Bolas abiertas Conjuntos Abiertos

Bolas abiertas
Sea d una métrica y x̄0 un punto en Rn
(1) La bola abierta con centro en x̄0 y radio r > 0, es el conjunto:
B(x̄0 , r) = {x̄ ∈ Rn |kx̄ − x̄0 k < r}
Conjuntos Abiertos
Definición. Un conjunto V ⊂ Rn se dice que es abierto si para cada x̄ ∈ V existe una bola abierta
B(x̄, r) contenida en V . Es decir si para cada x̄ ∈ V existe r > 0 tal que B(x̄, r) ⊂ V .
Ejemplo: Mostraremos que una bola abierta es un conjunto abierto.
Demostración. Sea x0 ∈ Rn y sea r > 0. Vamos a ver que B(x0 , r) es un conjunto abierto. Sea
x ∈ B(x0 , r) proponemos R = r −kx−x0 k < r, por lo tanto R > 0 sea y ∈ B(x, R) se tiene entonces
que ky − xk < R por lo tanto
ky − x0 k = ky − x + x − x0 k ≤ ky − xk + kx − x0 k ≤ R + kx − x0 k = r
por lo tanto y ∈ B(x0 , r)
Ejemplo: El espacio Rn es un conjunto abierto, pues dado cualquier x̄ ∈ Rn , toda bola abierta B(x̄, r)
esta contenida en Rn .
Ejemplo: Mostraremos que el ∅ es abierto.
Demostración. Suponemos que el ∅ no es abierto ∴ ∃ x ∈ ∅ para el cual no es posible hallar una
bola abierta B(x̄, r) contenida en ∅. Pero esto no es posible ya que el ∅ no tiene elementos.
Entonces suponer que el ∅ no es abierto ! ∴ ∅ es abierto.
Ejemplo: Mostraremos que el semiplano superior V = {(x, y) ∈ R2 |y > 0} es abierto respecto de la
norma k k1 .
1
Demostración. Sea v0 = (x0 , y0 ) ∈ V se tiene entonces que y0 > 0. Elegimos r = y0 consideremos
la bola abierta B1 (v0 , y0 ) sea v = (x, y) ∈ B1 (v0 , y0 ) se tiene entonces que kv − v0 k < y0 es decir
|x − x0 | + |y − y0 | < y0 y queremos ver que y > 0 procederemos por contradicción
Primero supondremos que y=0 se tiene entonces que
|x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + |y0 | < y0
es una contradicción
Ahora procederemos a suponer que y < 0
|x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + (−y) + y0 < y0
es también una contradicción. Por lo tanto y > 0
Definición: Sea A un subconjunto de Rn
(1) Un elemento ā ∈ A se dice que es un punto interior de A, si existe una bola abierta con centro
en ā contenida en A es decir si ∃ r > 0 tal que B(ā, r) ⊂ A.
Ejemplo: Mostraremos que todo punto del disco x2 + y 2 < 1 es un punto interior.
√
Demostración. Sea p = (a, b) tal que a2 + y 2 < 1 y sea r = 1 − kpk = 1 − a2 + b2 . Sea p1 ∈ B(p, r)
se tiene entonces que
d(p1 , 0) = kp1 − 0k = kp1 k = kp1 − p + pk ≤ kp1 − pk + kpk < r + kpk = 1 − kpk + kpk = 1
∴ kp1 k < 1 ∴ p1 es un punto interior del disco unitario y como p es arbitrario, entonces todo punto
del disco unitario es interior
Ejemplo: Mostraremos que el conjunto V = {(x, y) ∈ R2 |y > x2 } es un conjunto abierto.
2
Demostración.pSi (a, b) es un punto del conjunto V, entonces b > a2 sea γ = b − a2 y consideremos
(x, y) tal que (x − a)2 + (y − b)2 < lo que implica que
|x − a| < y
|y − b| < usando que a2 = x2 − 2(x − a)a − (x − a)2 tenemos que
y > b − = a2 + γ − > x2 − 2()a − 2 + γ − para
>
|{z}
x2
adecuado
Ejemplo: Mostraremos que en R un intervalo abierto es un conjunto abierto.
Demostración. Sea x ∈ (a, b) y consideremos L = min{x − a, b − x} entonces
B(x, L) = (x − L, x + L) ⊂ (a, b)
esto es x es un punto interior de (a,b) y como x es arbitrario todo punto de (a,b) es interior ∴ (a,b)
es un conjunto abierto de R
Conjuntos Cerrados
Definición. Un conjunto F ⊂ Rn se dice que es cerrado si su complemento F c = Rn − F es un conjunto
abierto.
(2) La bola cerrada con centro x̄0 y radio r ≥ 0 es el conjunto:
B̄(x̄0 , r) = {x̄ ∈ Rn |kx̄ − x̄0 k ≤ r}
Proposición: Toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado.
Demostración: Sea x̄0 ∈ Rn y r ≥ 0. Probaremos que la bola cerrada B̄(x0 , r) es un conjunto
cerrado, es decir, que su complemento Rn − B̄(x0 , r) es un conjunto abierto.
Sea pues x̄ ∈ Rn − B̄(x0 , r). Mostraremos que existe una bola abierta B(x̄, R) contenida en
Rn − B̄(x0 , r). Como x̄ no está en la bola cerrada B̄(x0 , r), se tiene entonces que kx̄ − x̄0 k > r.
Definamos R = kx̄ − x̄0 k − r > 0, esto equivale a r = kx̄ − x̄0 k − R.
Veamos que B(x̄, R) ⊂ Rn − B̄(x0 , r)
3
luego kx̄ − x̄0 k < R + kȳ − x̄0 k ∴ kx̄ − x̄0 k − R < kȳ − x̄0 k, es decir, r < kȳ − x̄0 k.
Esto significa que ȳ 6∈ B̄(x̄0 , r), es decir, ȳ ∈ Rn − B̄(x̄0 , R).
4