Capitulo 1: RAZONES Y PROPORCIONES

1
Capitulo 1:
RAZONES
Y
PROPORCIONES
BIMESTRE I : 01 de marzo al 04 de mayo
Semana
2
3
4
5
Tema
Unidad 1: Razones y Proporciones
Razones
Razón Aritmética y Geométrica
Fecha
Lu: 05/03
Aplicaciones
Ju: 08/03
Series de Razones Equivalentes
Propiedades - Aplicaciones
Lu: 12/03
Propiedades - Aplicaciones
Ju: 15/03
Proporciones
Proporción Aritmética y Geométrica
Aplicaciones
Proporciones
Proporción Aritmética y Geométrica
Aplicaciones
Lu: 19/03
Ju: 22/03
Lu: 26/03
Ju: 29/03
2
RAZONES
1.DEFINICIÓN: Se llama RAZON o RELACION a la comparación de dos cantidades por
sustracción o división.
1.1 RAZON ARITMETICA – Por Diferencia –
Consiste en determinar en cuantas unidades
una de las cantidades excede a la otra.
Así:
1.2 RAZON GEOMETRICA – Por Cociente –
Consiste en determinar cuantas veces
una de las cantidades contiene a la otra.
Así:
consecuente
a – b = r
antecedente
a
 k
b
razón aritmética
antecedente
Significa que:
a es mayor que b, en r unidades
b es menor que a, en r unidades
a excede a b, r unidades
b es excedido por a, r unidades
GURPO A :
consecuente
Significa que:
a contiene a b, k veces
b está contenido en a, k veces
Definición
Formar la razón aritmética con los siguientes numeros y escribir las frases que la interpretan:
GRUPO A :
1) Para 6 y 2 :
1) Para 6 y 2 :
1o) Datos: 6 y 2
Solución
Definición
Formar la razón aritmética con los siguientes numeros y escribir las frases que la interpretan:
Solución
1o) Datos:
o
2 ) Razón Aritmética:
6 – 2 = 4
3o)Significa que:
1) 6 es mayor que 2, en 4 unidades
2) 2 es menor que 6, en 4 unidades
3) 6 excede a 2 , 4 unidades
4) 4 es excedido por 6, 2 unidades
2) Para 12 y 3 :
Solución
razón geométrica
6y2
2o) Razón Geométrica:
6
 3
2
3o)Significa que:
1) 6 contiene a 2, 3 veces
2) 2 está contenido en 6, 3 veces
2) Para 12 y 3 :
Solución
3
3) Para 27 y 9 :
o
3) Para 27 y 9 :
Solución
1 ) Datos:
Solución
1 ) Datos:
4) Para 36 y 6 :
1o) Datos:
o
4) Para 36 y 6 :
Solución
1o) Datos:
Solución
4
GRUPO B:
Consolidación de la Definición
Consolidación de la Definición
GRUPO B:
En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele- En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los elementos que faltan:
mentos que faltan:
1)
1)
—
= 3
 5
2)
2)
—
= 5
7

3)
3)
4)
17 —
— 5
=
=
24

4)
 8
5)
—
= 7
5)
5

5
GRUPO C: Enunciados de Razones Geométricas
1)Enunciado:
Las edades de A y B están la relación de 2 a 5
2)Enunciado:
Las edades de A y B están la relación de 3 a 7
Interpretación:
La edad de A es tan grande como 2
La edad de B es tan grande como 5
Simbólicamente:
Se Lee:
“a es a b como 2 es a 5”
A
2

B
5
En Particular:
A
2
4
6
8
 


 ....
B
5
10
15
20
En General:
A
2

B
5

 A  2k

 B  5k
A tiene 2k años
B tiene 5k años
Otras formas de enunciar:
Las edades de A y B están la razón de 2 a 5
La relación de las edades de A y B es de 2 a 5
La razón de las edades de A y B es de 2 a 5
La relación de las edades de A y B es de
2
5
La razón de las edades de A y B es 2
5
1)Las edades de A y B están la relación de 2 a 5, si
actualmente A tiene 30 años, cuantos años tiene
B?
Solución
1o)Datos:
A
2

B
5
A = 30

 A  2k

 B  5k
2o) Por teoría y dato:
30  2k
k  15
3o)Piden.
B tiene 75 años
2)Las edades de Juan y Toño están la relación de 3
a 7, si actualmente Toño tiene 42 años, ¿cuántos
años tiene Juan?
Solución
1o)Datos:
6
3)Enunciado:
Las velocidades de dos autos M y P están la
relación de 6 a 7
Simbólicamente:
Se Lee:
3)Las velocidades de dos autos M y P están la
relación de 6 a 7, si la suma de las velocidades
de ambos es 390 km/h . ¿A qué velocidad va cada
uno?.
Solución
1o)Datos:
4)Enunciado:
Lo que gana y lo que gasta una persona están
en la razón de 11 a 8.
Simbólicamente:
Se Lee:
4)Lo que gana y lo que gasta una persona están en
la razón de 11 a 8. ¿Cuánto gana esa persona si
lo que gasta es 960 soles?
Solución
1o)Datos:
7
GRUPO D:
Aplicaciones Típicas
1)Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a
9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan?. T1
Solución
1o)Datos:
2)Las canicas que tienen Pepo y Toño están en la relación de 5 a 2 y juntan las de ambos son 70 canicas.
Hallar cuantas canicas tiene cada uno.
1o)Datos:
J
5

R
9
 J  5k
 
R  9 k
y
Solución
J + R = 84
2o)Por teoría y dato:
J  R  84
5k  9k  84
14k  84
k6
3o)Piden:
Juan tiene 30 años
3)La razón geométrica de las edades de Elena y Luis es
8/5 y su diferencia es 12. ¿Cuál es la edad de Elena?
o
1 )Datos:
Solución
4)Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. Hallar el menor.
T2
o
1 )Datos:
Solución
8
5)La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg.
y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del
vehículo menos pesado?
1o)Datos:
Solución
6)La razón entre las velocidades de un tren y de un avión
es 3 : 5 si la velocidad del tren es de 400 km/h menos que
la del avión. ¿Cuál es la velocidad del avión?.
1o)Datos:
7)La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 2 : 5 . Si la diferencie entre la longitud de sus
lados es 24 cm. ¿Cuánto mide el área del rectángulo?.
Solución
8)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu
lo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide
el perímetro del rectángulo?
Solución
Solución
o
o
1 ) Datos-Figura:
1 ) Datos-Figura:
:
9
9)De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres, si
del colegio hay 120 varones. ¿Cuántos alumnos son
en total?
Solución
1o)Datos:
M  3k
M
3

 
HM
13
H  M  13k
10)De cada 10 autos en una playa de estacionamiento, 4
son Toyota y el resto de otras marcas, si en dicha pla
ya hay 60 Toyotas. ¿Cuántos autos hay en total?.
1o)Datos:
y
Solución
H = 120
2o)Por teoría y dato:
H + M = 13k
120 + 3k = 13k
120 = 10k
k = 12
M = 36
3o)Piden:
Hay en total 156 alumnos
11)Una elección fue ganada por una votación de 5 a 3.
¿Cuántas personas del total están en contra del
candidato ganador, si votaron 800 personas?
1o)Datos:
Solución
12)Dos amigos deben repartirse $ 54 000 en la razón de
7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor?
1o)Datos:
Solución
10
13)Mario tiene 38 años y Julio 24 años. ¿Hace cuánto
sus edades fueron como 2 a 1?.
T1
Solución
1o)Datos:
F:
Pasado   x Actual
38  x
38
J:
24  x
14)Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años
respectivamente. Dentro de cuántos años sus edades
estarán en la relación de 7 a 6.
1o)Datos:
Solución
24
2o)Por condición del problema:
38  x
2

24  x
1
38  x  2( 24  x )
38  x  48  2 x
2 x  x  48  36
x  12
3o)Piden:
Hace 12 años
15)Dentro de cuántos años, la relación de las edades de
dos personas será 6/5. Si sus edades actuales son
30 y 20 años.
T1
1o)Datos:
Solución
16)Mona tiene 18 años y Jano 12 años. ¿Dentro de cuan
tos años sus edades estarán en la relación de 4 a 3 ?.
1o)Datos:
:
Solución
11
GRUPO E:
Problemas Audaces
2)En una granja el número de pollos es al de gallinas
como 9 es a 5 siendo su diferencia 120. ¿Cuál es la
nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 30
gallinas?.
1)En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el
número de hombres al número total de personas como
3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres
y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres
y mujeres si se retiran 33 mujeres?.
T2
1o)Datos:
Solución
1o)Datos:
H  3k
H
3

 
HM
8
H  M  8k
y
Solución
M — H = 24
2o)Por teoría y dato:
M — H = 24
5k — 3k = 24
2k = 24
k = 12
3o)Reemplazo en 1o):
H = 36
M = 60
4o)Se retiran 33 mujeres:
M = 60 — 33
5o)Piden:
H  60

M  27
M = 27

H 20

M 9
4)En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay
3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva
relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres.
¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión?
3)A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombres
y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay
3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, cuál es la nueva
razón entre hombres y mujeres?.
1o)Datos:
Solución
1o)Datos:
:
Solución
12
5)La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan
es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a Pedro ambos
tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene
Juan?.
T2
Solución
1o)Datos:
P
8

J
17
6)Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando
a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades
iguales. Hallar la suma de los números.
T2
1o)Datos:
Solución
P  8k
 
J  17 k
2o)Variación:
Actual
J = 17k
P = 8k
Le da 30
17k - 30
8k + 30
3o)Consecuencia:
P + 63 = J - 63
8k + 63 = 17k — 63k
63 + 63 = 17k — 8k
126 = 9k
k = 14
o
4 )Piden:
Juan tiene 238 soles
7)La señora Linda le dice a su esposo: “Si me quitára 5 añi 8)El dinero que tiene Andrea es al dinero que de Cristina
tos y te los pusiera a tí, ambos tuviéramos las mismas
como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas
edades”. Sabiendo que sus edades están en la relación
tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?
de 4 a 3, ¿cuántos años tiene cada uno?.
Solución
o
1 )Datos:
Solución
1o)Datos:
:
13
9La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, después de
cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué
relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?
Solución
1o)Datos:
P
5

L
6
P  5k
 
J  6k
2o)Variación:
1o)Datos:
Solución
+x
Actual
5k
6k
P=
L=
10)En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se
presentó una moción. En una primera votación por cada
4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo
abstenciones
Futuro
5k + x
6k + x
3o)Consecuencia:
5k  x
9

6k  x
10
10(5k  x )  9(6k  x )
50k  10 x  54k  9x
x  4k
4o)Piden:
Tiempo transcurrido x
4k


Edad inicial Luis
6k
6k
T. transcurri do 2

E. inicial Luis
3
11)Un campamento esta dividido en 2 bandos A y B, tales que
la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2
bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las
poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuál es la
población del campamento?.
Solución
1o)Datos:
A
7

B
3
A  7 k
 
B  3k
2o)Variación:
+x
Original
Pasan 60
A = 7k
7k - 60
B = 3k
3k + 60
3o)Consecuencia y 2o) :
A  7 k
A
3

 
B
7
B  3k
7 k  60

3k  60
7(7 k  60)
49k  420
3
7
 3(3k  60)
 9k  180
40k  180  420
k  15
o
4 )Piden:
reemplazo en 1o):
La población es de 150 personas
12)Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo
suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está e
relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el
gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?
1o)Datos:
Solución
14
GRUPOS en CASA
GRUPO D:
Aplicaciones Típicas
GRUPO E:
Problemas Audaces
17)Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una
razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los
números.
13)A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mu
jeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego
de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer.
¿Cuántas parejas se retiraron?
18)Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor
se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere,
entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar
el mayor de los 2 números
14)En una academia la relación de hombres y mujeres es
2 : 5, la relación del semestral es 7 : 3 ¿Cuál es la rela
ción de los hombres que están en el semestre y el total
de alumnos?
19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de
lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus
lados, de sus perímetros y de sus áreas.
15)La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, des
pués de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9
a 10. ¿En que relación están el tiempo transcurrido y la
edad inicial de Luis?
20)La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de
ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60
entonces ambos resultados serían iguales. Hallar
dichos números
21)El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón
entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área.
22)La razón de las longitudes de los lados de un rectán
gulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto
mide el perímetro del rectángulo?
16)El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la
razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos
fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido do por
dicho empleado?
17)Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor
se le suma 140, para que el valor de la razón no se alte
re, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar
el mayor de los 2 números
23)Las edades de Ana y Julia están en la relación de
2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus
edades es 85 años?
18)De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas
quedando 2 niños por cada niñas después se retiran
45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño.
Calcular el número de niñas al comienzo.
24)La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega
65 a cada uno de ellos la nueva relación es de 3 a 5.
Hallar el mayor
19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de
lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus
lados, de sus perímetros y de sus áreas.
! Yeee ….ya sé RAZONES,
QUE VENGAN LAS . . .
PROPORCIONES . . .
! Me encanta la Aritmética!