20. MODELOS EMPIRICOS

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20. MODELOS EMPIRICOS
Cuando se desconoce un modelo teórico para un proceso en funcionamiento, es
posible plantear un modelo empírico haciendo ensayos de cambio en alguna
condición de operación y registrando la variación de la variable de proceso que es
afectada y que determina su estado o condición de operación. Un procesamiento de
los datos obtenidos, experimentalmente, permite que se ajusten a un modelo
matemático, que por la forma como se encuentra es de naturaleza empírica.
Se puede afirmar, que los modelos empíricos, se utilizan especialmente:
• En algunos procesos que se consideran muy complejos para modelarlos a
partir de los principios fundamentales.
• Para determinar algunos parámetros desconocidos en el modelo de un
sistema. Muchos parámetros pueden calcularse a partir de datos de la planta
en estado estacionario, pero otros deben determinarse a partir de pruebas
dinámicas (por ejemplo, los tiempos de residencia en sistemas sin reacción)
• Para verificar la consistencia del modelo matemático planteado teóricamente
para el sistema.
20.1 IDENTIFICACION DE PROCESOS
Por identificación de un proceso se entiende la descripción de su fenomenología
mediante modelos empíricos. Entre los métodos conocidos para hacer identificación
de procesos se encuentran el de la respuesta paso, la respuesta pulso, la respuesta
impulso y el de la respuesta ATV (Autotune Variation). La forma más directa de
obtener un modelo dinámico lineal empírico es mediante el ensayo conocido como
una Identificacion Respuesta Paso, que consiste en hacer un cambio paso en una
variable de entrada del proceso, registrar la variación en el tiempo de una variable de
salida y ajustar estos datos a un modelo dinámico lineal con el cual se determinen
los parámetros correspondientes. Este procedimiento es usual emplearlo con
sistemas en lazo abierto, pero también es posible utilizarlo en sistemas en lazo
cerrado. El método ATV se diferencia de los directos en que emplea un controlador
de dos posiciones para identificar el sistema y sintonizar el controlador en un lazo
cerrado.
Los datos experimentales obtenidos con cualquiera de los métodos de identificación
de procesos, se ajustan usualmente a modelos lineales de primer o segundo orden
con tiempo muerto. Se considera que el 80% de los procesos químicos en lazo
abierto pueden modelarse como sistemas de primer orden con tiempo muerto, es
396
decir, con tres parámetros como son la ganancia, la constante de tiempo y el tiempo
muerto y una función de transferencia como la mostrada en la ecuación 20.1.
Ke − t o s
G1 ( s ) =
τs + 1
(20.1)
El análisis de los procesos en lazo cerrado se realiza, usualmente, de tal manera que
al sintonizar su controlador se obtenga una respuesta en forma subamortiguada,
razón por la cual debe aproximarse su dinámica a un modelo de segundo orden con
tiempo muerte con una función de transferencia como la mostrada en la ecuación
20.2
Ke − to s
G1 ( s ) = 2 2
τ s + 2ζτs + 1
(20.2)
Lo anterior implica que sea necesario, adicionalmente, la determinación del factor
de amortiguamiento. En la literatura se encuentra una amplia documentación sobre
identificación de sistemas al igual que herramientas por computador para hacerlo en
una forma fácil y rápida, como el “System Identification Toolbox” de Matlab.
20.2 APROXIMACION DE MODELOS DE ORDEN SUPERIOR
La aproximación del ajuste de la dinámica de un sistema de orden superior a un
modelo de primer orden con tiempo muerto se puede observar en la Figura 20.1. Los
gráficos muestran la respuesta paso unitario de un sistema de dinámica lineal de
sexto orden con función de transferencia dada por la ecuación (20.3) y la respuesta
correspondiente a un modelo empírico de primer orden con tiempo muerto dado por
la función de transferencia (20.4).
G1 ( s ) =
10 . 3
(1 . 5 s + 1) 5 (15 . 2 s + 1)
10 . 3 e − 7 . 5 s
G1 ( s ) =
15 . 2 s + 1
(20.3)
(20.4)
397
Figura 20.1. Respuesta paso unitario de un sistema de sexto orden
20.3 IDENTIFICACION RESPUESTA PASO
Se conoce como la Identificación Respuesta Paso de un sistema, al procedimiento
experimental de introducir un cambio paso en una variable de entrada y registrar la
respuesta del sistema, es decir, de una de sus variables de salida con el propósito de
identificarlo con un modelo empírico. Para esto se consideran tres etapas que son: la
formulación del modelo, la estimación de los parámetros y la validación del modelo
La formulación del modelo consiste, por lo tanto, en el monitoreo de la respuesta del
sistema para seleccionar un posible modelo potencial. La estimación de los
parámetros consiste en la determinación de los parámetros desconocidos del modelo
con los cuales se alcance el mejor ajuste de este a los datos experimentales
registrados. La validación del modelo se realiza graficando la respuesta paso teórica
del modelo en consideración y evaluando su ajuste a los datos experimentales.
20.4 MODELOS DE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO
El modelo empírico de un sistema de orden mayor ajustado a una dinámica de
primer orden con tiempo muerto se puede determinar a partir de los datos
398
experimentales obtenidos con procedimientos de identificación como la respuesta
pasos y con base en las propiedades teóricas que pueden deducirse de la respuesta
dinámica que lo caracteriza. Con respecto a la estimación de parámetros se requiere
de la estimación de la ganancia estacionaria, la constante de tiempo y el tiempo
muerto.
Estimación de la Ganancia
Para un cambio paso ∆m en la variable de entrada, la respuesta de un sistema de
primer orden con tiempo muerto es dada por la ecuación 20.5

Y (t ) = K ∆ m u (t − t o ) 1 − e
− (t −to ) /τ




(20.5)
Siendo Y(t), la variable desviación de salida, cuyo valor es cero para un tiempo
menor o igual que to
La estimación de la ganancia correspondiente a un modelo empírico de primer orden
con tiempo muerto se evalúa la ecuación 20.5 para cuando el tiempo tiende a
infinito. De esto resulta que la ecuación 20.6 es la utilizada para la determinación de
la ganancia estacionaria
K =
Y∞
∆m
(20.6)
El valor último en la variable de salida, Y∞ , se lee en la aproximación gráfica y el
cambio en la variable de entrada, ∆m, se ha fijado previamente.
Estimacion de la Constante de tiempo y del Tiempo muerto
Una transformación de la ecuación 20.5 permite expresarla en la siguiente forma
 Y − Y (t )  to
t
 =
ln  ∞
−
Y∞
τ

 τ
(20.7)
399
Un análisis de la ecuación 20.7 permite deducir que un representación grafica, en
1
coordenadas semilogaritmicas, muestra una tendencia lineal de pendiente − que
τ
intercepta al eje de las ordenadas en un valor igual a
to
τ
; por lo tanto, con una
regresión lineal de los datos experimentales se pueden determinar dicha pendiente e
intercepto y con ellos los parámetros tiempo muerto y la constante de tiempo.
También es fácil observar que el ajuste lineal intercepta al eje de las abscisas en el
punto de valor igual al tiempo muerto, es decir, para t = t o
Ajuste de datos a un Modelo de Primer Orden con Tiempo Muerto
La Tabla 20.1 muestra los datos obtenidos, experimentalmente, de los valores que
se observan en la temperatura del plato 16 de una columna de destilación, después
de ser perturbada con un cambio paso en el flujo del reflujo que se alimenta debajo
del mismo plato. Los valores respectivos en condiciones estacionarias son 380ºF y
25000 lb/h, respectivamente. Las primeras tres columnas contienen los datos
tomados durante 14 horas de las variables de entrada y salida, respectivamente. La
cuarta columna contiene los valores del cambio en la variable de entrada y que
fácilmente se observa que es un cambio paso; la quinta columna contiene los valores
de la variable desviación de salida y la sexta columna contiene los valores del
cambio relativo de la variable desviación de salida, que es el termino cuyo logaritmo
constituye el miembro derecho de la ecuación 20.7
El perfil grafico de los datos obtenidos es mostrado en la Figura 20.2 y permite
decidir que el sistema se puede ajustar a un modelo de primer orden con tiempo
muerto. A partir de la Tabla 20.1 se determinan los datos requeridos para la
determinación de la ganancia. En la columna encabezada con el titulo Temperatura,
Y(t), se encuentra que el cambio ultimo en la variación desviación de salida es =
15 y en la columna encabezada con el titulo Cambio Paso Reflujo, X(t), se observa
. Por lo tanto, el valor de
que el cambio paso en la variable de entrada es
la ganancia es
Para la estimación del tiempo muerto y la constante de tiempo se aplica la ecuación
20.7 para ajustar los datos a una función lineal con la cual determinar su pendiente e
intercepto con el eje de las ordenadas y con esto la determinación de los valores de
400
los parámetros dinámicos. La Figura 20.3 muestra la variación de la respuesta del
sistema con el tiempo en la forma semilogaritmicas de acuerdo a la ecuación 20.7.
Tabla 20.1. Identificacion Respuesta Paso de una Columna de Destilacion
Tiempo,
h
t<0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
Reflujo, Temperatura, Cambio Paso Temperatura,
lb/h
ºF
Reflujo, X(t)
Y(t)
25000
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
27500
380.0
380.0
380.9
383.1
386.1
387.8
389.1
391.2
391.7
392.4
393.0
393.4
393.6
394.0
394.3
394.4
394.5
394.7
394.8
394.9
395.0
394.9
395.1
395.0
0
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
0.0
0.0
0.9
3.1
6.1
7.8
9.1
11.2
11.7
12.4
13.0
13.4
13.6
14.0
14.3
14.4
14.5
14.7
14.8
14.9
15.0
14.9
15.1
15.0
1.000
1.000
0.940
0.793
0.593
0.480
0.393
0.253
0.220
0.173
0.133
0.107
0.093
0.067
0.047
0.040
0.033
0.020
0.013
0.007
0.000
0.007
-0.007
0.000
Un aproximación de la tendencia lineal obtenida en la Figura 20.3, permite
determinar que esta se puede ajustar a la expresión
401
Figura 20.2 Respuesta Paso de una Columna de Destilacion
Figura 20.3 Representación Semilogaritmica de la Respuesta Paso de una Columna
de Destilación
A partir de la función lineal se deduce que:
402
Y, por lo tanto, los valores de la constante de tiempo y el tiempo muerto son:
horas
Y el sistema se puede modelar, empíricamente, como de primer orden con tiempo
muerto con función de transferencia dada por:
20.5 MATLAB: AJUSTE POLINOMICO DE DATOS
En la columna de destilación estudiada en la sección 20.4 la Figura 20.2 se
construye codificando con Matlab las matrices correspondientes a los valores del
tiempo (primera columna, Tabla 20.1) y la variable desviación de salida, es decir, la
Temperatura, Y(t), (quinta columna, Tabla 20.1) y, finalmente, utilizando el
comando plot. La Figura 20.3 es un grafico en función del tiempo, de tipo
semilogaritmico con respecto al eje de las ordenadas, de la variación relativa de la
variable desviación de salida (Temperatura). El comando utilizado en Matlab para
tal representación es
semilogy(t,Y)
Se debe tener en cuenta que con este comando, la escala logarítmica es en base 10 y
para el propósito de la ecuación 20.7, el logaritmo es de base neperiana (natural), es
decir, debe hacerse la conversión del dato leído sobre dicha grafica. De otra manera,
se pueden calcular, previamente, los logaritmos naturales de los valores a
representar en la ordenada y graficarlos en función del tiempo mediante el comando
plot.
403
El ajuste de dichos datos a una tendencia lineal se hace con el comando polyfit cuya
sintaxis es
polyfit(x,y,n)
Mediante el comando polyfit se ajusta un conjunto de datos “x” (variable
independiente), ”y” (variable dependiente) a una expresión poli nómica de grado
“n”. En el caso de la columna de destilación, los valores de la variable
independiente son los de tiempo y los de la variable dependiente son los logaritmos
naturales de las desviaciones relativas de la misma y como el ajuste es lineal, el
grado es uno
20.5 CASO DE ESTUDIO
Los resultados de una prueba paso desarrollada en un torre lavadora de SO2 son
mostrados en la Tabla 20.2. La variable de entrada es el flujo de agua alimentada a
la torre (en galones/minuto) y la variable de salida es la concentración de SO2 en la
corriente de salida (en partes por millón)
1. Formule un modelo sencillo que represente a los datos tabulados y estime los
parámetros del modelo propuesto
2. Obtenga la respuesta teorica del modelo formulado con respecto a la entrada
considerada
3. Grafique la respuesta obtenida en el punto 2 junto con la de los datos
tabulados y comente a cerca de la aproximación del modelo formulado con
respecto a los datos
404
Tabla 20.2. Identificacion Respuesta Paso de una Columna Lavadora
Tiempo
s
Flujo de agua
Gpm
Concentracion de SO2
ppm
t<0
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
110.0
120.0
130.0
140.0
150.0
160.0
170.0
180.0
190.0
200.0
220.0
240.0
500
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
400
25.00
25.00
25.00
25.01
25.00
25.06
25.15
25.30
25.39
25.45
25.53
25.60
25.63
25.67
25.74
25.78
25.82
25.85
25.88
25.89
25.90
25.89
25.90
25.90