3.10 Intersección, suma y suma directa subespacios

CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
137
3.10
Intersección, suma y suma directa subespacios
3.10.1
Intersección, suma y suma directa de dos subespacios
Definición
3.8 Sean H y F subespacios de V , se define intersección de H y F ası́ :
∩
H F = {u ∈ V / u ∈ H y u ∈ F }
Teorema 3.20 La intersección de dos subespacios H y F de V es un subespacio vectorial de V .
∩
∩
Notas: dim(H F ) ≤ dim H y dim(H F ) ≤ dim F
Notas sobre los subespacios de IR n : En el caso de que los subespacios H y F vengan dados por
ecuaciones implı́citas, la ecuación implı́cita (o ecuaciones implı́citas) del subespacio intersección se
obtiene como la unión de todas ellas, excluyendo seguidamente aquellas que desaparezcan en la
eliminación gaussiana.
Ejemplo 3.19
H ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / z = 0} =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
Plano XY
F ⊂ IR = {(x, y, z) / y = 0} =< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >
Plano XZ
∩
H F ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / y = 0 , z = 0} =< (1, 0, 0) > Eje X
3
Ejemplo 3.20
G ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / y = 0 , z = 0} =< (1, 0, 0) >
Eje X
T ⊂ IR = {(x, y, z) / x = 0 , z = 0} =< (0, 1, 0) >
Eje Y
∩
G T ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / x = 0 , y = 0 , z = 0} = {(0, 0, 0)}
3
Ejemplo 3.21
F ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / z = 0} =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
Plano XY
S ⊂ IR =< (1, 1, 1) >
Recta no incluida en el Plano XY
Las ecs. implı́citas de S son x = y, x = z
∩
F S ⊂ IR 3 = {(0, 0, 0)} ; x = y = z = 0
3
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
138
Definición 3.9 Sean H y F subespacios de V , se define suma de H y F ası́ :
H + F = {u ∈ V / u = u1 + u2 con u1 ∈ H y u2 ∈ F }
OJO: H + F ̸= H
∪
F
(se puede analizar por ejemplo tomando H : Plano XY y F : Plano Y Z. La suma es IR 3 pero la
unión de H y F no es IR 3 .)
Teorema 3.21 La suma de dos subespacios H y F de V es subespacio vectorial de V .
Notas:
• dim(H + F ) ≥ dim H y dim(H + F ) ≥ dim F .
• El subespacio H +F está generado por la unión de un s.g. de H y un s.g. de F . En particular,
la unión de las bases de H y F es sistema generador del subespacio suma, y para obtener la
base de éste tendrı́amos que eliminar los vectores linealmente dependientes.
Ejemplo 3.22
H ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / z = 0} =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
Plano XY
F ⊂ IR = {(x, y, z) / y = 0} =< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >
Plano XZ
3
Estudia H + F
Es inmediato

1 0
El SL 0 1
0 0
comprobar que la unión de las bases de H y F genera IR 3 .

1 0 |x
0 0 | y  es en efecto compatible para todo vector ⃗v ∈ IR 3 .
0 1 |z
Observamos que en este caso el SL es compatible indeterminado, y por tanto (x, y, z) ∈ IR 3 se podrá
expresar de infinitas formas como suma de un vector de H y un vector de F . Por ejemplo
(1, 1, 1) = (1, 1, 0) + (0, 0, 1) con (1, 1, 0) ∈ H y (0, 0, 1) ∈ F
(1, 1, 1) = (0, 1, 0) + (1, 0, 1) con (0, 1, 0) ∈ H y (1, 0, 1) ∈ F
En este ejemplo:
• Descomposición ⃗u ∈ IR 3 = ⃗u1 + ⃗u2 con ⃗u1 ∈ H y ⃗u2 ∈ F no es única.
• La unión de la base de F y la base de H no es un conjunto l.i. La dimensión del subespacio
suma es 3, frente a un valor de 4 para la suma de dimensiones de los dos subespacios.
{
∩
y=0
• Uniendo las ecs. implı́citas
, obtenemos que dimF H = 1
z=0
Suma en forma paramétrica: H + F = {(x, y, 0) + (x′ , 0, z ′ ) = (x, y, z)} = IR 3
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Ejemplo 3.23
139
G ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / y = 0 , z = 0} =< (1, 0, 0) >
Eje X
T ⊂ IR = {(x, y, z) / x = 0 , z = 0} =< (0, 1, 0) >
Eje Y
3
Estudia G + T


1 0 |x
Es inmediato comprobar que G + T = Plano XY de IR 3 . En efecto el SL 0 1 | y  es compatible
0 0 |z
3
si y sólo si z = 0, es decir, para los vectores (x, y, 0) ∈ IR
• La unión de las bases de G y T es un conjunto l.i. por tanto la dimensión del espacio suma
es igual a la suma de las dimensiones.
• Debido a que el SL es compatible determinado, (x, y, 0) se expresa de forma única como
suma de un vector de G y un vector de T . (x, 0, 0) + (0, y, 0).


y = 0
∩
∩
• Uniendo las ecs. implı́citas tenemos z = 0
por tanto G T = ⃗0 y dimG T = 0 .


x=0
Suma en forma paramétrica: G + T = {(x, 0, 0) + (0, y, 0) = (x, y, 0)} = {(x, y, z) / z = 0}
Ejemplo 3.24
F ⊂ IR 3 = {(x, y, z) / z = 0} =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
Plano XY
S ⊂ IR =< (1, 1, 1) > Recta no incluida en el Plano XY
3
Estudia F + S

1 0 1 |
3

La unión de las bases de F y S genera IR . En efecto el SL 0 1 1 |
0 0 1 |
3
todo ⃗v ∈ IR .

x
y  es compatible para
z
• La unión de las bases de G y T es un conjunto l.i. por tanto la dimensión del espacio suma
es igual a la suma de las dimensiones.
• Debido a que el SL es compatible determinado, (x, y, z) ∈ IR 3 se expresa de forma única como
suma de un vector de F y un vector de S.
{
∩
∩
z=0
• Uniendo las ecs. implı́citas tenemos
, por tanto F S = ⃗0 y dimF S = 0 .
x=y=z
Suma en forma paramétrica: F + S = {(x, y, 0) + (λ, λ, λ)} = {(x, y, z)} = IR 3
Los ejemplos anteriores sugieren la siguiente definición:
Definición 3.10 Se dice que la suma H + F es directa
si para cada u ∈ H + F existen u1 ∈ H,
⊕
u2 ∈ F únicos, tales que u = u1 + u2 . Se denota H
F.
Vemos a continuación otra forma de expresarlo. Si la suma es directa, entonces:
u = u1 + u2 = u′1 + u′2 , con u1 , u′1 ∈ H, u2 , u′2 ∈ F ⇒ u1 = u′1 y u2 = u′2 .
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
140
Teorema 3.22 Sean H y F dos subespacios vectoriales de V . Entonces, las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
1) La suma H + F es directa
2) Si u1 + u2 = 0V , con u1 ∈ H y u2 ∈ F , entonces u1 = u2 = 0V
3) Cualquier conjunto {u1 , u2 } con u1 ̸= 0V ∈ H y u2 ̸= 0V ∈ F es linealmente independiente. Se
dice también que los subespacios H y F son linealmente independientes.
∩
4) H F = {0V }
Demostración:
• 1⇒2
obvia
• 2 ⇒ 1 Consideremos u1 + u2 = u′1 + u′2 , con u1 , u′1 ∈ H y u2 , u′2 ∈ F . Entonces (u1 − u′1 ) +
(u2 − u′2 ) = 0V , perteneciendo el primer sumando a H y el segundo a F . Por la propiedad 2)
u1 − u′1 = 0V y u2 − u′2 = 0V , y por tanto u1 = u′1 y u2 = u′2 , es decir, la suma es directa.
• 2 ⇒ 3 Consideramos el par de vectores no nulos u1 ∈ H y u2 ∈ F . En la combinación
lineal αu1 + βu2 = 0V el primer sumando pertenece a H y el segundo perteneciente a F , y de
acuerdo con 2) esto implica que αu1 = 0V y βu2 = 0V . Por hipótesis u1 y u2 no eran nulos
(ninguno de ellos), por tanto se concluye que α = β = 0, y por tanto que los vectores u1 y u2
son linealmente independientes.
• 3⇒2
La afirmación 3) establece que en cualquier par de vectores u1 , u2 , con el primero
en H y el segundo en F , o bien el par es l.i. o bien alguno de los vectores es el cero. De la
suma u1 + u2 = 0V se deduce u1 = −u2 , por tanto los dos vectores no son l.i., por tanto uno
de ellos es el cero, y como u1 = −u2 ambos son el vector cero.
• 2⇒4
Sea u ∈ H y u ∈ F . Si u ∈ F , entonces −u ∈ F y u + −u = 0V es la suma de
un vector de H y un vector de F . Por 2), al ser la suma nula cada uno de ellos es nulo, por
tanto u = 0V
• 4 ⇒ 2 Sean dos vectores u1 ∈ H y u2 ∈ F tales que u1 + u2 = 0V . Reordenando la ecuación
obtenemos u1 = −u2 , y por tanto u1 pertenece al espacio intersección. Como este subespacio
es el subespacio nulo, u1 = u2 = 0V .
⊕
Teorema 3.23 dim(H
F ) = dimH + dimF (Al unir una base de H y una base de F obtene⊕
mos una base de H
F)
Demostración: Una base de los vectores de la forma u + 0V , es decir, tomando el vector nulo
en F serı́a una base de H, BH . Una base de los vectores de la forma 0V + u, es decir, tomando el
vector nulo en H serı́a la base de F , BF . Uniendo las dos bases generarı́amos todos los vectores de
H + F . Para que las dos bases unidas sean base del subespacio suma hay que extraer los vectores
linealmente dependientes. Pero al ser la suma de H y F directa, todo vector de ∪
BF es l.i. de todos
los vectores de H, por tanto no tenemos que eliminar ningún vector y B = BH BF .
La dimensión del subespacio suma es igual
⊕al número de vectores en la base BH más el número
de vectores de la base BF , por tanto dim(H
F ) = dimH + dimF .
Teorema 3.24 dim(H + F ) + dim (H
∩
F ) = dimH + dimF
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
141
Definición 3.11 Sea H un subespacio
vectorial de V . Diremos que G es un subespacio vectorial
⊕
complementario de H si V = H
G
Teorema 3.25 Todo subespacio vectorial H de un espacio vectorial de dimensión finita V , admite
complementario.
⊕
Definición 3.12 Si V1 y V2 son dos subespacios complementarios de forma que V1 V2 = V ,
entonces, dado ⃗v ∈ V con ⃗v = v⃗1 + v⃗2 siendo v⃗1 ∈ V1 y ⃗v2 ∈ V2 , se dice que v⃗1 es la proyección de
⃗v paralelamente a S2 y que que v⃗2 es la proyección de ⃗v paralelamente a S1 .
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
142
Ejemplo 3.25 Dados en IR 4 los subespacios S = {(x, y, z, t) ∈ IR 4 / x + 2y + z − t = 0} y
T =< (1, 1, 1, 1), (2, 1, 0, 0) >, obtén:
∩
a) Una base de S T
b) Una base de S + T
• a) Intersección:
La forma implı́cita del subespacio intersección está constituida por las ecuaciones implı́citas
de los dos subespacios, eliminando del conjunto de ecuaciones aquellas que desaparezcan en
la eliminación gaussiana a fin de tener el mı́nimo número posible de ecuaciones. La forma
implı́cita de S la conocemos del enunciado. A continuación obtenemos la forma implı́cita de
T.

 

 
1
2
| x
1
2 | x
1 2 |x
1 1 | y  0 −1 | y − x 0 −1
| y−x 

 

 
1 0 | z  ∼ 0 −1 | z − y  ∼ 0
0 | x − 2y + z 
1 0 |t
0
0 | t−z
0
0
| t−z
{
x − 2y + z = 0
Las ecuaciones implı́citas de T son:
z−t=0
Para obtener una base de la intersección hay que resolver el SL formado por las tres ecuaciones
(una que aporta S y las dos que aporta T ):


x + 2y + z − t = 0
x − 2y + z = 0


z−t=0
Lo resolvemos mediante eliminación gaussiana.

 
 
 
 
1
2 1 −1
1
2 0
0
1
2 0
0
1
2 0
0
1
0 0
1 −2 1
0  ∼ 1 −2 1
0  ∼ 0 −4 1
0  ∼ 0 −4 0
1  ∼ 0 −4 0
0
0 1 −1
0
0 1 −1
0
0 1 −1
0
0 1 −1
0
0 1
x = −t/2, y = t/4 , z = t, t = t
La base más sencilla posible es: {(−2, 1, 4, 4)}
• b) Suma:
Para calcular una base de la suma el procedimiento general consiste en unir las bases de los
dos subespacios y eliminar del conjunto los vectores linealmente dependientes. No obstante,
es recomendable siempre utilizar la fórmula de las dimensiones para saber qué dimensión
esperamos para el subespacio suma.
dim T = 3 (una ecuación en IR 4 ), dim S = 2 (dos vectores que
∩ no son uno múltiplo del otro
son linealmente independientes), y hemos obtenido que dim S T = 1.
Por tanto dim (S + T ) = 3 + 2 − 1 = 4.
Como (S + T ) es subespacio de IR 4 y tiene dimensión 4, tenemos que S + T = IR 4 . No hace
falta calcular una base. La respuesta es dar la base más sencilla que es la base canónica de
IR 4 .

1/2
1 
−1
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
143
Ejemplo 3.26 Determina los subespacios vectoriales de IR 2 A + B y A
subespacios de IR 2 siguientes:
A = { (x1 , 0) / x1 ∈ IR}
es el eje X de IR 2
B = { (0, x2 ) / x2 ∈ IR}
es el eje Y de IR 2
∩
B, siendo A y B los
A + B = { (x1 , x2 ) / x1 ∈ IR, x2 ∈ IR}
En efecto (x1 , x2 ) = (x1 , 0) + (0, x2 ) con (x1 , 0) ∈ A y (0, x2 ) ∈ B
Por tanto A + B = IR 2
Ejemplo de vector de A + B = (7, 6) = (7, 0) + (0, 6)
Ejemplo de vectores de A: (7, 0), (−4, 0), (1/3, 0)
Ejemplo de vectores de B: (0, 4), (0, −200.2), (0, −4/7)
∩
A B:
La forma implı́cita de los elementos de A es x2 = 0
La forma implı́cita de los elementos de B es x1 = 0
{
x1 = 0
Por tanto la forma implı́cita de los vectores comunes es:
x2 = 0
y A
∩
B = {(0, 0)}
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
3.10.2
144
Intersección, suma y suma directa de p subespacios
La definición y propiedades de la intersección de más de dos subespacios y de la suma de más de
dos subespacios se extienden de forma inmediata de lo establecido para dos subespacios.
Trataremos el caso de la suma directa de más de dos subespacios ya que tendrá relevancia en
capı́tulos siguientes y para enfatizar que en este caso el carácter de suma directa no es equivalente
a que la intersección de los subespacios sea el vector nulo.
Suma directa de p subespacios
⊕ ⊕ ⊕
Se dice que la suma de los subespacios V1 , V2 , ..., Vp de V es directa y se escribe V1 V2 .... Vp
si cualquier vector de dicha suma puede expresarse de una única forma como suma de vectores de
V1 , V2 , ... Vp , esto es, si:
u1 + u2 + ... + up = u′1 + u′2 + ... + u′p
⇒ ui = u′i i = 1, ..., p
con ui , u′i ∈ Vi , i = 1, ..., p
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
• La suma es directa
• u1 + .... + up = 0V , con ui ∈ Vi ⇒ ui = 0V para i = 1, ..., p
• Cualquier conjunto {u1 , ..., up } con ui ∈ Vi y ui ̸= 0V para todo i (un vector de cada
subespacio y no nulo) es linealmente independiente
Las demostraciones son análogas a las presentadas para la suma directa de dos subespacios.
Cuando la suma de varios subespacios es directa, se verifica:
• dimV1 + dimV2 + . . . + dimVp = dim (V1
⊕
V2
⊕
...
⊕
Vp )
Observación: Cuando el número de subespacios de la suma es mayor que dos, suma directa implica
intersección nula, pero no al revés. Por ejemplo las tres rectas generadas por (1,0,0), (1,1,0) y
(1,2,0) en IR 3 tienen intersección nula y su suma no es directa, ya que los tres vectores no son
linealmente independientes.