fractura - Grupo Especializado de Materiales

TEMA VI: FRACTURA
6.1 Introducción. Ductilidad y fragilidad.
Bloque I: FRACTURA FRÁGIL
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Resistencia a fractura teórica.
Defectos, concentradores de tensiones.
Naturaleza estadística de la fractura frágil.
Teoría de Griffith.
Propagación de fisuras. Mecánica de la Fractura de Irwin.
Bloque II: FRACTURA NO LINEAL
6.7 No linealidad en punta de fisura. Modelo de Barenblatt.
6.8 Disipación de energía. Tenacidad y mecanismos de refuerzo.
6.9 Ensayos para la medida de la tenacidad a fractura
6.10 Fatiga.
6.1 INTRODUCCIÓN. DUCTILIDAD Y FRAGILIDAD
Al estudiar la curva tensión-deformación en un ensayo uniaxial describimos como en la respuesta
mecánica de un material pueden distinguirse tres regímenes: régimen elástico, régimen plástico y
finalmente la fractura. La importancia de este último régimen mecánico es evidente: la fractura supone el
final, o al menos el principio del fin, de la vida útil de una pieza. Entender el origen de este fenómeno es
de vital importancia para el diseño de todo tipo de estructuras en ingeniería. Cualquier fallo en el diseño
de una pieza por no tener en cuenta las propiedades de fractura del material puede ser catastrófico (en la
figura se muestra el barco “Liberty” que se hundió en puerto por una mala elección de las propiedades del
acero del casco). Además, las pérdidas anuales por fractura de piezas y estructuras industriales son
millonarios, lo que explica el extraordinario interés de estudiar este fenómeno para intentar minimizar
estos fallos.
6.1.1 Ductilidad y fragilidad.
Conviene recordar el concepto de ductilidad que definiéramos al estudiar las curvas tensión
deformación. La ductilidad de un material se define como la cantidad de deformación plástica máxima
que es capaz soportar un material antes de romper. Los parámetros principales utilizados para medir la
ductilidad son la deformación a fractura f o la reducción de área a fractura Af /A0. Esta magnitud, la
ductilidad, determina el tipo de fractura que se produce en el material: fractura frágil o fractura dúctil. Las
principales características de estos dos tipos de fractura se resumen en la siguiente tabla:
Fractura frágil
Fractura dúctil
Apenas hay estricción
Estricción apreciable
Las superficies de fractura son
macroscópicamente planas. La fractura se
produce a un ángulo de 90º con la carga aplicada y
es originada por tensiones normales
La fractura adopta la forma típica copa-cono. Por
tanto, la fractura se produce formando un ángulo de
45º con la carga aplicada y se origina por tensiones
de cizalladura.
Las superficies de fractura son microscópicamente
lisas en monocristales (clivaje) o amorfos y
estriadas en policristales
Microscópicamente se observa la formación de
microcavidades en la superficie de fractura
(fractura por desgarro)
Apenas se produce deformación plástica entorno a
la grieta
Deformación plástica apreciable entorno a la grieta
Todos los materiales pueden presentar uno u otro tipo de comportamiento a fractura (frágil o dúctil)
dependiendo de la temperatura. Existe para todos ellos una temperatura de transición frágil-dúctil, de
forma que si la temperatura es mayor que dicha temperatura crítica, el comportamiento es dúctil, y si es
menor, frágil. Esto es lo que le ocurrió al acero del “Liberty”, que al botarlo al agua se enfrió por debajo
de su temperatura de transición y se agrietó el casco.
Además de la clasificación anterior, la fractura en policristales puede clasificarse en intergranular o
transgranular, según la ruta de propagación de la fisura sea a través de las fronteras de grano o
atravesando (rompiendo) los propios granos.
BLOQUE I: FRACTURA FRÁGIL
De los dos tipos principales de fractura que acabamos de describir, estudiaremos en primer lugar la
fractura frágil por ser más simple de analizar ya que en ese caso el material se comporta elásticamente
hasta la fractura (por ello, a la fractura frágil también se le denomina fractura elástica), por lo que
podemos hacer uso de la teoría elástica lineal para su descripción.
6.2 RESISTENCIA A FRACTURA TEÓRICA.
Es lógico pensar que la fractura elástica se produce cuando la
tensión que actúa sobre el material alcanza un cierto valor (a este
criterio de fractura se le denomina criterio de tensión crítica). Por
tanto, una de las magnitudes más básicas para describir la fractura
frágil es la tensión real a la que dicha fractura tiene lugar. A dicho
valor crítico de la tensión se le denomina resistencia a la fractura
del material. Haciendo uso de la teoría de la elasticidad lineal
podemos calcular dicho valor de forma teórica:
Consideremos una estructura cristalina cúbica como la de la
figura cuyos sus enlaces atómicos se comportan como muelles,
verifican la Ley de Hooke. Para producir la fractura entre los planos P1 y P2 es necesario romper todos
esos enlaces, creando dos superficies nuevas. Si s es la energía por unidad de superficie (energía
superficial del material), la energía necesaria para crear dos nuevas superficies de área S sería:
U S  2 s S
Por otro lado, la energía elástica almacenada en la deformación provocada por una fuerza F que
estira los enlaces una cantidad a vendrá dada por:
a
a
0
0
U E   Fd (a)   Kad (a)  12 Fa
que considerando

F
a
y  
y la ley de Hooke (   E ), conduce a:
S
a0
U E   Sa0 
1
2
1
2
2
E
Sa0
Para que el inicio de fractura pueda producirse de forma espontánea (es decir, para que sea
energéticamente favorable), ha de verificarse que U E  U S lo que implica:
1
2
t2
E
Sa0  2 s S
y, por tanto, la resistencia a fractura teórica, t, vendría dada por:
t  2
 sE
a0

E
3
Por tanto, la resistencia a fractura teórica, al igual que el módulo elástico, es una magnitud cuyo
valor está íntimamente relacionado con la energía de cohesión (energía de enlace) de los átomos. Sin
embargo, el cálculo anterior no es exacto, ya que la ley de Hooke no puede considerarse válida hasta la
rotura a nivel de enlaces atómicos porque la fuerza interatómica deja de ser lineal cerca de la rotura.
Haciendo un cálculo más exhaustivo, considerando la verdadera forma funcional de las fuerzas de enlace
(a partir del potencial Lennard-Jones), se obtiene que:
t 
E
10
Sin embargo, paradójicamente, las medidas experimentales de f arrojan valores que son entre 1001000 veces inferiores a E. ¿Cuál es el motivo de esta discrepancia entre los valores de resistencia a
fractura experimentales y los teóricos, entre f y t?
6.3 DEFECTOS, CONCENTRADORES DE TENSIONES.
Al igual que sucediera con la paradoja del límite elástico, la explicación a esta famosa paradoja de la
fractura frágil hay que buscarla en la existencia de defectos en un los materiales reales. En efecto, la
tensión en la punta de defectos tridimensionales preexistentes en el material (poros, grietas, etc.) es muy
superior a la tensión aplicada macroscópicamente sobre él, es decir, estos defectos actúan como
concentradores de tensión. En 1913, Inglis calculó la concentración de tensiones en defectos elípticos
bajo tensión uniforme, obteniendo que la tensión en la punta del defecto viene dada por:


c
b
c
 C   A 1  2    A 2
siendo  

2
b el radio de curvatura en punta del defecto y
 C /  A el
c
factor de concentración de tensiones, que depende por tanto de la forma y
del tamaño del defecto. Como se aprecia en el gráfico, la alteración de las
tensiones apenas afecta a una región de tamaño  c, pero en dicha región
las tensiones son muy superiores a las existentes en el resto del material.
La presencia de defectos en los materiales reales no invalida el
criterio de tensión crítica, pero implica que, obviamente, la fractura se
produce ahora cuando la tensión máxima en la punta de las grietas
preexistentes (y no la tensión macroscópica, que será mucho menor) alcanza la resistencia a fractura
teórica (es decir, cuando  C   t ). Esto implica que la resistencia a fractura aparente, la que medimos
macroscópicamente (  f   A ) sería:
C  t 
c
  t   f 2
A  f 

de donde
 s E
f 
a0 c
que considerando que la curvatura en punta de grieta es del orden de la distancia interatómica ( ≈ a0)
queda:
f 
 sE
c
 f  c
1
2
Experimentalmente, por ejemplo en ensayos a tracción en fibras de vidrio de diferente diámetro
(Griffith, ver figura), se comprueba esta dependencia inversa de la resistencia a fractura con la raíz
cuadrada del tamaño de los defectos. Así mismo, en la tabla se aprecia que los mayores valores de
resistencia medidos experimentalmente en fibras muy delgadas se aproximan al valor teórico (≈ E/10).
Material
f máx (GPa)
E (GPa)
E/f máx
Fibra de vidrio
24.1
97.1
4
Fe whisker
13.1
295
23
Si whisker
6.5
166
26
Whisker de alúmina
15.2
496
33
Acero austenítico
3.14
200
64
Cuerda de piano
2.75
200
73
6.4 NATURALEZA ESTADÍSTICA DE LA FRACTURA FRÁGIL.
Puesto que la formación de los defectos en el proceso de fabricación de una pieza es un proceso
aleatorio, la población de defectos introducidos varía de una pieza a otra, tanto en número como en
distribución de tamaños. Por tanto, la resistencia a fractura también variará aleatoriamente dentro del
grupo de piezas, dependiendo del tamaño de los defectos que contenga cada una, de ahí que se hable de
que la fractura frágil tiene una naturaleza inherentemente estadística. Se hace pues necesario recurrir a
análisis estadísticos para describir completamente este fenómeno.
Si analizamos la fractura de una determinada
población de piezas en cualquier aplicación, la
probabilidad de fallos durante la vida útil sigue una curva
tipo bañera: primero muchos fallos debido a defectos de
fabricación, luego fallos al azar a ritmo constante y,
finalmente, se incrementa el número de fallos debido al
desgaste por fatiga de los materiales.
6.4.1 Análisis de Weibull.
Para el estudio estadístico de la resistencia a fractura de materiales el análisis más comúnmente
empleado es el debido a Weibull (1936). Este análisis se basa en el modelo del eslabón débil para
proponer que la probabilidad de supervivencia de un volumen V de un material determinado viene dada
por:
S (V )  S (V0 )
V
V0
e
V
ln S (V0 ) 
V0
 e VR
donde V0 es el volumen elemental. R sería el riesgo o probabilidad de rotura por unidad de volumen,
que depende sólo de la tensión aplicada . Weibull postuló que:
 u
1
R  lnS (V0 )  
V0
 0



m
donde u es la tensión umbral por debajo de la cual la probabilidad de fractura es cero ( u = 0
habitualmente), o es el valor central de la distribución de Weibull (aproximadamente equivalente a una
tensión de fractura promedio) y m es el módulo de Weibull que da cuenta de la variabilidad en la
resistencia a fractura del material (a mayor m, menor variabilidad). Según esta distribución, la
probabilidad de fallo de la pieza viene dada por:
P  1 e
   u
V 
 0




m
En lugar de representar directamente esta distribución de
probabilidad, se suele representar el ln 
1  frente a la

1 P 
tensión aplicada en escala logarítmica (ver figura):
  1 
log ln 
  log V  m log(    u )  m log  0
  1  P 
De esta forma se determinan fácilmente los valores de m y 0 (considerando el volumen de la pieza
como unitario), a partir de la pendiente y la ordenada en el origen de la recta resultante, y se puede
obtener información sobre la distribución de defectos en el material.
Esta fuerte componente aleatoria en la fractura de materiales frágiles plantea cuestiones acerca de la
fiabilidad en servicio (que en ocasiones se denomina confiabilidad) de estos materiales y que está
relacionada con el valor del módulo de Weibull, m. Para hacer frente a este problema se pueden buscar 3
tipos de estrategias:
 Detección de defectos: Mediante la realización de ensayos no destructivos se determina el tamaño de
los defectos existentes, lo que permite detectar las piezas que, por presentar defectos demasiado
grandes, no cumplen los requerimientos de la aplicación para proceder a su reparación o desechado.
 Eliminación de defectos: Si se precisan piezas libres de defectos existen dos alternativas. Por un lado
se puede optimizar el proceso de fabricación para minimizar la presencia de defectos perniciosos: se
trata de un proceso muy costoso y se hace necesario proteger las piezas tras la fabricación para
evitar su degradación (p. ej. recubrimientos en fibras ópticas). Alternativamente, si la optimización
del proceso de fabricación es compleja, para evitar la presencia de defectos se pueden realizar
ensayos tecnológicos de prueba (proof testing) que consiste en someter a las piezas fabricadas a una
tensión superior a la que sufrirán en servicio y eliminar aquellas que resultan dañadas. Es también
una práctica costosa, pero muy habitual en sistemas de control de calidad.
 Incrementar la tolerancia a defectos: En lugar de intentar detectar o eliminar los defectos en nuestro
material, lo que se busca en este caso es optimizar su microestructura para que resista la presencia de
defectos y evite su propagación, impidiendo que se conviertan en fisuras macroscópicas. Esto es lo
que se intenta conseguir en muchos materiales compuestos (hormigón, materiales reforzados con
fibras, etc.) mediante la incorporación a la matriz de elementos de refuerzo que dificulten la
propagación de fisuras, como veremos en la sección 6.8.
6.5 TEORÍA DE GRIFFITH.
El criterio de tensión crítica aplicado a la punta de la fisura es una condición necesaria, pero no
suficiente, para que se propague una fisura. Además es necesario que esta propagación sea
energéticamente favorable. Por otro lado, el tratamiento utilizado hasta ahora para describir la fractura
frágil es formalmente poco riguroso porque aplica teoría de la elasticidad en un rango atómico donde la
aproximación de sólido continuo deja de ser aplicable. Estos problemas fueron sorteados por Griffith en
1920 al desarrollar su teoría de la fractura frágil a partir de consideraciones energéticas, considerando el
problema de la fractura desde un punto de vista termodinámico:
Consideremos un sistema termodinámico reversible compuesto
por un sólido elástico (B) en cuyo contorno (A) actúan determinadas
fuerzas externas, y que contiene una fisura de longitud inicial c y
superficie S. Supongamos ahora que dicha fisura experimenta un
crecimiento o desplazamiento virtual dc (ver figura). Según el 1er
Principio de la Termodinámica:
dQ = dU + dW
siendo Q el calor suministrado al sistema, U su energía interna y W
trabajo realizado por el sistema sobre el medio (por tanto, W < 0 si es
trabajo realizado sobre el sistema). Asumiendo que la propagación de la fisura un dc se produce
rápidamente podemos considerar que el proceso es adiabático (dQ = 0). Por otro lado la energía interna
del sistema tiene dos contribuciones, la energía elástica y la energía superficial del medio:
U = UE + US
Griffith consideró que la condición crítica para el crecimiento de la fisura es que los cambios
energéticos asociados al crecimiento de la fisura se equilibren, es decir, que se minimice la energía del
sistema:
d (U E  U S  W ) dU

0
dc
dc
Cuando el sistema está fuera del equilibrio, si
dU
 0 la fisura tendería a cerrarse, a decrecer.
dc
dU
 0 la grieta crecerá espontáneamente y si
dc
6.5.1 Resistencia a fractura en una grieta elíptica bajo tensión uniforme.
Utilizando este criterio de fractura que acabamos de obtener, Griffith estimó la resistencia a fractura a
partir de los resultados de Inglis para una grieta elíptica bajo tensión uniforme:
Consideremos una lámina de espesor unidad con fisura pasante. La
energía superficial asociada a la fisura (ignoramos el resto de superficies pues
no varían) viene dada por:
US = 4c
Utilizando la teoría de la elasticidad se puede demostrar (lo haremos más
adelante) que el trabajo realizado a carga constante por el sistema al crecer la
fisura es:
dW = -2 dUE
Por tanto:
U= UE +US +W = US -UE
UE 
Por otro lado, es posible demostrar que:
c 2 A 2
E'
con E’=E si la lámina es delgada (estado de tensión plana) y
E’=E/(1-2) si la lámina es gruesa (estado de deformación plana).
Entonces:
U (c )  
c 2 A 2
E'
 4c
Como vemos, UE decrece con c2 mientras que US crece
linealmente con c, es decir, conforme la fisura crece una región de
radio aproximadamente igual a c se descarga entorno a la punta de
fisura y la energía elástica liberada se emplea en crear las nuevas
superficies. Aplicando la condición de equilibrio de Griffith:
dU
dc
0  f 
c c*, A  f
2E ' 
c *
Este valor de resistencia a fractura es coherente con el valor obtenido a partir del las tensiones en
punta de fisura pero el tratamiento seguido para calcularlo es más riguroso. En este caso, se cumple
d 2U
dc 2
0
c c*; A  f
se trata de un máximo de energía y, por tanto, el sistema estaría en equilibrio inestable: mientras A<f
la fisura no crece, pero si A>f la fisura crece hasta el final sin necesidad de incrementar la tensión
(crecimiento inestable).
6.5.2 El experimento de Obreimoff.
Existen situaciones en las que el crecimiento no se
produce de esta forma inestable. Este es el caso del
experimento de Obreimoff sobre clivaje en láminas de mica
(ver figura). En este caso, al introducir la cuña en el bloque
de mica la fuerza y el desplazamiento son ortogonales:
Fu  W=0  U=US+UE.
Por otro lado:
US = 2c
y, según la teoría de vigas bajo flexión:
Ed 3h 2
UE 
8c 3
entonces,
dU
dc
c c*, A  f
 3Ed 3 h 2 

 0  c  
 16 
1
4
pero en este caso
d 2U
dc 2
0
c c*; A  f
por tanto, se trata de un mínimo de energía, de un equilibrio estable: la fisura crece o decrece según h
hasta ese tamaño de equilibrio (crecimiento estable).
En su experimento, Obreimoff constató que existe una gran influencia del entorno en la fractura
frágil, que se traducen en fuertes variaciones del tamaño estable, c, de la fisura. Por otro lado, observó
retardos y variaciones en la velocidad de crecimiento de la fisura dependiendo de la velocidad de
introducción de la cuña, por lo que dedujo que la fractura es un proceso dependiente del tiempo. Además,
observó que se trata de un fenómeno sólo cuasi-reversible: aunque aparentemente las grietas se cierran al
retirar la cuña, se produce una reducción en la resistencia cuando se realiza un segundo ensayo sobre la
lámina y existe disipación de energía en el proceso. Es decir, el curado de la fisura es imperfecto porque
átomos extraños se introducen en la grieta, reduciendo la resistencia mecánica del material.
6.5.3 Limitaciones del análisis de Griffith.
De nuevo, a la hora de determinar la resistencia a fractura, f , a partir de la teoría de Griffith se ha
recurrido a resultados de teoría elástica, que no son válidos estrictamente en punta de fisura. El propio
concepto de punta de fisura no está claro. En teoría elástica se asume que la punta de fisura está bien
definida y que no existen fuerzas de atracción entre las superficies opuestas de la fisura, lo cual no es
estrictamente cierto, por tanto, los resultados de teoría de fractura que acabamos de estudiar no son
aplicables cerca de la punta de fisura.
¿ Punta de fisura ?
Por consiguiente, es necesario distinguir dos regímenes en la evolución de las fisuras:
 Inicio o nucleación: Este régimen inicial es muy complejo de describir y está gobernado por
fuerzas locales que se denominan fuerzas de nucleación. Aunque existen modelos para estudiar
las fuerzas atómicas que rigen la nucleación de fisuras, éstos son demasiado complejos para
analizarlos en esta asignatura.
 Propagación: Se entiende por propagación el crecimiento de la fisura más allá de la región donde
actúan las fuerzas de nucleación, es decir, el crecimiento de fisuras bien desarrolladas. Las
complejas fuerzas de nucleación no intervienen en este segundo régimen y por tanto su
descripción está al alcance de las teorías de fractura.
6.6 PROPAGACIÓN DE FISURAS. MECÁNICA DE LA FRACTURA DE IRWIN.
En 1957, Irwin estableció con un formalismo más correcto la equivalencia entre la formulación
energética y la formulación basada en tensiones de la mecánica de la fractura para la descripción del
proceso de propagación de fisuras (seguimos ignorando la nucleación).
Para comenzar el estudio de la mecánica de la fractura de Irwin, conviene identificar la existencia de
tres modos de fractura, que se corresponden con la separación de las dos superficies de fractura en cada
una de las tres direcciones del espacio:
Modo I. Apertura: El desplazamiento relativo de las superficies de fractura es normal a las paredes
de la fisura. Es evidente que este modo de fractura se debe a tensiones de tracción.
Modo II. Deslizamiento: Desplazamiento tangencial de las paredes de fisura en dirección
perpendicular al frente de fisura. Obviamente producido por tensiones de cizalladura.
Modo III. Desgarramiento: Desplazamiento tangencial de las paredes de fisura en dirección paralela
al frente de fisura. Producido por tensiones de cizalladura pura (no hay tensiones normales
(ver ecuaciones en sección 6.6.1).
El modo de fractura dominante depende de la orientación del defecto respecto al campo de tensiones
pero también del tipo de material. Así, por ejemplo, en materiales frágiles domina el modo I hasta el
punto de que las fisuras rotan si es necesario para propagarse según este modo. En materiales dúctiles
(metales y polímeros) prevalecen los modos de cizalladura II y III. En geología, el modo I está
completamente suprimido, incluso en materiales frágiles, porque las rocas rompen siempre por
compresión.
6.6.1 Factor de Intensidad de Tensiones.
A partir de los resultados de Westergaard (1939), Irwin estableció que la distribución de tensiones
completa entorno a una fisura puede escribirse, en primera aproximación (1er término del desarrollo en
serie) como:
Modo I:
Modo II:
Modo III:
donde
Todas estas expresiones pueden escribirse de forma compacta como:
 ij 
Km
f ij ,m ( )
2r
Así mismo, los desplazamientos pueden expresarse como:
u i ,m 
Km
2E
r
f i ,m ( )
2
donde Km es el denominado factor de intensidad de tensiones, que depende del modo de fractura y de
las condiciones de contorno aplicadas (es decir, de las cargas aplicadas, de la longitud de la fisura, forma
de la pieza, etc.). El factor de intensidad de tensiones, como su nombre indica, es la magnitud que
determina la intensidad de las tensiones locales entorno a la fisura. Esta magnitud es la fuerza motriz de
la propagación de la fisura. Como veremos más adelante, en la formulación en tensiones de la mecánica
de la fractura de Irwin la propagación de la fisura se produce cuando esta magnitud iguala o supera un
cierto valor crítico.
Conviene notar que las tensiones varían con r-1/2 mientras que los desplazamientos lo hacen con r1/2,
independientemente de las condiciones externas. Ello implica que las tensiones justo en punta de fisura
serían infinitas, lo que significa que este tratamiento no es aplicable muy cerca de la punta de fisura.
Además, tampoco es aplicable lejos de la fisura puesto que se necesitarían términos de orden superior en
el desarrollo en serie que se han despreciado para obtener las ecuaciones anteriores. En definitiva, como
ya hemos comentado la mecánica de fractura de Irwin, sólo es aplicable a la propagación y no a la
nucleación de fisuras y no pretende poder calcular qué sucede en regiones alejadas de la fisura ya que lo
que suceda en estas regiones no afecta a su propagación.
6.6.2 Velocidad de Liberación de Energía Mecánica.
La mecánica de la fractura de Irwin puede enunciarse de forma equivalente en términos energéticos.
Para ello, Irwin define el concepto de velocidad de liberación de energía mecánica, G, como la energía
mecánica liberada por unidad de superficie de fractura:
G
dU M
dS
(UM=UE+W)
que considerando una longitud de frente de grieta unitaria puede escribirse alternativamente como:
G
dU M
dc
G tiene dimensiones de energía/área o fuerza/longitud y es la fuerza motriz de la propagación de
fisuras. En efecto, cuanta más energía mecánica se libere al aumentar la longitud de la fisura (cuanto
mayor sea G), más favorable será dicha propagación. Como demostraremos a continuación, la velocidad
de liberación de energía mecánica es independiente de la configuración de cargas:
Supongamos un sistema como el de la figura. El desplazamiento
sufrido dependerá de la carga aplicada y de la flexibilidad (compliance)
del sistema, =(c):
u =P
La energía elástica del sistema será:
u
U E   P(u )du 
0
1 u2 1 2
 P
2  2
Si el sistema evoluciona a carga constante, cuando la fisura crece dc la flexibilidad,  aumenta y
dU E 
1 2
P d
2
Por otro lado,
cte
du  dP  Pd P
 Pd
y por tanto
dW   Pdu   P 2 d
Al tratarse de un trabajo realizado sobre el sistema es negativo. Como vemos que se verifica lo que
habíamos comentado anteriormente: dW=-2dUE .
Finalmente, se obtiene:
1
dU M   dP 2
2
Si, en cambio, el sistema evoluciona a desplazamiento constante,  sigue aumentando cuando la
fisura crece dc, pero ahora:
dU E  
1 u2
1
d   dP 2
2
2
2
Por otro lado, al ser a desplazamiento constante, du=0, el trabajo realizado es nulo (W=0) por lo que
finalmente:
1
dU M   dP 2
2
Por tanto, G tendría el mismo valor en ambos casos, que es lo que queríamos demostrar. Sin
embargo, a carga constante dUM=-dUE mientras que a desplazamiento constante dUM=dUE, es decir, lo
que es invariante es la velocidad de liberación de energía mecánica, G, y no la velocidad de liberación de
energía elástica, que en un caso es opuesta al otro. A pesar de tener el mismo valor de G, ambas
configuraciones no son igualmente estables:
G
A P=cte:
dU M 1 2 d
dG 1 2 d 2 
 P

 P
dc
2
dc
dc 2
dc 2
Mientras que para u=cte:
dU M 1 u d
dG 1 u d 2  u d
G




dc
2 2 dc
dc 2 2 dc 2 3 dc
2
2
2
De esta forma, si (c) es creciente con c, d  0 , la derivada de G a desplazamiento constante será
dc
menor que la derivada de G a carga constante lo que, como veremos más adelante implica que la
configuración a desplazamiento constante produce fisuras más estables.
6.6.3 Equivalencia entre G y K.
Las dos formulaciones de la mecánica de la fractura de Irwin
son equivalentes y por tanto debe existir una equivalencia entre
las dos fuerzas motrices que acabamos de definir. Consideremos
por simplicidad el caso de fractura a desplazamiento constante y
en Modo I puro (ver figura). La energía elástica liberada durante
el crecimiento de la fisura (CC’) es equivalente al trabajo
realizado por las tensiones entorno a la fisura durante un proceso
hipotético de cierre de la fisura (C’C):
G


dU E
2 c
 lim   12  yy (r  x  c,  0) u y (r  c  dc  x,   ) dx
dc0 dc c  dc
dc
Sustituyendo los valores de yy y uy correspondientes al modo I (ver sección 6.6.1), se obtiene:
G
2 K I2 c  dc c  dc  x
2 K I2 dc dc  y
dx

dy
E ' dc c
xc
E ' dc 0
y
que haciendo los cambios w=y/dc y posteriormente w=cos2 conduce a:
4 K I2
G
E '


0

2
4 K I2  sen2  2 K I2
sen  d 


E '  2
4  0
E'
2
Ecuaciones equivalentes se pueden obtener para todos modos de fractura:
K I2
GI 
,
E'
K II2
GII 
,
E'
K III2
GIII 
(1   )
E
con E’=E si la lámina es delgada (tensión plana) y E’=E/(1-2) si es gruesa (deformación plana).
Queda, por tanto, demostrada la equivalencia entre G y K: conocida una de las dos magnitudes es
inmediato calcular la otra, a través de esta relación. Como ya se ha comentado, ambas magnitudes
caracterizan de algún modo la fuerza motriz de propagación de fisuras: a mayor G y K más favorable será
el que la fisura se propague.
6.6.4 Superposición de G y K.
Puesto que las tensiones del mismo tipo (cizalladura o normales) verifican el principio de
superposición y pueden sumarse, también los factores de intensidad de tensiones correspondientes a un
mismo modo de fractura se suman:
KI= KI (1)+KI (2)+KI (3)
En cambio, cuando los modos de fractura son diferentes, los factores de intensidad de tensiones no
pueden sumarse pero la energía liberada sí es aditiva:
G


dU E
K2 K2 K2
2 c
 lim   12  yy u y   xy u x   zy u z dx  I  II  III (1   )  GI  GII  GIII
dc0 dc c  dc
dc
E'
E'
E
Por eso es tan interesante la mecánica de la fractura de Irwin, porque utilizando bien la formulación
en tensiones (K) o bien la energética (G) es posible aplicar el principio de superposición y se simplifica
mucho la resolución de cualquier problema de fractura.
6.6.5 Generalización de la Teoría de Griffith.
Una vez que hemos identificado las fuerzas motoras de la propagación de fisuras y sus propiedades,
es necesario incorporar el concepto de balance energético de Griffith a la mecánica de la Fractura de
Irwin para completar el esta teoría. Al igual que G caracteriza la energía mecánica disponible para la
propagación de fisuras, se hace necesario definir una magnitud que represente la energía necesaria para
que dicha propagación tenga lugar y que, en ausencia de otros fenómenos, se identifica con la variación
de energía superficial del sistema por unidad de área, es decir, con el trabajo necesario para romper
los enlaces:
R
dU s dU s

dS
dc
Esta magnitud es la fuerza que se opone al crecimiento de la fisura (notar que es positiva), es decir,
la fuerza de resistencia a la propagación de fisuras. Esta fuerza resistiva puede identificarse, de forma más
general, con el trabajo de adhesión de Dupré por unidad de área. Es decir, el trabajo necesario para
separar dos superficies unitarias y crear las respectivas interfases con el medio que rodea al material o
materiales. En el caso de un sólido homogéneo este trabajo se identifica con la energía superficial de
cohesión (2 veces la tensión superficial, recordar la teoría de Griffith) y, si se trata de cuerpos distintos,
con el trabajo de adhesión propiamente dicho, es decir, la diferencia entre las tensiones superficiales de
los cuerpos por separado y la energía interfacial de la unión entre ambos materiales:
Como se muestra en el esquema, ambas magnitudes pueden modificarse en presencia de un medio E
determinado, lo que explica el efecto del entorno en la propagación de fisuras que Obreimoff constató en
sus experimentos. Al efecto pernicioso que en muchos casos tiene el entorno químico en la fractura de los
materiales se le denomina fatiga química.
Teniendo en cuenta esta definición, la condición de equilibrio de Griffith queda expresada como:
dU  dU M  dU S  0  GdS  RdS  G  R  GC
es decir, la fractura se produce cuando G alcanza un cierto valor crítico (GC=R) o, equivalentemente en la
formulación en tensiones, cuando K lo alcanza:
K=KC
Basta recordar que G 
K
2
E'
(modos I y II). El valor crítico KC se denomina tenacidad a fractura del
material. Por tanto, según esta condición crítica, si G > R (K>KC) la fisura crece, mientras que si G < R
(K<KC) la fisura se contrae, tendería a cerrarse.
La condición anterior es condición necesaria para que se produzca el fallo de una pieza, pero no
suficiente. Para que la pieza falle, además, la propagación de la fisura ha de ser inestable, es decir, se debe
cumplir que:
d 2U
R cte
 0 

dc 2
dG
dK
0 
0
dc
dc
donde el cambio de signo de “<” a “>” se debe al distinto signo entre U y G. Por supuesto, es posible que
en un determinado sistema, debido al campo de tensiones que actúa sobre la grieta, se alternen periodos
de propagación estable-inestable-estable… Estos diferentes periodos de crecimiento de las fisuras en un
material reciben nombres como incubación (crecimiento estable inicial), pop-in (crecimiento inestable) o
detención o arrest (frenado de la propagación de una fisura tras un crecimiento inestable o pop-in).
6.6.6 G y K para sistemas específicos.
La mecánica de la fractura de Irwin que acabamos de explicar no serviría de nada si no fuera posible
calcular los valores de las fuerzas motrices de la propagación de fisuras: G y K. En esta sección
estudiaremos algunos valores típicos de estas magnitudes para algunas configuraciones tensionales de
interés:

Fisuras bajo tensión uniforme: En este caso, el factor de intensidad de tensiones toma siempre la
misma forma funcional, independientemente del modo de fractura:

1 
1

K II   AII c 2   K   c 2
1
K III   AIII c 2 


K I   AI c
1
2
donde  es un parámetro que depende de la geometría de la fisura:
- Fisura recta en medio infinito:

- Fisura recta en un extremo del medio:
= 
= 
- Fisura recta en medio de anchura w:
2w  c 
tan

c
 2w 
= 2/
 (c / w) 
- Fisura semicircular (medio-penique):
1
2
- Fisura elíptica:


1
c 2 
 2
 cos   sin  
E (a / c) 
a

 ( a / c,  ) 
2
 
E (a / c)   1  1  c
2
0

2
sin  d
a
1
2
1
2
2
2

Fisuras bajo tensión distribuida no uniforme: Cuando sobre la
fisura en un medio infinito actúa una distribución de tensiones
normales no uniforme, =(x) (para fisura recta) o =(r) (fisura
medio-penique), el factor de intensidad de tensiones puede
calcularse a partir de las expresiones:
KI  2
c

c

 I ( x)
c x
1
2
0
donde los términos
o KI 
2
r I ( x)
c 0 c 2  r 2
2
c
r
son funciones peso de
c x
c  r2
Green que tienen en cuenta que las tensiones más relevantes son las que se encuentran próximas a
la punta de fisura. A partir de estas expresiones, y sabiendo que
2

2
y
dx
c2  x2
2
 arcsen
x
y
c

xdx
c2  x2
  c2  x2
es fácil obtener los valores de K para los casos de tensión constante que
acabamos de ver: basta con sustituir (x)=A o (r)=A. También es fácil
calcular los casos de carga lineal en la boca de una fisura recta (ver figura),
para ellos se sustituye (x)dx=F(x)dx, siendo F la fuerza por unidad de
longitud aplicada y (x) la función delta de Dirac. Entonces, integrando se
obtiene:
2F
KI 
c
y de forma análoga para el caso de una carga puntual sobre una fisura
medio-penique (ver figura), sustituyendo (r)rdr=P(x), se obtiene:
KI 
2P
c  2
3
En ambos casos el parámetro  que aparece es un factor de corrección de borde similar al que
aparece en el caso de fisuras bajo tensión uniforme.

Geometrías experimentales: otras geometrías de interés práctico son las que se producen en los
diferentes ensayos mecánicos habitualmente realizados para estudiar fenómenos de fractura:
o
Flexión en 4 puntos: En este ensayo entre los dos cilindros interiores la tensión de tracción
es constante (ver figura), y se puede suponer que existe una
fisura recta, bien porque la hayamos introducido nosotros
(entalla) o porque asumimos que los defectos preexistentes
tienen esa configuración. Entonces, si c<<d, podemos utilizar la
expresión K   c
1
2
con  = , sabiendo que:

3Pl
4wd 2
o
Flexión biaxial: En este tipo de ensayo la tensión de tracción es
de nuevo uniforme en el centro de la muestra (ver figura). Por
1
tanto, de nuevo, si c<<d podemos utilizar K   c 2 con, por
ejemplo,  = 2(si en este caso suponemos que la fisura
es de medio penique). En este caso la tensión viene dada por:

o
3Pl
16d 2

b 
2b 2  a 2 

(1  ) 2 ln  1  (1  )

a 
2R 2 


Doble cantiléver: Este tipo de ensayo consiste en flexionar simultáneamente dos láminas de
material, por ejemplo, introduciendo una cuña en una entalla para hacer crecer la fisura.
Utilizando la energía mecánica, UM = UE, que vimos al estudiar el experimento de Obreimoff
pero multiplicada por dos (son dos láminas), es fácil calcular G para esta condición de
desplazamiento constante (h=cte.). En los otros 2 casos posibles, carga constante (P=cte.) y
momento constante (M=cte.), G también puede
calcularse a partir de la teoría de vigas bajo flexión, de
forma que finalmente se obtiene:
Todas estas configuraciones de carga no son igualmente estables, que es lo que hace a este
tipo de experimento tan interesante. Por ejemplo, a h=cte.,
propagación es estable, mientras que para P=cte.,
dG
 0 y por tanto la
dc
dG
 0 y el crecimiento es inestable.
dc
Finalmente el caso M=cte. G(c) es independiente de c lo cual hace este tipo de configuración
especialmente útil para poder conocer G sin tener que medir c, aunque lamentablemente es
una configuración difícil de realizar experimentalmente.

Doble torsión: Este experimento (ver figura) es
interesante porque permite obtener un factor de
intensidad de tensiones independiente del tamaño de
fisura, c, para una configuración a carga constante que es
más fácil de conseguir experimentalmente que un
momento constante. En concreto, se obtiene:
K  12(1   )
Pw0
1
w 2d 2
6.6.7 Ejemplo de aditividad del factor de intensidad de tensiones.
Como ya se ha mencionado, el fallo de un sistema requiere no sólo que se satisfaga la condición de
equilibrio, G=GC o K=KC , sino también que la propagación de la fisura sea inestable. Sin embargo, en la
propagación de fisuras se pueden alternar periodos de estabilidad e inestabilidad, de forma que es posible
que una fisura crezca inestablemente y luego se detenga, pasando a tener un
crecimiento controlado por lo que a veces es complejo determinar la
condición de fallo. El siguiente ejemplo ilustra la alternancia de regímenes
de crecimiento (estable primero y luego inestable en este caso) y la
aditividad del factor de intensidad de tensiones, K:
Supongamos una fisura sometida a una carga puntual en su boca y,
posteriormente, sometida a tensión uniforme (ver figura). En este caso
ambas configuraciones provocan la apertura de la grieta (modo I) y, por lo
tanto, el factor de intensidad de tensiones asociado a ambas solicitaciones es aditivo:
K  K A  K F   A c 
2F
c
donde se han usado dos de las expresiones de K que
acabamos de estudiar. El factor de intensidad de tensiones
resultante tiende asintóticamente, en escala logarítmica, a
dos rectas de pendiente +1/2 y -1/2 (ver gráfica). Cuando
inicialmente sólo actúa la fuerza en la boca de la fisura
(F>0, A=0), la condición de equilibrio sería:

K=KF=KC → c I   2F
  1/ 2 K
C

2

4  F 
  

  K C 

2
Cuando comienza a actuar la tensión externa A y hasta que se alcanza un valor crítico M, es decir,
para M >A > 0 (por ejemplo, A =0.25M), para K=KC (línea discontinua horizontal en la gráfica)
existen 2 puntos de equilibrio: uno de equilibrio estable (c=cI’>cI → dK/dc<0) y otro inestable (c=cF →
dK/dc>0). La fisura crecerá desde el tamaño inicial de equilibrio cI hasta cI’, que es el nuevo tamaño de
equilibrio para esta tensión aplicada. El otro tamaño cF que también cumple la condición de equilibrio no
tiene ninguna relevancia real porque se llega al otro equilibrio antes.
Conforme A aumenta cI’ crece establemente, manteniéndose en todo momento el equilibrio K=KC.
Pero conforme esto sucede cF va decreciendo de forma análoga hasta que ambos valores se igualan y se
alcanza la condición de equilibrio inestable final: c= cI’= cF cM , que se producirá para A = , y que
podremos calcular haciendo K=KC y dK/dc=0:
K  K C  K C   M c M 
2F
c M
dK
1

F
 0   M

 0 M
3
dc
2
cM
 c M2


  K  2F  2F  c   4F
C
M
K 

c M
c M
 C

2
2F 
K

  M  C2
c M 
8 F





2
Estos valores de tamaño de fisura y de tensión son los críticos para provocar el fallo de la pieza, es
decir, esa  sería la resistencia al fallo del material.
BLOQUE II: FRACTURA NO LINEAL
Hasta ahora hemos considerado que el sistema en que se propaga la fisura se comporta como un
medio elástico continuo. Sin embargo, en la práctica existen múltiples desviaciones respecto de este
comportamiento ideal de fractura lineal. En lo que sigue trataremos de identificar estas fuentes de
desviación respecto de la linealidad (el problema de la punta de fisura, presencia de deformación plástica,
etc.) y de extender la teoría de la fractura que hemos estudiado para abarcar estos casos.
6.7 NO LINEALIDAD EN PUNTA DE FISURA. EL MODELO DE BARENBLATT.
La mecánica de fractura de Irwin es una poderosa herramienta para describir múltiples aspectos del
proceso de fractura. Sin embargo, no está exenta de limitaciones. En particular, aunque permite
determinar cuándo una fisura debe propagarse, no puede explicar cómo lo hace. Es decir, al igual que la
teoría de Griffith no permite describir lo que sucede justo en la punta de fisura: como ya dijimos, la
mecánica de de fractura de Irwin predice una singularidad ( ~ r -1/2) para las tensiones en punta de fisura.
Sin embargo, es precisamente en dicha región inaccesible a la teoría donde verdaderamente tiene lugar el
proceso de ruptura de enlaces que conduce a la fractura. El origen de esta singularidad es doble: por un
lado, la utilización de la aproximación de continuo y, por el otro, la aplicación de la ley de Hooke, de la
teoría elástica lineal. Al utilizar la ley de Hooke, en la punta de fisura se obtienen tensiones y
deformaciones infinitas, asumiendo la forma parabólica de Irwin para la punta de fisura, porque en
elasticidad se asume que no hay límites para la deformación elástica, es decir, que la tensión de límite
elástico es infinita.
Sin embargo, las tensiones de cohesión, p(u), entre dos
planos atómicos que se separan una distancia 2u, inicialmente
crecen de forma lineal pero luego alcanzan un máximo y
posteriormente disminuyen hasta desaparecer (puede
considerarse que ya son nulas a una distancia  de unos pocos
diámetros atómicos) en lugar de incrementarse indefinidamente
como predice la ley de Hooke (ver figura). La no linealidad de
esta función de tensiones de cohesión es evidente y explica en
parte porque no es posible analizar lo que sucede en punta de
fisura. Esta función p(u) es independiente de la forma y tipo de
fisura y el área bajo la curva determina el trabajo de adhesión de
Dupré:

R0  WBB   p (u )d (2u )  2 B
0
El modelo de Barenblatt (1962) es el modelo más simple para
tratar de describir la fractura cerca de la punta de fisura. En este modelo
se asume una fisura plana y se retiene la aproximación de continuo,
pero se permite la existencia de una distribución no lineal de tensiones
normales al plano de la fisura, p(X) (ver figura). Se considera, además,
que verifican las siguientes hipótesis de Barenblatt:
i)
que la anchura de la zona de cohesión, , es pequeña en
comparación con la longitud de la fisura (aproximación de zona
de cohesión pequeña de Barenblatt-Dugdale) y
ii) que la forma de la superficie de fisura cerca de la punta es
independiente de la configuración de cargas externas (es decir,
se considera que las fuerzas externas son remotas, que el tamaño
de la muestra, L, es mucho mayor que el de la fisura).
Bajo estas hipótesis, << c << L, es posible calcular los factores de intensidad de tensiones
asociados tanto a las fuerzas externas como a las tensiones de cohesión. Ambos factores presentan
singularidades en la punta de fisura pero al sumarse se cancelan, como veremos a continuación. En primer
lugar calculemos el factor K0 asociado a las tensiones de cohesión:
K 0  2
c
c
 I ( x)
0
c2  x2

dx
X c  x , c 

  K 0  
2


0
p ( X )
X
dX
donde el signo negativo indica que es un factor de tensiones que se opone a la propagación de la fisura. Se
define el módulo de cohesión o tenacidad intrínseca como: T0   K 0 , que es independiente de c y es por
tanto una propiedad del material. La condición de equilibrio se reduce entonces a:
K=KA+K0 = 0  KC = T0
Claramente, debe existir una relación entre T0 y R0, usando la relación entre G y K se obtiene:
T0  E ' R0
Es posible calcular la forma de la punta de fisura
resultante de considerar este modelo, calculando a partir
de la teoría de elasticidad los desplazamientos debidos a
fuerzas de cohesión y a las fuerzas externas, obteniéndose
(ver figura) que:
u( X )  X 3/ 2
Y, por tanto, la deformación se anula cerca de la
1
du
 lim 32 X 2  0 , al contrario que
punta de fisura, lim
X 0 dX
X 0
en la mecánica de la fractura de Irwin donde u  X1/2 implica que la deformación es infinita en la punta de
du
1
 lim 12 X  2   .
fisura: lim
X 0 dX
X 0
Sigue existiendo, sin embargo, una cierta incertidumbre acerca de cuál debe ser la definición de
punta de fisura: ¿El punto donde p(u) alcanza el máximo?, ¿o el límite de la zona de cohesión..? Además,
es posible estimar el tamaño de la región de cohesión haciendo una serie de aproximaciones, y se obtiene
que  ~ 0.2-1 nm. Este tamaño es demasiado pequeño para justificar el haber reemplazado las fuerzas
interatómicas discretas por una distribución uniforme de tensiones, con lo cual surgen dudas acerca de la
validez formal de este modelo, a pesar de que permite solventar el problema de la singularidad de las
tensiones en punta de fisura.
6.8 DISIPACIÓN DE ENERGÍA. TENACIDAD Y MECANISMOS DE REFUERZO.
La existencia de fenómenos no lineales en la fractura de materiales se pone de manifiesto también en
las diferencias observadas entre los valores experimentales de energía que es necesario gastar en el
proceso de fractura, R, y las energías superficiales o de cohesión teóricas, 2B, de los materiales:
Como se aprecia en la tabla los valores de R son superiores a los valores de energías de cohesión,
especialmente en algunos materiales como los metálicos (las energías de cohesión de los metales son
similares o menores a las de los cerámicos). Pero incluso en cerámicos R0=1-10 J·m-2 mientras que
R=1-1000 J·m-2 o, equivalentemente, T0=0.4-4 MPa m-1/2 mientras que T=0.4-20 MPa m-1/2. Es decir,
deben existir otros fenómenos de disipación de energía en el proceso de fractura además de la creación de
nuevas superficies. Cuanto más intensos sean estos procesos de disipación de energía, más resistente a la
propagación de fisuras, más tenaz, será el material.
La principal fuente de disipación de energía en la fractura, especialmente en metales, es la
deformación plástica en punta de fisura pero, como veremos más adelante, existen otros mecanismos que
pueden llegar a ser importantes en materiales cerámicos y compuestos: microfisuras, fallas de cizalladura,
transformación tenaz, etc.
6.8.1 La aproximación de Irwin-Orowan.
Para incorporar estos procesos de disipación de energía a la mecánica de la fractura de una forma
simple se emplea la aproximación de Irwin-Orowan, que asume que el medio en torno a la fisura puede
dividirse en 2 regiones: una zona externa elástica que transmite las cargas externas y una región interna
donde ocurren los procesos de disipación de energía (incluida la formación de nuevas superficies, R0). Si
la región interna es pequeña en comparación a la externa:
i) El trabajo de separación de las dos superficies se produce en la región interna y lleva asociado un
factor de intensidad de tensiones, K, siendo independiente de la configuración de cargas externas
y, por tanto, R es una propiedad del material.
ii) Por otro lado, la velocidad de liberación de energía mecánica está gobernada exclusivamente por
la configuración elástica y no se ve afectada por los fenómenos que tienen lugar en la zona
interna.
Bajo estas condiciones, podemos seguir empleando la mecánica de la fractura de Irwin para
describir la propagación de fisuras en medios no elásticos (también denominados disipativos) sin más
que sustituir R0 por R y T0 por T. Esto se denomina extensión de Irwin-Orowan del concepto de Griffith.
Si bien estos nuevos valores de la tenacidad, T, o de su homólogo energético, R, no pueden calcularse
teóricamente sino que han de ser medidos experimentalmente. Se suele escribir:
R = R0 + RP = 2B + RP
donde RP es el trabajo plástico. Habitualmente en materiales plásticos y metálicos se desprecia el término
de energía superficial porque el término debido a plasticidad es muy superior, sin embargo, en ocasiones
se observa que el término superficial no es aditivo sino multiplicativo, por lo que hay que tener cuidado
con este tipo de simplificaciones.
6.8.2 Apantallamiento de la punta de fisura. Modelo de Thompson.
Existen modelos de fractura más elaborados que permiten entender por qué y cómo se incrementa el
valor de R debido a los procesos disipativos. En concreto, el modelo de Thompson (y Lawn) afirma que
los procesos disipativos incrementan la tenacidad del material porque apantallan la punta de fisura de las
cargas externas. Por tanto, estos procesos disipativos no afectan al proceso de separación de las
superficies propiamente dicho y la forma de la punta de fisura no se ve afectada, de modo que el modelo
de Barenblatt sigue siendo aplicable (aunque esto, evidentemente, es una aproximación).
En este modelo existen, por tanto, sumideros de energía que están determinados por la
microestructura y que se activan debido al fuerte campo
de tensiones existente en el entorno de la fisura. Se
considera, por tanto, que su actividad se limita a un
dominio anular r0 > r >r. De esta forma el modelo
distingue 3 regiones (ver figura): un enclave elástico,
una zona de apantallamiento donde suceden todos los
procesos disipativos y resto del sólido, que también es
elástico. El tamaño del enclave es muy superior al de la
zona de cohesión (r0 >>.) pero pequeño en
comparación con la distancia de separación promedio
entre sumideros de energía. A pesar de que dichos
sumideros están distribuidos de forma discreta se
mantiene la aproximación de continuo para poder seguir
aplicando el formalismo de Irwin. Además, conviene
mencionar que al crecer la fisura, la zona de
apantallamiento deja tras de sí una estela, donde los
sumideros pueden permanecer en un estado de actividad residual.
Los valores de K varían en cada región, como se aprecia en la figura:
i) Zona de cohesión: Cerca de la punta de fisura la condición de equilibrio sería la correspondiente a
sumar todos los factores de intensidad de tensiones:
k =KA+K+K0 = 0
ii) Enclave: En esta región, en cambio, un observador percibe el termino asociado a las tensiones de
cohesión como una fuerza resistiva: T0 = -K0. Este término resistivo, al ser la zona de cohesión
pequeña, puede considerarse independiente de la fisura y por tanto es una propiedad del material.
La condición de equilibrio sería ahora:
K*=KA+K= T0 =(E’R0)1/2
iii) Observador externo: en este caso, el observador percibe el termino de apantallamiento como
parte de la resistencia del material: T = -K. Por lo que el equilibrio queda:
KA=KR= T0 +T =T
Donde, T, es la tenacidad del material que puede medirse experimentalmente. En principio, el
término de apantallamiento podría ser calculado para cada uno de los mecanismos de apantallamiento a
partir de modelos que describan estos procesos y obtenerse una estimación teórica para la tenacidad, T,
pero es una tarea compleja.
En algunos casos, cuando los sumideros permanecen activos en la estela, la tenacidad puede
depender del tamaño de la grieta, T = T(c), creciendo conforme evoluciona la zona de apantallamiento.
Bajo estas condiciones, definiendo k(c)=KA(c)-T(c), o análogamente g(c)=GA(c)-R(c), la condición de
“fallo” puede expresarse de la siguiente forma:
Condición de equilibrio:
g(c) = 0 , k(c) = 0
 GA=R, KA = T
Condición de inestabilidad:
dg/dc > 0, dk/dc > 0

dGA/dc > dR/dc,
dKA/dc> dT/dc.
Los materiales que tienen valores de tenacidad dependientes de la longitud de fisura se dice que
exhiben un comportamiento tipo curva-T o, más comúnmente, comportamiento tipo curva-R (ver
figuras). Estos materiales exhiben una mayor
resistencia a la propagación inestable de fisuras.
En efecto, la condición de equilibrio se cumpliría
para determinados tamaños de grieta cuando G
fuera la recta marcada por 1 o 2, pero la
propagación inestable no se produciría hasta que
G aumentará, debido a un aumento de la tensión,
hasta el caso 3. De esta forma, el apantallamiento
estabiliza el crecimiento de fisuras hasta que la
tensión alcanza dicho valor, proporcionando al
material una mayor tolerancia al daño.
6.8.3 Mecanismos de apantallamiento y refuerzo de la tenacidad
Hasta ahora hemos hablado de la existencia de procesos disipativos y sumideros de energía, pero sin
explicar exactamente qué son. En esta pregunta analizaremos los distintos procesos disipativos que
aumentan la tenacidad de los materiales. Los mecanismos de refuerzo de tenacidad pueden clasificarse en
dos categorías: los mecanismos de apantallamiento frontal y los mecanismo de puenteado de fisuras.
Mecanismos de apantallamiento frontal: Disipan energía en punta de fisura tal y como hemos
descrito anteriormente y en ocasiones dejan una estela que continúa actuando de forma residual,
dando lugar al comportamiento tipo curva-R. Como mecanismos dentro de esta categoría cabe citar:
 Dislocaciones: Las fuertes tensiones de cizalladura en punta de fisura pueden provocar
desplazamiento, multiplicación o nucleación de dislocaciones en materiales suficientemente
dúctiles (ver figura). Esta deformación plástica en punta de fisura
disipa energía mecánica, proporcionando apantallamiento a la punta
de fisura. Este es el mecanismo que proporciona a los metales (y
polímeros) su elevada tenacidad. En cerámicos, su eficacia se limita a
altas temperaturas o a cerámicos muy blandos (NaCl, LiF, etc).
 Microfisuras: En policristales no cúbicos o materiales con varias fases existen tensiones de
origen térmico actuando en las juntas de grano. Estas tensiones superpuestas a la tensión en
punta de fisura provocan, en algunos materiales, la aparición de microfisuras interfaciales. Al
aparecer estas fisuras, se relajan las tensiones de origen térmico y se produce una dilatación
efectiva de los granos en torno a la punta de fisura. Esta dilatación tiende a cerrar la fisura,
oponiéndose a su avance. Este fenómeno apenas se aprecia en materiales monofásicos, ya que
requiere de granos pequeños pero tensiones térmicas muy elevadas. Sin embargo, es
especialmente activo en materiales polifásicos, donde las tensiones de origen térmico pueden
ser importantes incluso para tamaños de grano pequeño.
 Transformación tenaz: En circona (ZrO2) es posible estabilizar la fase tetragonal (T), estable a
alta temperatura, a temperatura ambiente, donde la fase estable es la monoclínica (M). Para
ello se usan determinados procedimientos de fabricación, especialmente el dopaje con MgO,
CaO, Y2O3, CeO2, etc. Las tensiones de tracción en punta de fisura pueden inducir entonces la
transformación martensítica de la fase tetragonal a la
monoclínica. La transformación T→M. de la circona lleva
asociado un cambio de volumen del 4% y unas deformaciones
de cizalladura del 7 %. El aumento de volumen en los granos
transformados genera tensiones de compresión sobre la punta
de fisura y se opone a su propagación. Este proceso es muy
efectivo para apantallar las tensiones porque, además, la zona
transformada sigue favoreciendo el cierre de la fisura incluso
en la estela (ver figura), produciendo un comportamiento tipo
curva-R. Lamentablemente, hasta la fecha, este tipo de
transformación tenaz solamente ha sido observado en circona.
 Fases dúctiles: En materiales cerámicos no es posible que se produzca deformación plástica per
se, sin embargo, introduciendo una segunda fase dúctil (formando un material compuesto) es
posible activar estos mecanismos. La eficacia de estas partículas dúctiles para incrementar la
tenacidad en cerámicos se ve incrementada por los fenómenos de puenteado, que analizaremos
a continuación.
Mecanismos de puenteado: El fenómeno de puenteado aumenta la resistencia a la propagación de
fisuras disipando energía al establecerse puentes o ligamentos entre las dos caras de la fisura. Es un
mecanismo que no actúa sobre el frente de fisura sino en la estela. Su efecto aumenta al crecer la
fisura y, por tanto, la región puenteada, por lo que siempre dan lugar a un comportamiento tipo
curva-R. Este tipo de mecanismo se observó originalmente en el hormigón. Las ligazones o puentes
pueden ser:
 Los propios granos: Este mecanismo es especialmente efectivo en materiales con tamaño de
grano elevado. Se basa en la deflexión de la fisura según interfases débiles y en la existencia de
tensiones de origen térmico. Cuando las interfases entre los distintos granos del material son
débiles la fisura se propaga de forma intergranular, rodeando los granos. La deflexión ya de por
sí puede considerarse un mecanismo de refuerzo, aunque el hecho de que las interfases sean
débiles reduce sus beneficios. Sin embargo, lo verdaderamente importante es que si existen
además tensiones residuales, al propagarse la fisura y dilatarse los
granos se genera fricción entre las caras de la fisura (ver figura) y se
produce una fuerte disipación de energía que conduce a un aumento de
R y T. Además, el crecimiento la fisura es estable al acumularse el
efecto de puenteado en la estela.
 Fibras y whiskers: El efecto es el mismo pero ahora la extracción o
separación de estos ligamentos de la matriz es más difícil, al ser más
largos, por lo que se incrementa la disipación de energía si la fibra
resiste la tensión. Como una alta resistencia a fractura es deseable en la
fibra, en ocasiones se usan whiskers, aunque como son más cortos el
beneficio obtenido es limitado.
 Partículas dúctiles: Pueden actuar de ligamentos de forma que, si no
son extraídos, disipan mucha energía mecánica al ser deformados
plásticamente, como se muestra en la figura de la derecha.
Los mecanismos de puenteado suelen requerir de interfases débiles para reflectar las fisuras dejando
atrás los ligamentos. A consecuencia de ello, aunque se aumenta la resistencia a la propagación de fisuras
largas, se disminuye la resistencia al inicio de daño, es decir, a la generación de fisuras cortas. Por tanto,
la utilidad de estos mecanismos dependerá de la aplicación concreta: En concreto, la existencia de estos
mecanismos es buena en aplicaciones estructurales pero nefasta en aplicaciones donde se reuniera
resistencia erosión o en las que el inicio de cualquier tipo de daño sea intolerable (por ejemplo, en
implantes y aplicaciones biomecánicas). En efecto, un material cerámico dado puede exhibir alta
resistencia o alta tenacidad dependiendo de su tamaño de grano pero, desafortunadamente, no de forma
simultánea.
6.9 ENSAYOS PARA LA MEDIDA DE LA TENACIDAD A FRACTURA
Como acabamos de comentar, en la mayoría de materiales existen procesos disipativos que alteran
los valores de tenacidad a fractura respecto de los valores intrínsecos del material. Se hace, por tanto,
indispensable disponer de métodos de medida de esta magnitud si deseamos estudiar con detalle el
proceso de fractura de los materiales. Entre los distintos métodos disponibles, cabe destacar:
6.9.1. Ensayos Charpy e Izod de tenacidad por impacto
Estos ensayos se utilizan desde 1900, antes de que se
desarrollara la teoría de mecánica de la fractura que
acabamos de estudiar. En este tipo de ensayos se hace
impactar un péndulo o martillo sobre el material a
estudiar, habiendo previamente realizado una entalla en el
mismo, (ver figura) y se determina la energía absorbida en
la fractura a partir de la medida de la diferencia de alturas
o de los ángulos entre la posición inicial del péndulo y la
final:
Ea=mg(h-h’) =mgL(cos-cos )
Esta energía absorbida, comúnmente denominada
resiliencia del material, no puede correlacionarse
fácilmente con la tenacidad a fractura que hemos
estudiado (KC, T) y, por tanto, aunque se sigue usando a
nivel industrial en controles de calidad, no tiene utilidad a
nivel de estudios fundamentales del fenómeno de fractura.
6.9.2. Ensayos de tenacidad a fractura con deformación plana
En este tipo de ensayos se somete a una pieza pre-fisurada del
material a un estado de deformación plana. Generalmente la fisura
inicial se consigue sometiendo a fatiga una muestra con entalla y se
mide su longitud mediante microscopía. A continuación, dependiendo
de la forma de la muestra se somete bien a una tracción uniaxial
(compact tensión, CT) o a un ensayo de flexión en tres puntos (single
edge notch beam, SENB), según la figura. Para conseguir que la tensión
sea plana, se debe garantizar que el espesor de la muestra, B, cumpla:
K
B  2.5 IC
 Y



2
La tenacidad a fractura se calcula entonces como:
K IC 
siendo
f (c / W ) 
2  c /W
1  c / W 
3
F
f (c / W )
B W
0.886  4.64c / W 13.32c / W   14.72c / W   5.6c / W  
2
2
3
4
6.9.3. Ensayos de indentación
Es posible calcular de forma simple la tenacidad a fractura de
materiales frágiles a partir de la medida de la longitud de las fisuras
generadas en un ensayo de indentación (ver figura). En efecto, durante los
ensayos de indentación con impresores puntiagudos (Vickers, Berkovich,
Knoop, etc.) en materiales frágiles aparecen fisuras de tipo medio penique a
consecuencia de las fuertes tensiones generadas en las aristas de las
pirámides de diamante. Los factores de intensidad de tensiones en este tipo
de ensayos son conocidos y, a partir de ellos, es posible estimar que la
tenacidad del material:
K IC
E
 
H
3
2
P
c
3
2
La validez de este método y la correlación de sus resultados con los de otros ensayos más
convencionales están sujetas a discusión pero, aún así, se trata de un método ampliamente usado para
comparar tenacidades de distintos materiales debido a su sencillez. Conviene no obstante evitar la
utilización de este método en todos aquellos casos en los que el tamaño c se menor que 1.3-1.4 veces la
diagonal de la huella (2a en la figura).
6.10 FATIGA
La fatiga mecánica (como ya comentamos al hablar del
experimento de Obreimoff, también existe una fatiga
química) es un fenómeno que tiene lugar en materiales
sometidos a tensiones dinámicas y fluctuantes, es decir, a
múltiples ciclos de carga-descarga. Este fenómeno conduce a
la aparición de fisuras y, finalmente, al fallo de la pieza
aunque las tensiones aplicadas sean siempre inferiores a la
resistencia a la tracción, e incluso al límite elástico, del material. De hecho, este fenómeno es la primera
causa de rotura en materiales: el 90% de los metales que se rompen en servicio lo hacen por este motivo.
Para determinar la susceptibilidad de un material a la fatiga se obtienen, generalmente mediante
ensayos de flexión-rotación, curvas S-N que representan en escala logarítmica la amplitud de los ciclos de
tensión aplicados, S, frente al número de ciclos de cargadescarga, N, (ver figuras). Para algunos materiales (figura
superior) existe un límite de tensión aplicada por debajo
de la cual el material no sufre fractura por fatiga. A esa
tensión se le denomina límite de fatiga o resistencia a la
fatiga. En aceros la resistencia a la fatiga es un 35-60%
de la resistencia a tracción. Sin embargo, en otros muchos
materiales ese límite es cero, es decir, incluso a tensiones
muy bajas puede producirse rotura si N es
suficientemente elevado (figura inferior). En estos
materiales se define la resistencia a fatiga para N ciclos
(por ejemplo la resistencia a fatiga para un millón de
ciclos, N=106) o, alternativamente, la vida a fatiga para
una tensión S determinada, Nf, como el número de ciclos
necesarios para producir la rotura a dicha tensión. Un
ingeniero debe escoger el material para cada pieza de
modo que se garantice la integridad del sistema que
fabrica al menos durante un periodo de vida considerable
(5-10 años de servicio). Por tanto, habrá de tener muy en
cuenta estos parámetros que acabamos de definir, y no
limitarse a analizar la resistencia a tracción o el límite
elástico del material.
6.10.1 Iniciación y propagación de la grieta
El proceso de rotura por fatiga es progresivo y consta de 3 etapas:

Iniciación o nucleación de la grieta: se forma una pequeña grieta en regiones de fuerte
concentración de tensiones, por ejemplo, en torno a defectos macroscópicos (cantos vivos,
roscas, etc.) o microscópicos (incluidos escalones producidos por deslizamiento de
dislocaciones).

Propagación estable de la fisura: la fisura va creciendo gradualmente en
cada ciclo de carga. Se pueden distinguir dos sub-etapas (ver figura):
o
Sub-etapa I: Consiste en un crecimiento lento según planos
cristalográficos, que en metales coinciden con los planos en los que
las tensiones de cizalladura son mayores. En esta etapa la superficie
de fractura es lisa.
o
Sub-etapa II: En esta etapa, más larga que la anterior, aumenta la
velocidad de propagación y se produce un cambio brusco en la
dirección
de
crecimiento de la
fisura hasta colocarse
perpendicularmente a la tensión aplicada.
En materiales dúctiles, en este periodo el
crecimiento se produce por un mecanismo
de enromamiento-agudizamiento de la
punta de fisura durante cada ciclo (ver
figura izquierda). Por este motivo, la
superficie de fractura aparece estriada a
nivel microscópico. También pueden
apreciarse estrías macroscópicas, pero estas
indican detenciones en el ciclado, por ejemplo, periodos de parada en una maquina que
trabaja en horario solo de mañana o que deja de trabajar los fines de semana.

Rotura final inestable: El fallo final de la pieza se produce bruscamente, a gran velocidad, una
vez se ha alcanzado un cierto tamaño crítico de grieta. Puede ser fractura frágil o dúctil
dependiendo del material.
La contribución a la vida a fatiga de la última etapa es despreciable, por tanto, puede considerarse
que depende exclusivamente de los periodos de iniciación, Ni, y propagación de la grieta, Np:
Nf = Ni+ Np
De las dos contribuciones cuál sea la dominante depende mucho del nivel de tensión aplicado. A
baja tensión, el periodo más largo es el de iniciación de la grieta, pero conforme S aumenta disminuye Ni
en relación a Np .
El entorno, el ambiente químico puede alterar el proceso de fatiga, favoreciéndolo. En cerámicos
los procesos de fatiga suelen ser producidos por fatiga química, por el proceso denominado crecimiento
subcrítico de fisuras asistido por el entorno (agua, ácidos, etc.) y en metales sucede algo similar en los
procesos de corrosión.
Además de evitar en lo posible los procesos de corrosión, una
técnica ampliamente utilizada para mejorar el comportamiento a
fatiga en materiales metálicos es la introducción de tensiones de
compresión en la superficie del material mediante una fuerte
deformación localizada. Esta deformación se obtiene mediante un
proceso que recibe el nombre de granallado (shot peening), que
consiste en proyectar partículas de cierto tamaño a gran velocidad
sobre la superficie del material. Las deformaciones se producen
hasta una profundidad de entorno a un ¼-½ del diámetro de las
partículas empleadas en el granallado. Las tensiones de
compresión asociadas a esta deformación, además de endurecer la
superficie
del
material,
mejoran
sustancialmente
su
comportamiento a fatiga, como se muestra en la figura.
Finalmente, conviene indicar que la resistencia a fatiga, e, está muy relacionada con la resistencia a
tracción del material, verificándose en metales que:
e ≈ 0.33 ts.