INTRODUCCIÓN DE UN NUEVO SISTEMA DE CALCULO

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INTRODUCCIÓN DE UN NUEVO SISTEMA DE CALCULO DESIMETRICO
PAPA FOTONES DE ALTA ENERGIA.
INDICE
I.
Glosario
3
II. Introducción
5
III. Teoría
15
A. Conceptos generales
15
1. Concepto de dosis
15
2. Definición de un haz de fotones
16
3. Interacción de la radiación indirectamente ionizante con la materia
17
4. Interacción de las partículas cargadas con la materia.
18
5. Formas de medir la dosis producida por un haz de fotones
23
6. Utilización de la radiación en la terapia radiante
25
B. Métodos manuales o semiempíricos de cálculo
27
1. Porcentaje de dosis en profundidad (PDD):
29
2. Factor de salida de campo (output factor).
34
3. Formalismo de cálculo de dosis en eje central.
37
4. Conceptos de campo equivalente
39
C. Nuevo método de cálculo
41
1. Desarrollo introductorio
41
2. Definición de función de campo circular
42
3. Obtención de output factor generalizado (OFg) de campo circular
45
4. Cálculo de PDD para campos rectangulares.
48
IV. Materiales y mediciones
49
A. Materiales usados
49
B. Disposición
50
C. Método
50
V.
Resultados
52
2
A. Obtención de los datos de entrada
52
B. Cálculo de los OFg de campo circular
55
C. Cálculo de OFg para distintos tamaños de campo
56
D. Cálculo de PDD para diferentes tamaños de campos rectangulares
58
E. Comparación con métodos alternativos
65
VI. Discusiones
68
VII. Conclusiones
70
VIII. Apéndice
72
A. Código Visual Basic para el cálculo del OFg para campo rectangular
72
B. Código Visual Basic para llevar a cabo el cálculo de OFg de campo circular
74
IX. Referencias bibliográficas
75
3
I.
GLOSARIO
A/P
Area sobre perímetro
cm
Centímetro
59
Isótopo de Cobalto 59
60
Co
Isótopo de Cobalto 60
d
Profundidad
Dd
Dosis a profundidad d
DFS
Distancia Fuente Superficie
dmax
Profundidad de dosis máxima
ADN
Acido Desoxirribonucleico
Dref
Dosis a profundidad de referencia
Drel
Dosis relativa a una profundidad de referencia en eje central
fc
Factor de salida de campo circular
fcx
Factor de salida de campo circular correspondiente a sistema de colimación x
fcy
Factor de salida de campo circular correspondiente a sistema de colimación y
Ψ
Fluencia de fotones primarios
Ψrel
Razón entre la fluencia de fotones primarios para un tamaño de campo dado y
Co
la fluencia de fotones primarios para el tamaño de campo de referencia.
J
Joules
KeV
Kilo electrón Volt
Kg
Kilogramo
Linac
Acelerador Lineal
Lmax
Apertura máxima del campo
Lmin
Apertura mínima del campo
MC
Monte Carlo
MeV
Mega electrón Volt
MV
Mega Volt
OF
Factor de salida de campo (Output factor)
OFg
Factor de salida de campo generalizado
4
Pb
Plomo
PDD
Porcentaje de Dosis en Profundidad
PET
Tomografía por Emisión de Positrones
RMN
Resonancia Magnética Nuclear
R
Rango del electrón
SAR
Scatter Air Ratio
Sc
Factor de dispersión en el cabezal
Sp
Factor de dispersión en el fantoma
TAC
Tomografía Axial Computada
TAR
Razón Tejido Aire (Tissue Air Ratio)
TPR
Razón Fantoma Tejido (Tissue Phantom Ratio)
UM
Unidades Monitoras
W
Tungsteno
wc
Tamaño de campo definido por colimadores secundarios a una distancia de la
fuente de 100 cm
wp
Tamaño de campo proyectado en la superficie del fantoma
Z
Número Atómico
5
II.
INTRODUCCIÓN
En una reciente publicación de la IAEA [ 1] se analizó como el aumento de la
esperanza de vida debido a la eliminación de enfermedades que causan una muerte
temprana, hace que la incidencia del cáncer aumente. Esto último ha hecho que el cáncer,
como enfermedad potencialmente curable, tenga una repercusión social y económica
universalmente aceptada. La radioterapia, como herramienta para tratarlo, se utiliza desde
principios del siglo veinte, y ha evolucionado con los avances científicos de la física y de
la oncología. Actualmente es una de las modalidades más efectivas de tratamiento para el
cáncer, junto con la cirugía y la quimioterapia. El fin de los tratamientos curativos que
utilizan radiaciones es impartir la mayor cantidad de dosis en el tumor evitando causar
daños inaceptables en los tejidos sanos que lo rodean. Además la radiación se utiliza a
menudo como tratamiento paliativo de enfermedades malignas brindando al paciente una
mejor calidad de vida.
La radioterapia lleva a cabo su objetivo mediante el uso de radiaciones ionizantes.
Las radiaciones pueden ser directa e indirectamente ionizantes. El ICRU [ 2] las define
como:
Radiaciones directamente ionizantes. Son partículas cargadas aceleradas, que ceden
su energía directamente en la materia, por medio de diversas interaciones coulombianas a
lo largo de su camino.
Radiaciones indirectamente ionizante. Son fotones de rayos γ o X, o neutrones
(partículas sin cargas), los cuales al atravesar la materia transfieren su energía a partículas
cargadas de la misma, en un número relativamente pequeño de interacciones. Luego las
partículas cargadas resultantes ceden su energía a la materia.
Dado que las células contienen más de un 70% de agua, la mayor parte de la energía
depositada en ellas produce radicales libres los cuales se combinan para formar el peróxido
de hidrógeno (H2O2), que es el agente oxidante considerado como el mayor responsable en
el daño inducido al ADN. El resultado neto de la interacción de la radiación ionizante con
6
el substrato biológico puede reflejarse en alteraciones de las células y función tisular, las
cuales pueden evidenciarse horas, días, semanas o aún años más tarde. La radioterapia
aprovecha los efectos mencionados de las radiaciones ionizantes para destruir células
tumorales y así alcanzar su fin.
Existen fundamentalmente dos modalidades de tratamiento radioterápico que se
clasifican según la distancia en que esté la fuente de irradiación al área a tratar
Braquiterapia. En este caso la fuente de irradiación está cerca o en el área a tratar. La
radiación se administra por medio de la colocación de pequeñas fuentes de material
radiactivo en forma de agujas, tubos, alambres o semillas dentro o próximo al volumen de
interés. Como material radiactivo se utiliza Iridio 192, Iodo 125, Paladio 103, Cesio 137,
entre otros. Se utilizan en forma de colocación intersticial (agujas en el seno de los tejidos)
o intracavitaria (tubos ginecológicos intravaginales e intrauterinos). Aunque esta
modalidad de tratamiento es muy utilizada en radioterapia, no se desarrollará en este
trabajo.
Teleterapia. La fuente de irradiación está a cierta distancia del paciente en equipos
de grandes dimensiones, como son las unidades de Cobalto 60 (Co60) y acelerador lineal
(Linac). El tipo de radiación puede ser rayos Gamma, rayos X, y electrones, aunque existen
unidades que pueden generar otro tipo de partículas tales como neutrones, protones, etc.
Para este tipo de tratamiento, que es el más común, los pacientes generalmente acuden
diariamente en forma ambulatoria por un período total variable, dependiendo del caso que
se esté tratando. El nuevo método de cálculo desarrollado en este trabajo se aplica a esta
modalidad.
El tratamiento como ya se mencionó, además de curar o controlar la enfermedad,
debe minimizar los daños en los tejidos normales que rodean el tumor. Diversos estudios
han demostrado que la respuesta de los tejidos neoplásicos y los sanos es altamente
variable. Más aún, para algunos tejidos la respuesta de los mismos presenta
comportamientos pronunciados, es decir, para pequeñas variaciones de la dosis la respuesta
del tejido es muy variable [ 3]. Esto último ha hecho que a lo largo de los años la
radioterapia haya puesto especial hincapié en tratar de mejorar la calidad global del
tratamiento. Para ello han sido reconocidas una serie de etapas que conducen a que el
tratamiento sea exitoso. Estas son llevadas a cabo por un cuerpo interdisciplinario de
profesionales altamente entrenados formado por médicos oncólogos radioterapeutas,
7
físicos en radioterapia, dosimetristas, técnicos en radioterapia y enfermeros. Las etapas que
se han definido para tratamiento [ 1] son:
Evaluación clínica del paciente. Esta incluye un completo examen físico y análisis
de la información diagnóstica disponible (tomografía axial computada (TAC), rayos X,
ecografías, resonancia magnética nuclear (RMN), centellografía, tomografía por emisión
de positrones (PET), histopatologías, etc.). El objetivo de ésta es conocer las características
biológicas y patológicas del tumor.
Decisión terapéutica. Esta incluye la determinación del objetivo de la terapia
(curación o paliación), evaluación de los métodos terapéuticos alternativos y elección de la
modalidad terapéutica a ser aplicada en el paciente. Esta puede ser teleterapia o
braquiterapia. Se determina el plan de tratamiento a seguir, el cual incluye la dosis total a
entregar, el fraccionamiento (dosis por sesión, periodicidad y duración del tratamiento) y
tipo de radiación (energía del haz de irradiación).
Localización del volumen blanco. Una vez llevada a cabo la elección de la modalidad
de tratamiento radioterápico a llevar a cabo, se localiza el tumor y sus extensiones en
relación a los tejidos sanos que los rodean, para de esta forma localizar fácilmente en la
planificación el volumen blanco. Esto se logra por medio de exámenes físicos y
diagnósticos por imágenes (TAC, PET; RMN, Ecografía, etc).
Planificación del tratamiento. En el caso de teleterapia involucra diversos pasos, el
primero de ellos es la simulación y/o localización. Esta se lleva a cabo en un equipo de
radiodiagnóstico (simulador) capaz de reproducir la unidad de tratamiento (bomba de Co60
o Linac) en términos de sus propiedades geométricas, mecánicas y ópticas. En algunos
casos las placas simuladas están siendo reemplazadas por imágenes tomográficas en
procesos llamados “simulación virtual”. Esto tiene como principal ventaja la posibilidad
de poder definir el volumen blanco en tres dimensiones. También en algunos casos se usa
RMN, PET, TAC o algún otro estudio de diagnóstico por imágenes. La TAC también se
utiliza como mapa de densidad electrónica para realizar cálculos dosimétrico.
El proceso de simulación permite localizar el tumor y las estructuras sanas que
rodean al mismo y con esta información posicionar correctamente al paciente en el
tratamiento. En esta parte de la planificación se define el volumen blanco el cual tiene en
cuenta el volumen de tumor demostrado, otros tejidos donde se presume la existencia de
tumor y los tejidos sanos (sobre todo si éstos pertenecen a órganos de riesgo) que rodean al
8
tumor. De acuerdo al ICRU [ 4] los volúmenes de interés en la planificación de tratamiento
son definidos como sigue y se ilustran en la Fig. 1.
•
Volumen Tumoral Grueso (GTV): es todo lo que se conoce como enfermedad visible
macroscópicamente e incluye a los nódulos linfáticos patológicos. Cuando el GTV es
determinado es importante usar una ventana tomográfica para tener una aproximación
de la dimensión máxima del tumor y que es considerada la enfermedad potencial
macroscópica.
•
Volumen Tumoral Clínico: abarca la región del GTV más las regiones que albergan
enfermedad microscópicamente potenciales.
•
Volumen tumoral de planificación (PTV): provee un margen que rodea el CTV para
contemplar variaciones en el posicionamiento y otros movimientos anatómicos durante
el tratamiento tales como la respiración. El PTV no contempla los haces de la máquina
de tratamiento.
•
Volumen de tratamiento (VT): Es el volumen que recibe la dosis prescrita. En general
este volumen incluye al PTV.
Volumen Irradiado
Volumen deTratamiento
Volumen Tumoral de Planificación
Volumen Tumoral Clínico
Volumen Tumoral Grueso
Fig. 1. Ilustración esquemática de los diferentes volúmenes de interés en la planificación, tal como han sido
definidos por ICRU.
9
•
Volumen irradiado: es aquel volumen que rodea al VT y que recibe más del 20 % de la
dosis prescrita. Debe ser reportado en la planilla física para una evaluación de los
órganos de riesgo.
Debido a que la mayoría de las veces el tumor está ubicado a gran profundidad, al
penetrar el haz de radiación interactúa con los tejidos sanos que rodean al tumor. Es por
ello que en estos casos hace falta combinar campos de irradiación, de forma tal que la
totalidad de la dosis a depositar se concentre en el volumen blanco, y no tanto en los
tejidos sanos. Para decidir la técnica de campos múltiples a usar, debe tenerse en cuenta la
profundidad del tumor, la tolerancia de los tejidos sanos a ser irradiados y la energía de los
fotones con que se irradia. De esta forma la simulación define los campos de entrada de la
radiación, su tamaño y dirección.
Con la dosis prescrita en el PTV y órganos de riesgo, el físico en radioterapia y el
dosimetrista realizan la segunda etapa de la planificación. En ésta se calcula la distribución
de dosis y se determina la relación dosis/tiempo/volumen. La precisión de este cálculo
depende de los datos ingresados a la máquina, aproximaciones hechas en los algoritmos de
cálculo, datos del paciente que incluyen inhomogeneidades, y la precisión con la cual los
parámetros de la máquina de tratamiento tales como simetría y planicidad son mantenidos
realizando dosimetrías periódicas. En la última parte de la planificación se calcula el
tiempo necesario de cada aplicación (en UM) para satisfacer la dosis prescripta.
Los cálculos de distribución de dosis requerida para cada paciente son llevados a
cabo por medio de algoritmos de cálculo complejos. Estos algoritmos pueden ser fórmulas
empíricas o directamente simulaciones aplicando el método de Monte Carlo (MC), a ser
desarrollados más abajo.
Finalizando la etapa de planificación se simula nuevamente. Se definen las entradas
de los campos de irradiación dibujando o tatuando sobre el paciente referencias cutáneas
necesarias para la reproducibilidad diaria del tratamiento. El posicionamiento debe ser
reproducido durante todo el tratamiento, para lo cual a veces hace falta el uso de accesorios
de fijación (máscaras, sacos de vacío, etc.). También debido a que los campos generados
por la máquina de tratamiento son generalmente rectangulares, éstos deben conformarse; es
decir, darle una forma al campo de irradiación para que el mismo reproduzca en cierta
medida la proyección del volumen blanco. Esto se logra utilizando metales pesados, tales
como plomo u otras aleaciones similares, moldeados (que conforman al campo) colocados
a la salida del haz de irradiación.
10
Tratamiento: el tratamiento se lleva a cabo por los técnicos radiólogos bajo la
supervisión de los médicos y físicos. Por medio de placas radiográficas verificadoras se
corrobora el correcto posicionamiento del paciente. El médico evalúa al paciente durante
el curso de la terapia para asegurar la respuesta del tumor y la tolerancia al tratamiento.
También se llevan a cabo controles dosimétricos para asegurar la calidad de la radiación
aplicada en el tratamiento.
Debido al efecto letal de las radiaciones en las células de los tejidos expuestos, es
importante el conocimiento fehaciente de la dosis recibida en los distintos volúmenes de
interés. Por ello es que el cálculo dosimétrico requiere de un alto grado de exactitud para
que sea clínicamente aceptable. Esto le ha dado al cálculo de dosis una importancia
significativa dentro de la planificación de tratamiento radiante externo. La dosis es la
energía impartida por unidad de masa por radiación ionizante. En el caso de radioterapia
externa con fotones de alta energía la dosis total recibida está compuesta por dos
componentes:
Componente primaria. Incluye a todos los fotones provenientes directamente de la
fuente más los fotones que surgen de dispersiones en algún punto entre el cabezal del
equipo y el fantoma (incluye a todas las componentes del cabezal y el aire).
Componente secundaria. Incluye los fotones que surgen de dispersiones en el
fantoma.
Un paso esencial en el sistema de cálculo de dosis es conocer el comportamiento de
la dosis con las variables energía del haz, profundidad, tamaño del campo, distancia de la
fuente, sistema de colimación del haz y forma y composición del fantoma o paciente. Esto
es indispensable para calcular la distribución de dosis, y con ella la dosis que recibe un
punto cualquiera del volumen irradiado.
Existen diversos métodos para calcular la distribución de dosis. Entre ellos están los
métodos que resuelven la ecuación de transporte de Boltzmann a partir de primeros
principios, tales como el método de Monte Carlo (MC)[ 5- 9] u otros métodos derivados
tales como el de “pencil beam” [ 5, 10] que utiliza soluciones parciales del método de MC.
De todos modos, los métodos más utilizados en la actualidad son los llamados
semiempíricos.
11
La dosis impartida no debe diferir en más de un 3 o 4% respecto de la dosis prescrita
[ 11]. Bajo estas consideraciones la complejidad de los sistemas de planificación ha ido
evolucionando considerablemente. Los primeros planificadores comerciales hacían uso
exclusivo de bases de datos almacenadas y sencillas fórmulas empíricas [ 12], mientras que
los planificadores más modernos hacen uso de convolución de soluciones parciales
obtenidas por el método de MC [ 10]. Por otro lado están surgiendo argumentos para
proponer el método de MC como herramienta primaria en el cálculo dosimétrico y/o
control de calidad de los sistemas de planificación [ 5].
El MC es un método estadístico que sirve para resolver la ecuación de transporte de
Boltzmann. Los métodos determinísticos resuelven la ecuación de transporte considerando
las propiedades promedio de las partículas. En cambio el MC no resuelve ninguna
ecuación explícita sino que simula cada partícula en forma individual, siguiendo sus
trayectorias y las de sus progenitoras. Cada partícula es seguida desde su nacimiento hasta
su desaparición. La desaparición está asociada a la absorción, la fuga del sistema en
estudio, o a un estado energético por debajo de una energía de corte predeterminada.
Durante la simulación las trayectorias de las partículas están gobernadas por las leyes
físicas relativas a la interacción de la radiación con la materia. Cada interacción se
denomina evento y cada evento está asociado a una probabilidad de ocurrencia. Dicha
probabilidad se calcula utilizando números aleatorios y las funciones de distribución de
probabilidad que describen los distintos tipos de interacción. Cuando el número de
partículas simuladas es suficientemente grande se puede obtener la dosis absorbida en un
dado elemento de masa sumando todas las deposiciones energéticas ocurridas en el
mismo. El tiempo requerido para llevar a cabo el cálculo de distribución de dosis es
elevado respecto a la cantidad que deben llevarse a cabo para satisfacer la demanda diaria
de un centro de radioterapia. Esto sumado a su alto costo, hace que el método de MC sea
impráctico y sólo se utilice mayoritariamente en centros de investigación.
Como se mencionó, los métodos anteriores son inviables en los cálculos diarios
dosimétricos, por lo que en la planificación se utilizan algoritmos de fórmulas empíricas
para el cálculo de distribución de dosis. Como el cálculo para cada paciente es distinto es
necesario por un método alternativo corroborar y garantizar que las UM prescritas sean las
correctas. Para ello se utilizan los métodos alternativos de cálculo.
Los métodos manuales de cálculos dosimétricos (semiempíricos) utilizan
mayoritariamente datos experimentales. Los mismos proporcionan casi toda la información
dosimétrica necesaria para poder calcular la distribución espacial de dosis que genera un
12
equipo de irradiación en un medio homogéneo. Estos datos son medidos por medio de
dosímetros automáticos (escáners dosimétricos 3D) en un fantoma. Los datos son cargados
en los sistemas de cálculo, que por medio de algoritmos los relacionan utilizando funciones
semiempíricas tales como TAR (tissue air ratio), TPR (tissue phantom ratio), PDD (percent
dose depth) y OF (output factor)[ 13- 16]. De esta forma se puede encontrar la distribución
de dosis en cualquier parte del fantoma o paciente, relacionando estas funciones con el
rendimiento del equipo medido en condiciones de referencia (dosis absoluta). Las
condiciones de referencia se toman según criterios recomendados, por medio de
dosimetrías absolutas [ 16].
Los métodos manuales de cálculo pueden en algunos casos poseer errores de hasta
un 5 % [ 11], pero el reducido costo computacional (pueden ser ejecutados en una
computadora personal) ha hecho que en la actualidad sean los métodos más utilizados.
Debido a la dispersión de radiación en el fantoma y en el equipo (aire, cabezal, etc.),
los métodos de cálculos manuales no solo dependen de la energía y la profundidad, sino
del tamaño y forma del campo de irradiación. Para conseguir tabulaciones compactas de
datos se estandariza la forma de los campos (campos circulares y/o cuadrados). Esto,
sumado al hecho que en los tratamientos de radioterapia los campos a irradiar no son
generalmente estándares, sino rectangulares o conformados, se ha buscado a lo largo de
los años la forma de calcular distribuciones de dosis para campos rectangulares
recurriendo a tablas de equivalencias. Es aquí donde nace el concepto de equivalencia
entre campos o simplemente campo equivalente. Existen distintos métodos para encontrar
campos equivalentes, los más utilizados están descriptos en el British Journal of
Radiology (BJR) [ 14].
Las tablas del BJR asocian cualquier campo rectangular a su correspondiente campo
cuadrado equivalente. El campo cuadrado equivalente se define como aquel campo de
dimensiones estándar que tiene la misma contribución de fotones dispersados en fantoma o
función de dispersión (en un punto en eje central) que el campo no estándar a irradiar [ 14].
Para obtener la función de dispersión se utiliza el método de integración de Clarkson
[ 15, 17], que consiste en dividir el campo a irradiar en sectores angulares, cada uno de los
cuales tiene asociada una función de dispersión de campo circular de acuerdo al radio de
cada sector. Estos sectores son luego integrados para obtener la función de dispersión, la
cual se corresponde con su equivalente estándar. La función de campo circular que utiliza
el BJR es el SAR (scatter air ratio) [ 18]. Esta es una función semiempírica que contempla
la componente de dosis secundaria. El uso de los cuadrados equivalentes del BJR es
13
aceptado ya que se ha demostrado su validez experimentalmente, pero no se ha justificado
el por qué de su validez en términos teóricos [ 26].
Otro método para encontrar campos equivalentes mucho más simple es la regla del
“área sobre el perímetro”. Según ICRU [ 11] esta regla, debida a Sterling (1964),
corresponde a decir que el campo cuadrado equivalente es el cuadrado cuyo cociente entre
su área y perímetro es el mismo que aquel del campo rectangular. Aunque esta regla no se
basa en propiedades de la radiación, los resultados son aceptables y cercanos a los de la
tabla de cuadrados equivalentes del BJR. Esta regla falla al tratar de predecir campos más
largos que 20 (cm) y para relación de elongación y/x (x e y son los lados del campo
rectangular), mayores que cuatro [ 19, 20].
Como mencionamos anteriormente tanto el método del BJR como el de “área sobre
perímetro” hacen separación de radiación primaria y secundaria para calcular la
equivalencia [ 13, 15]. A pesar de que los métodos son de remarcable exactitud, la validez
de separar ambos tipos de radiaciones ha sido cuestionada [ 21]. Consideraciones del
transporte de electrones secundarios bajo condiciones donde no haya equilibrio electrónico
conducen a diferentes conclusiones [ 22, 23]. Por ejemplo, una situación sin equilibrio
puede ocurrir cuando se consideran regiones cercanas a los bordes de campo definidos por
los bloques, en el caso de campos conformados. Por otro lado los dosímetros usados en
radioterapia no distinguen componentes primarios de secundarios. Actualmente para
encontrar distribuciones de dosis sin separación de radiaciones primaria de secundaria debe
apuntarse a métodos de cálculo basados en MC, los cuales como ya se mencionó, son muy
costosos. Es aquí donde surge la necesidad de desarrollar métodos de cálculo que no
separen radiación primaria de secundaria y que a su vez sean accesibles y simples de
implementar.
El método de cálculo desarrollado es similar al ya existente en la literatura pero con
la introducción de nuevas funciones empíricas cuya obtención requiere únicamente
mediciones en fantoma (no se separan las componentes del haz) [ 24]. Además la
formulación propuesta es consistente y es justificada con las definiciones que surgen de
primeros principios [ 25].
Recientemente se demostró la factibilidad de aplicar el método de Clarkson a
funciones de campo circulares que expresen datos de dosis total en profundidad (sin
separar contribución primaria de secundaria) [ 24]. Bajo esta premisa se desarrolla el
nuevo método de cálculo.
14
Este trabajo utiliza funciones semiempíricas como el PDD y el factor de salida de
campo (OF), y métodos de cálculo como el de Clarkson [ 17 ]. Además utilizando la
inversa de la ecuación de integración por sectores (de origen reciente) se pueden encontrar
funciones de campo circular basándose en datos medidos para campos rectangulares de
variación unidimensional.
Midiendo PDD y OF unidimensionales se pueden encontrar el factor de salida
generalizado para diferentes profundidades (OFg) (función semiempírica integrable), estas
mediciones sólo se realizan en una ocasión (es decir variando la apertura de los
colimadores en su dimensión x o en y) debido a las propiedades cancelatorias del “efecto
del intercambio de los colimadores” (desarrollado en la teoría) [ 13]. Una vez obtenidos los
OFg se calcula aplicando la inversa de la ecuación de integración por sectores las
funciones de campo circular. Estos a diferencia de la función de dispersión usada en el
BJR, tienen asociadas tanto las componentes primarias y secundarias de la radiación ya que
se obtienen en base a datos medidos en el fantoma. Además estas funciones contienen toda
la información relacionada al cabezal, el aire y el medio dispersor (fantoma) y como
consecuencia no es necesario describir la geometría del cabezal en el formalismo
desarrollado.
Finalmente con las funciones de campo circular y utilizando el método de Clarkson
es posible encontrar los OFg para cualquier campo rectangular (aunque en principio
también se podría calcular para cualquier geometría de campo). Relacionando el OFg para
una profundidad cualquiera con el OFg para una profundidad de referencia se calcula en
base a la definición de OFg los PDD de campos rectangulares del equipo en cuestión. Con
estos PDD es posible llevar a cabo cálculos manuales de distribución de dosis
correspondientes a la etapa de planificación del tratamiento.
Aunque limitamos este método de cálculo al estudio en eje central, crea una línea de
trabajo novedosa que no hace separación de radiación primaria y secundaria. Futuros
trabajos pueden ampliar la aplicación de este método, hasta el punto que no se precise de
los conceptos de cuadrados equivalentes y las tablas del BJR.
15
III. TEORÍA
A. Conceptos generales
La radioterapia requiere del conocimiento de la interacción de la radiación con los
tejidos para poder así cuantificar la magnitud de los efectos biológicos. El conocimiento de
los mecanismos de interacción permite además diseñar estrategias para optimizar el uso de
la radiación. La magnitud de los efectos biológicos está relacionada a la dosis impartida en
los tejidos. Las estrategias de irradiación están relacionadas a las propiedades de la
radiación, a las formas de irradiación y al tipo de patologías a tratar.
En este apartado se explicarán los conceptos de dosis impartida, las propiedades de la
radiación y las formas de irradiación (haces y manera de generarlos).
Dentro del proceso de planificación de tratamientos radiantes se encuentra la etapa
de cálculos dosimétricos. La ejecución de dicha etapa permite conocer la distribución de
dosis en los volúmenes de interés. Como se mencionó en la introducción, existen diversos
métodos de cálculo dosimétricos. En este capítulo se describirán los métodos
semiempíricos más utilizados y se detallarán los fundamentos de la metodología de cálculo
alternativa propuesta en este trabajo.
1. Concepto de dosis
Dosis Absorbida:
La dosis absorbida es relevante a todo tipo de irradiación ya sea directa o
indirectamente ionizante [ 2].
Definición:
La dosis absorbida D puede ser definida en términos de cantidades estocásticas
relacionadas con la energía impartida ε [ 2]. La energía impartida por radiación ionizante
en un elemento de materia de masa m con un volumen finito V se define como
ε = (Ren)s - (Rsal)s + (Ren)c - (Rsal)c + ∑Q
16
( 1)
donde, (Ren)s es la energía radiante de la partícula sin carga que entran en el
volumen V.
(Rsal)s es la energía radiante de todas las partículas sin carga que
abandonan el volumen V.
(Ren)c es la energía radiante de las partículas cargadas que entran en el
volumen V.
(Rsal)c es la energía radiante de las partículas cargadas que abandonan
el volumen V. 0
∑Q energía neta derivada de las transiciones masa-energía en el volumen V.
de esta manera ahora se puede definir la dosis en algún punto P en el volumen V como:
D=
dε
dm
( 2)
cuya unidad es el Gray, que equivale a
1J
donde ε ahora es el valor esperado de energía
Kg
impartida en un volumen finito durante un intervalo de tiempo, dε es la energía para un
volumen infinitésimo dV y dm es la masa correspondiente a ese diferencial de volumen
[ 2].
De aquí en más a la magnitud dosis absorbida se la referirá simplemente como dosis.
2. Definición de un haz de fotones
Existen dos tipos de descripción de la radiación electromagnética a saber [ 13]:
Modelo ondulatorio. Las radiaciones electromagnéticas constituyen un modo de
propagación de energía para fenómenos tales como ondas de radio, ondas de calor, ondas
de luz, rayos ultravioleta, rayos X o rayos γ. Una onda electromagnética puede ser
representada por su variación espacio-temporal de las intensidades de un campo eléctrico y
magnético, ambos de carácter vectorial y ortogonales uno respecto del otro en cualquier
instante. La energía se propaga en el vacío a la velocidad de la luz en dirección ortogonal a
los vectores de intensidad de las ondas eléctricas y magnéticas.
17
Modelo cuántico. Para explicar el resultado de ciertos experimentos que involucran
la interacción de la radiación con la materia tales como el efecto fotoeléctrico y la
dispersión Compton, se puede considerar la radiación electromagnética como partículas en
lugar de ondas. La cantidad de energía transportada por un paquete de energía, o fotón,
depende de la frecuencia de radiación. Esta descripción es la más utilizada para describir
los procesos de interacción de la radiación con la materia para energías de uso clínico.
3. Interacción de la radiación indirectamente ionizante con la materia
Cuando un haz de fotones (cuyas energías corresponden a haces de uso clínico)
atraviesa un medio, se llevan a cabo diversas interacciones entre éstos y la materia. En
estas interacciones se produce transferencia de energía. Dicha transferencia puede
producir eyección de electrones de los átomos del medio absorbente, exitación y
producción de electrones y positrones. Las partículas cargadas puestas en movimiento
pueden producir a su vez ionizaciones, exitaciones y radiaciones electromagnéticas en su
camino. En particular, los positrones pueden también ionizar y/o aniquilarse. De esta
forma las partículas cargadas van transfiriendo su energía al medio a lo largo de su
trayectoria, lo cual deviene en dosis absorbida en el volumen irradiado. El conocimiento
de esta cantidad es de importancia primaria en radioterapia, ya que de ella dependen los
efectos biológicos de las radiaciones.
La distribución de dosis está relacionada con los distintos procesos por medio de los
cuales es absorbida la energía en el medio. En el rango de energías de uso clínico
(KeVs-MeVs) existen fundamentalmente cuatro procesos de interacción de los fotones con
la materia [ 13, 15] que son desarrollados a continuación. En la Fig. 3 se ilustran los
mismos, siguiendo la trayectoria del fotón desde que incide en el fantoma hasta que
deposita toda o gran parte de su energía.
Dispersión coherente. Consiste en la interacción de una onda electromagnética y un
electrón. El electrón oscilante reirradia la energía a la misma frecuencia que la onda
electromagnética incidente. De esta manera la onda emergente tiene la misma longitud de
onda que el haz incidente. Como consecuencia el medio no absorbe energía. Este proceso
ocurre para materiales de número atómico (Z) alto y energía de fotones baja.
Efecto fotoeléctrico. Es un fenómeno en el cual un fotón interactúa con un átomo y
eyecta uno de los electrones orbitales del mismo. En este proceso, toda la energía del fotón
incidente es transferida. La energía cinética del electrón eyectado (llamado fotoelectrón) es
igual a Ei –Eb, donde Eb es la energía de ligadura del electrón y Ei la energía del fotón
18
incidente. Este proceso se ve favorecido por el aumento de Z y con la disminución de la
energía del fotón incidente
Efecto Compton. En este caso el fotón interactúa con un electrón libre o ligado. En
esta interacción, el electrón recibe algo de la energía del fotón y es eyectado en un cierto
ángulo, mientras que el fotón es dispersado en otra dirección. La probabilidad de
ocurrencia de este proceso disminuye con la energía.
Producción de pares. En este caso el fotón interactúa con el campo electromagnético
del núcleo y cede toda su energía en el proceso creando un par electrón - positrón. Ya que
la energía másica en reposo del electrón es equivalente a 0,51 MeV, se requiere de una
energía mínima de 1,02 MeV (umbral) para crear el par de cargas. Este proceso se ve
favorecido por el aumento de la energía del fotón incidente (a partir del umbral) y de Z.
En el rango de energías que se utilizan para tratamientos radiantes, de los cuatro
procesos mencionados el que más probabilidad de ocurrencia tiene es el efecto Compton
por lo que es el proceso que generalmente más se hace alusión en la bibliografía
relacionada a la física en radioterapia.
4. Interacción de las partículas cargadas con la materia.
Las partículas cargadas transfieren su energía de una manera diferente a las de
radiaciones sin carga (fotones). Las partículas cargadas tienen campos eléctricos
culómbicos e interactúan con los electrones o el núcleo de los átomos que se encuentren
en sus trayectorias. Las partículas cargadas son responsables directas de la deposición de
energía en el medio (dosis). A continuación se analizan los tipos de interacción y
parámetros asociados a la trayectoria de dichas partículas, como rango y equilibrio
electrónico.
Las interacciones se pueden caracterizar según el tamaño relativo entre el parámetro
de impacto (b) y el radio atómico (a) [ 2] como se ilustra en la Fig. 2. Las siguientes tres
interacciones son las más comunes en radiaciones de uso clínico.
Colisiones suaves (b>>a). Cuando una partícula cargada pasa a una distancia
considerable del átomo, la fuerza coulombiana del campo de ésta, afecta a la totalidad del
átomo excitándolo a un nivel más alto de energía y con menor probabilidad se produce
ionización por la eyección de un electrón de las capas de valencia.
Colisiones duras o Knock on (b ∼ a). Cuando el parámetro de impacto es del orden
de las dimensiones atómicas es muy probable que la partícula incidente interactúe con un
19
electrón atómico, eyectándolo con una energía cinética considerable, el cual es llamado
rayo delta (δ). Este último tiene la suficiente energía para producir otras interacciones. A
pesar de que el número de sucesos es menor comparado con las colisiones suaves, las
pérdidas de energía de las partículas incidentes en ambos procesos son similares.
Fig. 2. Diagrama esquemático del parámetro de impacto b vs. el radio atómico a.
Interacción de la fuerza coulombiana con el campo externo del núcleo (b<<a).
Cuando el parámetro de impacto es mucho más pequeño que el radio atómico las fuerzas
coulombianas interactúan principalmente con el núcleo. En la mayoría de las interacciones
las partículas cargadas incidentes son dispersadas elásticamente sin emisión de rayos X o
exitando el núcleo, sufriendo deflección. En el 2 o 3% de los casos restante en que las
partículas pasan cerca del núcleo, ocurren interacciones inelásticas las cuales emiten un
fotón de rayos X (radiación de frenado). Las partículas cargadas no sólo son deflectada
sino que entregan gran parte de su energía cinética en el proceso de frenado. La sección
eficaz por átomo es proporcional a Z 2 y aumenta con la energía incidente.
La trayectoria de las partículas cargadas en un medio es finita y depende de la
energía inicial, de la composición del medio y del tipo de partícula. En particular, los
electrones (y positrones), por presentar baja masa describen una trayectoria tortuosa,
20
alcanzando el reposo luego de recorrer un camino dado. Si se proyecta la distancia
recorrida en la dirección de incidencia se obtiene el rango proyectado que es el valor
esperado de la máxima profundidad de penetración. En la Fig. 4 [ 15] se ilustra lo
mencionado donde las flechas representan las trayectorias e interacción casi continua de
los electrones en la materia. La fluencia de electrones y por lo tanto la dosis, se incrementa
con la profundidad hasta alcanzar un máximo a la profundidad dmax, la cual define la zona
de “buildup”. A partir de este punto, si se asume que no existe atenuación, la cantidad de
electrones frenados es prácticamente la misma que la puesta en movimiento en un volumen
Efecto Compton
Efecto Fotoeléctrico
hν
hν
hν
Producción de Pares
e+
hν2
e-
e-
e-
Interacción de los electrones con la materia
Electrón Delta
e-
Fotón Bremsstrahlung
e-
Electrón frenado
hν1
e-
e-
eeee-
hν2
Rango del Electrón (R)
Fig. 3. Ilustración de las distintas interacciones de fotones y electrones dentro de un fantoma.
21
definido lográndose el llamado equilibrio electrónico. Como se ve en la parte superior de
la Fig. 4a el equilibrio electrónico comienza en el cuadro D donde los electrones generados
en el cuadro A alcanzan el rango máximo R. Esto hace que en la zona de equilibrio
electrónico la dosis sea constante con la profundidad. Sin embargo la fluencia de fotones
decrece continuamente con la profundidad (por la atenuación del medio) y como resultado
la producción de electrones también disminuye. Como se ve en la Fig. 4b el resultado neto
de este fenómeno es que más allá de dmax la dosis disminuye. En esta región se está en
presencia del llamado equilibrio electrónico transiente.
22
Fig. 4. Gráfica que muestra esquemáticamente porque la dosis absorbida incrementa con la profundidad y
cómo se logra el equilibrio electrónico luego de superar la zona de “buildup”.
Los fotones provenientes de la fuente producen una cascada de interacciones en los
elementos del cabezal, el aire y el fantoma antes de que su energía sea absorbida en forma
de dosis. Las interacciones producidas en los elementos del cabezal y el aire generan
fotones dispersados y partículas cargadas, estas últimas contaminan el haz de fotones y
contribuyen a la dosis en la zona del “buildup”. Este efecto se lo conoce como
contaminación electrónica.
23
5. Formas de medir la dosis producida por un haz de fotones
Cuando un haz de fotones interactúa con la materia (mediante los procesos descriptos
en la sección III.A.3) imparte energía cinética a las partículas cargadas aparte de exitar y/o
ionizar los átomos que son centros de interacción. Debido a que las partículas cargadas
interactúan de forma casi continua, la cantidad de ionizaciones y exitaciones que estos
producen es considerablemente mayor a la que los fotones producen en sí. El balance de
energía que resulta de la ecuación ( 1) deviene en un incremento de temperatura que es
proporcional a la energía impartida ε y está asociada a la capacidad calorífica del medio.
De este concepto surgen los métodos calorimétricos. Estos métodos son los más exactos y
son los que utilizan los laboratorios primarios de calibración dosimética [ 2]. Estos
métodos son muy costosos y requieren de configuraciones experimentales muy complejas.
Por ésto para uso clínico se utilizan métodos indirectos de medición de dosis tales como
densitometría de films, termoluminiscencia, semiconducción, ionometría, etc [ 2]. De
éstos, los más precisos son los métodos ionométricos, y por otro lado los más usados.
Para llevar a cabo las mediciones de los datos necesarios para hacer cálculos
dosimétricos, se utiliza el método ionométrico que requiere básicamente de una cámara de
ionización y un electrómetro. Una cámara de ionización consiste esencialmente de dos
electrodos colectores separados por un medio que puede conducir si se lo ioniza, como por
ejemplo el aire. Los electrodos son polarizados por una tensión continua típicamente 300
Volts. El número de cargas colectadas es proporcional al número de electrones liberados
por la radiación ionizante, que a su vez es proporcional a la energía absorbida en el
volumen activo de la cámara. La eficiencia del dosímetro es función de variables tales
como la temperatura y presión a la que se encuentre el aire que contiene. Si éstas están
asociadas a las condiciones ambientales se dice que la cámara de ionización es abierta.
Existen distintos tipos de cámaras de ionización [ 2] de las cuales la de interés en este
trabajo es de “tipo dedal”, que fue utilizada para realizar mediciones.
El principio de funcionamiento de la “cámara dedal” [ 13] es ilustrado en la Fig. 5.
En la Fig. 5A se muestra una esfera de aire con una cavidad también de aire en su interior.
Si se asume que la esfera es irradiada uniformemente con un haz de fotones y además la
distancia entre la capa de aire y la cavidad interna es igual al rango máximo de electrones
en aire, se puede asumir que la cantidad de electrones que entran en la cavidad es igual al
número de electrones que la abandonan (equilibrio electrónico). Se asume también que es
posible medir la cantidad de partículas cargadas producidas dentro de la cavidad debidas a
electrones generados en el volumen de aire que rodea dicha cavidad. Con esta medición y
24
conociendo el volumen de la cavidad es posible obtener toda la información necesaria para
llevar a cabo los métodos de cálculo semiempíricos (desarrollados en la sección III.B). Si
la capa de aire de la Fig. 5A es compactada a una pared sólida como se ve en la Fig. 5B, se
tiene una cámara dedal. Aunque la pared sea sólida es equivalente al aire, es decir que los
fotones interactúan de la misma forma en ambas capas. Ya que la densidad de la pared
aire-equivalente es mucho mayor que la del aire, el espesor requerido para conseguir
equilibrio electrónico es menor. La Fig. 5C muestra una cámara típica de dedal, llamada
así por su forma. La superficie interna de la misma está recubierta de un material conductor
Fig. 5 Diagrama esquemático que ilustra la naturaleza de la cámara de ionización. A, Capa de aire junto a la
cavidad de aire. B, Pared sólida de aire-equivalente con la cavidad de aire. C, Cámara de ionización “tipo
dedal”.
que forma uno de los electrodos. El otro es una varilla de grafito o aluminio sostenida en el
centro del dedal pero aislada del mismo. Se aplica entre los electrodos un voltaje adecuado
para que puedan colectar los iones.
El electrómetro es el dispositivo que suministra el voltaje a la cámara de ionización
para colectar la carga producida. Las mismas son medidas en unidades de coulombs y
leídas en el display (analógico o digital). Debido a las pequeñas corrientes proporcionadas
por la cámara de ionización, se lo puede pensar como un voltímetro de muy alta
impedancia. Existen distintos diseños con mayor o menor sensibilidad y consecuentemente
25
precisión. La mayoría, sin embargo, utilizan amplificadores operacionales, por su alta
impedancia de entrada [ 2], lo cual los hace compatibles con casi cualquier tipo de cámara
de ionización.
El método ionómetrico se puede utilizar para realizar dosimetrías absolutas y
relativas. La dosimetría absoluta permite conocer la dosis absorbida en un medio sometido
a radiaciones. Utilizando una cámara de ionización se puede relacionar la dosis absorbida
en un punto en un medio, en ausencia de la cámara, con la carga colectada. Dicha relación
depende del medio irradiado, del tipo de radiación, de la geometría de la irradiación, de los
materiales de la cámara, etc. Dichos procedimientos están descriptos en [ 13, 15] y no son
objeto de estudio en el presente trabajo. La dosimetría relativa cuantifica los cambios
relativos de dosis por cambios de configuración del sistema que se estudie. En el caso de
irradiación con fotones, en condiciones de equilibrio electrónico y asumiendo que no
cambia la eficiencia del instrumento, la relación de dosis producida al irradiar dos
configuraciones es el cociente de lecturas del instrumento (electrómetro). Esto es debido a
que para fotones los factores que llevan los valores de las lecturas a valores de dosis son
los mismos tanto para numerador como para el denominador, por lo que se cancelan.
6. Utilización de la radiación en la terapia radiante
Las aplicaciones de radioterapia normalmente están dadas por una combinación de
haces de fotones (o campos de fotones) de alta energía dirigidos desde distintas
direcciones al área a irradiar. Estos son aplicados tanto con máquinas de Co60 como con
aceleradores lineales, dependiendo de la elección de energía a aplicar para cada
tratamiento.
La máquina de irradiación consta de diversas partes [ 13, 15], de las cuales se hará
hincapié sólo en aquellas necesarias para el mejor entendimiento de esta tesis.
En general una máquina de irradiación está compuesta por la unidad de mando y el
dispositivo de irradiación propiamente dicho. Este último está compuesto por el gantry (el
cual monta al cabezal) y la camilla. El movimiento rotacional del gantry, junto a los
movimientos de la camilla, tiene la función de hacer pasar el haz de irradiación por el
volumen a tratar, según las especificaciones de la planificación.
El cabezal consiste de una gruesa capa de material de blindaje de alto peso atómico
(Pb, W, o una aleación de ambos), y según se ve en la Fig. 6. Este contiene la fuente, el
filtro aplanador, las cámaras de monitoreo, los colimadores primarios (fijos) y secundarios
(móviles), y el sistema de luz localizadora de campo.
26
Fig. 6. Diagrama esquemático del cabezal de una máquina de irradiación.
La fuente puede ser de rayos X, electrones, o de rayos γ. Esta última es una fuente
isotópica de Co60 producida al irradiar Co59 con neutrones en un reactor. La fuente o
pastilla es doblemente encapsulada de forma tal de evitar cualquier fuga del material
radiactivo. Las máquinas isotópicas contienen la pastilla en un blindaje que asegure
niveles de exposición aceptables y es puesta en posición de irradiación a la hora de irradiar
al paciente.
En el caso de un acelerador lineal la fuente de rayos X es más compleja. Posee un
dispositivo que usa ondas electromagnéticas de alta frecuencia para acelerar partículas
cargadas (en este caso electrones) a altas energías a lo largo de la estructura aceleradora.
27
El haz de electrones de alta energía puede, a su vez, ser usado para tratamiento superficial
de tumores (los cuales no son parte del estudio de esta tesis), o bien bombardear el blanco
(generalmente W) y así producir los rayos X usados para tratamiento de lesiones
profundas.
Los colimadores primarios son los encargados de eliminar la mayor cantidad de
radiación que emite la fuente en direcciones distintas a la del haz clínico.
El filtro aplanador cumple la función de atenuar el haz en la parte central y en menor
medida en la periferia, de forma tal que la intensidad del haz en el sentido transversal sea
uniforme.
Las cámaras monitoras, que por lo general constan de diversas cámaras de
ionización, tienen la función de verificar la fluencia de fotones.
Los colimadores secundarios al ser móviles definen el tamaño de campo (expresado
como la apertura del colimador del eje x por la apertura del colimador del eje y). Los
colimadores son pares opuestos de bloques de Pb o W, los cuales proveen una apertura
rectangular desde un tamaño mínimo (típicamente 3 x 3 cm2) hasta un tamaño máximo
(típicamente 40 x 40 cm2). Los sistemas de colimación que varían el tamaño de campo
para cada eje (x e y) se encuentran a distintas distancias de la fuente.
B. Métodos manuales o semiempíricos de cálculo
La distribución de dosis en un fantoma o paciente generalmente se obtiene sumando
las contribuciones de cada haz de irradiación. De esta manera el cálculo dosimétrico se
limita a predecir la dosis producida por un haz en ciertas condiciones dadas. Dichas
condiciones están relacionadas a las variables del equipo de irradiación en sí, a la
geometría y composición del medio a irradiar, y a las variables que resultan de la
combinación paciente-equipo. Dentro de las variables inherentes al equipo está el potencial
de aceleración (como energía nominal)∗, los materiales y geometría del cabezal y demás
elementos del hardware. En cuanto al medio a irradiar éste puede tener cualquier forma y
además presentar composición variable (medio heterogéneo). De acuerdo a como se
disponga el paciente o fantoma en el equipo resultarán variables tales como distancia
∗
El potencial de aceleración para haces de fotones de alta energía está relacionado a la diferencia de
potencial asociada a la energía cinética de los electrones acelerados y en unidades de mega voltios (MV).
28
fuente superficie (DFS) a lo largo del eje de simetría del haz, tamaño y forma de campo en
superficie y orientación del medio respecto del haz.
Como se mencionó anteriormente, la dosis es función de diversas variables tales
como la profundidad del punto de medición, la distancia que hay entre la superficie a
irradiar y la fuente, la energía con la cual se irradia, etc. Para hacer una radioterapia
exitosa, es necesario un alto grado de exactitud en la entrega de dosis al paciente. Existen
diversos pasos involucrados en la determinación exacta de la dosis entregada. El cálculo
de la dosis en un punto específico del paciente es uno de estos pasos. Tal cálculo es
llevado a cabo con algoritmos computacionales de planificación de tratamiento o con
procedimientos manuales denominados así en la jerga. Nótese que el término cálculo
manual es usado aquí para el tipo de cálculo que se lleva a cabo manualmente, con una
calculadora de bolsillo o también ejecutando programas de cálculos en una PC.
Existen dos fuertes argumentos que fundamentan la idea de tener métodos válidos
para desarrollar cálculos manuales de dosis en un punto específico [ 16].
•
El hecho de que generalmente cada clínica necesita tratar un gran número de pacientes
con tratamientos paliativos, para los cuales una rápida admisión, dosis relativamente
bajas y una rápida preparación del tratamiento (llevada a cabo con métodos manuales)
es más importante que invertir mucho tiempo en la preparación de un tratamiento más
complejo (el cual se lleva a cabo con los planificadores).
•
Desde el punto de vista de garantía de calidad es esencial una segunda forma de
cálculo del tiempo de tratamiento o UM (unidades monitoras) para cada haz individual.
Esta segunda forma usa cálculos manuales para chequear los resultados de los
planificadores.
A continuación se detallan algunos de los formalismos de cálculos manuales que
serán útiles para la comprensión del método a desarrollar. Dichos formalismos están
relacionados al cálculo dosimétrico para condiciones fácilmente reproducibles por
mediciones. Estas condiciones generalmente se establecen en medios homogéneos, en eje
central de haz y a DFS típicas de tratamiento. En estos métodos se definen diversas
funciones o cantidades que generalmente se obtienen a partir de datos medidos.
29
1. Porcentaje de dosis en profundidad (PDD):
Es una cantidad que expresa el porcentaje de dosis absorbida a cualquier
profundidad (d) respecto a la dosis absorbida a una profundidad de referencia (dref) a lo
largo del eje central del haz, en un medio homogéneo (generalmente agua) [ 13, 15]. Se
puede expresar como:
PDD(d, wp, DFS, E ) = 100 ⋅
Dd
Dref
( 3)
donde Dd es la dosis a profundidad d para un tamaño de campo proyectado en la superficie
del fantoma (wp) y Dref es la dosis a una profundidad de referencia conveniente y el
mismo tamaño de campo en superficie, para una calidad del haz dada. Las variables en
juego son la profundidad (d), el tamaño del campo, la distancia entre la fuente la superficie
a irradiar (DFS) y la energía del haz a irradiar o calidad del haz (E).
El comportamiento del PDD depende de las siguientes variables:
Calidad del haz y profundidad. Cuando un fotón de alta energía penetra el paciente o
el fantoma, son eyectados electrones de alta energía cinética tanto desde la superficie como
las capas subyacentes. Cada uno de estos electrones termina de depositar toda su energía
mediante los procesos descriptos en la sección III.A.3 a una distancia significativa de su
origen. Debido a lo mencionado la fluencia de electrones y por lo tanto la dosis
generalmente aumentan hasta alcanzar dicha distancia (dmax) la cual se conoce como zona
de “buildup” (descripta en la sección III.A.4). A partir de esta profundidad la fluencia
empieza a disminuir por el frenado de los electrones generados en la superficie y la
atenuación del haz de fotones por lo que la dosis también disminuye. Analizando la
ecuación ( 3) y teniendo en cuenta que la dosis a partir de la zona de “buildup” disminuye,
se puede concluir que el PDD también disminuirá con la profundidad, tal como se puede
apreciar en la Fig. 7 [ 13].
30
Fig. 7. Gráfica de los PDD en función de la profundidad para las distintas calidades de haz y campo de 10 x
10 cm2.
El espesor de la zona de “buildup” aumenta a medida que los fotones son de mayor
energía (por el consecuente mayor poder de penetración), con lo que dmax aumentará. Esto
hace que a medida que la energía aumenta (manteniendo las otras variables constantes), el
PDD también lo haga.
La Fig. 7 muestra como para haces de menor energía las curvas de PDD caen más
rápidamente que las de alta energía, a medida que aumenta la profundidad.
Tamaño de campo. A medida que el área del campo aumenta, la dosis a una dada
profundidad también lo hace. Esto se debe al incremento en la radiación dispersada en el
medio por el incremento del volumen irradiado. El PDD aumenta primero rápidamente y
luego más lentamente a medida que el tamaño del campo se incrementa. La variación del
PDD con el área depende también de la calidad del haz. Como muestra la Fig. 9 [ 15] a
medida que la energía aumenta, las curvas de PDDs para los distintos campos tienden a
aproximarse unas con otras. Esto se debe a que la dispersión ocurre hacia adelante, en
menor proporción en sentido lateral y aún menor hacia atrás a medida que la energía
aumenta. La Fig. 8 [ 15] ilustra esta distribución angular de los fotones dispersados en
función de la energía. Dichas distribuciones se obtienen a partir de las secciones eficaces
de dispersión Compton calculada con la ecuación de Klein-Nishina [ 15].
31
Fig. 8. Diagrama polar mostrando la distribución angular de la radiación dispersa para tres calidades de
energías diferentes, calculada con la fórmula de Klein-Nishina. La equis sobre la recta indica que el haz de
fotones corresponde a radiación X.
En general la variable tamaño de campo se define en la superficie del fantoma o
paciente. Una particularidad que tiene esta función es que dada una forma de campo
proyectada sobre la superficie, no depende de la distancia del sistema de colimación a la
fuente; ésto es, un dado campo definido por los colimadores secundarios define un PDD
similar al obtenido conformando el campo con bloques accesorios.
Distancia fuente superficie (DFS). Supongamos un haz de irradiación tal como se
esquematiza en la Fig. 10 [ 15]. Sea S1 una fuente de irradiación puntual, DFS la distancia
fuente superficie, P y Q dos puntos sobre el eje central del haz separados a una distancia d.
Si se colima el haz de forma tal de generar un campo de área Ap en un plano ortogonal al
eje del haz y que contenga al punto P, se observa, por similitud de triángulos, que en un
32
Fig. 9. Gráfica de PDD en función de la calidad de radiación para distintos tamaños de campo. La unidad en
la que se expresan los tamaños de campo es cm2.
plano paralelo que contiene el punto Q el área de campo es
 DFS + d 
Aq = Ap ⋅ 

 DFS 
2
( 4)
Si se desprecia la atenuación en el medio toda la radiación que pasa por el área Ap
debe pasar por el área Aq, por consiguiente, la intensidad del haz, ésto es, partículas por
unidad de área que pasan por el punto Q es
 DFS 
Iq = Ip ⋅ 

 DFS + d 
2
( 5)
donde Iq e Ip representan la intensidad de haz en el punto Q y P, respectivamente. La
ecuación ( 5) representa la ley del cuadrado de la distancia.
Si el haz es atenuado con un coeficiente lineal µ y se combinan estos dos efectos sin
tener en cuenta los efectos en la zona de “buildup” y dispersión en fantoma, se obtiene:
33
2
Iq
 DFS  − µd
= 100 ⋅ 
 ⋅e
Ip
 DFS + d 
( 6)
Si se asume que la dosis en un punto es proporcional a la intensidad del haz, se
observa en la ecuación ( 6) que el PDD aumenta con la DFS.
Fig. 10. Diagrama que ilustra la dependencia del porcentaje dosis profundidad para diferentes distancias
fuente superficie.
La función PDD se determina experimentalmente para cada máquina de irradiación.
Si bien esta función ha sido históricamente definida con profundidad de normalización
correspondiente a la del máximo de dosis, dmax [ 13], los procedimientos modernos
recomiendan una profundidad de normalización de 10 cm [ 16]. A esta profundidad se la
denomina profundidad de referencia y es la que se usa en este trabajo. Esto soluciona el
inconveniente que origina el cambio de dmax con el tamaño de campo.
34
Conocida la dosis en un punto con profundidad dref es posible predecirla a otra
profundidad con la aplicación de la función PDD para las condiciones distancia fuente
superficie, energía, tamaño y forma de campo dadas.
2. Factor de salida de campo (output factor).
El establecimiento de la dosis absorbida en la profundidad de referencia exige el
conocimiento de su dependencia con las variables tamaño de campo, forma de campo,
distancia fuente superficie, medio irradiado, constitución del cabezal del equipo de
irradiación y energía del haz. Respecto de esta última, para haces polienergéticos se asocia
el espectro de energía con parámetros específicos tales como el megavoltaje asociado y/o
el índice de calidad. Un índice de calidad útil es el cociente de las funciones PDD
evaluadas a 20 y 10 cm de profundidad respectivamente, para campo cuadrado de 10 cm
de lado y DFS=100 cm.
La función que describe el comportamiento de la dosis en la profundidad de
referencia y en función de las variables mencionadas se denomina “factor de salida de
campo”, también conocida como “output factor” [ 14, 16]. En lo que sigue a esta función
se la representará por “OF”. Generalmente esta función se obtiene experimentalmente de
forma directa o indirecta.
La mayoría de los métodos de cálculo exigen medirla a una DFS específica, para
cada energía de haz por lo que estas variables se consideran fijas en su formulación. La
Fig. 11 ilustra una curva de OF para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm.
Para definir la función OF se analizarán en detalle las componentes del haz. La dosis
en un punto del medio puede ser analizada en términos de las componentes de radiación
primaria y secundaria para haces de alta energía (Co60, 4, 6, 10 MV, etc.). La componente
primaria está asociada a la dosis producida directamente por fotones provenientes del
blanco y aquellos dispersado por cualquier objeto interpuesto entre el blanco de rayos X y
el medio (fantoma), tales como el filtro aplanador, cámaras monitoras, aire y los
colimadores (primarios, secundarios y terciarios). La componente secundaria está asociada
a la dosis que producen los fotones dispersados en el fantoma.
La función OF se define como [13, 16]
OF [wc, wp ] =
D[wc, wp ]
D[10,10]
( 7)
35
donde wc representa el tamaño y forma de campo definido por los colimadores
secundarios (generalmente campos rectangulares) a una distancia de 100 cm desde la
fuente y wp representa el tamaño y forma del campo generado por los mismos colimadores
o por un sistema accesorio de colimación (bloques) evaluado en la superficie del fantoma
o en isocentro. D(wc,wp) representa la dosis en la profundidad de referencia y en eje
central para los tamaños de campos wc y wp, y D(10,10) la misma dosis pero para campo
de referencia cuadrado y de 10 x 10 cm2 cada uno. Si se escoge una DFS de trabajo de 100
cm, tal como se hace en este trabajo, wc y wp se evalúan sobre un mismo plano.
Diversos trabajos demuestran que la función OF es separable en sus dos variables de
campo [ 13, 16]. De esta forma se puede poner:
OF (wc, wp ) = Sc(wc ) ⋅ Sp(wp )
( 8)
donde Sc está relacionado a la contribución de dosis por radiación primaria y Sp a la
contribución por radiación secundaria o dispersa en el fantoma.
Factor de dispersión del cabezal (Sc). Este factor cuantifica la fluencia en aire
(radiación primaria) con el cambio de apertura de los colimadores (tamaño de campo). A
medida que el tamaño del campo se incrementa, la salida (flujo de fotones) del haz en
general aumenta por aumentar la contribución de fotones dispersados en el cabezal, los
cuales se suman al haz de fotones que provienen directamente de la fuente.
El Sc se define como el cociente entre la dosis en un punto dado para un tamaño de
campo y aquella en el mismo punto pero para un campo de referencia (10 x 10 cm2), ambas
medidas en aire y en condiciones de equilibrio electrónico. En general esta función se mide
a una distancia fuente-cámara de 100 cm. El equilibrio electrónico se puede lograr
utilizando capas de “buildup” o minifantomas localizando la cámara de ionización a una
profundidad de 10 cm y coaxial al haz. El minifantoma es un fantoma de dimensiones
reducidas colocado coaxialmente al eje central del haz de irradiación y su objetivo es
proporcionar el equilibrio electrónico necesario para medir la fluencia primaria de fotones
además de eliminar la contaminación electrónica.
La función Sc se ve afectada por las componentes del cabezal a saber [ 5]:
Dispersión de fotones en el filtro aplanador. Este es el que genera la mayor
dispersión en el cabezal, produciendo un aumento del OF a medida que el tamaño del
36
campo aumenta. El filtro aplanador se encuentra por encima de los colimadores
secundarios. Al abrirse éstos, aumenta la superficie de filtro aplanador vista desde abajo,
por lo que aumenta la cantidad de radiación dispersa que llega al fantoma o paciente.
Intercambio de los colimadores: La mayoría de los aceleradores tienen dos pares de
colimadores secundarios que constituyen los sistemas de colimación x e y. Por encontrarse
éstos sistemas a distinta distancia relativa de la fuente, coliman la radiación dispersa
generada en el cabezal de manera diferente, dando lugar a un efecto denominado de
intercambio de colimadores. Consecuentemente, la salida de un campo rectangular
depende de qué sistema de colimación genera cada par de lados.
Error en la lectura de las cámaras monitoras. Producido por retrodispersión generada
principalmente en los colimadores secundarios contribuyendo a incrementar la lectura en la
cámara y por consecuencia disminuyendo el OF.
Otros accesorios como cuñas, bandejas y filtros también contribuyen a aumentar la
dispersión en el cabezal del equipo y a aumentar de esta forma el OF.
Factor de dispersión en el fantoma (Sp). Este tiene en cuenta los cambios en la
radiación dispersada en el medio (radiación secundaria), a una profundidad dada,
originados en el fantoma como consecuencia de las variaciones en el tamaño de campo.
Fig. 11. Gráfica de Output Factor en función del tamaño del campo. En este caso la energía es de 6 MV y la
DFS=100 cm.
37
El Sp puede ser definido como el cociente entre la razón de dosis (fantoma-aire) para
un tamaño de campo dado, y la razón de dosis (fantoma-aire) para un campo de referencia
(10 x 10 cm2), ambas medidas a una misma profundidad. Una forma práctica para obtener
el Sp es determinada por la siguiente ecuación
Sp ( wp ) =
OF (wc, wp )
Sc(wc )
( 9)
El OF es afectado principalmente por el tamaño de campo. El incremento del OF con
el tamaño de campo, como se observa en la Fig. 11 es debido al aumento de las
componentes secundarias. Para campos grandes, estos incrementos son menos
pronunciados, disminuyendo la pendiente de la curva de OF.
3. Formalismo de cálculo de dosis en eje central.
Dentro de los métodos manuales más conocidos están el formalismo isocéntrico y el
formalismo DFS fijo. El formalismo isocéntrico tuvo su origen con los tratamientos
rotatorios [ 15]. Esto dió origen a la función TAR [ 13- 15] que tiene la propiedad de no
depender de la DFS. Funciones derivadas o semejantes lo son el TPR, el TMR, PSF, etc.
[ 13, 14] que tampoco dependen de la DFS. Esta propiedad aparenta ser un beneficio en
favor de este formalismo. El formalismo asociado a una DFS fija utiliza funciones tales
como el PDD en la que la dependencia con esta distancia es explícita. La ventaja de este
formalismo respecto del anterior estriba en la forma en que se miden los datos aunque
desde el punto de vista físico no hay una diferencia fundamental de éstos [ 27]. Además un
artículo de la NSC [ 16] recomienda que los datos relevantes para los cálculos sean
obtenidos de mediciones de PDD en fantoma de agua. De esta forma los datos de dosis en
profundidad pueden ser medidos de una manera más directa y fácil que los de funciones
como TPR, TAR, TMR, etc. debido a que en estas últimas los niveles de agua deben ser
cambiados continuamente. En la práctica a menudo los datos de TPR son derivados de los
PDD medidos [ 14].
El formalismo de cálculo manual de dosis en eje central más actual es[ 27]:
D
D = Dref ⋅   ⋅ ψ rel
 ψ  rel
( 10)
38
donde Dref es la dosis absoluta medida en condiciones de referencia, la cual está en función
del rendimiento del equipo, donde éste es la tasa de dosis producida en condiciones de
referencia. De acuerdo a la mayoría de los protocolos dosimétricos para haces de
megavoltaje [ 16] la profundidad de referencia es tomada a 10 cm, el campo de referencia
es de 10 x 10 cm2 en la superficie del fantoma la cual está posicionada a una distancia de la
fuente (DFS)de 100 cm.
Ψrel es la razón entre la fluencia de fotones primarios para wc y la fluencia de fotones
primarios para el campo de referencia.
[D/Ψ]rel está relacionado a la dosis en eje central a cualquier profundidad y DFS
respecto a la fluencia primaria relativa, expresado como el cociente Drel/Ψrel. La dosis
relativa Drel a una profundidad de referencia en eje central, es la dosis (D) para wp, en este
punto respecto a la dosis de referencia (ambas medidas en fantoma); ésto es Drel = D / Dref.
La fluencia relativa de fotones primarios (Ψrel) en algún punto en el eje del campo es la
fluencia de fotones primarios (Ψ ) para wc, en ese punto respecto a la fluencia (Ψref) en un
punto de referencia (ambas obtenidas en aire); ésto es Ψrel =Ψ/Ψref.
En base a lo definido y los conceptos vistos en la sección III.B.2 se puede apreciar
que Ψrel está asociada al Sc, mientras que [D/Ψ]rel está asociada a la cantidad Sp y el PDD.
Para condiciones de referencia y una energía dada fija se tiene que la ecuación ( 10)
es [ 27]
D(wp, d ) = D (wp ref , d ref ) ⋅ Sc(wc ) ⋅ Sp(wp ) ⋅ PDD(d , wp, DFS ref
)
( 11)
donde los tres primeros términos del lado derecho de la ecuación gobiernan la dosis en la
profundidad de referencia. De esta manera la ecuación anterior es un caso particular de la
ecuación ( 10).
Este formalismo permite calcular, conociendo el rendimiento de la máquina de
irradiación (dosis absoluta en condiciones de referencia), la dosis para un tamaño de campo
cuadrado deseado wp para cualquier profundidad, utilizando las tablas de PDD para estos
campos.
Debido a que la cantidad de tamaños de campos posibles en radioterapia es
demasiado grande, para llevar a cabo tabulaciones compactas los mismos son
estandarizados a la forma de campos circulares o cuadrados, aunque por practicidad se
usan estos últimos (excepto en el caso de radiación de baja energía).
39
En radioterapia los campos a irradiar muy rara vez son cuadrados, sino que en la
mayoría de los casos son rectangulares (siempre y cuando no se usen bloques de
protección). Esto llevó a desarrollar a lo largo de los años una línea de trabajo que busque
asociar de alguna forma un campo rectangular a algún campo estándar (tabulado) y de esta
forma recurrir a las tablas para llevar a cabo el método de cálculo de dosis. Es aquí donde
surge el concepto de campo equivalente.
4. Conceptos de campo equivalente
Distintas definiciones se le han adjudicado al campo equivalente, una de ellas lo
define como aquel campo estándar (circular o cuadrado) que posee la misma distribución
de dosis en profundidad (PDD) en eje central que la producida por un campo no estándar
(rectangular) [ 14]. Las bases que sustentan este concepto asumen (a primera
aproximación) que es posible asociar con cualquier campo rectangular un predeterminado
campo cuadrado equivalente, independientemente de la calidad de la radiación, la
profundidad o la DFS (siempre que éstos se encuentren dentro del rango de uso clínico).
Esta última característica hace posible que valores de dosis en profundidad para un campo
rectangular puedan ser obtenidos usando una misma tabla de campos equivalentes.
La tabla ha demostrado poseer una precisión tal que los errores que pueden
producirse por su uso pueden considerarse aceptables, aunque falla cuando se la emplea en
condiciones de energías, profundidades o relaciones de elongación (Lado mayor/Lado
menor) extremas. De todas formas los errores producidos en dichos casos están
comprendidos entre el 1 y el 2 %. [ 14]. Estas características han hecho que el uso de la
tabla de campos equivalentes se generalice como método de cálculo de dosis para campos
rectangulares (cuando no son conformados los campos con plomos de protección).
El método del campo equivalente está basado fundamentalmente en el método de
integración por sectores (también llamado método de Clarkson [ 17]). Este método
consiste en dividir el campo en una serie de sectores angulares. Cada sector se asocia a
una función de campo circular (en general funciones que describen el comportamiento de
la dosis con la radiación dispersa), la cual varía con el radio del sector. La contribución de
cada sector luego es sumada y de esta forma se obtiene la contribución de dispersión
media para el campo no estándar. Así se puede, por medio de este método obtener la dosis
dispersa en profundidad para cualquier geometría de campo, asociarla a la de un campo
estándar y hacer la tabla de campos equivalentes.
40
La función de campo circular que utiliza el BJR es el SAR (scatter air ratio) [ 13, 14]
el cual tiene en cuenta la variación de la radiación secundaria con el cambio de tamaño y
forma de campo. Aunque las curvas de SAR varían con la calidad de la radiación y la
profundidad, los cuadrados equivalentes generados por las mismas son iguales a primera
aproximación, es por ello que utiliza una sola función (Co60 a una profundidad de 10 cm)
para calcular la tabla de cuadrados equivalentes [ 14].
Otro método para encontrar campos equivalentes mucho más simple es la regla del
“área sobre el perímetro”. Según ICRU [ 11] esta regla se basa en asumir que el campo
cuadrado equivalente es el cuadrado cuyo cociente entre su área y perímetro es el mismo
que aquel del campo rectangular. Aunque esta regla no tiene fundamentos físicos que
expliquen su comportamiento, una reciente publicación en la cual se hace un análisis
matemático de la misma concluye que la regla funciona como una aproximación de primer
orden [ 20]. Los resultados obtenidos de esta “regla de dedo pulgar” son aceptables y
cercanos a los de la tabla de cuadrados equivalentes BJR, aunque falla al tratar de predecir
campos de elongación mayor a 20 cm y para relación de elongación mayor que cuatro.
En un reciente trabajo [ 16] se hace uso del formalismo desarrollado en la sección
III.B.3 para calcular tablas de cuadrado equivalente similares a las del BJR. En este caso la
función de campo circular es el Sp, el cual se tabula para distintas energías y se calculan
tablas de cuadrado equivalentes para las energías de uso más común en radioterapia.
Como se puede apreciar de la ecuación ( 11) este procedimiento hace separación de
componentes primarias de secundarias del haz (al no incluir el Sc en los cálculos). Además
debido a que las tablas de cuadrados equivalentes asocian PDD estándares con
rectangulares, y dado que el PDD resulta de un cociente entre dosis, este trabajo cuestiona
si un campo equivalente obtenido usando el Sp es válido para su aplicación en el PDD.
Tanto las tablas de campos equivalentes del BJR como las del formalismo descripto
en la sección III.B.3 son desarrolladas sobre la base de funciones de campo circular que
separan las componentes del haz de irradiación. Los fundamentos por los cuales se separa
radiación primaria de secundaria, fueron perdiendo peso a lo largo de los años y
actualmente la separación de estas componentes es cuestionada [ 21]. Consideraciones de
transporte de electrones secundario bajo condiciones donde no haya equilibrio electrónico
conducen a diferentes conclusiones[ 22, 23]. Por ejemplo, una situación sin equilibrio
puede ocurrir cuando se consideran regiones cercanas a los extremos de los bloques.
Además los dosímetros utilizados en radioterapia no distinguen la radiación primaria de la
secundaria. Una opción para calcular distribuciones de dosis sin hacer separación de
41
componentes es aquella que utiliza soluciones parciales del método de MC, lo cual como
ya se menciona en la Introducción es impráctico por su alto costo. Es por ello que se apela
en este trabajo a generar algoritmos capaces de calcular campos irregulares utilizando
solamente datos medidos en el fantoma. Recientemente se demostró la factibilidad de
aplicar el método de Clarkson a funciones de campo circulares que expresen datos de
dosis en profundidad total (sin separar contribución primaria de secundaria) [ 24]. Bajo
esta premisa se desarrolla el nuevo método de cálculo.
C. Nuevo método de cálculo
Los problemas de separar las componentes del haz crearon la necesidad de
formalismos alternativos. En los últimos años se han hecho una serie de trabajos [ 24] que
son la base para el desarrollo de esta nueva línea de trabajo, que no utiliza los conceptos de
separación de radiación primaria y secundaria. Este método usa funciones semiempíricas
como PDD y OF, y el método de Clarkson, todos ellos son usados en cálculos manuales de
rutina. Además se utilizan nuevas funciones como el factor de salida de campo
generalizado (OFg) y el método de la inversa de la ecuación de integración por sectores
[ 24].
1. Desarrollo introductorio
En base a los conceptos vistos en la sección B.3, la dosis para un tamaño de campo
x × y definido en superficie es
D( x, y, d ) = D (xref , yref , d ref )⋅ OF ( x, y ) ⋅ PDD( x, y, d )
( 12)
donde d es la profundidad evaluada en centro de campo y D(xref, yref, dref) es la dosis en
condiciones de referencia. Debe notarse que las funciones Sc y Sp no aparecen
explícitamente, sino que son reemplazadas por la función OF que contiene toda la
información referida a las componentes del haz de irradiación. Las variables energía y DFS
han sido omitidas por ser fijas en este problema. Nótese que la profundidad de referencia
para el PDD es la misma que para el OF y D(xref, yref, dref).
A partir de la ecuación ( 12) se define una función que describe el comportamiento
de la dosis con la variación del tamaño de campo y la profundidad, la cual se la define en
42
este trabajo como OF generalizado para cualquier profundidad o simplemente OF
generalizado (OFg):
OFg (x, y, d ) =
D ( x, y , d )
= OF (x, y ) ⋅ PDD(x, y, d )
D (xref , yref , d ref )
( 13)
Si se dispone del OFg para todas las profundidades, tamaños y formas de campo
rectangulares se puede calcular la distribución de dosis en profundidad (PDD) para
cualquier campo rectangular a partir de la ecuación ( 13), ésto es:
PDD(x, y, d ) =
OFg (x, y, d )
OFg (x, y, d ref )
( 14)
Medir el OFg para todo tamaño de campo rectangular y profundidad es, de acuerdo a
la ecuación ( 13), equivalente a disponer de la función PDD para todo tamaño de campo.
En general, en la rutina clínica, la función PDD se mide para campos cuadrados y
mediante la aplicación de los conceptos de campos equivalentes se extiende para campos
rectangulares cualesquiera. Como se dijo en la sección III.B.4, este método implica
suponer la separación de las componentes del haz. Se propone en este trabajo un método
alternativo que permita calcular el OFg a partir de métodos que requieran menor o igual
tiempo de medición que los métodos clásicos y sin separar radiación primaria y secundaria.
Recientemente se ha demostrado que es posible calcular el OF aplicando el método de
Clarkson y utilizando funciones de campo circular asociadas al factor de salida de la
máquina de irradiación evitando separar la componente primaria de la secundaria. Por otro
lado como se verá en la sección III.C.2, el problema de la geometría de campo se reduce de
dos a una variable.
2. Definición de función de campo circular
Se supone una máquina de irradiación hipotética (ver Fig. 12) con simetría de
revolución en las estructuras del cabezal. Para mayor simplicidad el sistema de colimación
secundario es único y capaz de generar campos circulares de cualquier radio. Esto es, no
hay un sistema de colimación distal y otro proximal.
43
F ue nte de
r ayo s X
C olim ado re s
P rim arios
Filtr o apl anado r
C á m ar as
m o ni tor as
C olim ado re s
Se c undari os
Fo to ne s dispe rs ado s e n
las c á m aras m o nito ras
Fo to ne s dispe rs ado s e n
e l filtro aplana do r
Fo to ne s dispe rs ado s e n los
c olim ado res s ec undario s
Fo to ne s pro ve nie ntes
direc tam e nte de la fue nte
Supe r ficie del fanto m a
R adi o de c am po
F anto m a
Fo to ne s dispe rs ado s
e n e l fanto m a
D e te ctor
Fig. 12. Diagrama esquemático de la máquina de irradiación hipotética. Las estructuras del cabezal no están a
escala pero la disposición relativa es la de un acelerador lineal real. Se puede apreciar cómo la lectura
registrada por el detector, la cual está asociada al factor de salida de campo, es debido a la contribución de
fotones provenientes de la fuente, dispersados en el cabezal y dispersados en el fantoma.
Si se coloca un detector para medir la radiación en eje central producida por la
máquina de irradiación a una profundidad dada en el fantoma y a una DFS fija dada, la
radiación sensada es producida por fotones provenientes directamente de la fuente,
dispersados en las estructuras del cabezal y en el fantoma. Las mediciones para detectar
cambios de radios de campo están asociadas al factor de salida OF el cual puede ser
descripto por una función de campo circular que varía con el radio de campo, profundidad,
energía de irradiación y DFS. En este trabajo se realiza un estudio de las variables tamaño
y forma de campo y profundidad por lo que las variables DFS y energía son consideradas
fijas y por lo tanto no son denotadas.
44
Sea fc(r,d) un OFg correspondiente a un campo circular de radio r definido en
superficie y generado por un sólo sistema de colimación secundaria y evaluado a
profundidad d. Esta función de campo circular se puede poner como
fc(r , d ) =
Dc (r , d )
D (xref , yref , d ref )
( 15)
donde Dc(r,d) es la dosis a la profundidad d y correspondiente a un campo circular de radio
r definido en superficie y D(xref, yref, dref) sigue siendo la dosis en condiciones de
referencia. Se puede ver de la ecuación ( 15) que fc (en base a la definición de OFg) es un
OFg para campo circular pero para conservar la notación de la literatura se lo refiere en
este trabajo como función de campo circular.
Conocidas las funciones de campo circular es posible calcular el OFg para cualquier
geometría de campo aplicando el método de Clarkson, de la siguiente manera
OFg ( x, y, d ) =
2
π
∫
tan −1 ( y / x )
0
fc(
x
2
, d ) dθ +
2 cos θ
π
∫
tan −1 ( x / y )
0
fc(
y
, d ) dθ
2 cos θ
( 16)
Esta ecuación es similar a la introducida por Sanz et al [ 24, 25], pero en este trabajo
se le ha incorporado la variable profundidad d.
Se ve en esta ecuación que sólo se integra un cuadrante por razones de simetría,
donde el primer término del lado derecho de la ecuación corresponde al sector x, y el
segundo término al sector y. Los conceptos de función de campo circular y el método de
integración por sectores han sido extensivamente usado pero sólo para funciones que
representan la dispersión en el fantoma. En este trabajo dichos conceptos son generalizados
para incluir las contribuciones para radiación primaria conjuntas a las contribuciones por
radiación secundaria, pero sin separar estos componentes.
La Fig. 13 representa esquemáticamente el cuadrante a integrar por el método de
Clarkson. Esta figura representa el cabezal de la máquina de irradiación real visto desde el
detector.
45
Fig. 13. Representación esquemática del cuadrante integrado por el método de Clarkson, con la descripción
de las variables utilizadas en la integración de los sectores. La vista abierta está asociada a la fuente, los
colimadores primarios, el filtro aplanador, y las cámaras monitoras.
3. Obtención de output factor generalizado (OFg) de campo circular
Debido a que las máquinas de irradiación de uso clínico no generan campos
circulares, fc debe ser calculada de manera indirecta. En una reciente publicación se
demuestra que es posible invertir la ecuación de integración por sectores para obtener
funciones de campo circular a partir de mediciones de OFg correspondientes a campos
rectangulares con una de sus dimensiones elongadas al máximo y la otra variable. Dado
que para este tipo de campo una sola de sus dimensiones cambia para adquirir datos,
llamamos al OF asociado OFg unidimensional y al campo rectangular que lo genera,
campo unidimensional. Está demostrado también que la solución de dicha ecuación existe
y es única [ 24]. Se plantea a continuación un método de inversión similar al mencionado
46
para obtener la función de OFg de campo circular. Para ello se idea un campo rectangular
unidimensional esquematizado a continuación:
Fig. 14. Esquema del campo unidimensional, con los campos circulares utilizados para la descripción del
mismo. Lmax / 2 está asociada a la dimensión de máxima elongación de campo, mientras que x / 2 está
asociada a la dimensión de elongación variable.
donde el círculo corresponde a la función de campo circular y el resto del campo (parte
sombreada) es descripto por una función que llamamos complemento.
La suma de ambas funciones es el OFg para campo unidimensional (OFg
unidimensional):
x 
OFg (x, Lmax , d ) = fc , d  + Comp (x, Lmax , d )
2 
( 17)
nótese que la variable de campo y ha sido elongada al máximo.
47
Para la resolución numérica de la ecuación ( 17) se propone el siguiente esquema
numérico iterativo implícito:
x 
fc , d 
= OFg (x, Lmax , d ) − Comp (x, Lmax , d )( N )
 2 ( N +1)
( 18)
donde N indica el orden de iteración. Nótese que Comp depende de fc y de ahí que el
esquema iterativo sea implícito.
La iteración puede comenzar con cualquier función de campo circular utilizada como
semilla, de esta manera la ecuación ( 18) puede ponerse,

x 
x  
= OFg ( x, Lmax , d ) − OFg ( x, Lmax , d )( N ) − fc , d  
fc , d 
 2 ( N +1)
 2 ( N ) 

( 19)
donde OFg( x, Lmax, d)(N) es calculado aplicando el método de Clarkson que utiliza las
funciones de campo circular fc(N) que corresponde al orden de iteración N. En el caso de
N=1 esta función es la función semilla propuesta.
La convergencia del método iterativo generalmente es rápida independientemente de
la función semilla utilizada. Por otra parte el número de iteraciones, es decir el criterio de
terminación del algoritmo de iteración está dado por la siguiente ecuación asociada al error
relativo (ε) de la siguiente forma
x 
x 
fc , d 
− fc , d 
 2 ( N +1)
 2 ( N )
≤ε
x 
fc , d 
 2 ( N )
( 20)
Dado que x varía hasta Lmax y que el rango de fc está condicionado por el anterior y
considerando que el cálculo de OFg unidimensional en el corchete de la ecuación ( 19)
requiere el uso de radios asociados mayores que Lmax / 2, se propone que la función de
campo circular sea lineal a partir de r = Lmax / 2.
48
4. Cálculo de PDD para campos rectangulares.
Con las funciones de campo circular calculadas según se explicó anteriormente, se
puede calcular el PDD para campos rectangulares aplicando la ecuación ( 14), ésto es:
x
2
 2 tan −1 ( y / x )
fc(
, d ) dθ +
π ∫ 0
π
2 cos θ
PDD( x, y, d ) = 
−1
tan
y
x
(
/
)
x
2
2

fc(
, d ref ) dθ +
π ∫ 0
2 cos θ
π

∫
∫
tan −1 ( x / y )
0
tan −1 ( x / y )
0
y

, d ) dθ 
2 cos θ

y

fc(
, d ref ) dθ 
2 cos θ

fc(
( 21)
Debido a que el cabezal de la máquina de irradiación real posee dos sistemas
secundarios de colimación caracterizados por la distancia de cada uno de ellos a la fuente
(ver descripción de la máquina de irradiación), las funciones de campo circular calculadas
con OFg (x, Lmax, d) será distinta a la calculada con OFg (Lmax,y, d) debido al efecto de
intercambio de los colimadores (ver sección III.B.2). Trabajos anteriores [ 13, 15]
establecen que el PDD de un campo rectangular es simétrico respecto de su variable de
campo, es decir PDD (x, y, d) es igual a PDD (y, x, d) dentro de los límites de apreciación
experimental. De esta manera si el cálculo de PDD se lleva a cabo en base a fc calculadas
con OFg (x, Lmax , d) o OFg (Lmax,y, d) los PDDs serán los mismos, lo cual se muestra en el
capítulo de los resultados.
49
IV. MATERIALES Y MEDICIONES
A. Materiales usados
A continuación se detalla el instrumental que se utilizó para llevar a cabo las
mediciones que sirvieron como datos de entrada para el método de cálculo y las
mediciones que se usaron como control de los resultados obtenidos de dicho método. Se
explicarán las características técnicas de cada dispositivo y el criterio utilizado para la
elección de cada uno de ellos.
Como fuente de haz de fotones se utilizó un acelerador lineal (Linac) marca General
Electric, modelo Saturne 41. Posee un máximo potencial nominal de 15 MV y es del tipo
bimodal, es decir generador de haces de fotones o electrones. Los colimadores secundarios
del Linac tienen la capacidad de reproducir campos de tamaños que van desde un mínimo
de 2 x 2 cm2 hasta un máximo de 40 x 40 cm2, todos definidos en isocentro (a 100 cm de
la fuente). La energía nominal del haz de fotones usado fue de 6 MV; se optó esta energía
ya que es la menor energía de fotones disponible en este equipo y por lo tanto mayor la
contribución al OF por dispersión en el fantoma.
El método elegido para llevar a cabo la medición de los datos fue el ionométrico
(desarrollado en la sección III.A.5), debido a que además de ser preciso es el más usado en
dosimetría clínica. Para la medición del PDD se utilizaron dos cámaras de ionización
iguales, una para sensar los datos de entrada, dentro del fantoma, y la otra para referencia,
en el aire, para corregir fluctuaciones temporales del Linac. Las cámaras fueron del “tipo
dedal” y abiertas, de marca PTW nro. 233643, de volumen activo de 0,125 cm3 y de
material de paredes de Poli-Metil-Meta-Acrilato. Para integrar las corrientes producidas
por las cámaras de ionización se utilizó, en el caso del OF, un electrómetro marca
Keithley 35617 EBS, quien a su vez proporciona la tensión de polarización de la cámara
del fantoma (300 V). Por otro lado para la medición de PDD se utilizó un electrómetro
marca Multidata incorporado a una PC, la cual posee un software capaz de procesar
rápidamente los datos medidos. Se escogió este electrómetro por ser de dos canales y
pertenecer por otro lado al soft del sistema de adquisición de datos.
El fantoma utilizado fue un recipiente de acrílico lleno de agua (se utilizó agua
porque su coeficiente de atenuación es similar al de los tejidos humanos), cuyas
dimensiones fueron de 50 cm de largo, 50 cm de ancho y 50 cm de alto. El fantoma posee
un sistema de posicionamiento automático en tres dimensiones de la cámara de ionización.
50
De esta forma fue factible llevar a cabo el barrido en profundidad necesario para medir
PDD.
B. Disposición
En este apartado se explica cómo se ubicaron espacialmente los distintos materiales
utilizados para llevar a cabo las mediciones. De la correcta disposición de los materiales
depende la exactitud de los datos medidos.
La superficie del fantoma se dispuso a una distancia fija de 100 cm de la fuente para
todas las mediciones debido a que con este formalismo los datos son obtenidos de una
forma más directa comparado con otros formalismos como el isocéntrico. La profundidad
de referencia fue de 10 cm, eligiendo esta profundidad para evitar la contaminación
electrónica producida en el cabezal del equipo y el aire, y además alcanzar el equilibrio
electrónico (ver sección III.A.4). Se colocó una cámara de ionización en aire y otra en
fantoma para corregir fluctuaciones temporales y atmosféricas. Se niveló el fantoma para
asegurar que el barrido vertical de la cámara no tenga variaciones ni corrimientos respecto
al eje del haz. Se verificó además el correcto barrido horizontal respecto a los ejes de
campo y que el haz incida perpendicularmente a la superficie del fantoma.
Para la medición del OF se posicionó la cámara a 10 cm de profundidad y se fue
variando la apertura de los colimadores con cada disparo, mientras que para la medición de
PDD la cámara era movida paso a paso por el sistema de dosimetría del fantoma desde la
superficie hasta 30 cm de profundidad para una misma apertura de los colimadores.
C. Método
El método utilizó como dato de entrada el OF y el PDD para campos
unidimensionales en base a los cuales se obtuvo el OF generalizado de campo
unidimensional, este último fue utilizado para calcular el OF generalizado de campo
circular. Una vez obtenido éste, aplicando el método de Clarkson se calculó la distribución
relativa de dosis en profundidad para cualquier forma y tamaño de campo. El
procedimiento que se llevó a cabo para medir los datos de entrada es detallado a
continuación.
Primero se realizó un disparo de diez minutos con fotones de 6 MV para el
calentamiento y estabilización del acelerador lineal. Una vez que el equipo estuvo en
51
condiciones de irradiar se realizaron disparos de prueba para analizar la precisión de la
medición del OF y el PDD.
Para la medición del PDD se realizaron cinco disparos de prueba para un mismo
campo cuadrado y la reproducibilidad resultante de la comparación entre ellos fue del
0,4%. Cabe aclarar que esta afirmación es válida para datos medidos fuera de la zona de
“buildup”. Como se explica más adelante, la reproducibilidad en la zona de “buildup” no
fue mayor al 10 % debido al alto gradiente de dosis en esa zona. La medición de PDD
constó de dos partes, por un lado se midieron los PDD de campo unidimensional utilizados
como dato de entrada del método de cálculo y por otro lado se midieron PDD de campos
cuadrados y rectangulares para validar el PDD calculado.
Para la medición de PDD de campo unidimensional se procedió variando primero la
apertura del colimador x de 4 a 10 cm, 10 a 20 cm y 20 a 40 cm en pasos de 1, 2 y 4 cm
respectivamente y luego se repitió este procedimiento variando la apertura del colimador y.
La medición de cada campo unidimensional se llevó a cabo por medio del sistema de
dosimetría automático desde la superficie del mismo hasta los 4 cm de profundidad con un
paso de 0.2 cm, y desde los 4 cm hasta los 30 cm de profundidad con pasos de 2 cm. El
PDD de control se midió para campo cuadrado de 4 x 4, 7 x 7, 10 x 10, 20 x 20 y 40 x 40
cm2 y campos rectangulares combinando los lados de campo para 4, 7, 10, 20 y 40 cm. La
medición de los campos se llevó a cabo barriendo las mismas profundidades que en el caso
del PDD unidimensional.
Se tuvo en cuenta la repetitividad del posicionamiento de los motores paso a paso del
sistema de dosimetría que según las especificaciones del instrumento es de ± 0,05 cm. Esto
produce una incerteza en la medición por posicionamiento proporcional al gradiente de
PDD. Es por ello que este error se tuvo en cuenta en la zona de “buildup” donde el
gradiente es elevado alcanzando en los casos más desfavorables un error de ± 10 %.
Para la medición del OF se realizaron cinco disparos para un mismo campo cuadrado
a una profundidad de 10 cm y se pudo ver que la reproducibilidad fue de ± 0,3%. El
tamaño de los campos unidimensionales medidos fue el mismo que para el caso de PDD
unidimensional.
Todos los datos medidos de PDD y OF fueron almacenados en tablas de Excel para
facilitar su posterior manipulación y procesado.
52
V. RESULTADOS
A. Obtención de los datos de entrada
Para llevar cabo los cálculos fue necesaria la medición de OF y PDD para campos
unidimensionales para ser usados como datos de entrada. Las condiciones bajo las cuales
se llevaron a cabo estas mediciones se detallaron en la sección IV.
Respecto al PDD de campo unidimensional se puede ver en la Fig. 15 que los
perfiles de las curvas se comportan de acuerdo a lo descripto en la teoría de PDD (ver
sección III.B.1) en lo referido a su dependencia con el tamaño o área de campo.
Fig. 15. PDD medido para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm. Los cuadrados son valores de PDD
medidos para un tamaño de campo de 40 x 4 cm2 y los círculos corresponden a valores de PDD medidos para
un tamaño de campo de 40 x 40 cm2.
En esta figura se puede observar cómo la pendiente de la curva de PDD disminuye
con el aumento de tamaño de campo, ésto se debe a que el mismo produce un incremento
en la contribución de fotones dispersados en fantoma y por lo tanto más alcance en
profundidad. Por otro lado, como ya se mencionó en la sección III.B.1, el PDD es una
función que a primera aproximación es independiente de la distancia entre el sistema de
colimación y la fuente, es decir no tiene en cuenta el efecto de intercambio de los
53
colimadores. Esta propiedad se ve en la Fig. 16 en la cual se compararon dos curvas de
PDD medidas para campo unidimensional. La máxima diferencia en este caso es del 3,9 %
y se produce a una profundidad de 0,2 cm, es decir en la zona de “buildup”, mientras que
la máxima diferencia en la región de equilibrio electrónico transiente es del 1 %.
Fig. 16. PDD medido para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm. Los círculos oscuros están asociados
a un campo definido por el sistema de colimación y, mientras que los círculos vacíos están asociados a un
campo definido por el sistema de colimación x. Lmax corresponde a un lado de 40 cm mientras que x e y
corresponden a un lado de 4 cm.
Se puede apreciar en las curvas que el PDD (x, Lmax , d) es prácticamente igual a
PDD (Lmax, y, d) si el valor de x es igual a y. Como se mencionó anteriormente, la
diferencia más acentuada se puede apreciar en la zona de “buildup” y si bien esta
diferencia es notable puede ser atribuida a electrones contaminantes (ver sección III.A.4) e
incertezas propias del posicionamiento de la cámara de ionización (ver sección IV.C).
Luego se analizó el comportamiento de las curvas de OF de campos
unidimensionales. Observando la Fig. 17 se puede apreciar que el OF aumenta con el
tamaño de campo tal como lo predice la teoría del mismo (ver sección III.B.2).
También se puede ver que la diferencia entre la curva de OF (x, Lmax) y la curva de
OF (Lmax , y) se debe al efecto de intercambio de los colimadores.
54
Fig. 17. OF medidos para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm y profundidad de 10 cm. Los círculos
están asociados a un campo definido por es sistema de colimación y, mientras que los triángulos están
asociados a un campo definido por sistema de colimación x. Lmax corresponde a un lado de 40 cm.
Fig. 18. Curva de OFg (y, Lmax, d) para una profundidad de 10 cm formada al ajustar los datos medidos al
polinomio de quinto orden. Los círculos corresponden a datos de OFg medido, mientras que la línea
representa el polinomio elegido para llevar a cabo el ajuste.
Luego de analizar el comportamiento de PDD y OF medidos se procedió al cálculo
de OF generalizado para campos unidimensionales. Este se obtiene multiplicando el OF y
el PDD para un campo dado de acuerdo a la ecuación ( 13). Los datos de OFg de campos
55
unidimensionales fueron ajustados utilizando polinomios de quinto orden, con el objetivo
de disponer de datos para cualquier tamaño de campo unidimensional y así facilitar el
manipuleo de datos de entrada. La Fig. 18 muestra un ejemplo de ajuste como el
mencionado.
B. Cálculo de los OFg de campo circular
De acuerdo a los conceptos descriptos en la sección III.C.3, el OF de campo circular
puede ser calculado por medio de un algoritmo iterativo que utiliza como dato de entrada
OF generalizados unidimensionales medidos. La aplicación de dicho método necesita de
una función semilla para empezar la iteración, para lo cual se utilizó una función de campo
circular cualquiera. La ejecución del algoritmo iterativo requirió de un programa de cálculo
para su aplicación, el cual se elaboró en Visual Basic y se ejecutó como una macro desde
Excel. El código del programa de cálculo es detallado en la sección VIII.B. Respecto a la
convergencia del método, fueron necesarias quince iteraciones en la mayoría de los casos
para cumplir con el criterio de terminación. Este último está asociado al error relativo entre
valores iterados, tal como lo muestra la ecuación ( 20), y fue establecido en ε = 10-4. Se vió
además que introduciendo como semilla cualquier función de campo circular la
convergencia se alcanzaba rápidamente.
Antes de continuar cabe aclarar que por conveniencia el OFg de campo circular
calculado utilizando como dato de entrada OFg (x, Lmax , d) se lo refiere a partir de aquí
como fcx, mientras que para el caso de OFg correspondiente al sistema de colimación y se
lo refiere como fcy.
Se analizó el comportamiento de los OFg de campo circular respecto al sistema de
colimación utilizado para obtenerlo. Para ello se compararon los fcx con los fcy para todas
las profundidades. Los resultados de los OFg de campos circulares para profundidad de 10
cm se muestran en la Fig. 19. Los datos de entrada para el cálculo de este ejemplo
corresponden a los representados en la Fig. 17. Similares resultados fueron obtenidos a
otras profundidades.
Las diferencias entre las curvas de las fcx e fcy apreciadas en la Fig. 19 se debieron al
efecto de intercambio de los colimadores x e y y responden cualitativamente a las
diferencias observadas en los respectivos OFg unidimensionales. Los valores de fc con
radio mayor a Lmax / 2 fueron extrapolados linealmente.
56
Fig. 19. OFg de campo circular para una profundidad de 10 cm. La línea llena está asociada a un campo
definido por el sistema de colimación y, mientras que la línea de puntos está asociada a un campo definido
por el sistema de colimación x.
C. Cálculo de OFg para distintos tamaños de campo
El OFg para campos rectangulares fue calculado integrando los OFg de campo
circular por medio de la ecuación ( 16). Se compararon distintos OFg de campo
unidimensional calculados utilizando fcx y fcy, y se pudo ver como la dependencia de los
OFg de campos circulares con el sistema de colimación usado es reflejada en las funciones
comparadas. La Fig. 20 muestra un ejemplo de este análisis para dos OFg de campo
unidimensional calculados para una profundidad de 20 cm, en la figura se puede apreciar el
efecto de intercambio de los colimadores. Por otro lado se analizó el comportamiento de
las curvas de OFg unidimensional con la profundidad, las cuales se normalizaron a un
campo unidimensional de 10 x 40 cm2 para una mejor visualización. Se puede ver en la
Fig. 21 que a medida que la profundidad se incrementa la pendiente de las curvas aumenta,
con lo que se deduce que a mayor profundidad el OFg es más sensible al aumento de
tamaño del campo debido a que hay más contribución de radiación secundaria. Esta
función contiene toda la información de dispersión en el cabezal, aire y fantoma, como se
explica en el método descripto en la sección III.C.2, haciendo innecesarios los métodos que
involucran la medición en aire. De esta manera se calcularon los OFg para cualquier
geometría de campo rectangular y cualquier profundidad.
57
Al igual que los cálculos anteriores, éstos se hicieron en un programa diseñado en
Visual Basic y ejecutado como macro desde Excel. Los códigos y operaciones de dicho
programa se detallan en la sección VIII.A.
Fig. 20. Ilustra el OFg unidimensional para el colimador x e y para una profundidad de 20 cm. La línea con
círculos oscuros está asociada a un campo definido por el sistema de colimación x, mientras que la línea con
círculos vacío está asociada a un campo definido por el sistema de colimación y.
Fig. 21. Ilustra el OFg unidimensional para distintas profundidades y normalizados a un campo de 10 x 40
cm2. La unidad de las profundidades expresadas en la gráfica es cm.
58
D. Cálculo de PDD para diferentes tamaños de campos rectangulares
En este apartado se muestran y analizan los resultados de interés que fueron
adquiridos de la implementación del método de cálculo. Se utilizaron para el análisis datos
de PDD calculados y datos de PDD de control (medidos) de campos rectangulares y
cuadrados, los que son detallados en la sección IV.C.
Los datos de OF generalizado calculados fueron utilizados para calcular el PDD por
medio de la ecuación ( 14), para luego ser tabulados y analizados con el fin de evaluar la
exactitud del PDD calculado, y con ello el método de cálculo. Se compararon las tablas de
PDDx y PDDy (calculados con fcx y fcy respectivamente) con la tabla de PDD de control.
El campo que produjo la máxima diferencia para cada caso es mostrado en la Tabla 1. Se
puede apreciar en dicha tabla los valores de PDD calculados, PDD de control y la
diferencia relativa porcentual entre cada uno de ellos para el tamaño de campo que produjo
la máxima diferencia. Esta última fue del 8,4 % en el caso de la comparación de PDDx con
el PDD de control y del 3,9 % para PDDy con PDD de control. Estos valores están
resaltados en la Tabla 1. Se puede ver además que la máxima diferencia en todos los casos
ocurre en la zona de “buildup” (definida entre la superficie y una profundidad de 1,4 cm) y
más específicamente a una profundidad de 0,2 cm. Una causa importante por la que la
máxima diferencia ocurra en esta profundidad podría ser la contaminación electrónica, la
cual, como fue demostrada en recientes trabajos, genera una considerable contribución
(20 % en los peores casos) en las lecturas medidas en la zona de “buildup” [ 16]. Las
curvas que describen el comportamiento del PDDx y el PDDy, cuyos valores están en la
Tabla 1, son comparadas con la curva de PDD de control en la Fig. 22 y Fig. 23. Para
poder notar mejor las diferencias entre datos medidos y datos calculados sólo se graficó la
curva para profundidades correspondientes a la zona de “buildup”.
Como se puede apreciar en las Fig. 22 y Fig. 23, la zona de “buildup” posee un alto
gradiente de PDD. Esto hizo que en esta zona el error por posicionamiento (asociado a la
reproducibilidad del posicionamiento del sistema de dosimetría automático) sea importante
y como consecuencia deba ser tenido en cuenta. Del análisis de todas las curvas se pudo
estimar que en esta zona el error producido por incerteza propias de posicionamiento de la
cámara en el peor de los casos fue de ± 10 %, lo que es compatible con las diferencias en la
zona de “buildup” entre los datos calculados y de control [8,4 %]. En las Fig. 24 y Fig. 25
se muestran las curvas de PDD medido ± el error cometido por incertezas propias del
posicionamiento de la cámara comparadas con el PDD calculado que más diferencia
59
produjera en la zona de “buildup”. Este error se puede calcular considerando el producto
de la derivada del PDD con la incerteza de posicionamiento que es ± 0,05 cm.
Fig. 22. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 7 x 4 cm2, los valores con los que se
han hecho las curvas se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcx. La línea con
círculos está asociada a valores calculados, mientras que los rombos están asociados a los valores medidos.
Fig. 23. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 4 x 40 cm2, los valores con los que se
han hecho las curvas se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcy. La línea con
círculos está asociada a valores calculados, mientras que los rombos están asociados a los valores medidos.
60
Profundidad Máxima
(cm)
diferencia
[%]
0,0
3,4
0,2
8,4
0,4
4,4
0,6
3,0
0,8
1,4
1,0
0,8
1,2
0,7
1,4
0,6
1,6
0,6
1,8
0,5
2,0
0,7
2,2
0,8
2,4
0,9
2,6
0,6
2,8
0,5
3,0
0,5
3,2
0,7
3,4
0,4
3,6
0,5
3,8
0,6
4,0
0,6
6,0
0,6
8,0
0,6
10,0
0,0
12,0
0,7
14,0
0,8
16,0
0,9
18,0
1,1
20,0
0,8
22,0
1,0
24,0
0,6
26,0
1,2
28,0
0,9
30,0
0,8
PDDx
PDD med
PDD cal
7x4
7x4
0,703
0,800
1,127
1,337
1,445
1,505
1,542
1,558
1,561
1,556
1,541
1,526
1,516
1,505
1,488
1,476
1,460
1,449
1,428
1,409
1,400
1,254
1,121
1,000
0,889
0,789
0,700
0,625
0,558
0,497
0,443
0,395
0,353
0,317
0,716
0,867
1,171
1,361
1,460
1,516
1,550
1,564
1,564
1,559
1,549
1,538
1,527
1,511
1,492
1,475
1,458
1,444
1,428
1,417
1,400
1,256
1,121
1,000
0,891
0,790
0,700
0,621
0,555
0,495
0,442
0,393
0,352
0,318
Diferencia
[%]
1,9
8,4
3,9
1,8
1,0
0,7
0,5
0,3
0,2
0,2
0,5
0,8
0,7
0,4
0,3
0,1
0,1
0,3
0,0
0,6
0,0
0,2
0,0
0,0
0,2
0,2
0,1
0,5
0,5
0,5
0,1
0,4
0,2
0,1
Máxima
diferencia
[%]
2,0
3,9
3,0
1,6
1,1
0,8
0,6
0,8
0,9
0,8
0,7
0,8
0,8
1,1
0,7
0,7
0,4
0,3
0,9
0,9
0,5
0,9
0,6
0,0
0,7
0,5
0,6
0,8
0,5
0,5
0,6
0,7
1,0
0,5
PDDy
PDD med
PDD cal
4x40
4x40
0,755
0,897
1,179
1,363
1,450
1,493
1,524
1,534
1,535
1,530
1,523
1,510
1,498
1,483
1,464
1,450
1,434
1,421
1,407
1,397
1,381
1,246
1,117
1,000
0,897
0,802
0,715
0,638
0,571
0,512
0,460
0,414
0,371
0,334
Diferencia
[%]
0,739
0,862
1,144
1,344
1,440
1,492
1,518
1,535
1,534
1,524
1,512
1,505
1,492
1,481
1,462
1,447
1,434
1,422
1,412
1,396
1,379
1,243
1,118
1,000
0,891
0,801
0,715
0,639
0,571
0,512
0,460
0,411
0,369
0,333
2,0
3,9
3,0
1,4
0,7
0,1
0,4
0,0
0,1
0,4
0,7
0,3
0,4
0,2
0,2
0,2
0,0
0,1
0,3
0,0
0,2
0,3
0,1
0,0
0,7
0,1
0,0
0,2
0,0
0,1
0,1
0,7
0,5
0,3
Tabla 1. Los valores de PDD corresponden a una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm, además los mismos
han sido divididos en cien por simplicidad. Los PDD que se encuentran en la tabla corresponden a aquellos
campos que produjeron mayor diferencia porcentual relativa en la comparación, la cual también es tabulada.
La unidad en la cual se expresan los tamaños de campo es cm2. PDD cal es el PDD calculado por nuestro
método y PDD med es el PDD medido o de control. La segunda y la sexta columnas muestran la máxima
diferencia que existe entre el PDD medido y el calculado para todos los campos y barriendo todas las
profundidades. La región sombreada representa la zona de “buildup” y la no-sombreada es la zona de
equilibrio electrónico transiente.
61
Nótese a partir de las Fig. 24 y Fig. 25 que las mayores diferencias corresponden a la
zona de mayor derivada.
Fig. 24. Los valores de PDD calculado y medidos son los mismos que los de la Fig. 22. Los cuadrados y los
triángulos están asociados al PDD medido con error de posicionamiento (ver sección IV.C).
Fig. 25. Los valores de PDD calculado y medidos son los mismos que los de la Fig. 23. Los cuadrados y los
triángulos están asociados al PDD medido con error de posicionamiento (ver sección IV.C).
62
En las Fig. 24 y Fig. 25 puede observarse que la curva de PDD calculado está
prácticamente envuelta por las curvas que describen el PDD medido±el error por
incertezas del posicionamiento. Esto último sumado a los errores asociados a la
contaminación electrónica justifican en cierta medida que el modelo sea capaz de predecir
PDD en la zona de “buildup” con un cierto grado de aceptación.
Luego de analizar la respuesta del método de cálculo en la zona de “buildup”, se hizo
lo mismo para la zona de equilibrio electrónico transiente (ver sección III.A.4). De las
comparaciones entre PDDx, PDDy con los PDD de control correspondientes para
profundidades mayores a 1,4 cm se ve que para ambos casos la máxima diferencia fue del
1,1 %. Si bien la literatura afirma que la contaminación electrónica en el caso de fotones de
6 MV no tiene efecto a partir de 3 cm de profundidad, se puede ver que la diferencia
máxima no varía si el análisis se hace a partir de esta última profundidad. Esto se debe a
que luego de la zona de “buildup” la contribución por electrones contaminantes no es
importante. Las curvas que describen el comportamiento del PDDx y el PDDy, cuyos
valores están en la Tabla 1, fueron comparadas con la curva de PDD de control tal como lo
muestran las Fig. 26 y Fig. 27. En estas gráficas se puede apreciar como los datos de PDD
calculado se corresponden en casi todos los puntos con los datos de PDD medido.
Como se puede observar en las Fig. 26 y Fig. 27 el gradiente de las curvas de PDD
es bajo comparado con el correspondiente a la zona de “buildup” y como consecuencia el
error por posicionamiento también lo es. A pesar de esto último, dicho error debió ser
analizado ya que la exactitud con la que predice PDD el método de cálculo en esta zona es
alta. Luego de estudiar todas las curvas de PDD, se determinó que el máximo error
producido por mal posicionamiento de la cámara fue de 0,4 %, esta pequeña diferencia
hace que una gráfica donde se compare la curva de PDD calculado con la curva de
PDD±error por posicionamiento no sea significativa (a diferencia de la zona de “buildup”)
y es por ello que la misma no es mostrada. Por otra parte además de considerarse el error
por posicionamiento en la zona de equilibrio electrónico transiente, debe considerarse lo
dicho en la sección IV.C respecto a la reproducibilidad. Como ya se expuso existe una
dispersión entre lectura y lectura la cual fue calculada antes de comenzar la medición de
PDD y OF, la misma fue de 0,4 % y 0,3 % respectivamente. A todos estos errores
intrínsecos de medición (error por posicionamiento y dispersión entre lecturas) debe
agregarse el error del método numérico, es decir la consistencia numérica del método de
cálculo que es de 0,2% [ 25]. Si bien los errores mencionados no pueden ser sumados
directamente, su contribución total justifica el error del método de cálculo, con lo que se
63
prueba su consistencia. Por ello se puede afirmar que el método calcula PDD para campos
rectangulares con un alto grado de precisión en la zona de equilibrio transiente.
Fig. 26. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 7 x 4cm2, estos valores se encuentran en
la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcx. La línea con círculos oscuros está asociada a valores
calculados, mientras que los círculos vacíos están asociados a los valores medidos.
Fig. 27. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 4 x 40 cm2, estos valores se encuentran
en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcy. La línea con círculos oscuros está asociada a valores
calculados, mientras que los círculos vacíos están asociados a los valores medidos.
64
Habiendo comprobado experimentalmente la consistencia del método de cálculo, se
procedió a analizar el comportamiento del PDD calculado respecto al OFg de campo
circular utilizado (fcx o fcy). Como ya fue visto en la sección III.B.1 el PDD es una función
que tiene la propiedad de no depender de la distancia entre el sistema de colimación y la
fuente, es decir que es independiente del efecto de intercambio de los colimadores. Esta
aseveración fue luego comprobada experimentalmente en la sección V.A, donde se
compararon dos PDD medidos de igual campo pero definidos por distintos sistemas de
colimación. En la Fig. 28 se compararon dos curvas de PDD para el mismo campo pero
utilizando distintos OFg de campo circular (fcx y fcy) y se pudo apreciar que ambas curvas
son coincidentes por lo que se demuestra lo dicho respecto a las características del PDD
calculado. Las diferencias se observan en la zona de “buildup” donde como ya se
mencionó los errores son en gran parte debidos a la contaminación electrónica y errores
intrínsecos de la medición. La máxima diferencia en esta zona es del 4,3 % y se produce a
una profundidad de 0,2 cm y la máxima diferencia en la región de equilibrio electrónico
transiente es del 0,6 %.
Fig. 28. Comparación de dos PDD calculados utilizando distintas OFg de campo circular. Los rombos están
asociados a campos definidos por el sistema de colimación y, mientras que los cuadrados están asociados a
campos definidos por el sistema de colimación x.
65
E. Comparación con métodos alternativos
Como se mostró en la sección anterior nuestro método de cálculo es una potente
herramienta para determinar el PDD para cualquier geometría de campo rectangular y
profundidad, en especial en la zona de equilibrio electrónico transiente. Otros métodos
como la tabla del BJR y la regla del área sobre el perímetro (A/P) fueron concebidos para
calcular el PDD para diferentes tamaños de campo sólo en la zona de equilibrio electrónico
transiente. Los parámetros elegidos para la función SAR que ocupa la tabla del BJR, fueron
estimados para haces de fotones de Co60 (1,25 MeV) y una profundidad fija de 10 cm. La
regla del A/P en un principio también se creo para energías de Co60 generalizándose
posteriormente su uso para otros rangos de energía. Para comprobar la efectividad de estos
métodos en aceleradores lineales con haces de fotones de energías superior a Co60 es
necesario realizar mediciones de control para todos los tamaños y geometrías de campo y
profundidades, lo que es poco práctico. Considerando que el método desarrollado en este
trabajo tiene una capacidad predictiva con errores menores al 1% y además utiliza un
número menor de mediciones en fantoma (lo cual insume menor tiempo de adquisición), es
que nuestro método se utilizó para validar otros métodos de uso diario en la práctica clínica
como son la tabla de cuadrados equivalentes del BJR y la regla del A/P. La validación
consistió en calcular con nuestro método el PDD para campos cuadrados equivalentes
obtenidos aplicando la tabla del BJR o la regla del A/P a campos rectangulares de interés.
Como mencionamos anteriormente la tabla del BJR y la regla del A/P no predicen
con exactitud los valores de PDD para profundidades en la zona de “buildup”, por ello sólo
se comparó con profundidades mayores a esta zona. Al realizar las comparaciones entre los
valores de PDD de campos rectangulares y los valores de PDD de los campos cuadrados
equivalentes obtenidos de la tabla del BJR o la regla del A/P, se vió que las diferencias
entre ellos se acentúan al tratar de predecir campos rectangulares cuya relación de
elongación Lado mayor/Lado menor sea igual o mayor que cuatro y más aún para
profundidades superiores a 20 cm. En la Tabla 2 se puede observar que las diferencias para
estos casos alcanzan hasta un 2,1% para la tabla del BJR lo cual es acorde a lo publicado
en el suplemento 25º del BJR, y del 1,4 % para la regla de A/P semejante a resultados de
una publicación reciente [ 20]. También se puede observar en la Fig. 29 como se separan
las curvas de PDD a medida que incrementa la profundidad dando como resultado las
mismas conclusiones obtenidas anteriormente.
66
Profundidad
(cm)
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
4x20
BJR
0,1
0,1
0,3
0,0
0,3
0,3
0,1
0,1
0,0
0,0
0,3
0,3
0,2
0,4
0,3
0,0
0,1
0,5
0,4
0,1
0,2
0,7
1,0
0,8
0,8
0,8
A/P
0,1
0,1
0,3
0,0
0,2
0,2
0,0
0,1
0,1
0,1
0,2
0,3
0,1
0,4
0,3
0,0
0,1
0,5
0,4
0,2
0,3
0,7
1,0
0,8
0,8
0,8
BJR
0,1
0,2
0,4
0,1
0,3
0,4
0,1
0,2
0,1
0,1
0,3
0,3
0,1
0,4
0,2
0,0
0,2
0,7
0,7
0,5
0,7
1,2
1,7
1,5
1,5
1,7
Error Relativo (%)
4x40
7x40
A/P
BJR
A/P
0,4
0,0
0,8
0,1
0,1
0,7
0,1
0,1
0,7
0,4
0,1
0,9
0,6
0,1
0,8
0,7
0,1
0,8
0,3
0,1
0,6
0,1
0,2
0,5
0,1
0,2
0,5
0,2
0,0
0,7
0,6
0,2
0,8
0,6
0,2
0,7
0,4
0,0
0,5
0,3
0,2
0,3
0,1
0,0
0,4
0,0
0,0
0,0
0,3
0,1
0,3
0,6
0,4
0,1
0,5
0,6
0,0
0,3
0,8
0,2
0,4
0,9
0,2
0,9
0,2
1,2
0,4
1,4
1,5
0,4
1,2
1,6
0,5
1,1
1,7
0,9
1,3
2,1
10x40
BJR
0,2
0,1
0,0
0,1
0,1
0,0
0,2
0,2
0,3
0,1
0,0
0,1
0,2
0,0
0,2
0,0
0,0
0,2
0,5
0,9
1,1
1,0
1,3
1,5
1,6
2,1
A/P
0,6
0,6
0,8
0,9
0,7
0,8
0,6
0,5
0,4
0,6
0,5
0,5
0,3
0,5
0,6
0,0
0,2
0,3
0,1
0,2
0,1
0,2
0,0
0,1
0,0
0,3
Tabla 2. Los valores tabulados corresponden a los errores relativos producidos entre PDD calculados para
campos rectangulares, comparados con PDD calculados para campos cuadrados equivalentes a dichos
campos rectangulares. Los campos cuadrados equivalentes surgieron de la tabla del BJR y de la regla A/P. La
unidad en que están expresados los valores de tamaño de campo es cm2.
67
Fig. 29. La línea con triángulos representa al PDD calculado para un campo rectangular de 10 x 40 cm2, la
línea con cuadrados representa al PDD calculado para el campo cuadrado de 14,1 x 14,1 cm2 (equivalente al
campo rectangular de 10 x 40 cm2 y obtenido de la tabla del BJR) y la línea con rombos representa al PDD
calculado para el campo cuadrado 16 x 16 cm2 (equivalente al campo rectangular de 10 x 40 cm2 y calculado
con la regla A/P).
68
VI. DISCUSIONES
Un nuevo método de cálculo de PDD para campos rectangulares fue desarrollado en
este trabajo. Este método se caracteriza por utilizar como datos de entrada PDD y OF de
campos unidimensionales (campos rectangulares con una de sus dimensiones elongadas al
máximo y la otra variable). Es decir que todas las mediciones fueron hechas en fantoma lo
cual ya representa una ventaja debido a las complicaciones que trae asociada la medición
en aire para fotones de alta energía. Las herramientas que utiliza este método son la inversa
de la ecuación de integración por sectores y el método de Clarkson aplicado a factores de
salida de campo circular (fc). Este último método fue recientemente validado por primeros
principios [ 25].
El método de inversa de la ecuación de integración por sectores lleva a cabo el
cálculo por medio de un algoritmo iterativo que utiliza como datos de entrada las
mediciones (OFg) y como función semilla cualquier función de campo circular. Se
encontró que el algoritmo de iteración tiene una rápida convergencia independientemente
de la función semilla utilizada. El orden de iteración para el criterio elegido generalmente
es menor a 15, por lo que al ser ejecutado dicho algoritmo en una PC el tiempo de cálculo
de las funciones de campo circular es de unos pocos minutos.
Una vez conseguido las fc, éstas fueron integradas por el método de Clarkson para el
cálculo de los OFg de campos rectangulares. Con éstos y aplicando la ecuación ( 14) se
obtuvo el PDD para cualquier campo rectangular. El programa de cálculo de OFg que
lleva a cabo la integración de los sectores asociados a las fc tiene como variables los lados
de campo, la profundidad y el número de sectores angulares. Se encontró que para más de
100 sectores angulares los resultados prácticamente no varían, por lo que se eligió esta
cifra para ejecutar el programa de cálculo de OFg. Ello hizo que el cálculo del PDD para
cada campo sea aproximadamente de unos pocos segundos.
Para analizar la exactitud del PDD calculado, los resultados fueron comparados con
datos de PDD de control (medidos). Se pudo apreciar en la zona de “buildup” que si bien
la máxima diferencia entre los datos calculados y los datos medidos es de 8,4 %, los
errores intrínsecos de la medición fueron altos ya que sólo el error por posicionamiento
alcanza en algunos casos el 10 % en esta zona. Si además se tiene en cuenta la
contaminación electrónica que en esta zona es alta se podría pensar que la diferencia entre
los cálculos y las mediciones en la zona de “buildup” es debida en gran parte a factores
ajenos al método de cálculo. Respecto a la zona de equilibrio transiente las diferencias
69
apreciadas entre los datos de PDD calculado y los datos de PDD de control fueron
menores al 1,1 %. Si sólo analizáramos este resultado como error intrínseco del método, su
uso ya estaría justificado. Pero además debe tenerse en cuenta que los errores intrínsecos
de la medición fueron del orden del 1 %. Es decir que si la medición hubiera sido llevada a
cabo con una mayor precisión, las diferencias entre los datos medidos y los calculados
serían aun menores. Para evaluar la independencia del PDD calculado respecto al sistema
de colimación (distal o proximal) utilizado, se compararon datos de PDD calculado en base
a fcx con los de datos de PDD calculado en base a fcy. Los resultados de dicha
comparación mostraron que las diferencias no son significativas por lo que el PDD puede
ser calculado con cualquiera de las dos funciones (fcx o fcy).
Finalmente los resultados favorables obtenidos de la evaluación del método de
cálculo fundamentan empíricamente su consistencia para predecir PDDs de campos
rectangulares. Debido a esto último el método puede ser utilizado para analizar el
comportamiento en el acelerador lineal Saturne 41 (el mismo que se utilizó en la medición)
de otros métodos alternativos que predicen PDD de campos rectangulares tales como la
tabla del BJR y de la regla A/P.
Los métodos alternativos son muy utilizados en la práctica clínica rutinaria ya que
han demostrado una precisión aceptable aunque, a diferencia de nuestro método, no han
sido validados por primeros principios [ 26]. Los resultados de la evaluación de los
métodos alternativos muestran que debe ponerse especial atención cuando se trata de
predecir PDD de campos rectangulares para profundidades mayores a 20 cm. Para estos
casos el error producido por la tabla del BJR fue del 2 % y del 1,4 % para el caso de la
regla A/P, estos valores son cuestionables si se pretende llevar a cabo cálculos
dosimétricos bajo las condiciones de garantía de calidad que exigen los protocolos de
radioterapia moderna.
70
VII. CONCLUSIONES
Como se vió en los resultados y se discutió anteriormente este nuevo método de
cálculo predice valores de PDD con errores menores al 1 % en la zona de equilibrio
electrónico transiente. En la zona de “buildup” las diferencias aisladas encontradas pueden
ser justificadas por errores de incertezas propias del posicionamiento de la cámara al
realizar las mediciones en esta zona. El hecho de realizar las mediciones para una sola
dimensión ya sea x o y, debido a que la función PDD cancela el efecto de intercambio de
los colimadores, facilita el trabajo de obtención de datos de entrada.
Considerando la precisión del método y practicidad con que se obtienen los datos de
entrada, éste puede ser utilizado en el cálculo de PDD para diferentes tamaños y formas de
campo. También puede ser utilizado, como se vió en la sección V.E, para validar métodos
alternativos tales como la tabla del BJR y la regla del área sobre perímetro.
El formalismo desarrollado en este trabajo introduce un nuevo concepto que evita
separar radiación primaria de la secundaria para calcular PDD para cualquier campo
rectangular, incorporando en esta función toda la información necesaria de dispersión en el
cabezal y en el fantoma. Este concepto no ha sido utilizado hasta el momento por otros
formalismos, lo que hace que el método sea innovador en el área de la física médica.
Estos resultados alentadores abren las puertas a una nueva línea de trabajo no
explorada hasta el momento, en la cual quedan puntos a desarrollar tales como:
•
Generalizar el método para todas las DFS de uso clínico.
•
Estudiar el método para cualquier geometría de campo irregular generadas por bloques
o colimadores multihoja.
•
Analizar la aplicabilidad de puntos fuera de eje central
•
Optimizar el programa de cálculo ya sea mejorándolo en el mismo Visual Basic o en
otro lenguaje.
•
Creación de una interface entre el fantoma Multidata y una PC
•
Debido a que en la actualidad existen planificadores para el cálculo de distribución de
dosis con un alto grado de precisión (pencil beam [ 1] y MC), es necesario la
utilización de algoritmos sencillos que validen los cálculos de los planificadores. Este
método puede ser usado para tales fines generalizando el cálculo de PDD para todas
las DFS.
•
Otra alternativa para este nuevo método de cálculo es elaborar tablas de cuadrados
equivalentes de la misma forma en que lo hace la tabla del BJR con la función SAR
71
pero con la innovación de no separar radiación primaria de secundaria y además para
distintas profundidades.
72
VIII. APÉNDICE
A. Código Visual Basic para el cálculo del OFg para campo rectangular
'Cálculo del output factor generalizado en base a fc
Function of(xc, yc, indice, ndisc)
'Indice es la profundidad y
'ndisc el nro de sectores angulares
fcof = Range("comienzo:final")
'Localiza la tabla de OFg de
'campo circular.
ang1 = Atn(yc / xc)
'ang1 es el ángulo del límite superior
'del sector x.
ang2 = 3.141592 / 2
dtita1 = ang1 / ndisc
'diferencial tita del sector x en
'ecuación 14.
dtita2 = (ang2 - ang1) / ndisc
'diferencial tita del sector y en la
'ecuación 14.
'integración del primer sector (x)
sum1 = 0
inicial = inter(xc / 2, indice, fcof) / 2 'Calcula la contribución del
'primer sector angular de la int
final = inter(xc / 2 / Cos(ang1), indice, fcof) / 2
'Calcula la contribución del
'último sector angular de la integración.
For i = 1 To (ndisc - 1)
'Lleva a cabo la suma del resto de
tita1 = dtita1 * i
'los sectores angulares.
r = xc / 2 / Cos(tita1)
sum1 = sum1 + inter(r, indice, fcof)
Next i
sum1 = sum1 + inicial + final
'Suma la contribución de todos los
'sectores angulares ya calculados.
sum1 = sum1 * dtita1
'integración del segundo sector (y)
sum2 = 0
inicial = inter(yc / 2 / Sin(ang1), indice, fcof) / 2
final = inter(yc / 2, indice, fcof) / 2
For i = 1 To (ndisc - 1)
tita2 = tita1 + dtita2 * i
r = yc / 2 / Sin(tita2)
sum2 = sum2 + inter(r, indice, fcof)
73
Next i
sum2 = sum2 + inicial + final
sum2 = sum2 * dtita2
of = (sum1 + sum2) * 2 / 3.141592
'of es el OFg calculado
End Function
'************ Función de interpolación *************
' u_f valor de entrada a interpolar en las filas (radios)
' c valor de entrada a interpolar en las columnas (profundidades)
' TDE Tabla de OFg de campo circular
Dim TDE As Range
Function inter(u_f, c, TDE)
n = 2
m = 2
'Inicializa la celda para comenzar la
'interpolación bidimensional.
' Selección de la profundidad a usar
If c < TDE(1, n) Then
inter = "Fuera de Rango"
Exit Function
End If
Do While c > TDE(1, n)
n = n + 1
If IsEmpty(TDE(1, n)) Then
inter = "Fuera de Rango"
Exit Function
End If
Loop
'Selección del radio a usar
If u_f < TDE(m, 1) Then
inter = "Fuera de Rango"
Exit Function
End If
Do While u_f > TDE(m, 1)
m = m + 1
If IsEmpty(TDE(m, 1)) Then
inter = "Fuera de Rango"
Exit Function
End If
Loop
'Selección de los valores de interpolación
ia1 = TDE(m - 1, n - 1)
'ia e ib corresponden a los valores de OFg
74
ia2 = TDE(m - 1, n)
ib1 = TDE(m, n - 1)
ib2 = TDE(m, n)
'de campo circular a interpolar.
dc = TDE(1, n) - TDE(1, n - 1)
df = TDE(m, 1) - TDE(m - 1, 1)
ddc = c - TDE(1, n - 1)
ddf = u_f - TDE(m - 1, 1)
'delta profundidad.
'delta radio.
'delta profund con valor de entrada.
'delta radio con valor de entrada.
'Interpolación
uno = ia1 + ddc * (ia2 - ia1) / dc
dos = ib1 + ddc * (ib2 - ib1) / dc
inter = uno + ddf * (dos - uno) / df
'delta OFg de camp circ para radio
'menor a integrar.
'delta OFg de camp circ para radio
'mayor a integrar
'valor de OFg de camp circ a
'integrar por Clarkson
End Function
B. Código Visual Basic para llevar a cabo el cálculo de OFg
de campo
circular
Sub Macro1()
'
' Macro1
' Macro utilizada para ejecutar el algoritmo iterativo
'
'
Range("F4:F40").Select
Selection.Copy
Range("D4").Select
Selection.PasteSpecial Paste:=xlValues, Operation:=xlNone,
SkipBlanks:= _
False, Transpose:=False
Range("E4").Select
Application.CutCopyMode = False
ActiveCell.FormulaR1C1 = "=of(RC[-4],40,150)"
Range("E4").Select
Selection.AutoFill Destination:=Range("E4:E40"), Type:=xlFillDefault
Range("E4:E40").Select
ActiveWindow.LargeScroll Down:=-2
Range("G3").Select
End Sub
75
IX. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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