Ingeniería Mecatrónica Materia: Ingeniería de Control

Ingeniería Mecatrónica
Materia:
Ingeniería de Control
Maestro:
Raúl V. Castillo Carrillo
Sistema de posición de motor de corriente directa con
controlador P, PI y PID
Equipo:
Castro Echeverría Roberto
Soto Verduzco Edgar Emir
Torres Rascon Alfredo
Objetivo
Este trabajo se tratara de realizar el modelado de un motor y aplicarle un
controlador P,PI,PD y PID con estos se observara la respuesta en el dominio del
tiempo y se compara con los demás controladores.
Introducción
Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control
por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el
valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el
proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos:
el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la
reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la
integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control
suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la
reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones
es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la posición de
una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo.
Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador
puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La
respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control
ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado
de oscilación del sistema. Nótese que el uso del PID para control no garantiza
control óptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones
pueden solo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de
control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la
ausencia de las acciones de control respectivas.
Proporcional
La parte proporcional consiste en el producto entre la señal de error y la constante
proporcional como para que hagan que el error en estado estacionario sea casi
nulo, pero en la mayoría de los casos, estos valores solo serán óptimos en una
determinada porción del rango total de control, siendo distintos los valores óptimos
para cada porción del rango. Sin embargo, existe también un valor límite en la
constante proporcional a partir del cual, en algunos casos, el sistema alcanza
valores superiores a los deseados. Este fenómeno se llama sobreoscilación y, por
razones de seguridad, no debe sobrepasar el 30%, aunque es conveniente que la
parte proporcional ni siquiera produzca sobreoscilación. Hay una relación lineal
continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de
control (la válvula se mueve al mismo valor por unidad de desviación). La parte
proporcional no considera el tiempo, por lo tanto, la mejor manera de solucionar
el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que
tenga en cuenta la variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurando las
acciones integral y derivativa.
La fórmula del proporcional esta dada por:
Integral
El modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en
estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa
cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando
esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El error
es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período
determinado. Luego es multiplicado por una constante I. Posteriormente, la
respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I
con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema sin error
estacionario.
El modo integral presenta un desfasamiento en la respuesta de 90º que sumados
a los 180º de la retroalimentación ( negativa ) acercan al proceso a tener un
retraso de 270º, luego entonces solo será necesario que el tiempo muerto
contribuya con 90º de retardo para provocar la oscilación del proceso. <<< la
ganancia total del lazo de control debe ser menor a 1, y así inducir una atenuación
en la salida del controlador para conducir el proceso a estabilidad del mismo. >>>
Se caracteriza por el tiempo de acción integral en minutos por repetición. Es el
tiempo en que delante una señal en escalón, el elemento final de control repite el
mismo movimiento correspondiente a la acción proporcional.
El control integral se utiliza para obviar el inconveniente del offset (desviación
permanente de la variable con respecto al punto de consigna) de la banda
proporcional.
La formula del integral esta dada por:
Derivativo
La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del
error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e
integral).
El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna, o
"Set Point".
La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo
proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita
que el error se incremente.
Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se
suma a las señales anteriores (P+I). Es importante adaptar la respuesta de control
a los cambios en el sistema ya que una mayor derivativa corresponde a un cambio
más rápido y el controlador puede responder acordemente.
La fórmula del derivativo esta dada por:
MODELO MATEMATICO DEL MOTOR
El sistema se puede clasificar en dos partes: la eléctrica y la mecánica. El análisis
matemático se divide en estas partes y las ecuaciones que involucran la
asociación de las dos.
Analizando la parte eléctrica con las leyes de Kirchhoff en función del tiempo t se
obtiene:
Haciendo un análisis similar para la parte mecánica se obtiene:
Las ecuaciones que asocian la parte mecánica con la eléctrica son:
Y
Partiendo de las ecuaciones en función del tiempo que describen a nuestro
sistema, se transforma todo al dominio de los números imaginarios con la
transformada de Laplace y se efectúan algunas operaciones algebraicas para
llegar a las siguientes ecuaciones:
En donde se cuentan las siguientes variables
Ra: resistencia del inducido
:: Inductancia del inducido
: Corriente del inducido
: tensión del inducido
: fuerza contra electromotriz
: Angulo girado por el eje
: Par generado por el motor
J: Momento de inercia del rotor y la carga
F: Rozamiento viscoso del rotor y carga
Con las cuales se puede realizar un diagrama de bloques con las siguientes
ecuaciones.
El diagrama de bloques es como sigue:
Simplificando este diagrama de bloques se obtiene la función de transferencia
Para nuestro sistema los valores de las variables son:
Diagrama de bloques del motor:
Agregando al motor retroalimentación para controlar la posición en radianes. El
control esta pensado para que se haga con potenciómetros ideales como
sensores de posición. El bloque del inicio que dice posición deseada sirve para dar
el punto de control, que seria la representación del ángulo del potenciómetro ideal,
y la retroalimentación vendría de un potenciómetro unido al eje del motor. El
pensando que este sistema funcionara con 5V, se saco una constante de
proporcionalidad Ko para comparar la posición con voltaje porque al motor le entra
una diferencia de voltajes, que es lo que hace que se mueva en cierta dirección o
no. Pensando que el potenciometro ideal tiene un giro de 360° o 2*pi*rad la
constante Ko es la siguiente
Ko 
5V
 0.7957V / rad
2rad
Graficando la respuesta en el dominio del tiempo nos permite la forma de nuestra
grafica ya que con ella se podrán determinar la ganancia de acuerdo al método de
Ziegler-Nichols
>> format long
>> num=[Kb*Ko];
>> den=[La*J (La*f+Ra*J) (Kw*Kb+Ra*f) Kb*Ko];
>> sys=tf(num,den)
Transfer function:
0.01552
---------------------------------------------------5.4e-011 s^3 + 1.35e-005 s^2 + 0.0009878 s + 0.01552
Lugar de las raices
Rlocus(sys)
>> t=0:0.01:2;
>> step(2*pi*num,den,t)
Control proporcional.
Como ya se dijo anteriormente Hay una relación lineal continua entre el valor de la
variable controlada y la posición del elemento final de control.
Ya que el control proporcional es:
planta
Para obtener una Kp optima utilizamos el método de Ziegler-Nichols el cuel
pretende encontrar un sobrepaso máximo de 25%. El método se trata en que si la
curva de experimentación da forma de S la curva se caracteriza por dos
parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T.
Para la determinación de estos parámetros se obtiene la siguiente figura.
Lo cual demuestra que T=0.08 y L=0.01
De acuerdo a la tabla de Ziegler-Nichols se sugieren los siguientes valores:
Control P
Por lo tanto para nuestro caso la ganancia Kp es de 8
Simulando nuestra planta en simulink con el controlador tipo P se tiene:
Los resultados en el dominio del tiempo fueron los siguientes para una posición
2pi:
Con esto se comprueba que el sobre paso es por debajo del 30% como dice el
método.
Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a los
0.5s, donde se ve que el controlador P no puede corregir el error.
Control PI
Para el control de tipo PI se tiene que la ganancia va ser diferente ya que este
incluido un integrador en el controlador este tipo de controles esta especificado en
la figura de abajo.
(1+
planta
Pero como ya vimos anteriormente en nuestra tabla ahora el valor de kp será igual
a .9(T/L) y el valor de sera L/0.3 por lo que nuestra simulación en simulink es:
Los resultados de este controlador fueron los esperados para una posicion de 2pi.
Uno de los puntos a notar es que el controlador PI a diferencia del controlador tipo
P, disminuye el error a cambio de estabilidad y como podemos observar nuestro
sobrepaso aumenta pero el valor es más exacto.
Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a las
0.5s. A diferencia del P reduce el error pero oscila más.
Controlador PID
Uno de los puntos que observamos en realizar este tipo de controlador fue que
nos dimos cuenta que un controlador PID es muy bueno para corregir las
perturbaciones que afectan al sistema. Esto debido a que el valor Proporcional
determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección
proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de
control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo
determina la reacción del tiempo en el que el error se produce.
(1+
Planta
Para la obtención de nuestros parámetros recurrimos otra vez a la tabla propuesta
por Ziegler-Nichols
Para lo cual tenemos los siguientes valores
Kp=9.6
Ti=.02
Td=.005
1


G( s)  9.61 
 0.005s 
 0.02s

El diagrama de bloques Hecho en simulink es:
El cual nos da un resultado con un sobrepaso de un 52% aproximadamente.
Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a los
0.5s. Como se puede ver el sistema se recupera rapidamente y con error muy
reducido, o tal vez nulo.
Conclusiones
Castro Echeverria Roberto
Con este trabajo me pude dar cuenta mejor del comportamiento de los diferentes
controladores. Gracias a los controladores se puede obtener la estabilidad de
manera mas rápida y sin error o reduciéndolo. Cada controlador hace su tarea
específica, pero este trabajo podemos notar como el controlador PID es superior a
los demás, ya que notamos que estabiliza el sistema de manera rápida, con pocas
oscilaciones y con poco error. Además en la parte que hicimos simulación con
perturbaciones pudimos notar que el controlador P se estabilizo pero no redujo el
error, al contrario el error se hizo muy grande. En el PI pudo corregir el error pero
tarda mucho y tiene muchas oscilaciones bruscas, en cambio el PID sin ningún
problema se estabiliza rápido, con poca oscilación y con un error casi nulo.
Gracias al uso de matlab el trabajo se puede hacer de una manera más sencilla y
precisa.
Soto Verduzco Edgar Emir
Para implementar el control al sistema, se tomo como base el sistema que
se encuentra en la plataforma ftp, pero se le agrego un bloque integrador para
sacar la posición de la velocidad angular, y con eso se llego a la función de
transferencia, al graficarla se noto que coincidía la forma de la grafica con el
método grafico de Ziegler-Nichols, con esto se realizo una recta en el punto de
inflexión que es casi tangencial a la función y de ahí se sacan los parámetros del
método. Al tener estos datos, se agregan los bloques de control al diagrama con
los valores que resultan y observamos que en un principio el proporcional nos
mejora el tiempo de establecimiento y el tiempo de subida, analizando el control
proporcional integral observe que aumenta el sobrepaso pero la el sistema se
estabiliza un poco mas rápido, y al observar el control proporcional integral
derivativo se nota como el sobrepaso baja y el sistema se estabiliza rápidamente.
Además al ponerle perturbaciones a los diferentes controles, se puede observar
que al aplicarle al motor sin ningún tipo de control influye en demasía la
perturbación, pero al aplicárselo al control proporcional el error se reduce
significativamente, además al observar como influye en el control PID se puede
apreciar que no solo corrige casi completamente, si no que también corrige el error
rápidamente.
Torres Rascon Alfredo
Este trabajo fue de mucho provecho para nuestro aprendizaje ya que nos dimos
cuenta de la importancia de un controlador y las diferencias entre los tipos de
controladores que existen. Un punto que me llamo mucho la atención fue el trato
de las perturbaciones al sistema que cada controlador toma en particular el PID es
una forma de estabilizar el sistema, minimizar el error en estado estacionario y
reaccionar rápido nos dice que es un controlador muy eficiente. De acuerdo con
las pruebas que realizamos el control PID reacciona muy rápido a las
perturbaciones.
Bibliografía
Ingeniería de Control Moderna
Katsuhiko Ogata
Sistemas de Control Automatico
Benjamin C. Kuo