Matrices Elementales

Matrices Elementales
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
9 de febrero de 2011
Índice
25.1. Matriz Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2. Matrices y operaciones elementales . . . . . . .
25.3. Las matrices elementales son invertibles . . . .
25.4. Matrices elementales en la equivalencia de matrices
25.5. Resultado Clave . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.1.
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1
2
3
4
4
Matriz Elemental
Definición 25.1
Una matriz n × n se llama matriz elemental si puede obtenerse de la matriz identidad In×n por medio de sólo
una operación elemental de renglón, es decir:
intercambiando los renglones i y j,
multiplicando el renglón i por una constante c diferente de cero, o
sumando al renglón i el renglón j multiplicado por la constante c.
Ejemplo 25.1
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
0 1
1 0




0 1 0
1 0 0
, E2 =  1 0 0  , E 3 =  0 0 1 
0 0 1
0 1 0
Porque
E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2 ;
E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3 ; y
E3 corresponde a R2 ↔ R3 sobre I3×3 .
Ejemplo 25.2
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
Porque
5 0
0 1




1
0 0
1 0
0
0 
, E5 =  0 −7 0  , E6 =  0 1
0
0 1
0 0 2/5
E4 corresponde a R1 ← 5 R1 sobre I2×2 ;
E5 corresponde a R2 ← −7 R2 ; sobre I3×3 y
E6 corresponde a R3 ←
2
5
R3 sobre I3×3 .
Ejemplo 25.3
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
1 1/3
0
1




1 0
0
1 0 0
, E8 =  0 1 −5  , E9 =  0 1 0 
0 0
1
0 7 1
Porque
E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3 R2 sobre I2×2 ;
E8 corresponde a R2 ← R2 − 5 R3 sobre I3×3 ; y
E9 corresponde a R3 ← R3 + 7 R2 sobre I3×3 .
Notas
Las operaciones elementales sobre los renglones de una matriz son reversibles, es decir es posible retornar a la
matriz inicial haciendo otra operación elemental.
En general:
Operación Elemental
Ri ↔ Rj
Ri ← c Ri
Ri ← Ri + c Rj
Operación inversa correspondiente
Ri ↔ Rj
Ri ← (1/c) Ri
Ri ← Ri − c Rj
Ejemplo 25.4
La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4 ,
La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3 ,
La inversa de R1 ← 2 R1 es R1 ← 1/2 R1 ,
La inversa de R4 ← −2/3 R4 es R4 ← −3/2 R4 ,
La inversa de R4 ← −2/3 R4 es R4 ← −3/2 R4 ,
La inversa de R3 ← R3 + 5 R1 es R3 ← R3 − 5 R1 ,y
La inversa de R2 ← R2 − 4 R3 es R2 ← R2 − 4 R3 .
25.2.
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Op entonces:
Op
Si A −−→ A1 , entonces EA = A1
Es decir que
2
El resultado de aplicarle a la matriz A la operación elemental Op equivale a multiplicar la matriz
A por la izquierda por la matriz elemental asociada a Op.
Ejemplo 25.5
Una operación del método de eliminación gaussiana es




3
3
3 6 −9
3 6 −9
R2 ↔R3
 0 0 −2 −2  −
1 
−−−−→  0 1 −2
0 1 −2
1
0 0 −2 −2
Esta corresponde a

 


3
3
1 0 0
3 6 −9
3 6 −9
 0 0 1   0 0 −2 −2  =  0 1 −2
1 
0 1 −2
1
0 0 −2 −2
0 1 0
Ejemplo 25.6
Una operación del método de eliminación

3 6 0
 0 1 0
0 0 1
gaussiana es



12
3 0 0 −6
R ←R1 −6 R2
3  −−1−−−−
3 
−−−→  0 1 0
0 0 1
1
1
Esta corresponde a
 


3 0 0 −6
1 −6 0
3 6 0 12
 0
3 
1 0  0 1 0 3  =  0 1 0
0 0 1 1
0 0 1
1
0
0 1

Ejemplo 25.7
Una operación del método de eliminación gaussiana es




3 0 0 −6
1 0 0 −2
R1 ←1/3 R1
 0 1 0
3  −−−−−−−→  0 1 0
3 
0 0 1
0 0 1
1
1
Esta corresponde a

1
3



0 0
3 0 0 −6
1 0 0 −2
 0 1 0  0 1 0
3  0 1 0
3 
0 0 1
0 0 1
1
0 0 1
1
25.3.
Las matrices elementales son invertibles
Toda matriz elemental es matriz invertible. Más aún, si E es una matriz elemental, E −1 se obtiene al
invertir la operación elemental que produjo a E a partir de la identidad I.
operación elemental
operación elemental
matriz elemental
matriz elemental
3
operación
inversa
matrizasociada
inversa
matriz
Ejemplo 25.8
Si
E1 =
entonces:
E1
25.4.
−1
=
1 −3
0
1
1 3
0 1
, E2 =
, E2
−1
=
0 1
1 0
0 1
1 0
, E3 =
, E3
−1
1
0
0 −4
=
1
0
0 − 14
Matrices elementales en la equivalencia de matrices
1. A ≡ B si y sólo si existen matrices elementales E1 ,...,Ek tales que:
B = Ek Ek−1 . . . , E1 A
2. La forma escalonada de una matriz cuadrada A es In×n o bien tiene un renglón de ceros.
3. Sean A y B matrices n × n, si A o B no son invertibles entonces A B tampoco es invertible.
25.5.
Resultado Clave
Sea A una matriz n × n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn .
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector ~b ∈ Rn .
8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todo vector ~b ∈ Rn .
9. El sistema homogéneo A ~x = ~0 tiene sólo la solución trivial ~x = ~0.
4