Velocidad Instantánea ri rf - U

22-11-2011
Velocidad Instantánea
Y (m)
t + t
r
t
ri
rf
Trayectoria
(0,0)
X (m)
1
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Velocidad Instantánea
lím
t  0

r  r (t )


r
dr

t
dt
i

r  r (t  t )
f

r (t  t )  r (t )
v (t )  lím
t
t  0
Este límite se llama la derivada de la función r(t)
Se denota por:

r dr

lím
dt
t 0 t
Ejemplo:
Sea el siguiente vector posición:

r (t )  5t 2 iˆ
r(t):metros
t: segundos

r

r (t )  5t 2iˆ
i
f
(t  t )  5(t  t )
2ˆ
i

5(t  t ) iˆ  5t iˆ
v (t )  lím
t
2
2
t  0

5(t
v (t )  lím
t  0
2
 2tt  t 2 ) iˆ  5t 2iˆ
t
2
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
5t iˆ  10ttiˆ  5t
v (t )  lím
t
2
2
iˆ  5t 2iˆ
2
iˆ
t  0

10ttiˆ  5t
v (t )  lím
t
t  0

v (t )  lím (10tiˆ  5tiˆ)
 t 0

v (t )

dr


ˆ m/s
dt 10ti
La velocidad Instantánea es la derivada del vector posición, y es un vector
cuyas componentes son las derivadas de las componentes del vector
posición.

dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
 i
j k
dt dt
dt
dt

r (t )  xiˆ  yˆj  zkˆ

  
v (t )  v  v  v
x
y
z
Rapidez Instantánea: Es la magnitud o módulo del
vector velocidad

v (t)

v
2
x
2
 v y  vz
2
3
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Recordar que la velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
Ejemplo:

r (t )  5tiˆ  (10t  4,5t 2 ) ˆj
r(t): metros y t: segundos
Calcule la:
a) Velocidad media para el intervalo de tiempo t = 1 seg. a t = 4 seg.
b) Velocidad instantánea para:
i) t = 0 seg.
ii) t = 1 seg.
iii) t = 2 seg.

r (t )  5tiˆ  (10t  4,5t 2 ) ˆj

r (1)  5iˆ  (10  4,5) ˆj
i

v
(m)
20iˆ  32 ˆj  (5iˆ  5,5 ˆj )

m
3

r (4)  20iˆ  (40  72) ˆj
f

v

m
15iˆ  37,5 ˆj
3
(m)
(m/s)

v  5iˆ 12,5 ˆj (m / s)
m
4
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
v (t )  5iˆ  (10  9t ) ˆj
(m/s)

v (0)  5iˆ 10 ˆj (m / s)

v (1)  5iˆ  ˆj (m / s )

v (2)  5iˆ8 ˆj (m / s)
Tarea:
Calcule la rapidez
instantánea para:
a) t = 0 seg.
b) t = 1 seg.
c) t = 2 seg.
Aceleración Media e Instantánea
Cuando la velocidad de un cuerpo cambia en el tiempo se dice
que éste tiene una aceleración, como la velocidad es un vector y
se define como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo.
Con relación a la Fig. muestra un móvil que a tiempo t = tA pasa por el
punto “A” con una velocidad vA = v (t) y que, luego a tiempo t = tB,
pasa por el punto “B” con una velocidad vB = v(t + t).
Aceleración Media

a
 

v v (t  t )  v (t )


m
t
t
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Aceleración
Y (m)
t = tA
tB = t + t
A
B
vA
vB
Trayectoria
X (m)
(0,0)
Aceleración Instantánea


v
a lím t
t 0




v (t  t )  v (t ) dv

a (t )  lím
t
dt
t  0
La aceleración Instantánea es la derivada de la velocidad
Ejemplo:
Sea r (t) = 5t2 î + (10t – 3t2) ĵ donde r(t): metros y t: segundos
Calcule la:
a) Velocidad
b) Aceleración
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Respuesta:

r (t )  5t 2iˆ  (10t 3t 2 ) ˆj (m)

v (t )  10tiˆ  (10 6t ) ˆj (m / s)

a (t )  10iˆ 6 ˆj (m / s
2
)
Aceleración
Aceleración Media

a

V
2

(m / s )
m
t
Aceleración Instantánea


V
a  lím t
t  0

dV

dt
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Ejemplo
Ejemplo
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Gráfico de velocidad versus tiempo
V (m/s)
A
Vf
2
A
2
Vi
A  V ·t
A
i
2
0
t
d
d

A1 
1
t
(V f  V i )·t
2
t
1 (V f V i) 2
A2  2· t ·t
1
 ( V )  t
2
1


1
2a
t
2
tiempo (seg.)
A
2
 V i·t 
1
2
·t
a
2
1
y  y0 v0t  2  a ·t 2
Movimiento Uniforme Rectilíneo
X (m)
100
B
C
D
A
5
10
15
t (seg)
9
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Movimiento Uniforme Acelerado
V (t)
B
100
A
C
0
5
10
t (seg)
Lanzamiento Vertical Hacia Arriba
V  V  gt
Vf =0
f
i
t
V<0
h
Vi > 0
máx
h
máx
V
máx
Eje Horizontal
h
h  h0  V  t
i
Vi
g
máx
prom
 t máx
 V i V i
2
g
V
2
i
2g
1
2
 a t
2
10
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v(t )
Ejemplo: Movimiento Unidimensional
v (m/s)
2
y (t )
 (20  10t )(m / s)
 (20t  5t )( m )
20
y (m)
10
0
20
tiempo (s)
-10
1
15
a(t )
10
3
2
 10 (m / seg )
a (m/s2)
5
0
2
0
1
2
3
tiempo (s)
4
tiempo (s)
-10
t = 2,04 s
Ejemplo
B
y = 20,4 m
v = 0 m/s
t=0s
A
y=0m
v = 20 m/s
t = 4,08 s
C
y=0m
v = -20 m/s
50 m
t=5s
D
y = -22,5 m
v = -29 m/s
t = 5,83 s
y = - 50 m
v = - 37,1 m/s
E
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Caída Libre
Debido a la acción permanente de la fuerza de gravedad de la tierra,
los cuerpos al ser soltados libre en el espacio son atraídos hacia el
centro de la tierra, adquiriendo un movimiento acelerado. Si la caída
se produce en el vacío, la caída libre de los cuerpos es un
movimiento uniforme acelerado (la aceleración de gravedad).
V 0
i
2
2
f
i
V  V  2 gh
V
f
h

2 gh

1
g
2
t
2
g = -9,8 ĵ m/s2
En la caída de los cuerpos
la resistencia, aumenta
con la velocidad de caída.
Al inicio la resistencia es
pequeña y crece con el
aumento de velocidad
hasta que después de
cierto tiempo se hace
igual al peso del cuerpo, y
la aceleración se hace
igual a cero, a partir de
ese instante el cuerpo
alcanza su velocidad
límite y continua la caída
con velocidad uniforme.
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Movimiento Parabólico
V
0y
 V 0 sen
V
h
máx.
V 0
0x
V
 V 0 cos 
2
1
 g
g
2
0y
V
g
Ecuaciones del Movimiento Parabólico
0y
2
2
1 V 0y
hmáx.  2 g

V
d

y
 (V
máx.
0y
 gt ) ˆj
 V 0 x  2t máx.



V (t ) V

iˆ  (V 0 y  gt ) ˆj ( m / s )
0x
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Ejemplo: Un jugar le da un puntapié a una pelota con
una velocidad inicial 10 m/seg. en una dirección de 30º.
Calcular:
a)
El tiempo, cuando la pelota alcanza la altura
máxima.
b) La altura máxima.
c)
La distancia de alcance máximo.
-y
1
y  y0 v0 t  at 2
2
v0  0
y0  0
a  g
1
 g t 2
2
1
y  g t 2
2
y 
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Tarea:
15