Producto y suma directa de subespacios vectoriales

Producto y suma directa de subespacios vectoriales
Responde cada una de las preguntas siguientes. Debes redactarla de forma clara, justificando cada uno
de los argumentos e indicando las propiedades de los espacios vectoriales que utilices.
1. (a) Demuestra que si V y W son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces el
producto cartesiano V × W con las operaciones definidas por
(v, w) + (v 0 , w0 ) = (v + v 0 , w + w0 )
α(v, w) = (αv, αw),
para cualquier (v, w), (v 0 , w0 ) ∈ V × W, α ∈ K, es también un espacio vectorial sobre K.
(b) Prueba que si dim V = n y dim W = m, entonces dim(V × W ) = n + m. (Indicación: Prueba
que si BV = {e1 , . . . , en } y BW = {u1 , . . . , um } son bases de V y W respectivamente, entonces
BV ×W = {(e1 , 0W ), . . . , (en , 0W ), (0V , u1 ), . . . , (0V , um )}
es una base de V × W .
2. Sea V un K-espacio vectorial y sean V1 y V2 dos subespacios vectoriales de V . Se define la suma
de V1 y V2 como el conjunto
V1 + V2 := {v1 + v2 : v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 }.
Demuestra que:
(a) V1 + V2 es un subespacio vectorial de V .
(b) V1 + V2 =< V1 ∪ V2 >.
3. Demuestra además que las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) Dados v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , entonces v1 + v2 = 0 si y sólo si v1 = v2 = 0.
(b) Dados v1 , v10 ∈ V1 , v2 , v20 ∈ V2 , entonces v1 + v2 = v10 + v20 si y sólo si v1 = v10 y v2 = v20 .
(c) V1 ∩ V2 = {0}
(d) Si Bi es una base de Vi , para i = 1, 2, entonces B = B1 ∪ B2 es una base de V1 + V2
Diremos que la suma V1 + V2 es suma directa si los subespacios V1 , V2 verifican una, y por tanto
todas, las propiedades anteriores. En tal caso la suma V1 + V2 se denota por V1 ⊕ V2 .
Diremos además que los subespacios V1 y V2 son subespacios suplementarios si V1 ⊕ V2 = V ,
es decir, si verifican que V1 + V2 = V y V1 ∩ V2 = {0}.
4. Demuestra que en R2 los ejes coordenados son subespacios suplementarios.
5. Sean V1 , V2 subespacios del espacio vectorial V .
(a) Prueba que la aplicación
ϕ:
V1 × V2
(v1 , v2 )
−→ V1 + V2
,→ v1 + v2
es un epimorfismo de espacios vectoriales.
(b) Si dim V es finita, prueba que son equivalentes las afirmaciones siguientes:
i. ϕ es un isomorfismo
ii. V1 + V2 es suma directa
iii. dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 .