6° Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES
Texto extraído del libro: MARTINEZ,M-GARELIK,C-RUIZ,M.E.-BERNARDI,C.-PERINI,A. Algunas nociones y
aplicaciones de CALCULO. Año 2008. EDUCO, Universidad Nacional del Comahue - Autores: Garelik C., Ruiz M.E. Pag. 89-92.
Ya conocemos la forma de localizar un punto en el plano de coordenadas, especificando sus
coordenadas rectangulares (x, y), es decir dando su abscisa x y su ordenada y.
y
.
(x,y)
x
En algunos problemas es más conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas polares. Las
coordenadas polares dan su posición relativa a un punto de referencia fijo O, llamado el polo y a un
rayo dado, llamado eje polar que parte de O.
P
r
O

eje polar
Si P es cualquier punto del plano, r la distancia de O a P,  (medido en radianes) el ángulo formado
por la recta OP y el eje polar. Entonces P está representado por el par ordenado (r,  ) que son las
coordenadas polares de P.
Por convención,  es positivo si se mide en dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj
y  es negativo si se mide a favor del movimiento de las agujas del reloj.
Si P = O, la distancia de O a P es cero, es decir r = 0 y el par ordenado (0 , ) es el polo para todo .
Los puntos (r,  ) y (- r,  ) están en la misma recta que pasa por O y a la misma distancia r de O
pero en semirrectas opuestas.
Si r  0 , entonces (r,  ) está en el mismo cuadrante que .
Si r  0 , entonces (r,  ) está en el cuadrante opuesto respecto del polo, es decir
mismo punto que (r,  + ).
(- r,  ) es el
 5 
Ejemplos: 1) 1,  
 4 
39
3   3

  7 
2)   3,     3,       3,  
4   4

  4 
Un punto del plano, si se representa en coordenadas cartesianas, su representación es única, en
cambio si se lo representa en coordenadas polares, posee muchas representaciones, por ejemplo: el
3
7
1
punto del ejemplo 2) se podría expresar en las formas   3,   o  3,   o  3,   como se muestra

4 

4 

4 
en la siguiente figura:
Veamos cómo se relacionan las coordenadas polares con las cartesianas.
y
El polo corresponde al origen del sistema. El eje
polar con el semieje positivo de las x positivas.
P
r
α
O
x
Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y)
y polares (r, α), entonces de acuerdo con la
figura
cos  
sen 
x
 x  r cos 
r
y
 y  r sen
r
 , r  0
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Podemos establecer las coordenadas polares desde las coordenadas cartesianas, usando las
ecuaciones:
r 2  x2  y2  r  x2  y2
tg 
y
y
   arctg
x
x
Se tiene entonces:
- Cartesianas a polares: r  x 2  y 2 ,   arctg
y
x
 x  r cos 
- Polares a cartesianas: 
 y  r sen
Ejemplos:
 
1) Expresar P   2,  en coordenadas cartesianas
 3

1
1
3
2

3
y  2sen ; y  2 
 3
3
2
x  2 cos
; x  2


Luego, P  1, 3 en coordenadas cartesianas.
2) Expresar P  1,1 en coordenadas polares
r  12  (1) 2  2
  arctg (1), entonces α  
π
7
o      pues  está en el IV cuadrante
4
4
 
7 


Luego P   2 ,
 o P   2 ,   en coordenadas polares.
4 
4 


Observación: debemos elegir α tal que (r, α) pertenezca al cuadrante correcto.
La gráfica de una ecuación polar r = f (α) o más general F (r, α) = 0 consta de todos los puntos P que
tienen al menos una representación polar (r, α) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
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