IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

IES La Serna
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción A
Ejercicio 1. (3 puntos)
Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas
de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita15 horas de albañilería, 4
de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6de fontanería y
5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes en albañilería, 68 de
fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?
Solución:
Variables: x = número de casas tipo A
y = número de casas tipo B
z = número de casas tipo C
Cada tipo de trabajo permite plantear una ecuación:
Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de loa coeficientes, si
compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer.
La solución única es:
10 casas tipo A,
6 casas tipo B, y
4 casas tipo C.
Geométricamente, intersecamos los planos
dados por dichas ecuaciones.
, sistema
___________________________________________________________________________
Ejercicio 2. (3 puntos)
Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm 3. La base y las paredes
del acuario han de estar realizadas en cristal. ¿Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la
superficie total del cristal empleado?
Solución:
Se pide optimizar el área lateral del prisma de base cuadrada sin tapa de manera que sea mínima.
Prisma de base cuadrada
Área lateral del prisma de base cuadrada sin tapa
y
y
x
x
x
V=x2y
x
A=x2+4xy
El volumen del prisma permite relacionar las variables x e y, y obtener el área en función de una sola
variable.
El mínimo se calcula derivando e igualando a cero.
Como:
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Ejercicio 3. (2 puntos)
Se consideran dos actividades de ocio: A= ver televisión y B= visitar centros comerciales. En una
ciudad, la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0,46; la probabilidad de que practique
B es igual a 0,33 y la probabilidad de que practique A y B es igual a 0,15.
a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que no practique
ninguna de las dos actividades anteriores?
b) Se elige al azar un individuo de entre los que practiquen alguna de las dos actividades. ¿Cuál es
la probabilidad de que practique las dos actividades?
Solución:
Datos:
a) Según las leyes de Morgan y la probabilidad del suceso contrario:
b) Según el teorema de Bayes:
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Ejercicio 4. (2 puntos)
Se supone que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos de una cierta clase es una
variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,5 puntos. Se elige una muestra
aleatoria simple de tamaño 10 y se obtiene una suma de sus calificaciones igual a 59,5 puntos.
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la clase.
b)¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 puntos,
con el nivel de confianza del 95%?
Solución:
a) Intervalo de confianza: Si x ≡ calificación matemáticas con x : N(µ ; 1,5)
Generamos la variable media muestral
con muestra de tamaño 10;
zα
:N
y el intervalo de probabilidad será
calcula a partir del nivel de confianza:
Como α = 0,05 ⇒ 1 – α = 0,95 se tiene que P(– z α / 2 ≤ z ≤ z α
P(– z α / 2 ≤ z ≤ z α / 2 ) = P(z ≤ z α / 2 ) – (1 – P(z ≤ z α / 2 )) = 0,95
0,95 + 1
P(z ≤ z α / 2 ) =
= 0,975 ⇒ z α / 2 = 1,96
2
La media muestral es
/2
) = 0,95

1,5
1,5 
, 5,95 + 1,96 ⋅
 = (5,02; 6,88)
El intervalo es:  5,95 − 1,96 ⋅
10
10 

Se tiene que µ ∈(5,02; 6,88) con una probabilidad del 99%
b) El tamaño muestral se calcula a partir del error máximo admitido
2
n
Luego n
34 alumnos.
1,5 

 1,95 ⋅
 =34,57
0,5 

/2
se