Existencia de ondas solitarias para un sistema de ecuaciones tipo

Existencia de ondas solitarias para un sistema de
ecuaciones tipo Boussinesq-Benney-Luke
Alex Manuel Montes P.
Universidad del Valle, Universidad del Cauca
Resumen
En este trabajo mostramos la existencia de ondas solitarias para el sistema de ecuaciones
dos dimensional

∆2 Φ + ∇ · (η∇Φ) = 0,
 I − µ2 ∆ ηt + ∆Φ − 2µ
3
(1)

I − µ2 ∆ Φt + η − µσ∆η + 2 |∇Φ|2 = 0,
que describe la evolución de ondas de agua de gran elongación y pequeña amplitud en presencia de tensión superficial. El sitema (1) es un sitema tipo Bousssinesq que en un limite
apropiado converge a la ecuación Benney-Luke y a la ecuación Kadomtsev-Petviashvili
(KP). En este trabajo también mostramos la deducción formal del modelo (1) del problema general de fluidos.
Introducción
Desde el siglo XIX, con las observaciones del ingeniero escocés John Scott Russel en un
canal de Edimburgo en 1834, se abordó el problema de describir la propagación de ondas
de agua. Scott Rusell observó en canales estrechos de agua la formación de ondulaciones
suaves que en su viaje no cambiaban su forma ni disminuian su velocidad, lo que se
conoce hoy con el nombre de ondas solitarias o solitones. En la actualidad existen diferentes modelos que describen el fenómeno de la evolución de ondas de agua en términos
de la velocidad potencial o la superficie de elevación, entre ellos se destacan los sistemas
Boussinesq, la ecuación Kadomtsev-Petviashivili (KP) y la ecuación Benney-Luke. Es
bien conocido que la familia de ecuaciones tipo KP son modelos universales para ondas
largas dispersivas, debilmente no lineales que son esencialmete unidireccionales, ası́ como
la ecuación Benney-Luke es un modelo dispersivo de ondas de agua de gran elongación y
pequeña amplitud descrito en términos de la velocidad potencial. Desde el punto de vista
fı́sico es importante destacar que el sistema (1) es un sistema tipo Boussinesq que incluye
tanto la velocidad potencial como la superficie de elevación y para el cual se puede ver
que en un lı́mite apropiado converge a la ecuación Benney-Luke y al modelo KP.
En la deducción del modelo consideramos Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ R2 , 0 < z < h0
y φ como la velocidad potencial de una partı́cula en un flujo tridimensional e irrotacional
de un fluido incomprensible no viscoso que ocupa el dominio Ω, entonces si ∇ y ∆ representan el gradiente y el laplaciano respectivamente en las variables x y y es conocido
que el estudio del problema de ondas de agua con gran elongación y pequeña amplitud,
1
2
incluyendo el efecto de la tensión superficial, es descrito por la ecuación de Laplace para
φ(x, y, z, t) y por las condiciones de interface no lineales y de frontera,

µ∆φ + φzz = 0 para 0 < z < 1 + η,




φz = 0 si z = 0,
(2)
ηt + ∇η · ∇φ − µ1 φz = 0 si z = 1 + η,



 φt + |∇φ|2 + φ2z + η − µσ∇· √ ∇η
= 0 si z = 1 + η.
2
2µ
2
2
1+ µ|∇η|
donde es el parámetro de amplitud, µ = (h0 /L)2 el parámetro de longitud de onda, σ el
coeficiente de tensión superficial denominado número de Bond y z = η(x, y, t) la superficie
libre. Si Φ(x, y, t) representa la velocidad potencial en el fondo,
Φ(x, y, t) = φ(x, y, z = 0, t),
entonces usando la expansión de Taylor para en el nivel z = 0 encontramos que
µz 2
µ2 z 4 2
∆Φ +
∆ Φ + O(µ3 ),
φ=Φ−
2
4!
de donde usando (2) podemos obtener formalmente el sistema (1).
Es importante establecer la existencia de soluciones para el sistema (1) para valores
arbitarios de los parámetros y µ. En este trabajo demostramos la existencia de soluciones
de onda solitaria (η, Φ) de la forma
(3)
η(x, y, t) = u(x − ct, y),
Φ(x, y, t) = v(x − ct, y);
para tal efecto usamos métodos variacionales y el método de concentración y compacidad.
Conclusiones y Resultados
En este trabajo mostramos que el sistema (1) es un modelo apropiado para estudiar la
evolución de ondas de agua de gran elongación y pequeña amplitud, y que posee soluciones
de onda solitaria. Especı́ficamente demostramos el siguiente teorema.
Teorema 1. Si , µ, σ > 0 y 0 < c2 < mı́n 1, 38 σ entonces el sistema (1) posee soluciones
suaves de la forma (3).
Referencias
[1] D. J. Benney and J. C. Luke. Interactions of permanent waves of finite amplitude, J. Math. Phys.,
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[3] J. L. Bona, M. Chen and J. C. Saut. Boussinesq equations and otyher systems for small-amplitude
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[5] J. R. Quintero and R. L. Pego. Two–dimensional solitary waves for a Benney-Luke equation, Phisica
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3
[6] J. R. Quintero. Solitons and periodic travelling waves for the 2D- generalized Benney-Luke equation,
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[8] M. Struwe. Variational Methods. Second Edition. Springer, 1996.