ax cos θ cos ϕ + Ay cos θ sen ϕ − Az sen θ
Aρ cos θ − Az sen θ
A.4. Elementos diferenciales de longitud.


ux dx + ~uy dy + ~uz dz
 ~
d~l =  ~uρ dρ + ~uϕ ρdϕ + ~uz dz

~ur dr + ~uθ rdθ + ~uϕ r sen θdϕ
A.5. Elementos diferenciales de superficie.


ux dy dz + ~uy dx dz + ~uz dx dy
 ~
d~s =  ~uρ ρ dϕ dz + ~uϕ dρ dz + ~uz ρ dρ dϕ

~ur r2 sen θ dθ dϕ + ~uθ r sen θ dr dϕ + ~uϕ r dr dθ
A.6. Elementos diferenciales de volumen.


 dx dy dz
dv =  ρ dρ dϕ dz
 2
r dr sen θ dθ dϕ
22
A.7. Operaciones vectoriales – coordenadas rectangulares.
~ = ~ux ∂α + ~uy ∂α + ~uz ∂α
∇α
∂x
∂y
∂z
~ ·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
∇
∂x
∂y
∂z
!
Ã
!
Ã
Ã
~ ×A
~ = ~ux ∂Az − ∂Ay + ~uy ∂Ax − ∂Az + ~uz ∂Ay − ∂Ax
∇
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂2α ∂2α ∂2α
~ · ∇α
~
+ 2 + 2 ≡∇
∇2 α =
∂x2
∂y
∂z
~ = ~ux ∇2 Ax + ~uy ∇2 Ay + ~uz ∇2 Az ≡ ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ × (∇
~ × A)
~
∇2 A
!
A.8. Operaciones vectoriales – coordenadas cilı́ndricas.
~ = ~uρ ∂α + ~uϕ 1 ∂α + ~uz ∂α
∇α
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~ ·A
~ = 1 ∂ρAρ + 1 ∂Aϕ + ∂Az
∇
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
!
!
Ã
!
Ã
Ã
∂ρA
1
∂A
∂A
∂A
∂A
1
∂A
ϕ
ρ
z
ϕ
z
ρ
~ ×A
~ = ~uρ
∇
+ ~uϕ
+ ~uz
−
−
−
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂ϕ
Ã
!
1 ∂
∂α
1 ∂2α ∂2α
∇ α=
ρ
+ 2 2+ 2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
2
A.9. Operaciones vectoriales – coordenadas esféricas.
∂α
1 ∂α
1 ∂α
~
∇α
= ~ur
+ ~uθ
+ ~uϕ
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂ϕ
´
³
1
∂
1 ∂Aϕ
~ ·A
~ = 1 ∂ r 2 Ar +
( sen θAθ ) +
∇
2
r ∂r
r sen θ ∂θ
r sen θ ∂ϕ
Ã
∂
∂Aθ
~ ×A
~ = ~ur 1
∇
(Aϕ sen θ) −
r sen θ ∂θ
∂ϕ
Ã
!
1 ∂(rAθ ) ∂Ar
−
+ ~uϕ
r
∂r
∂θ
Ã
!
Ã
!
1
+ ~uθ
r
Ã
1 ∂Ar ∂(rAϕ )
−
sen θ ∂ϕ
∂r
!
!
1 ∂
1
∂α
1
∂
∂2α
2 ∂α
2
∇α = 2
r
+ 2
sen θ
+ 2
r ∂r
∂r
r sen θ ∂θ
∂θ
r sen 2 θ ∂ϕ2
"
Ã
!#
2
∂Aϕ ∂Aθ
2~
2
+
∇ A = ~ur ∇ Ar − 2 Ar + cot θAθ + cosec θ
r
∂ϕ
∂θ
"
Ã
!#
1
∂Ar
∂Aϕ
+ ~uθ ∇2 Aθ − 2 cosec 2 θAθ − 2
+ 2 cot θ cosec θ
r
∂θ
∂ϕ
!#
"
Ã
1
∂Aθ
∂Ar
2
2
+ ~uϕ ∇ Aϕ − 2 cosec θAϕ − 2 cosec θ
− 2 cot θ cosec θ
r
∂ϕ
∂ϕ
23
A.10. Operaciones vectoriales – diferenciación.
~ + β) = ∇α
~ + ∇β
~
∇(α
~ · (A
~ + B)
~ = ∇
~ ·A
~+∇
~ ·B
~
∇
~ × (A
~ + B)
~ = ∇
~ ×A
~+∇
~ ×B
~
∇
~
~ + β ∇α
~
∇(αβ)
= α∇β
~ · (αA)
~ = α∇
~ ·A
~+A
~ · ∇α
~
∇
~ × (αA)
~ = α(∇
~ × A)
~ −A
~ × ∇α
~
∇
~ · (A
~ × B)
~ = B
~ · (∇
~ × A)
~ −A
~ · (∇
~ × B)
~
∇
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ × (∇
~ × A)
~
∇2 A
~ × (α∇β)
~
~ × ∇β
~
∇
= ∇α
~ × ∇α
~
∇
= 0
~ · (∇
~ × A)
~ = 0
∇
~ × (A
~ × B)
~ = A(
~ ∇
~ · B)
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~ − B(
~ ∇
~ · A)
~ − (A
~ · ∇)
~ B
~
∇
A.11. Operaciones vectoriales – integración.
ZZZ
Z Z
~ ×A
~ · d~s =
∇
S
ZZZ
V
V
S
I
S
~ · d~l
A
l
ZZ
~ × Ad
~ 3r = − ° A
~ × d~s
∇
ZZZ
Z Z
ZZ
~ · d~s
~ · Ad
~ 3r = ° A
∇
V
ZZ
S
~ 3 r = ° αd~s
∇αd
~
~un × ∇αds
=
I
l
S
αd~l
B. Fórmulas útiles
B.1. Integrales de uso más frecuente.
Z
dx
x
√
=
(a2 + x2 )3/2
a2 a 2 + x 2
Z
√
√
xdx
a2 + x 2
=
a2 + x 2
;
24
Z
;
Z
√
−1
xdx
√
=
(a2 + x2 )3/2
a2 + x 2
√
dx
a2 + x 2 )
=
ln
(x
+
a2 + x 2
Z
√
x2 dx
−x
√
=
+
ln
(x
+
a2 + x 2 )
(a2 + x2 )3/2
a2 + x 2
;
Z
adx
x
= tan−1
2
+x
a
a2
B.2. Desarrollos más utilizados.
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
√
1 x3
x
2
2
+ ...
ln (x + a + x ) = ln a + −
a 3! a3
25