1 Mecánica. E: Un cuerpo que pesa 8 lb cae desde el reposo hacia

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Mecánica.
E: Un cuerpo que pesa 8 lb cae desde el reposo hacia la Tierra. Suponiendo que la resistencia del
aire es numéricamente igual a 2v.t/, donde v.t/ es la velocidad instantánea en pies/s, calcular:
a. La velocidad después de t segundos.
b. La distancia recorrida al cabo de t segundos.
c. La velocidad límite del cuerpo.
D: H Considerando hacia abajo la dirección positiva y a R.t/ como la fuerza de resistencia del
aire, se tiene:
ma.t/ D mg C R.t/ ) mv 0.t/ D mg ˇv.t/ )
ˇ
) mv 0.t/ C ˇv.t/ D mg ) v 0.t/ C v.t/ D g:
m
8
ˇ
2
w
Donde: ˇ D 2 & m D
D
D 0:25 )
D
D 8.
g
32
m
0:25
a. La velocidad v.t/ está dada por la solución del PVI
v 0.t/ C 8v.t/ D 32; con v.0/ D 0:
Resolvemos la ED lineal con factor integrante e 8t :
v 0 .t/ C 8v.t/ D 32 ) e 8t Œv 0 .t/ C 8v.t/ D 32e 8t )
Z
d 8t
8t
8t
)
Œe v.t/ D 32e ) e v.t/ D 32e 8t dt D 4e 8t C C1 )
dt
) v.t/ D .4e 8t C C1 /e 8t ) v.t/ D 4 C C1 e 8t :
Ahora, v.0/ D 0 ) 4 C C1 e 0 D 0 ) C1 D 4.
Por lo tanto, v.t/ D 4 4e 8t ) v.t/ D 4.1 e
8t
/ pies/s.
b. La distancia recorrida por el cuerpo al cabo de t segundos coincide con la posición instantánea de dicho cuerpo, medida a partir de la posición inicial
Z
Z
0
v.t/ D x .t/ ) x.t/ D v.t/ dt D 4.1 e 8t /dt )
1
1
8t
) x.t/ D 4 t
e
C C2 D 4t C e 8t C C2 :
2
8
Considerando que x.0/ D 0 se tiene que
1
x.0/ D 4.0/ C e 0 C C2 D 0 ) C2 D
2
1
:
2
Por lo tanto, la distancia recorrida es
1
x.t/ D 4 t C e
2
3. canek.azc.uam.mx: 30/ 11/ 2010
8t
1
1
D 4 t C .e
2
2
8t
1/ pie:
2
c. La velocidad límite del cuerpo es
vlím D lím v.t/ D lím 4.1
t!1
t!1
e
8t
/ D 4 lím
t!1
1
1
e 8t
D 4.1
0/ D 4 pies/s.