MA2006 - Tarea No 5

MA2006 - Tarea No 5
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
11 de enero de 2011
Solución
1. La población de un paı́s particular se compone de tres grupos étnicos (GE). Cada individuo pertenece a
uno de los cuatro grupos sanguı́neos principales. La tabla de probabilidad conjunta anexa da la proporción
de individuos en las diversas combinaciones de grupo étnico-grupo sanguı́neo.
GE
1
2
3
O
0.082
0.135
0.215
Grupo sanguı́neo
A
B
AB
0.106 0.008 0.004
0.141 0.018 0.006
0.200 0.065 0.020
Suponga que se selecciona un individuo al azar de la población y que los eventos se definen como
A = {tipo de sangre A seleccionado}
Ei = {grupo étnico i seleccionado} para i = 1, 2, 3.
a) Calcule P (A), P (E3 ) y P (A ∩ E3 ).
Solución
Observe que S = E1 ∪ E2 ∪ E3 y que los eventos Ei son disjuntos. De esta manera A = A ∩ S =
A ∩ (E1 ∪ E2 ∪ E3 ) = A ∩ E1 ∪ A ∩ E2 ∪ A ∩ E3 . Por tanto,
P (A) = P (A ∩ E1 ) + P (A ∩ E2 ) + P (A ∩ E3 )
= 0.106 + 0.141 + 0.200
= 0.447
De igual manera,
P (E3 ) = P (E3 ∩ 0) + P (E3 ∩ A)
+P (E3 ∩ B) + P (E3 ∩ AB)
= 0.215 + 0.200 + 0.065 + 0.020
= 0.500
Directo de la tabla P (A ∩ E3 ) = 0.200.
b) Calcule tanto P (A|E3 ) y P (E3 |A) y explique en contexto de 10 personas qué representan cada una
de estas probabilidades.
Solución
Directo de la definción de probabilidad condicional:
P (A|E3 ) =
P (A ∩ E3 )
0.200
=
= 0.4
P (E3 )
0.5
Esto dice: 0.4 es la probabilidad de que una persona del grupo etnico 3 tenga sangre tipo A: es
decir, de cada diez personas del grupo étnico 3, 4 de ellas tendrán sangre tipo A.
P (E3 |A) =
A ∩ E3
0.200
=
= 0.447
P (A)
0.447
Esto dice: 0.447 es la probabilidad de que una persona que tiene sangre tipo A sea del grupo étnico
3: es decir, de cada 100 personas que tienen sangre tipo A, 44 de ellas son del grupo étnico 3.
c) Si el individuo seleccionado no tiene sangre de tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella
pertenezca al grupo étnico l?
Solución
Se nos pide P (E3 |B 0 ), tenemos
0
1 ∩B )
P (E1 |B 0 ) = P (E
P (B 0 )
0.082+0.106+0.004
= 1−(0.008+0.018+0.065)
= 0.211
2. Suponga que un individuo es seleccionado al azar de la población de todos los adultos varones que viven
en Estados Unidos. Sea A el evento en que el individuo seleccionado tiene una estatura de más de 6 pies
y sea B el evento en que el individuo seleccionado es un jugador profesional de básquetbol. ¿Cuál piensa
que es más grande, P (A|B) o P (B|A)? ¿Por qué?
Solución
P (A|B) representa la probabilidad de que un individuo tenga altura de más de 6 pies (1.82 m) dado
que es un jugador de basquetbol, mientras que P (B|A) representa la probabilidad de que un individuo
juegue basquetbol dado que tiene altura de más de 6 pies. Como en general los jugadores de basquetbol
son muy altos, se piensa que P (A|B) > P (B|A).
3. Regrese al escenario de la tarjeta de crédito del problema 3 de la tarea 2, donde A = {Visa}, B =
{MasterCard}, P (A) = 0.5, P (B) = 0.4 Y P (A ∩ B) = 0.25. Calcule e interprete cada una de las
siguientes probabilidades (un diagrama de Venn podrı́a ayudar).
a) P (B|A)
Solución
Directamente de la definición
P (B|A) =
P (A ∩ B)
0.25
=
= 0.5
P (A)
0.5
b) P (B 0 |A)
Solución
Primero calculemos P (A ∩ B 0 ): Como A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B 0 ) entonces 0.5 = P (A) = P (A ∩ B) +
P (A ∩ B 0 ) = 0.25 + P (A ∩ B 0 ), por tanto P (A ∩ B 0 ) = 0.25 ahora apliquemos la fórmula de la
probabilidad condicional
P (A ∩ B 0 )
0.25
P (B 0 |A) ==
=
= 0.5
P (A)
0.5
c) P (A|B)
Solución
Directamente de la definición
P (A|B) =
P (A ∩ B)
0.25
=
= 0.625
P (B)
0.4
2
d ) P (A0 |B)
Solución
Primero calculemos P (A0 ∩ B): Como B = (B ∩ A) ∪ (A0 ∩ B) entonces 0.4 = P (B) = P (A ∩ B) +
P (A0 ∩ B) = 0.25 + P (A0 ∩ B), por tanto P (A0 ∩ B) = 0.15 ahora apliquemos la fórmula de la
probabilidad condicional
P (A0 ∩ B)
0.15
P (A0 |B) ==
=
= 0.375
P (B)
0.4
e) Dado que el individuo seleccionado tiene por lo menos una tarjeta, ¿cuál es la probabilidad de que
él o ella tenga una tarjeta Visa?
Solución
Note que el evento A ∪ B describe que el individuo tiene por lo menos una tarjeta, ası́ lo que
requerimos calcular es P (A|A ∪ B)
P (A|A ∪ B) =
=
P (A∩(A∪B))
P (A∪B)
P (A)
P (A∪B)
P (A)
P (A)+P (B)−P (A∩B)
0.5
0.5+0.4−0.25
=
=
= 0.7692
6. Una tienda de departamentos vende camisas sport en tres tallas (chica, mediana y grande), tres diseños
(a cuadros, estampadas y a rayas) y dos largos de manga (larga y corta). Las tablas adjuntas dan las
proporciones de camisas vendidas en las combinaciones de categorı́a.
Talla
CH
M
G
Manga corta
Diseño
Cuadros Estampada
0.04
0.02
0.08
0.07
0.03
0.07
Rayas
0.05
0.12
0.08
Talla
CH
M
G
Manga larga
Diseño
Cuadros Estampada
0.03
0.02
0.10
0.05
0.04
0.02
Rayas
0.03
0.07
0.08
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa mediana, estampada y
de manga larga?
Solución
Se está preguntado por Tmediana ∩ Destampado ∩ Mlarga , esto se obtiene directamente de la tabla: 0.05
(Dato de la tabla referente a manga larga, el renglón de la talla mediana y la columna del diseño
estampado)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa estampada mediana?
Solución
En este caso debemos sumar los datos referentes a manga corta y manga larga: 0.07 + 0.05 = 0.14
3
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? ¿De manga larga?
Solución
En esto habrá que sumar los datos de las tallas y los modelos para manga corta:
pmanga corta = 0.04 + 0.02 + 0.05
+0.08 + 0.07 + 0.12
+0.03 + 0.07 + 0.08
= 0.54
Para manga corta aplicamos complementaridad:
pmanga larga = 1 − pmanga corta = 1 − 0.54 = 0.46
d ) ¿Cuál es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? ¿Que la siguiente
camisa vendida sea estampada?
Solución
Siguiendo un razonamiento análogo al del inciso anterior
pmediana = 0.08 + 0.07 + 0.12
+0.10 + 0.05 + 0.07
= 0.49
Similarmente, pestampada = 0.25
e) Dado que la camisa que se acaba de vender era de manga corta a cuadros, ¿cuál es la probabilidad
de que fuera mediana?
Solución
Queremos calcular la probabilidad del evento P (Tmediana |Mcorta ∩ Dcuadros ):
∩Mcorta ∩Dcuadros )
P (Tmediana |Mcorta ∩ Dcuadros ) = P (Tmediana
P (Mcorta ∩Dcuadros )
0.08
= 0.04+0.08+0.03
= 0.5333
f ) Dado que la camisa que se acaba de vender era mediana a cuadros, ¿cuál es la probabilidad de que
fuera de manga corta? ¿De manga larga?
Solución
Queremos calcular la probabilidad del evento P (Mcorta |Tmediana ∩ Dcuadros ):
∩Tmediana ∩Dcuadros )
P (Mcorta |Tmediana ∩ Dcuadros ) = P (MPcorta
(Tmediana ∩Dcuadros )
0.08
= 0.08+0.01
= 0.888
Por complementaridad tenemos que:
P (Mlarga |Tmediana ∩ Dcuadros ) = 1 − P (Mcorta |Tmediana ∩ Dcuadros )
= 1.0 − 0.888 = 0.112
9. Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente componente traı́do a reparación es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es
un reproductor de discos compactos (ası́ que el evento B está contenido en A). Suponga que P (A) = 0.6
y P (B) = 0.05. ¿Cuál es P (B|A)?
4
Solución
Note que como B está contenido en A, A ∩ B = B. Ahora apliquemos la fórmula de la probabilidad
condicional:
P (B|A) = P P(B∩A)
(A)
= PP (B)
(A)
= 0.05
0.6
= 0.1
10. En el ejercicio 4 de la tarea 3, Ai = {proyecto otorgado i} con i = 1, 2, 3. Use las probabilidades dadas
allı́ para calcular las siguientes probabilidades y explique en palabras el significado de cada una.
a) P (A2 |A1 )
Solución
Directamente de la fórmula:
2 ∩A1 )
P (A2 |A1 ) = P (A
P (A1 )
= 0.11
0.22
= 0.5
es la probabilidad de que se otorgue el proyecto 2 dado que ya se otorgó el proyecto 1.
b) P (A2 ∩ A3 |A1 )
Solución
Directamente de la fórmula:
3 ∩A1 )
P (A2 ∩ A3 |A1 ) = P (AP2 ∩A
(A1 )
= 0.01
0.22
= 0.0454
es la probabilidad de que se otorguen los proyectos 2 y 3 dado que ya se otorgó el proyecto 1.
c) P (A2 ∪ A3 |A1 )
Solución
Primero observamos que
P ((A2 ∪ A3 ) ∩ A1 ) = P (A2 ∩ A1 ) + P (A3 ∩ A1 ) − P (A∩ A2 ∩ A3 )
= 0.11 + 0.05 − 0.01 = 0.15
ahora aplicamos la fórmula:
3 )∩A1 )
P (A2 ∪ A3 |A1 ) = P ((AP2 ∪A
(A1 )
= 0.15
0.22
= 0.6818
es la probabilidad de que entre los proyectos 2 y 3 se otorguen al menos 1 dado que ya se otorgó el
proyecto 1.
d ) P (A1 ∩ A2 ∩ A3 |A1 ∪ A2 ∪ A3 ).
Solución
5
Primero observamos que
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 )
−P (A1 ∩ A2 )
−P (A1 ∩ A3 )
−P (A2 ∩ A3 )
+P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
= 0.51
ahora aplicamos la fórmula:
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 |A1 ∪ A2 ∪ A3 ) =
P ((A1 ∩A2 ∩A3 )∩(A1 ∪A2 ∪A3 ))
P (A1 ∪A2 ∪A3 )
P (A1 ∩A2 ∩A3 )
P (A1 ∪A2 ∪A3 )
0.01
0.51
=
=
= 0.0196
es la probabilidad de que se otorguen los tres proyectos simultánemente dado que al menos un
proyecto ya se otorgó.
4. Reconsidere la situación del sistema defectuoso descrito en el problema 2 de la tarea 1.
a) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto de
tipo 2?
b) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los tres tipos
de defectos?
c) Dado que el sistema tiene por lo menos un tipo de defecto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
exactamente un tipo de defecto?
d ) Dado que el sistema tiene los primeros dos tipos de defectos, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga el tercer tipo de defecto?
5. Si se seleccionan al azar dos focos de la caja descrita en el problema 10 de la tarea 4 (4 focos de 40 watts,
5 focos de 60 watts y 6 focos de 75 watts) y por lo menos uno de ellos es de 75 W, ¿cuál es la probabilidad
de que los dos sean de 75 W? Dado que por lo menos uno de los dos seleccionados no es de 75 W, ¿cuál
es la probabilidad de que los dos focos seleccionados sean de la misma clase?
Solución
Primeramente revisemos de cuántos elementos pueden ser las muestras de dos focos.
El total de muestras de dos focos de los 15 disponibles es N∗,∗ = C15,2 = 105.
El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 40 watts es de N40,75 =
C4,1 · C6,1 = 24
El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 60 watts es de N60,75 =
C5,1 · C6,1 = 30
El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts es de N∗/{75},75 = C6,1 · C9,1 = 54 =
N40,75 + N60,75
El total de muestras de dos focos de 75 watts es de N75,75 = C6,2 = 15.
El total de muestras de 2 focos sin foco de 75 watts es C9,2 = 36.
El total de muestras de 2 focos de 40 watts es N40,40 = C4,2 = 6.
6
El total de muestras de 2 focos de 60 watts es N60,60 = C5,2 = 10.
El total de muestras de 2 focos uno de 40 watts y otro de 60 watts es N40,60 = C4,1 · C5,1 = 20.
Si A es el evento donde la muestra tiene dos focos son de 75 watts y B es el evento donde la muestra
tiene exactamente un foco es de 75, ası́ A ∪ B será el evento donde la muestra tiene al menos 1 foco es
de 75. Por tanto, la probabilidad de seleccionar una muestra que tiene dos focos de 75 watts dado que la
muestra tiene al menos uno de 75 watts es:
P (A|A ∪ B) =
=
=
P (A∩(A∪B))
P (A∪B)
P (A)
P (A)+P (B)
N75,75 /N∗,∗
N75,75 /N∗,∗ +N∗/{75},75 /N∗,∗
15/105
15/105+54/105
=
= 0.217
Para el otro inciso, sea C el evento en el cual la muestra tiene al menos 1 foco que no es de 75 watts, D
el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts y E el evento en el cual la muestra tiene 2 focos
de 60 watts. Observe que
El evento C es la unión de los eventos ME donde en la muestra hay exactamente 1 foco de 75 watts
y el evento donde en la muestra no hay foco de 75 watts.
P (C) = (54 + 36)/105 = 0.8571,
D ∪ E describe el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts o bien 2 focos de 60 watts.
Es decir, el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de la misma clase y no de 75 watts.
P (D ∪ E) = (N40,40 + N60,60 )/N∗,∗ = (6 + 10)/105 = 0.1523
D ∪ E está contenido en C, y por tanto (D ∪ E) ∩ C = D ∪ E
Ası́
P (D ∪ E|C) =
P ((D∪E)∩C)
P (C)
P (D∪E)
P (C)
0.1523
0.8571
=
=
= 0.1777
será la probabilidad de que en la muestra salgan dos focos de la misma clase dado que en la muestra hay
al menos un foco que no es de 75 watts.
7. Una caja contiene seis pelotas rojas y cuatro verdes y una segunda caja contiene siete pelotas rojas y
tres verdes. Se selecciona una pelota al azar de la primera caja y se le coloca la segunda caja. Luego se
selecciona al azar una pelota de segunda caja y se le coloca en la primera caja.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y de que se seleccione una pelota roja de la segunda caja?
Solución
Sea Aroja el evento en el cual se selecciona pelota roja de la primera caja y sea Broja el evento en
el cual se selecciona una pelota roja de la segunda caja. Nosotros queremos calcular P (Aroja ∩
Broja ). Sabemos que P (Aroja ∩ Broja ) = P (Broja |Aroja ) · P (Aroja ). Como P (Aroja ) = 6/10 y
P (Broja |Aroja ) = 8/11, entonces
P (Aroja ∩ Broja ) = P (Broja |Aroja ) · P (Aroja ) = (6/10) · (8/11) = 0.4363
será la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y que se seleccione una
pelota roja de la segunda caja.
7
b) Al final del proceso de selección, ¿cuál es la probabilidad de que los números de pelotas rojas y
verdes que hay la primera caja sean idénticas a los números iniciales?
Solución
Esto pasa cuando C:se toma una pelota roja de la primera caja y se selecciona de nuevo una roja
para regresarla a la primera o cuando D:se toma una pelota verde de la primera caja y se selecciona
de nuevo un pelota verde para regresarla a la segunda caja. Observe los eventos C y D son ME y
que P (C) = 0.4363 fue calculado en el inciso anterior. Entonces, debemos hacer el análogo al inciso
anterior para las pelotas verdes:
P (Averde ∩ Bverde ) = P (Bverde |Averde ) · P (Averde ) = (4/10) · (4/11) = 0.1454
Ası́
P (C ∪ D) = P (C) + P (D) = 0.4363 + 0.1454 = 0.5817
será la probabilidad de que se elija una pelota de la primera caja se ponga en la segunda, se elija
una pelota de la segunda y se coloque en la primera de tal manera que en la primera caja se tiene
el mismo número de rojas y verdes que al inicio.
8. Un sistema se compone de bombas idénticas, #1 y #2. Si una falla, el sistema seguirá operando. Sin
embargo, debido al esfuerzo adicional, ahora es más probable que la bomba restante falle de lo que era
originalmente. Es decir r = P (#2 falla|#1 falla) > P (#2 falla) = q. Si por lo menos una bomba falla
alrededor del final de su vida útil en 7 % de todos los sistemas y ambas bombas fallan durante dicho
periodo en sólo 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que la bomba #1 falle durante su vida útil de diseño?
8