examen 2015-1-f2 - portal ursul

O
SOLUCIÓN
O restart
O
Respuesta 1)
y x
CN x, y $diff y x , x = 0
x$$2
y x
d
Cy x 2 K 2 CN x, y
y x =0
dx
x
O Ecuacion d y x $exp x$y x
Cy x $$2 K
Ecuacion := y x ex y x
O M d y$exp x$y Cy$$2 K
(1)
y
x$$2
M := y ex y Cy2 K
y
x2
(2)
O DerMy d expand diff M, y
DerMy := ex y Cy x ex y C2 y K
O N d expand int DerMy, x
N := x ex y C2 x y C
1
x
O comprobacion0 d simplify diff N, x Kdiff M, y = 0
comprobacion0 := 0 = 0
1
2
x
(3)
(4)
(5)
O IntMx d int M, x
IntMx := ex y Cy2 x C
y
x
(6)
O NN d expand diff IntMx, y
(7)
1
x
O SolucionGeneral d IntMx C int N Kdiff IntMx, y , y = C1
y
SolucionGeneral := ex y Cy2 x C = C1
x
O
Fin respuesta 1)
O restart
NN := x ex y C2 x y C
O
Respuesta 2)
O SolucionGeneral d y t = A$exp Kt cos t CB$exp Kt $sin t C3$sin t Kcos t
SolucionGeneral := y t = A eKt cos t CB eKt sin t C3 sin t Kcos t
O SolHom d y t = A$exp Kt cos t CB$exp Kt $sin t
SolHom := y t = A eKt cos t CB eKt sin t
O SolPart d y t = 3$sin t Kcos t
SolPart := y t = 3 sin t Kcos t
O EcuacCarac d expand m K K1 CI $ m K K1 KI
=0
EcuacCarac := m2 C2 m C2 = 0
O EcuaHom d diff y t , t$2 C2$diff y t , t C2$y t = 0
d2
d
EcuaHom := 2 y t C2
y t C2 y t = 0
dt
dt
O Q d eval subs y t = rhs SolPart , lhs EcuaHom
Q := 5 sin t C5 cos t
O EcuacionNoHomogenea d lhs EcuaHom = Q
2
d
d
EcuacionNoHomogenea := 2 y t C2
y t C2 y t = 5 sin t C5 cos t
dt
dt
O Solucion d dsolve EcuacionNoHomogenea
Solucion := y t = eKt sin t _C2 CeKt cos t _C1 C3 sin t Kcos t
O SolucionGeneral
Kt
Kt
y t = A e cos t CB e sin t C3 sin t Kcos t
O
Fin respuesta 2)
O restart
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
O
Respuesta 3)
O Sistema d diff x t , t =Ky t Ct, diff y t , t = x t Kt : Sistema1; Sistema2;
d
x t = Ky t Ct
dt
d
y t = x t Kt
dt
O Solucion d dsolve Sistema : Solucion1; Solucion2
x t = sin t _C2 Ccos t _C1 C1 Ct
y t = Kcos t _C2 Csin t _C1 K1 Ct
O comprobacion1 d eval subs x t = rhs Solucion1 , y t = rhs Solucion2 , lhs Sistema1
Krhs Sistema1
=0
comprobacion1 := 0 = 0
O comprobacion2 d eval subs x t = rhs Solucion1 , y t = rhs Solucion2 , lhs Sistema2
Krhs Sistema2
=0
comprobacion2 := 0 = 0
O
opción 2
O AA d array
(18)
(19)
(20)
(21)
0,K1 , 1, 0
0 K1
AA :=
1
(22)
0
O BB d array t,Kt
BB :=
(23)
t Kt
O with linalg :
O MatExp d exponential AA, t
MatExp :=
O Xcero d array
cos t
Ksin t
sin t
cos t
(24)
C1, C2
Xcero :=
C1 C2
O MatExpTau d map rcurry eval, t ='t Ktau' , MatExp
(25)
MatExpTau :=
cos t Kτ
Ksin t Kτ
sin t Kτ
cos t Kτ
(26)
O BBtau d map rcurry eval, t ='tau' , BB
BBtau :=
τ Kτ
(27)
O ProdMatTau d evalm MatExpTau &* BBtau
ProdMatTau :=
cos t Kτ τ Csin t Kτ τ sin t Kτ τ Kcos t Kτ τ
O IntTau d map int, ProdMatTau, tau = 0 ..t
IntTau := Kcos t Ksin t C1 Ct Ksin t Ccos t K1 Ct
(28)
(29)
O SolGral d evalm evalm MatExp &* Xcero C IntTau : SolUno d x t = SolGral1; SolDos
d y t = SolGral2
SolUno := x t = cos t C1 Ksin t C2 Kcos t Ksin t C1 Ct
SolDos := y t = sin t C1 Ccos t C2 Ksin t Ccos t K1 Ct
O
Fin respuesta 3)
O restart
O
Respuesta 4)
O Sol d y t = t K1 $Heaviside t K1 K t K2 $Heaviside t K2 : plot rhs Sol , t = 0 ..5, y
=K1 ..3
(30)
3
2
y
1
0
1
2
3
4
5
t
K1
O with inttrans :
O Transformada d Y s = laplace rhs Sol , t, s
Ks
K2 s
e Ke
Transformada := Y s =
s2
(31)
O
Fin respuesta 4)
O restart
O
Respuesta 5)
O Ecuacion d diff u x, y , y$2 = u x, y Kdiff u x, y , x
(32)
v
v2
u x, y = u x, y K
u x, y
2
vx
vy
O EcuacionDos d eval subs u x, y = F x $G y , Ecuacion
d2
d
EcuacionDos := F x
G y =F x G y K
F x G y
2
dx
dy
lhs EcuacionDos
rhs EcuacionDos
O EcuacionTres d
= simplify
F x $G y
F x $G y
2
d
d
G y
F x K
F x
2
dy
dx
EcuacionTres :=
=
G y
F x
O EcuacionX d rhs EcuacionTres = alpha; EcuacionY d lhs EcuacionTres = alpha
d
F x K
F x
dx
EcuacionX :=
=α
F x
Ecuacion :=
(32)
(33)
(34)
d2
G y
dy2
EcuacionY :=
=α
G y
O SolucionXpos d dsolve subs alpha = beta$$2, EcuacionX ; SolucionYpos
d dsolve subs alpha = beta$$2, EcuacionY
SolucionXpos := F x = _C1 eK β K 1 β C 1 x
(35)
SolucionYpos := G y = _C1 eKβ y C_C2 eβ y
(36)
O SolucionGeneral d u x, y = subs _C1 = 1, rhs SolucionXpos $rhs SolucionYpos
SolucionGeneral := u x, y = eK β K 1 β C 1 x _C1 eKβ y C_C2 eβ y
(37)
O
O
opción dos
lhs EcuacionDos KF x $G y
O EcuacionCuatro d simplify
F x $G y
rhs EcuacionDos KF x $G y
= simplify
F x $G y
d2
d
G y KG y
F x
2
dy
dx
EcuacionCuatro :=
=K
(38)
G y
F x
O EcuacionXX d rhs EcuacionCuatro = alpha; EcuacionYY d lhs EcuacionCuatro = alpha
d
F x
dx
EcuacionXX := K
=α
F x
2
d
G y KG y
dy2
EcuacionYY :=
G y
=α
O SolucionXXpos d dsolve subs alpha = beta$$2, EcuacionXX
d dsolve subs alpha = beta$$2, EcuacionYY
; SolucionYYpos
(39)
2x
SolucionXXpos := F x = _C1 eKβ
SolucionYYpos := G y = _C1 sin
2
K1 Kβ y C_C2 cos
2
K1 Kβ y
(40)
O SolucionGeneralDos d u x, y = subs _C1 = 1, rhs SolucionXXpos $rhs SolucionYYpos
2x
SolucionGeneralDos := u x, y = eKβ
O
Fin respuesta 5)
O restart
Fin examen
_C1 sin
2
K1 Kβ y C_C2 cos
2
K1 Kβ y
(41)