Descarga de Tanques

Descarga de Tanques
Laboratorio de Operaciones Unitarias
Equipo 4
Primavera 2008
México D.F., 12 de marzo de 2008
Alumnos:
Arlette Mayela Canut Noval
[email protected]
Francisco José Guerra Millán
[email protected]
Bruno Guzmán Piazza
legend [email protected]
Adelwart Struck Garza
[email protected]
Asesor:
Mtra. Alondra Torres
[email protected]
Resumen
La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de
las prácticas más utilizadas en la indusstria. Todo proceso que se lleva
a cabo en un tanque incluye un proceso de vaciado del mismo. Es por
ello la gran importancia de esta operación y su estudio. A lo largo de la
práctica se estudió el vaciado de tanques con tubos de diferente diámetro
y el efecto de los mismos en la velocidad. Para los tubos se obtuvieron
resultados satisfactorios, notando que una disminución en el diámetro en
el tubo de vaciado disminuirá la velocidad de vaciado como esperado.
Complementariamente se estudió el fenómeno en una columna, con la
cual, desgraciadamente, no se obtuvieron los resultados que se hubiera
deseado.
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Laboratorio de Operaciones Unitarias, Primavera 2008
Índice
1. Objetivo
3
2. Introducción
3
3. Marco Teórico
3
4. Equipo
6
5. Procedimiento Experimental
6
6. Datos Experimentales y Resultados
7
7. Análisis
13
8. Conclusiones
14
A. Código de Matlab utilizado.
16
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
2
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1.
Laboratorio de Operaciones Unitarias, Primavera 2008
Objetivo
Desarrollar un programa de cómputo para resolver el modelo matemático
que describe el drenado de un tanque.
Comparar los tiempos experimental y teórico de drenado de un tanque
con tubos de descarga de diferentes diámetros y longitudes.
2.
Introducción
El vaciado de tanques con descarga lateral o en el fondo ha sido estudiado
ampliamente y se han publicado modelos que representan la influencia de variaciones en el diámetro y forma del orificio en el flujo volumétrico.
Por medio de la aplicación de los principios de conservación de masa y momentum se formulará un modelo matemático que describe el vaciado de un
tanque al que no se le repone agua, para ser validado experimentalmente.
3.
Marco Teórico
Para el diagrama siguiente, consideremos un sistema isotérmico con un fluido
newtoniano, incomprensible, con densidad, viscosidad y composición constantes.
Figura 3.1: Diagrama de un tanque.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
3
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Aplicando el principio de conservación de masa en el sistema de la Figura
3.1 se tiene:
ṁ1 − ṁ2 =
dm
dt
(3.1)
donde:
ṁ1 = flujo másico del lı́quido que entra al tanque
ṁ2 = flujo másico del lı́quido que sale del tanque
m = masa del lı́quido acumulada en el tanque
t = tiempo
Sabemos que ṁ1 = 0 y que:
m
ṁ2
= h · A1 · ρ
(3.2)
= q·ρ
(3.3)
donde:
A = Área transversal de flujo
h = Altura del lı́quido en el tanque
q = Flujo volumétrico
ρ = Densidad del fluido
sustituyendo las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la ecuación (3.1) tenemos:
d (h · A1 · ρ)
(3.4)
dt
Si tomamos A y ρ como constantes y simplificamos, la ecuación (3.4) se
reduce a:
−q·ρ=
−
q
dh
=
A1
dt
(3.5)
Sabemos que q = v2 · A2 , por lo tanto, si sustituimos q en (3.5) nos queda:
− v2
A2
dh
=
A1
dtσ
(3.6)
Planteando un balance de energı́a mecánica entre el punto 1 y 2 del sistema
de la Figura 3.1 obtenemos:
z1
punto
X 2 fD · v 2 · L
g
P1
v1 2
g
P2
v2 2
+
+
= z2 +
+
+
gc
ρ1
2gc
gc
ρ2
2gc punto 1 2 · gc · D
(3.7)
Desarrollando el último término de la ecuación (3.7) tenemos:
punto
X2
fD · v 2 · L
fD · v1 2 · L fD · v2 2 · L
=
+
2 · gc · D
2 · gc · D1
2 · gc · D2
punto 1
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
(3.8)
4
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El factor de fricción de Darcy (fD ) para flujos con un Re > 3000, está definido
por la ecuación de Colebrook:
1
−2
ε
2.51
√
=
ln
+
(3.9)
fD
2.3056
3.7 · D Re fD
donde:
ε = Rugosidad del material
Sustituyendo la ecuación (3.8) en la ecuación (3.7) y haciendo las suposiciones pertinentes para simplificarla, se llega a:
z1 · g =
f D · v2 2 · L
v2 2
+
2
2 · D2
(3.10)
z1 · g =
v2 2
fD · L
1+
2
D2
(3.11)
Rearreglando:
Despejando la velocidad (v2 ):
v
u 2·z ·g
u
1 v2 = t
1 + fD2·L
(3.12)
z1 = h + L
(3.13)
v
u 2 · g (h + L)
u
v2 = t
1 + fD2·L
(3.14)
Sabemos que:
Por lo tanto:
Sustituyendo la ecuación (3.12) en la ecuación (3.6) obtenemos:
v
dh
A2 u
(h + L)
u2 · g
=− t
dt
A1 1 + fD ·L
(3.15)
2
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
5
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Figura 4.1: Diagrama del equipo utilizado.
4.
Equipo
El equipo utilizado en la práctica consiste de un tanque cilı́ndrico al que se
le pueden ajustar tubos de descarga de diferentes diámetros y longitudes (ver
la Figura 4.1).
donde:
Tubo 1: longitud = 32.0 cm, diámetro = 0.575 cm
Tubo 2: longitud = 32.0 cm, diámetro = 0.355 cm
Tubo 3: longitud = 60.5 cm, diámetro = 0.550 cm
Tubo 4: longitud = 78.0 cm, diámetro = 0.595 cm
5.
Procedimiento Experimental
Colocar el primer tubo a la descarga del tanque
Llenar el recipiente con agua
Dejar que el lı́quido se descargue
Hacer las mediciones necesarias
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
6
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Cambiar el tubo de descarga y repetir la operación con el resto de los
tubos
6.
Datos Experimentales y Resultados
Los datos experimentales para cada tubo se muestran en las Tablas 6.1 - 6.4.
Tabla 6.1: Datos experimentales Tubo 2.
Altura
[cm]
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
0
Tiempo
[s]
0
9.9
21.3
32.5
44.1
55.1
66.0
77.5
88.7
100.2
112.5
125.6
136.5
148.1
161.4
173.5
186.8
198.3
212.2
213.0
230.3
296.0
El algoritmo desarrollado para integrar numéricamente la ecuación (3.15) se
muestra en el Apéndice A.
El algoritmo detallado del programa realizado se obtiene realizando los siguientes pasos, con base en las Figuras 3.1 y 4.1.
Del balance de masa ṁ1 = ṁ2 y ya que el flujo es incompresible Q1 = Q2 ,
la energı́a cinética del tanque se desprecia ya que la velocidad en 1 es mucho
mayor a la velocidad en 2.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
7
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Tabla 6.2: Datos experimentales Tubo 3 (corrida 1).
Altura
[cm]
25
20
15
10
5
0
Tiempo
[s]
0
18.8
37.4
57.4
78.1
96.2
Tabla 6.3: Datos experimentales Tubo 3 (corrida 2).
Altura
[cm]
25
22
19
16
13
10
7
6
5
0
Tiempo
[s]
0
11.8
22.3
33.5
45.0
57.2
69.5
73.0
77.6
96.0
Tabla 6.4: Datos experimentales Tubo 4.
Altura
[cm]
25
20
15
10
5
0
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
Tiempo
[s]
0
17.6
34.7
52.8
73.0
86.4
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Despejando la altura de la ecuación de Bernoulli se obtiene:
i
za · g
v2 2
v2 2 h
=
+
f D2 + Kent + Ksal
gc
2 · gc
2 · gc
L
(6.1)
Para calcular el factor de fricción se utiliza la ecuación de Colebrook-White:
1
ε
2.51
√ = −2.0 · log
√
+
(6.2)
3.7 · D2
f
Re · f
donde:
D2 · v2 · ρ
µ
(6.3)
= Qe − Qs
(6.4)
= ρ·v
π 2
=
D ·z
4
(6.5)
Re =
Ya que:
dm
dt
m
v
(6.6)
Se obtiene:
dz
4 · (Qe − Qs )
=
dt
π · D1 2
(6.7)
Condiciones Iniciales:
t
=
z
= zA
π 2
D2 · v2
=
4
Qs
0
(6.8)
(6.9)
(6.10)
La solución a este problema se consigue por medio del planteamiento de un
sistema álgebro-diferencial.[1]
La Figura 6.1 muestra el detalle del algoritmo.
Las gráficas obtenidas se muestran en las Figuras 6.2 - 6.6.
Además de los diferentes tubos se realizó el experimento en una columna.
Los datos experimentales se muestran en la Tabla 6.5. Las caracterı́sticas se
presentan en la Tabla 6.6.
La Figura 6.7 muestra los resultados obtenidos para la columna.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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(a)
(b)
(c)
Figura 6.1: (a) Resolver ecuación diferencial, (b) Resolver Balance de Masa. (c)
Resolver Balance de Masa.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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Figura 6.2: Valores experimentales de altura contra tiempo para los cuatro tubos.
Figura 6.3: Valores teóricos de altura contra el tiempo para los cuatro tubos.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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Cuadro 6.5: default
Altura
[cm]
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Tiempo
[s]
0
3.8
6.2
8.6
11.2
13.5
16.2
0
3.8
6.2
8.6
11.2
13.5
16.2
19.1
21.8
24.3
27.2
30
32.7
35.8
39.2
42.5
45.2
48.6
52.4
55.8
59.3
63.2
68.07
72.03
91
Cuadro 6.6: Parámetros para la columna extra.
Parámetro
Diámetro
Altura
Tubo descarga
Valor
4.5
154.2
21.5
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
Unidades
cm
cm
cm
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Figura 6.4: Valores teóricos y experimentales de altura contra tiempo. Tubo 2.
7.
Análisis
El arreglo que más tardó en drenar fue el tanque con el tubo 2 enroscado
(longitud = 32.0 cm, diámetro = 0.355 cm), posteriormente el arreglo con el
tubo 3 enroscado (longitud = 60.5 cm, diámetro = 0.550 cm) y por último el
arreglo con el tubo 4 enroscado (longitud = 78.0 cm, diámetro = 0.595 cm).
Esto se debe a que el diámetro del tubo 2 es menor al del tubo 3 y éste a su
vez es menor al del tubo 4. La longitud del tubo en este caso no juega un papel
particularmente importante, pues la velocidad es mucho más rápida dentro del
tubo que en el tanque. De esta forma, se puede considerar que es constante en
los tres casos.
Los resultados son correctos, ya que sabemos gracias al principio de continuidad que a menores diámetros se tendrán menores flujos. También se tienen que
considerar las pérdidas por fricción en cada uno de estos tubos. Sin embargo, en
la prátcia realizada el factor que afecta en el drenaje de los cilindrios se debe a
que el drenado del tanque se contrarrestra con diámetros mayores. Para efectos
de este reporte se despreciaron las pérdidas por fricción.
Al comprar los perfiles de drenado teóricos y experimentales (Figuras 6.2 6.6) se puede observar una péquea diferencia para los tubos 2 y 3 y una diferencia
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
13
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Figura 6.5: Valores teóricos y experimentales de altura contra tiempo. Tubo 3.
un poco más significativa en el caso del tubo 4, estás diferencia se puede deber
a la falta de exactitud al registrar el tiempo correspondiente mayoritariamente.
Asimismo pueden existir errores de apreciación en la lectura de la altura. No
obstante, los resultados obtenidos son satisfactorios.
En el caso de la columna (Figura 6.7) sı́ se observan variaciones considerables. Curiosamente el drenado del tanque deberı́a ser más lento de lo obtenido
experimentalmente. Precisamente este fenómeno resulta difı́cil de justificar, sin
embargo, después de revisar minuciosamente el algoritmo con el que se calculó no
queda más que aceptar los resultados. Errores de apreciación en la lectura de la
altura o de precisión al registrar el tiempo no deberı́an representar un error tan
significativo. Serı́a necesario repetir las mediciones, para poder tener un punto
de comparación sobre el cual discutir más a detalle el asunto.
8.
Conclusiones
Con base en los resultados obtenidos para la descarga de tanques con tubos
de diferentes diámetros se puede afirmar que la práctica se lelvó a cabo de forma
exitosa. Si bien los resultados para la columna no resultan como esperados, más
allá de desalentarnos representan un interés y motivación en volver a estudiar
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
14
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Figura 6.6: Valores teóricos y experimentales de altura contra tiempo. Tubo 4.
de forma experimental el fenómeno para poder dectar las fallas.
Si bien la descarga de tanques parece simple y sin importancia, es una de
las prácticas más utilizadas en todo proceso industrial o experimental. Su adecuada comprensión puede representar ahorros significativos del tiempo de un
proceso. Es por ello la importancia de su estudio y la adecuada comprensión del
fenómeno.
Como lo pudimos ver a través de esta práctica, es posible desarrollar algoritmos para simplificar laresolución de los problemas y de cierta forma automatizar
el método de solución.
De acuerdo a los alcances de la práctica e incluso considerando los resultados
para la columna, se puede concluir que los objetivos fueron satisfechos no sólo
por los resultados obtenidos, sino por el aprendizaje adquirido respecto al tema.
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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Figura 6.7: Valores teóricos y experimentales de altura contra tiempo. Columna.
Referencias
[1] Noel deÑevers. Mecánica de Fluidos para Ingenieros Quı́micos. Continental,
Mexico, 1a ed. edition, 2006.
A.
Código de Matlab utilizado.
% inicio del archivo tanque.m
%================
function tanque2
%================
%
clc; clear all; format compact;
global D2 Qe D1 mu rho E L Ke Ks g gc
% caracteristicas f\’isicas del agua
mu = 0.001; % kg /(m s)
rho = 1000;% kg/m^3
%tanque
D1 = 0.14; %m
% Valores a cambiar dependiendo del tubo utilizado (2,3, \’o 4)
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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L =32/100
%tubo
D2 = 0.355/100
; %m
% Tubo descarga:
% Diametro ext 0.9 cm
% Diametro int 0.7 cm
%
%
%
%
Tubo extra
Diametro 4.5 cm
Altura
154.2 cm con todo y tubo de descarga
Tubo descarga 21.5 cm
%Tubo 1: long. = 32.0 cm, di\’ametro = 0.575 cm
%Tubo 3: long. = 60.5 cm, di\’ametro = 0.550 cm
%Tubo 4: long. = 78.0 cm, di\’ametro = 0.595 cm
Ke =0.05; % K de entrada
Ks =0.1; % K de salida
za = L+.25; % altura del tubo atornillado m\’as altura del tanque
g = 9.81;% m/s^2
gc = 9.81; % (kg m /s^2)/kgf
Qe = 0; % flujo volumetrico a la entraD1 del tanque
z0 = za;% altura inicial en la superficie del tanque
E=4.5E-6 %m
% ========================================
ts = [0,300];% segundos
% ==========================================
[t,z] = ode15s(@bmasa2,ts,z0); % solucion de la ec. dif.
% interpolando la altura z=34 m
% td = interp1(z,t,L);
% fprintf(’tiempo de descarga: %8.2f seg\n’,td)
%
%
%
%
Tubo extra
Diametro 4.5 cm
Altura
154.2 cm con todo y tubo de descarga
Tubo descarga 21.5 cm
t1=t
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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z1=(z*100-L*100)
figure(1), plot(t,z1), xlabel(’t [s]’), ylabel(’z [cm]’)
title(’Perfil te\’orico del altura en el tiempo, Tubo 1’)
grid
%inicio del balance de masa
%==========================
function dzdt = bmasa2(t,z)
%==========================
%
global D1 D2 Qe
% Estimados iniciales para el factor de fricci\’on y la velocidad
f0 = 0.02;
v20 = 1; % m/s
za = z; options= optimset(’Display’,’off’);
[var,fun,flag]=fsolve(@bem,[f0,v20],options,za);
if ( flag~=1 )
fprintf(’no convergio\n’)
end
v2 = var(2);
Qs = pi/4*D2^2*v2;
dzdt = 4*(Qe-Qs)/(pi*D1^2);
%balance de energ\’ia mec\’anica
%==========================
function fun = bem(varin,za)
%==========================
%
global mu rho D2 E L Ke Ks g gc
f = varin(1);
v2 = varin(2);
Re = D2*rho*v2/mu;
fun(1) = 1/sqrt(f) + 2*log10( E/(3.7*D2 ) + ...
2.51/( Re*sqrt(f) ) );
fun(2) = -za*g/gc + v2^2/(2*gc) + ...
v2^2/(2*gc)*( f*L/D2 + Ke + Ks );
A. Canut, F. J. Guerra, B. Guzmán, A. Struck
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