Funciones reales. Continuidad.

Tema 2
Funciones reales. Continuidad.
1. Determine el mayor subconjunto de R que puede ser dominio de las funciones de¯nidas a continuaci¶on:
p
p
(a) f (x) = x ¡ 2 + 5 ¡ x. (Sol: [2; 5].)
p
(b) f (x) = x2 ¡ 1. (Sol: (¡1; ¡1] [ [1; +1).)
p
p
(c) f (x) = x ¡ 1 ¢ x + 1. (Sol: [1; +1).)
q
5x ¡ x2
2
debe ser ¸ 1. (Sol: [1; 4].)
(d) f (x) = ln 5x¡x
.
(Sugerencia:
Para
que
ln
sea
¸
0,
4
4
x
(e) f (x) = px2 ¡x¡2
. (Sol: (¡1; ¡1) [ (2; +1).)
[
(f) f (x) = ln sen x. (Sugerencia: El seno debe ser > 0.)(Sol:
(2k¼; (2k + 1)¼).)
k2Z
(g) f (x) = p
1
. (Sol: (¡1; 0).)
jxj¡x
p
2. Dadas las funciones ' y à de¯nidas por '(x) = x + 1, Ã(x) = x, calcule los dominios de à ± ',
' ± à y à ± Ã, as¶³ como los valores de Ã(Ã(2)), '(Ã(2)), '('(2)) y Ã('(2)).
(Sol: domñ' = [¡1; +1), dom'±Ã = [0; +1), domñà = [0; +1), Ã(Ã(2)) =
p
Ã('(2)) = 3.)
p
p
4
2, '(Ã(2)) = 2+1, '('(2)) = 4,
3. Halle las funciones inversas de f y g siendo:
² f (x) =
1¡x
1+x ,
² g(x) =
x
1+jxj ,
x 2 (¡1; 1). (Sol: rango de f = dom f ¡1 = (0; +1). f ¡1 (x) =
x 2 R. (Sol: rango de g = dom g¡1 = (¡1; 1). g¡1 (x) =
1¡x
.)
1+x
x
.)
1 ¡ jxj
(compruebe previamente la inyectividad de f y g y halle los dominios de f ¡1 y de g ¡1 .)
p
4. La f¶ormula y = 3 1 + senx de¯ne una funci¶on f : R ¡! R. Determine el mayor intervalo que
contenga al punto 0 en el que f admita una inversa local y halle esa inversa local. >Puede invertirse
3¼
f localmente en las proximidades del punto
?.
2
³ ¼ ¼´
³
´
³ 3¼
´
3¼
3¼
(Sol:
¡ ;
. En
no lo es ya que si " > 0, sen
2 2
2
2
¡"
= sen
2
+"
5. Calcule los siguientes l¶³mites:
2x ¡ 2
(a) lim p
. (Sol: 54.)
x!1 3 26 + x ¡ 3
p
1+ 3x
5
p . (Sol: .)
(b) lim
3
x!¡1 1 + 5 x
senx
1
(c) lim
. (Sugerencia: Escr¶³balo como sen x.). (Sol: 0.)
x!+1
x
x
p
5¡x¡2
1
(d) lim p
. (Sol: .)
2
x!1
2¡x¡1
µ
¶
3
1
(e) lim
¡
. (Sol: 1.)
x!¡1 x3 + 1
x+1
4
y la funci¶
on no es inyectiva.)
(f)
lim
µ
(g) lim
x!+1
x!0
µ
2x2 + 3
2x2 + 5
¶8x2 +3
. (Sol:
1
.)
e8
¶
1
1
1
¡
. (Sol: .)
3
sen2 x x2
1
(h) lim (1 + x2 ) x . (Sol: 1.)
x!0
(i)
lim
x!+1
µ
x2 + 3x + 2
x2 + 1
¶x+ x1
. (Sol: e3 .)
ex + e¡x
. (Sol: 1.)
x!+1 ex ¡ e¡x
p
(k) lim ( x2 + 2x + 2 ¡ x). (Sol: 1.)
x!+1
p
p
1 + tgx ¡ 1 ¡ tgx
(l) lim
. (Sol: 1.)
x!0
x
(j)
lim
6. Determine ® 2 R para que sea ¯nito el l¶³mite: lim
x!2
µ
¶
1
®
1
+
. (Sol: ® = ¡4, l¶³mite .)
4
x2 ¡ 4 x ¡ 2
7. Calcule los l¶³mites laterales:
ln(1 + jxj)
1
. (Sol: .)
2
2x
cos
x
x!0
ln(1 + jxj)
1
² lim¡
. (Sol: ¡ .)
2
2x cos x
x!0
² lim+
8. Clasi¯que las discontinuidades de la funci¶on f dada por:
1
(a) f (x) = e x . (Sol: x = 0, 1a especie, salto in¯nito.)
¡1
(b) f (x) = e x2 . (Sol: x = 0, evitable.)
¡
¢
(c) f (x) = log 2 + sen x1 . (Sol: x = 0, 2a especie.)
(d) f (x) =
(e) f (x) =
1
1
1+2 x
. (Sol: x = 0, 1a especie, salto 1.)
1
a
a
x . (Sol: x = 0, 1 especie, salto in¯nito. x = 1, 1 especie, salto 1.)
1 ¡ e 1¡x
(f) f (x) = 2¡2
1
1¡x
. (Sol: x = 1, 1a especie, salto 1.)
9. Discuta si las siguientes funciones satisfacen las hip¶otesis y la conclusi¶on del teorema de Weierstrass:
(a) f (x) =
(b) f (x) =
1
1+x2 ,
½
x 2 R. (Sol: Hip¶otesis no (intervalo no acotado). Existe m¶aximo absoluto, pero no m¶³nimo.)
x
1¡x
si ¡2 · x < 0
. (Sol: Hip¶otesis no ( funci¶on no continua). Conclusiones si.)
si 0 · x · 1
10. Demuestre que si f es continua y f ([0; 1]) ½ [0; 1], la ecuaci¶on f (x) = x tiene, al menos, una soluci¶on
real. (Sugerencia: Considere g(x) = f (x) ¡ x y aplique Bolzano.)
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