AUTOCORRELACION

ECONOMETRIA II
AUTOCORRELACION
La autocorrelación es la relación que se da entre las variables perturbadoras( ),
contraviniendo uno de los supuestos para estimar el modelo a partir de la
independencia que debería existir entre estas variables. Este problema se
presenta fundamentalmente cuando se realizan estudios econométricos de series
históricas. En este caso, en cada periodo, las variables independientes deberían
ser las únicas que expliquen el modelo, y no lo que halla sucedido periodos
anteriores. Es decir, ni los fenómenos ocurridos anteriormente, o la tendencia o
ciclo de la variable debería afectar, en dicho periodo el comportamiento de la
variable dependiente.
El modelo y el no cumplimiento de los supuestos quedarían planteados de la
siguiente manera:
Y=x +
E( ) = 0
E( ´) = 2
Donde
es la matriz
de la autocorrelación.
2
1
.
.
2
E ( ´)
.
.
.
.
.
n 1
.
.
diferente a la matriz identidad y que presenta el fenómeno
.
n 1
.
.
.
.
.
.
.
1
X
2
Donde en forma individual :
E(
2
t
2
t
2
)
Las varianzas de “ ”, con la expresión anterior serían
2
1
constantes
2
E(
t
t
s)
s
s
1
2
2
^
^
t
t
t
Mag. Renán Quispe Llanos
1
ECONOMETRIA II
^
^
t
ut
t
t
FIGURA. A-1
1. CAUSAS DE LA PROCEDENCIA DE AUTOCORRELACION
1. La inercia de los procesos económicos, quiere decir, la variable debe crecer
en el tiempo.
2. El sesgo de especificación, se da cuando se excluye a una variable
importante o la forma funcional del modelo no es la correcta. En el primer
caso:
Y = 1 + 2x2 + 3x3 + , es difícil especializar el fenómeno.
3. Rezagos en los modelos:
Ct = 0 + 1y + 2Ct-1 + t
Ct-1 = 0 + 1y + 2Ct-2 +
t-1
Cuando se habla de rezagos puede haber autocorrelación.
4. Existencia de ciclos y tendencias, si la autocorrelación es positiva, un valor alto
de ut genera un valor de yt por encima de su promedio, y en consecuencia una
elevada probabilidad de ir seguido de un valor alto de u t+1, y de un valor de yt+1
por encima de su promedio, lo mismo ocurriría para valores de y t por debajo
de su promedio.
5. La autocorrelaciòn positiva está asociada a la existencia de rachas de valores
altos y bajos de yt. (Fig. A -2 )
6. El conjunto de variables explicativas del modelo no explican adecuadamente
dicho comportamiento, entonces el término de error incorporará dicha
tendencia, y esto conduce a la existencia de autocorrelaciòn positiva . Una
primera racha de residuos negativos seguida por otra racha de residuos
positivos.(Fig A -3)
y
Modelo
verdadero
Modelo
estimado
2
Mag. Renán Quispe Llanos
Modelo
Estimado
ECONOMETRIA II
t
FIGURA. A-2. Autocorrelación
producida por un ciclo
FIGURA. A-3. Autocorrelación
producida por una tendencia
7. Manipulación de Datos. En especial cuando se realiza la interpolación y
extrapolación de la información.
2. CONSECUENCIAS DE LA AUTOCORRELACION
Los estimadores de MCO tendrán las siguientes propiedades:
1. Son insesgados en muestras repetidas sus valores medios son iguales a las
verdaderos valores reales.
2. Son consistentes a medida que el tamaño de la muestra se aproxime a los
verdaderos valores.
3. Como en el caso de heterocedasticidad ya no son eficientes (mínima varianza)
ni para muestras pequeñas ni grandes.
a. Aunque se tenga en cuenta la correlación serial en los estimadores
mínimos cuadrados ordinarios (MCO) y se utilice la fórmula de varianza con
autocorrelación los estimadores serán menos eficientes. En consecuencia
los intervalos de confianza son más anchos de lo necesario y la prueba de
significancia pierden fuerza.
Fórmula de varianza en presencia de autocorrelación
1
2
V( )MCG =
Si se ignora el problema de autocorrelación y se aplica la fórmula clásica de
MCO (bajo el supuesto de ausencia de correlación) las consecuencias son
todavía más serias y la varianza residual tiende a subestimar la varianza
verdadera.
b. Incluso si la varianza residual estuviera subestimada las varianzas y los
errores estándar de los estimadores MCO tienden a subestimar las
verdaderas varianzas de los parámetros estimados.
c. En consecuencia las pruebas de significancia pierden validez y si se aplica
tienden a dar conclusiones erróneas.
Yt =
1
+
2xt
Mag. Renán Quispe Llanos
+
t
3
ECONOMETRIA II
t
=
t-1
+
(autocorrelación de primer orden)
t
E( t)=0, E( t2)=
donde:
t
2
, E(
t t+s)=0
La Autocorrelación, será de segundo orden cuando el subíndice sea t-2, y
así sucesivamente.
Entonces:
E(
2
t
2
t
2
)
2
1
2
E(
t
t
s
s)
s
2
2
1
Para el modelo general:
Y=x +
E( ) = 0
E( ´) =
2
2
E(
´)
. .
.
.
. .
.
.
.
. .
. .
.
2
1
, entonces: E (
n
2
´)
.
n 1
.
n 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3. DETECCION DE AUTOCORRELACION
El supuesto de no autocorrelación del modelo clásico se relaciona con las
perturbaciones poblacionales
t, las cuales no pueden ser observadas
directamente. En su lugar, se dispone de sus valores aproximados, los residuales
ˆ t que pueden obtenerse a partir del procedimiento usual MCO. Aunque las ˆ t no
son lo mismo que las
t
, con mucha frecuencia un examen visual de las ˆ nos
da algunas claves sobre la posible presencia de autocorrelación en las .
PRUEBA DE DURBIN WATTSON
Se construye la dócima de hipótesis:
H0:
H1:
= 0 (no existe autocorrelación)
0 (existe autocorrelación)
Mag. Renán Quispe Llanos
4
ECONOMETRIA II
Se utiliza el estadístico de Durbin Wattson:
n
(e t
et 1 )2
t 2
d
n
e t2
t 2
Desagregando la fórmula:
n
n
(e t e t 1 ) 2
(e t2 2et e t
t 2
1
e t2 1 )
e t2 2
etet
1
e t2 1
t 2
Suponiendo que e t-1 = et y reemplazando:
d
et2
2(
et et 1 )
e
entonces: ˆ
et et
2
t
d
2
2
2 1
et et
et2
1
2(1 ˆ )
, donde:
1
2
t
e
Cuando:
= -1
=1
=0
d=4 Autocorrelación negativa
d=0 Autocorrelación positiva
d=2 No existe autocorrelación.
DETECCION DE AUTOCORRELACION CUANDO EL MODELO TIENE UNA
VARIABLE ENDOGENA REZAGADA
Cuando en el modelo se tiene una variable explicativa que esté rezagada,
generalmente se refiere a la variable dependiente que esta considerado además
como rezagada. En este otro caso, para detectar autocorrelación, el estadístico
propuesto por Durbin Watson, es el estadístico h, y se calcula como:
Mag. Renán Quispe Llanos
5
ECONOMETRIA II
h
ˆ
n
1 nˆ 2
1
donde:
= estimador de la variable endógena rezagada (del primer retardo). Es decir es
el coeficiente de Yt 1 en la regresión mínimo-cuadrática (MCO):
1
Yt
a1
1t
a2
2t
Yt
1
1
y ˆ 2 , la estimación de la varianza muestral de
2
Yt
1
2
..... u t
.
1
Es utilizable sólo para n ˆ 2 1 1 , siendo
el coeficiente estimado de
autocorrelación de primer orden de los residuos ( ), calculable a partir del valor de
1
d : ˆ 1- d
2
El contraste de h se realiza a partir de su consideración de variable distribuida
normalmente con parámetros (0,1). Así, con un nivel de significación del 5 por
100, si h 1,645 debe rechazarse la hipótesis de autocorrelación nula (ver figura).
Ejemplo:
Sea d = 1.75, n = 25, ˆ
0.15 . Hallar h
1
ˆ
1
1
d
2
1
1
(1.75)
2
Mag. Renán Quispe Llanos
0.125
6
ECONOMETRIA II
Entonces:
h
0.125
25
1 25(0.0225)
0.945
Luego, para un nivel de significancia del 5%, tenemos:
Como h = 0,945 y no se cumple la desigualdad, h 1,645 , no tenemos evidencias
para rechazar la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación.
Una extensión inmediata del contraste de DW ha sido realizada por Wallis (1972)
para el caso de un proceso autorregresivo de cuarto orden, pero con un único
parámetro no nulo en μt-4:
t
4
t 4
t
La justificación del contraste de Wallis está en la utilización de datos trimestrales
en la estimación del modelo, en cuyo caso puede resultar más probable una
correlación serial entre trimestres iguales de años sucesivos, por ejemplo por la
omisión de variables con efectos estacionales relevantes.
CONTRASTE DE AUTOCORRELACION EN BASE AL MULTIPLICADOR DE
LAGRANGE (LM)
El procedimiento del multiplicador de Lagrange es usado para la detección de
autocorrelación entre los residuos de una ecuación. El contraste es adecuado para
los casos de indeterminación al usar el estadístico “d” de Durbin-Watson, o de
imposibilidad de obtención para el h de Durbin1. Sin embargo, es importante
señalar que su uso no debe limitarse a dichos casos. El contraste LM para trabajar
se debiera aplicar como complemento a los demás, y se aplica con una variable
aleatoria (LM) que se debe trabajar como X2.
LM
X 21
1 grado de Libertad
ó
1
Sin embargo, es importante que el lector no interprete que su uso se limita a dichos casos. El contraste LM
se puede (y debe quizás aplicar como complemento a los demás.
Mag. Renán Quispe Llanos
7
ECONOMETRIA II
X2
LM
grados de Libertad
El procedimiento consta de las siguientes etapas, para el caso de autocorrelación
de primer orden:
1o Regresión de la ecuación original por MCO:
Yt
1X1t
0
2X2 t
......
k Xkt
t
Estimación del término de perturbación a partir del cálculo de los residuos ( e t ).
et
t
ˆt
2 o Regresión de los residuos de la ecuación en función de las variables
explicativas y de los residuales con un período de rezago:
et
1X1t
......
k X kt
1e t 1
vt
2
3º Obtención del R de la regresión y cálculo del estadístico de prueba para la
autocorrelación de primer orden:
LM = n R 2
Donde n es el tamaño muestral.
El estadístico LM sigue aproximadamente una distribución normal con 1
grado de libertad (en casos de contraste de autocorrelación de primer orden).
LM
X 21
Sin embargo, su uso no se limita a dichos casos. El contraste LM se debiera
aplicar como complemento a los demás.
La regla de decisión es:
Si LM > X 2 crítico – Existe autocorrelación significativa de primer orden.
Si LM < X 2 crítico – No existe autocorrelación significativa de primer orden.
El contraste en base al multilplicador de Lagrange puede usarse igualmente
para la detección de autocorrelación de orden p en los residuos de una ecuación.
Para tales efectos, luego de estimar los residuos de la ecuación, se debe
aplicar la siguiente fórmula:
et
Mag. Renán Quispe Llanos
1X1t
......
k X kt
1e t 1
......
1e t p
wt
8
ECONOMETRIA II
para obtener el coeficiente de determinación ( R 2 ).
El estadístico de prueba es:
n R 2 donde LM
X2p
regla de decisión es:
Si LM > X 2 crítico – Existe autocorrelación significativa de orden p.
Si LM < X 2 crítico – No existe autocorrelación significativa de orden p.
“Contraste en base al Multiplicador de Lagrange” JJ THOMAS, utiliza un esquema
incorporado de hipótesis.
Harvey (1981) demostró que en muestras pequeñas, el contraste de LM
pierde confiabilidad, maximizando la probabilidad de ocurrencia de errores tipo y
propone la siguiente modificación:
LM
n k R2
p 1 R2
F(p,n-k)
El estadístico LM puede utilizarse igualmente para el contraste de la
autocorrelación para p mayor de grado.
EL CONTRASTE DE BOX- PIERCE
Sea s el coeficiente de autocorrelación de e t y et 1 , siendo s = 1, 2, 3,....., .
Sera Q el estadistístico de prueba de autocorrelación de Box-Pierce, cuya
expresión es:
p
Qp
2
i
n
X 2 p (para todo i = 1, 2, 3,......,p)
1
Para contrastar autocorrelación de primer orden
etet
Q1
2
n ˆ1
, siendo
1
ˆ1
e2 t
y Q1
X 21
Para contrastar autocorrelación de segundo orden
Mag. Renán Quispe Llanos
9
ECONOMETRIA II
etet
Q2
n
2
1
2
2
2
siendo ˆ
e2 t
y Q2
X 22
para contrastar autocorrelación de orden p
etet
Qp
n
2
1
2
2
....
2
2
p
siendo ˆ p
e2 t
Mag. Renán Quispe Llanos
10
ECONOMETRIA II
EL CONTRASTE DE LJUNG Y BOX
Cuando se trabaja con muestras pequeñas se han detectado algunas
irregularidades. Para esos casos, Ljung y Box (1978) demostraron que la
consideración de los grados de libertad producen un contraste adecuado,
resultando el siguiente estadístico:
1
Q
nn 2
ˆ 2s
n s
1
En ambos casos , la hipótesis de autocorrelación significativa de orden m es
aceptada si el valor calculado del estadístico supera al valor crítico de la tabla con
m grados de libertad.
Q* X 2
1
p
Qp
n 1 ˆ i2
nn 2
X 2p
1
Para todo i = 1, 2, 3, ....,p.
Entonces
Q1
Q
nn 2
nn 2
2
2
1
X 21
n 1
2
1
2
2
n 1
n 2
X 22
Autocorrelación de orden p
Q
donde
1,
2 ,..... p
p
nn 2
2
1
2
n 1
n 2
2
2
.....
p
n p
X 2p
son los coeficientes de autocorrelación de orden 1,2 y p, cuyas
expresiones son conocidas.
Un aspecto importante, es que los estadísticos de contraste Box-Pierce y
Box-Ljung detectan el grado de autocorrelación de orden p, de manera
discontinua. Esto permite afirmar que si por ejemplo
4 es significativamente
elevado eso no implica que ˆ 1 , ˆ 2 y ˆ 3 también lo sean, a no ser que de manera
complementaria se demuestre lo contrario.
Mag. Renán Quispe Llanos
11
ECONOMETRIA II
MODELO AUTORREGRESIVO DE HETEROSCEDASTICIDAD CONDICIONAL (ARCH)
Se ha determinado que el problema de autocorrelación es una característica de la
información de series de tiempo y la heteroscedasticidad una característica de la
información de corte transversal.
No obstante, se ha observado que para predecir variables financieras varía
considerablemente de un periodo de tiempo a otro. Para algunos períodos de tiempo, los
errores de proyección son relativamente pequeños, durante otros, ellos pueden ser
relativamente grandes.
Esta variabilidad podría deberse a la volatilidad en los mercados financieros, esto
sugeriría que la varianza de los errores de predicción no es constante sino que varía de
un periodo a otro.
En consecuencia, se puede afirmar que los errores de predicción dependen del
comportamiento de las perturbaciones
t. Puede presentarse una situación de
autocorrelación en la varianza t. Para captar esta correlación, Engle desarrolló el modelo
autorregresivo de heterocesdasticidad condicional (ARCH).
La idea central el ARCH es que la varianza de en el tiempo t (= 2t), depende del
tamaño del término del error al cuadrado en el tiempo (t-1), es decir, de 2 t-1.
Tenemos el modelo de regresión con k variables :
Yt
x
1
2 2t
3
x3t
......
x
k kt
...... ( 1 )
t
supóngase que condicional a la información disponible en el tiempo (t-1), el termino de
perturbación se distribuye así:
t
~ N [0,(
0
+
1
2
t-1)
]
........ ( 2)
Lo nuevo aquí es la varianza de en el tiempo t depende de la perturbación al cuadrado
en el tiempo (t-1), dando así la apariencia de correlación serial. El proceso se denomina
ARCH(1). Pero éste se puede generalizar fácilmente. Es así como el proceso ARCH(p)
puede escribirse como:
Var( t) =
2
t
=
0
+
1
2
t-1 +
2
2
t-2 +
....+
2
p
t-p
........(3)
A fin de verificar la no existencia de correlación entre las varianzas de los términos de
perturbación, se realiza la siguiente dócima:
Si Ho :
error.
1
=
2
= .....=
p
= 0, en cuyo caso Var( t) =
0
varianza homoscedástica del
Se puede realizar una prueba sobre la hipótesis nula anterior efectuando la siguiente
regresión:
^
Mag. Renán Quispe Llanos
^
^ ^
^ ^
^ ^
12
ECONOMETRIA II
2
t
donde
t,
=
0
+
1
2
t-1 +
2
2
t-2 +
....+
p
2
t-p
......... (4)
denota los residuales MCO estimados del modelo de regresión original (1).
Calculando el nR2, donde R2 es el coeficiente de determinación obtenido en la regresion
auxiliar (4) puede demostrarse que:
nR2 ~ X2p
..........(5)
donde p es el número de grados de libertad y equivale al grado de autocorrelación.
Si el estadístico contenido nR2 es mayor que el X2p se aceptaría que existe correlación
entre las varianzas del término de perturbación.
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Sobre salarios y productividad. Utilizando los residuales obtenidos de esta regresión, se
estiman los modelos ARCH(1), ARCH(2), ARCH(3), ARCH(4), ARCH(5). Pero solamente
el modelo ARCH(1) resultó ser significativo. Los resultados de este modelo resultó ser el
siguiente:
2
t
= 2.0746 + 0.6946
t = (1.0583)
2
t-1
(5.03649)
R2 = 0.4665
d = 1.67
aplicando (5) se observa que nR2 = (31)(0.4665) = 14.46 que es aproximadamente X2 con
1 g.l. (el valor p es alrededor de 0.000143) esto sugiere que en el ejemplo, la varianza del
error está correlacionada serialmente.
REVISADO
Mag. Renán Quispe Llanos
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ECONOMETRIA II
Mag. Renán Quispe Llanos
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