soluciones

ECUACIONES
1º BCT
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1) 2logx – log(x – 16) = 2
log
x2
x2
= log 100 ⇒
= 100 ⇒ x2 – 100x + 1600 = 0
x − 16
x − 16
100 ±
x=
100 + 60

= 80 ⇒ x = 80
 x1 =
100 2 − 4·1600 100 ± 60
2
=
⇒
2
2
 x = 100 − 60 = 20 ⇒ x = 20
 2
2
3
2) log x = log 6 + 2log x
log x3 = log 6x2 ⇒ x3 – 6x2 = 0 ⇒ x2 (x – 6) = 0 ⇒ x – 6 = 0 ( x ≠ 0) ⇒ x = 6
2
3) log x – 4 = 0
log 2 x = 4 ⇒ log x = 2 ⇒ x = 102 ⇒ x = 100
2
4) 4 log x = 1 + 7 log x
8log x – 7log x = 1 ⇒ log x = 1 ⇒ x = 10
5) log2 (x + 3) = 4
Por definición: 24 = x + 3 ⇒ 16 = x + 3 ⇒ x = 13
2
6) log2 (x – x) = 1
2=x –x ⇒x –x–2=0 ⇒ x=
2
2
1±
1+ 3

 x1 = 2 = 2 ⇒ x = 2
12 − 4·(−2) 1 ± 3
=
⇒
2
2
 x = 1 − 3 = − 1 ⇒ x = −1
 2
2
 4x − 1 
=2
 x+1 
7) log3 
4x − 1 2
= 3 ⇒ 4x – 1 = 9(x + 1) ⇒ 4x – 1 = 9x + 9 ⇒ 5x = -10 ⇒ x = −2
x +1
2
8) log3 (x – 5x + 3) = 2
x2 – 5x + 3 = 32 ⇒ x2 – 5x + 3 = 9 ⇒ x2 – 5x – 6 = 0
x=
5±
5+7

 x1 = 2 = 6 ⇒ x = 6
52 − 4·(−6) 5 ± 7
=
⇒
2
2
 x = 5 − 7 = − 1 ⇒ x = −1
 2
2
9) log3 (2x + 5) - log3 (x + 1) = 1
Luisa Muñoz
1
ECUACIONES
log3
1º BCT
2x + 5
2x + 5
=1 ⇒
= 3 ⇒ 2x + 5 = 3x + 3 ⇒ x = 2
x +1
x +1
10) log2 (3x + 5) – log2(x + 1) = 2
log 2
3x + 5
3x + 5
=2 ⇒
= 4 ⇒ 3x + 5 = 4x + 4 ⇒ x = 1
x +1
x +1
2
11) log (x – 1) = log (x + 1)
 x1 = 0

(x – 1)2 = (x + 1) ⇒ x2 – 2x + 1 = x + 1 ⇒ x2 – 3x = 0 ⇒ x (x – 3) = 0 ⇒ 
 x − 3 = 0 ⇒ x 2 = 3
12) log (2x – 7) – log 18 = log x
log (2x – 7) = log 18x ⇒ 2x – 7 = 18x ⇒ 16x = -7 ⇒ x = −
7
⇒ No tiene solución
16
13) log 2 x 2 − log 2 x 3 = −2
log 2
x2
1
1
1 1
= −2 ⇒ log 2 = −2 ⇒ = 2−2 ⇒ = ⇒ x = 4
x
x
x 4
x3
14) log (x+20) + log(x – 70) = 3
log (x + 20)(x – 70) = 3 ⇒ x2 – 50x – 1400 = 1000 ⇒ x2 – 50x – 2400 = 0
50 ±
x=
15) log
50 + 110

= 80 ⇒ x = 80
 x1 =
50 2 − 4·(−2400) 50 ± 110
2
=
⇒
2
2
 x = 50 − 110 = − 60 !!!
 2
2
x 3
+ = 2 + log x
2 2
log x − log 2 =
1
1
1
+ log x ⇒ − log 2 = ⇒ log1 ≠ − ⇒ No tiene solución
2
2
2
16) log 3 (x + 1) − log 3 (2x + 5) = −1
log 3
x +1
x +1 1
= −1 ⇒
= ⇒ 3x + 3 = 2x + 5 ⇒ x = 2
2x + 5
2x + 5 3
Luisa Muñoz
2
ECUACIONES
1º BCT
17) log (3x + 4) – log (5x – 2) = 0
log (3x + 4) = log (5x – 2) ⇒ 3x + 4 = 5x – 2 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
2
18) log (x +2x) – log (5x – 2) = 0
log (x2 +2x) = log (5x – 2) ⇒ x2 +2x = 5x – 2 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0
x=
3±
3 +1

 x1 = 2 = 2 ⇒ x = 2
32 − 4·2 3 ± 1
=
⇒
2
2
 x = 3 − 1 =1 ⇒ x = 1
 2
2
2
19) (x – 5x + 9) log 2 + log 125 = 3
log 2x
2
− 5x + 9
+ log 125 = log 1000 ⇒ log 2x
x – 5x + 6 = 0 ⇒ x =
2
5±
2
− 5x + 9
= log
2
1000
⇒ 2 x −5x + 9 = 8 ⇒ x 2 − 5x + 9 = 3
125
5 +1

 x1 = 2 = 3 ⇒ x = 3
52 − 4·6 5 ± 1
=
⇒
2
2
 x = 5 −1 =2 ⇒ x = 2
 2
2
20) 2log (2x + 4) = 2
log (2x + 4) = 1 ⇒ 2x + 4 = 10 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
21) log (x + 6) – log (2x – 1) = 0
log (x + 6) = log (2x – 1) ⇒ x + 6 = 2x – 1 ⇒ x = 7
 x2 − 1 
=1
 x+1 
22) log 
x2 −1
= 10 ⇒ x2 – 1 = 10x + 10 ⇒ x2 – 10x – 11 = 0
x +1
x=
10 ±
10 + 12

= 11 ⇒ x = 11
 x1 =
10 2 − 4·(−11) 10 ± 12
2
=
⇒
2
2
 x = 10 − 12 = − 1!!!
 2
2
2
23) log 2 + log (11 – x ) = 2 log (5 – x)
log 2(11 – x2) = log (5 – x)2 ⇒ 2(11 – x2) = (5 – x)2 ⇒ 22 – 2x2 = 25 – 10x + x2 ⇒ 3x2 – 10x + 3 = 0
x=
Luisa Muñoz
10 ±
10 + 8

=3⇒ x =3
 x1 = 6
10 2 − 4·3 · 3 10 ± 8

=
⇒
2·3
6
 x = 10 − 8 = 1 ⇒ x = 1
 2
6
3
3
3
ECUACIONES
1º BCT
24) 2 log x = log (2 – x)
log x2 = log (2 – x) ⇒ x2 = 2 – x ⇒ x2 + x – 2 = 0 ⇒
x=
−1 ±
1+ 3

 x1 = 2 = 2 ⇒ x = 2
1 − 4·(−2) 1 ± 3
=
⇒
2
2
 x = 1 − 3 = − 1!!!
 2
2
25) log (2x + 11) + log (x + 1) = 5
3
3
log3 (2x + 11)(x + 1) = 5 ⇒ (2x + 11)(x + 1) = 35 ⇒ 2x2 + 2x + 11x + 11 = 243 ⇒ 2x2 + 13x – 232 = 0
x=
− 13 ±
− 13 + 45

=8⇒ x =8
 x1 =
132 − 4·2·(−232) − 13 ± 45
4
=
⇒
2·2
4
 x = − 13 − 45 = − 29 !!!
 2
4
2
26) log (5x + 3) – log 2 = log(x + 3)
log (5x +3) = log(x + 3) + log 2 ⇒ log (5x +3) = log 2(x +3) ⇒ 5x + 3 = 2x + 6 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1
27) log (3x + 1) – log (3x – 4)= 1 – log 5
log (3x +1) – log (3x – 4)= 1 – log 5 ⇒ log (3x +1) = log (3x – 4) + log 2 ⇒ log (3x +1) = log 2(3x – 4)
3x + 1 = 6x – 8 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3
28) log (3x – 7) + log 6 = log 4x
log 6(3x – 7) = log 4x ⇒ 18x – 42 = 4x ⇒ 14x = 42 ⇒ x = 3
29) 5log
x
x
32
+ 2log = 3log x − log
2
3
9
5log x – 5log 2 + 2log x – 2 log 3 = 3log x – log 32 + log 9
4log x = log 25 + 2log 3 – log 32 + 2log 3 → 4 log x = 4 log 3 ⇒ x = 3
x
 = 3log x − log 32
 2
30) log 
log x – log 2 = 3log x – 5log 2 ⇒ 2 log x = 4 log 2 ⇒ log x = 2 log 2 ⇒ log x = log 22 ⇒ x = 4
31) log 5 x + 2 log 5 (x + 4) = 2 + log 5 x 3
log5 x(x + 4) 2 = log5 25 + log 5 x 3 ⇒ log5 x(x + 4)2 = log5 25x 3 ⇒ x2 + 16 + 8x = 25x2 ⇒ 24x2 – 8x – 16 = 0
3x2 – x – 2 = 0 ⇒ x =
Luisa Muñoz
1±
1+ 5

 x1 = 6 = 1 ⇒ x = 1
1 − 4·3·(−2) 1 ± 5
=
⇒
2·3
6
 x = 1 − 5 = − 2 !!!
 2
6
3
4
ECUACIONES
1º BCT
2
32) log (x + 2x) = log 3
x2 + 2x = 3 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x =
−2 ±
−2+ 4

x =
=1⇒ x =1
4 − 4·(−3) − 2 ± 4
 1
2
=
⇒
2
2
 x = − 2 − 4 = − 3 ⇒ x = −3
 2
2
33) log(4x – 12) – log 5 = log (2x – 12)
log (4x – 12) = log 5 + log (2x – 12) ⇒ 4x – 12 = 5(2x – 12) → 4x – 12 = 10x – 60 ⇒ 6x = 48 ⇒ x = 8
34) log(x + 6) = 1 + log(x – 3)
log (x + 6) = log 10 + log(x – 3) ⇒ x + 6 = 10(x – 3) ⇒ x + 6 = 10x – 30 ⇒ 9x = 36 ⇒ x = 4
35) log (2x + 2) – log (x – 2) = log 5
log (2x + 2) = log (x – 2) + log 5 ⇒ log (2x + 2) = log 5(x – 2) ⇒ 2x + 2 = 5x – 10 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
36) 2log x – log (x + 20) = 1
2log x = log (x + 20) + log 10 ⇒ log x2 = log 10(x + 20) ⇒ x2 = 10 (x + 20) ⇒ x2 – 10x – 200 = 0
x=
10 ±
10 + 30

= 20 ⇒ x = 20
 x1 =
10 2 − 4·(−200) 10 ± 30
2
=
⇒
2
2
 x = 10 − 30 = − 10 ⇒ x = −10
 2
2
37) log (3x + 2) + log (4 + x) = 2 log 5
log (3x + 2)(4 + x) = log 52 ⇒ (3x + 2)(4 + x) = 25 ⇒ 3x2 + 14x – 17 = 0
x=
− 14 ±
− 14 + 20

=1⇒ x =1
 x1 =
(−14) 2 − 4·3·(−17) − 14 ± 20
6
=
⇒
2·3
6
 x = − 14 − 20 = − 17 !!!
 2
6
3
2
38) log (3 – x ) = log 2 + log x
log (3 – x2) = log 2x ⇒ 3 – x2 = 2x ⇒ x2 + 2x – 3 = 0
x=
−2 ±
−2 + 4

=1⇒ x =1
 x1 =
4 − 4·(−3) − 2 ± 4
2
=
⇒
2
2
 x = − 2 − 4 = − 3!!!
 2
2
39) 1 – log 2 = log (x – 1) – log(x – 6)
log 5 + log(x – 2) = log (x – 6) ⇒ 5(x – 6) = x – 4 ⇒ 5x – 10 = x – 6 ⇒ 4x = 4 ⇒x = 1 No tiene solución
40) log x – log (x – 1) = log 2
log x = log 2( x - 1) ⇒ x = 2x – 2 ⇒ x = 2
Luisa Muñoz
5