Modelos mixtos

Modelos mixtos
Diseño de experimentos – p. 1/26
Introducción
Cuando en la estructura de tratamientos de un experimento se
tienen tanto factores fijos como aleatorios, el modelo que
describe tales experimentos se llama modelo mixto.
Si un efecto principal es un efecto aleatorio, entonces
cualquier interacción que involucre tal efecto principal es
también un efecto aleatorio.
Es decir, las únicas interacciones que son efectos fijos son
aquellas cuyos efectos principales son todos fijos.
Por ejemplo, un modelo de tres criterios de clasificación donde
A y B son efectos fijos y C es aleatorio es:
yijkl = µ + αi + βj + γij + ck + dik + fjk + gijk + ǫijkl
donde la parte de efectos fijos del modelo es:
µ + αi + βj + γij
Diseño de experimentos – p. 2/26
Introducción
y la parte de efectos aleatorios:
ck + dik + fjk + gijk + ǫijkl
suponemos que ck ∼ N (0, σc2 ), dik ∼ N (0, σd2 ), fjk ∼ N (0, σf2 ),
gijk ∼ N (0, σg2 ), ǫijkl ∼ N (0, σ 2 ) y que ck , dik , fjk , gijk y ǫijkl
son variables aleatorias independientes.
Diseño de experimentos – p. 3/26
Ejemplo (2 factores balanceado)
Una compañía quiere reemplazar, en una de sus fábricas, las
máquinas usadas para hacer cierto componente. Hay tres
diferentes marcas de máquinas en el mercado.
El gerente diseña un experimento para evaluar la
productividad de las máquinas cuando son operadas por su
propio personal.
Se seleccionaron aleatoriamente seis empleados para
participar en el experimento, cada uno de los cuales operó la
máquina en tres diferentes ocasiones.
Los datos son calificaciones globales, que toman en cuenta el
número y calidad de componentes producidos.
Diseño de experimentos – p. 4/26
Ejemplo (2 factores balanceado)
Máquina
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
Persona
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Repetición
1
2
3
52.0 52.8 53.1
51.8 52.8 53.1
60.0 60.2 58.4
51.1 52.3 50.3
50.9 51.8 51.4
46.4 44.8 49.2
62.1 62.6 64.0
59.7 60.0 59.0
68.6 65.8 69.7
63.2 62.8 62.2
64.8 65.0 65.4
43.7 44.2 43.0
Diseño de experimentos – p. 5/26
Ejemplo (2 factores balanceado)
Máquina
3
3
3
3
3
3
Persona
1
2
3
4
5
6
Repetición
1
2
3
67.5 67.2 66.9
61.5 61.7 62.3
70.8 70.6 71.0
64.1 66.2 64.0
72.1 72.0 71.1
62.0 61.4 60.5
Diseño de experimentos – p. 6/26
Ejemplo (2 factores balanceado)
El modelo es:
yijk = µ + τi + pj + gij + ǫijk
i = 1, 2, 3 j = 1, . . . , 6 k = 1, 2, 3
Donde µ es la media general, τi efecto del tipo de máquina i,
pj efecto de la persona j, gij interacción máquina-persona y
ǫijk error asociado a la j-ésima persona operando la máquina i
en el tiempo k.
Los componentes aleatorios y sus correspondientes varianzas
son:
pj ∼ N (0, σp2 ) gij ∼ N (0, σg2 ) ǫijk ∼ N (0, σ 2 )
ej23_1_messy.jmp
Diseño de experimentos – p. 7/26
Ejemplo (2 factores balanceado)
F.V.
Máquina
Persona
Maq x Pers
Error
gl
2
5
10
36
SS
1755.26
1241.89
426.53
33.29
CM
877.632
248.379
42.653
0.925
F
20.58**
5.82**
46.13**
E(CM )
2
σ 2 + 3σg2 + 18θm
σ 2 + 3σg2 + 9σp2
σ 2 + 3σg2
σ2
La estimación de los componentes de varianza por el método
de Momentos:
Componente
Persona
Máq x Pers
Error
Total
Estimación
22.858
13.909
0.925
37.69
% del total
60.64
36.90
2.45
100.00
Diseño de experimentos – p. 8/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados
Realidad → diseño → modelo → análisis ←
El modelo debe representar lo más cercanamente posible a la
realidad estudiada, esta representación está mediada por el
diseño.
Un factor
yij = µ + Ai + ǫj(i) i = 1, . . . , a j = 1, . . . , ni
A puede ser aleatorio o fijo. ǫ siempre es aleatorio con
ǫj(i) ∼ N (0, σ 2 )
La prueba de A se hace con CMA /CM E.
Si A es fijo H0 : A1 = A2 = . . . = Aa = 0. Si A es aleatorio
H0 : σa2 = 0.
Diseño de experimentos – p. 9/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados
Dos factores cruzados
yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ǫijk
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , nij
Diseño de experimentos – p. 10/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados
Dos factores anidados
yijk = µ + Ai + Bj(i) + ǫk(ij)
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , nij
Diseño de experimentos – p. 11/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados
Tres factores cruzados
yijkl = µ+Ai +Bj +(AB)ij +Ck +(AC)ik +(BC)jk +(ABC)ijk +ǫl(ijk)
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , c l = 1, . . . , nij
Diseño de experimentos – p. 12/26
Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados
Tres factores, uno anidado en el cruce de los otros dos
yijkl = µ + Ai + Bj + (AB)ij + Ck(ij) + ǫl(ijk)
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , c l = 1, . . . , nij
A- Método de estudio
B- Escuela pública o privada
C- Grupos al azar en cada combinación
u.e. alumno dentro de grupo
Diseño de experimentos – p. 13/26
Ejemplo 1. Evaluación de un espectrofotómetro
(Ejemplo 7.5 Kuehl) Un investigador está desarrollando un
nuevo espectrofotómetro para aplicaciones en laboratorios
médicos, que tiene que ser probado. El investigador tiene que
determinar si la variabilidad y consistencia de los resultados
obtenidos en múltiples corridas y días están dentro de las
especificaciones requeridas.
Diseño de tratamientos: factorial con “concentraciones” de
glucosa y “días” como factores. Las muestras de suero en
sangre fueron inoculadas con tres niveles diferentes de
glucosa para cubrir el rango de concentraciones de glucosa
que el instrumento debe ser capaz de analizar.
Las tres concentraciones fueron analizadas en cada día, por lo
que el factor concentraciones y el factor día están cruzados.
Se hicieron dos corridas en cada día, así que corridas están
anidadas en día.
Diseño de experimentos – p. 14/26
Ejemplo 1
Diseño del experimento: Se prepararon cuatro réplicas de
muestras de suero para cada una de las tres concentraciones
de glucosa cada día.
Dos réplicas de cada concentración fueron asignadas
aleatoriamente a cada corrida de cada día. Las 6 muestras
fueron analizadas en orden aleatorio en cada corrida.
El mismo técnico preparó las muestras y operó el instrumento
a lo largo del experimento.
El diseño tiene factores anidados y cruzados con a = 3
concentraciones cruzadas con b = 3 días, con c = 2 corridas
anidadas en cada día y r = 2 repeticiones en cada
concentración en cada día.
Las concentraciones de glucosa (mg/dl) observadas en el
espectrofotómetro son:
Diseño de experimentos – p. 15/26
Ejemplo 1
Concen
1
2
3
Día 1
Corr 1 Corr 2
41.2
41.2
42.6
41.4
135.7 143.0
136.8 143.3
163.2 181.4
163.3 180.3
Día 2
Corr 3 Corr 4
39.8
41.5
40.3
43.0
132.4 134.4
130.3 130.0
173.6 174.9
173.9 175.6
Día 3
Corr 5 Corr6
41.9
45.5
42.7
44.7
137.4 141.1
135.2 139.1
166.6 175.0
165.5 172.0
Diseño de experimentos – p. 16/26
Ejemplo 1
El modelo para este experimento es:
yijkl = µ + ai + bj + ck(j) + (ab)ij + (ac)ik(j) + eijkl
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2 l = 1, 2
ai efecto fijo de concentración
bj efecto aleatorio de día
ck(j) efecto aleatorio de corrida dentro de cada día
(ab)ij es el efecto aleatorio de la interacción concentración x
día
(ac)ik(j) efecto aleatorio de la interacción de concentración x
corrida dentro de día
ej7_5_kuehl.jmp
Diseño de experimentos – p. 17/26
Ejemplo 1
Componente
Concentración
Día
Corrida(dia)
Dia x Concentr
Concentr x corrida(dia)
Error
Componente
Concentración
Día
Corrida(día)
Día x concentra
Concentra*corrida(día)
E(CM )
2
2
σ 2 + 2σac
+ 4σab
+ 12θa2
2
2
+ 6σc2 + 12σb2
σ 2 + 2σac
+ 4σab
2
σ 2 + 2σac
+ 6σc2
2
2
σ 2 + 2σac
+ 4σab
2
σ 2 + 2σac
σ2
Denominador (CM)
Dia x concentra
Corrida(día) + Día x concentra - concentra*corrida(día)
concentra*corrida(día)
concentra*corrida(día)
error
Diseño de experimentos – p. 18/26
Ejemplo 1
F.V.
Concentra
Día
Corrida(día)
Día x concentra
Concentra x corrida(día)
gl
2
2
3
4
6
SS
108264
24.88
263.11
176.39
180.22
CM
54131.8
12.44
87.70
44.10
30.04
F
1227.51
0.12
2.92
1.47
20.92
Prob > F
<0.0001
0.8888
0.1223
0.3206
< 0.0001
Fué significativa la interacción de concentración x corrida(día), lo que significa
que se necesita inspeccionar la consistencia de corrida a corrida a lo largo de
las concentraciones. La inconsistencia podría ser debida a la operación del
instrumento o la falta de consistencia en la preparación de las muestras para
cada una de las concentraciones de corrida a corrida.
Diseño de experimentos – p. 19/26
Ejemplo 2
Un ingeniero industrial está estudiando la inserción a mano de
componentes electrónicos en tarjetas de circuitos impresos
para mejorar la velocidad de la operación de ensamblaje.
Ha diseñado 3 dispositivos de ensamblaje y 2 esquemas que
se ven prometedores.
Se requieren operadores para realizar el ensamblado, por lo
que decide seleccionar aleatoriamente 4 operadores para
cada tipo de esquema. Ya que hay diferentes lugares donde
se van a probar estos 2 factores, es difícil usar los mismos 4
operadores, por lo que los 4 operadores escogidos para el
esquema 1 son diferentes a los 4 del esquema 2.
Se corren en forma aleatoria la combinación de tratamientos y
se obtienen 2 repeticiones. Se mide el tiempo de ensamblado
en segundos.
Diseño de experimentos – p. 20/26
Ejemplo 2
Esquema
1
D
i
s
p
o
s
i
t
2
Operador
1
1
22
24
2
23
24
3
28
29
4
25
23
1
26
28
2
27
25
3
28
25
4
24
23
2
30
27
29
28
30
32
27
25
29
28
30
27
24
23
28
30
3
25
21
24
22
27
25
26
23
27
25
26
24
24
27
28
27
Diseño de experimentos – p. 21/26
Ejemplo 2
Este es un modelo mixto ya que dispositivos y esquemas son
fijos y operador es aleatorio.
En este modelo operadores están anidados en los niveles de
esquema, mientras que dispositivos y esquemas están
cruzados.
yijkl = µ + τi + βj + γk(j) + (τ β)ij + (τ γ)ik(j) + ǫl(ijk)
τi es el efecto del i-ésimo esquema, i = 1, 2
βj es el efecto del j-ésimo dispositivo, j = 1, 2, 3
γk(i) es el efecto del k-ésimo operador dentro del i-ésimo
esquema, k = 1, 2, 3, 4
(τ β)ij interacción esquema x dispositivo
(τ γ)jk(i) interacción dispositivo x operador dentro de esquema
ǫl(ijk) error, l = 1, 2
Diseño de experimentos – p. 22/26
Ejemplo 2
Note que no puede haber interacción esquema x operador por
que no todos los operadores usan todos los esquemas, por lo
tanto no puede haber interacción dispositivo x esquema x
operador.
ej13_2_mont.jmp
Diseño de experimentos – p. 23/26
Ejemplo 2
Componente
Esquema
Disposit
esqxdis
op(esq)
op x dis(esq)
Error
Componente
Esquema
Dispositivo
Esq x Dispo
Operador(esq)
Opera x Dispo(esq)
E(CM )
σ 2 + 6σo2 + 24θe2
2
+ 16θd2
σ 2 + 2σod(e)
2
2
+ 8θed
σ 2 + 2σod(e)
σ 2 + 6σo2
2
σ 2 + 2σod(e)
σ2
Denominador (CM)
Operador(esquema)
Operador x Dispositivo(esquema)
Operador x Dispositivo(esquema)
error
error
Diseño de experimentos – p. 24/26
Ejemplo 2
F.V.
Esquema
Dispositivo
Esq x Disp
Operador(esq)
Op x Disp(esq)
Error
gl
1
2
2
6
12
24
SS
4.08
82.79
19.04
71.92
65.83
56
CM
4.08
41.40
9.52
11.99
5.49
2.33
F
0.3402
7.54
1.734
5.146
2.356
Prob > F
0.58
0.0076
0.218
0.0016
0.036
Diseño de experimentos – p. 25/26
Reglas para encontrar E(CM ) en diseños completos balanceados
1. El error, considerado jerárquico dentro de los demás
factores, tendrá un componente de varianza σ 2 y es
siempre aleatorio.
2. En cada hilera del A. de V. escriba los componentes de
varianza que tienen todos los suscritos contenidos en los
suscritos del factor en la hilera.
3. Determine qué suscritos no están presentes en cada
componente de varianza. Multiplique el coeficiente de ese
componente por el tamaño de muestra (número de niveles)
de los factores correspondientes a los suscritos faltantes.
4. Multiplique el componente por (1 − h/H) donde h es el
número de niveles de un factor y H es el tamaño de la
población de efectos. Así para efectos fijos h = H y para
efectos aleatorios H = ∞. El factor (1 − h/H) multiplica a
los componentes para cada factor H que está en el suscrito
del componente y que no aparece dentro de un paréntesis
y/o no está en el encabezado de la hilera. Excepto para σ 2 .
Diseño de experimentos – p. 26/26