1. Funciones de clase C1 Teorema (Condiciones Suficientes de

1. Funciones de clase C 1
Consideremos U un abierto de Rn , y F : U −→ Rm . Si para cada x ∈ U existe
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Cp
definir una función
dF
: U −→ Rm
dxi
dF
(x), podemos
dxi
dF
df1
dfm
(x) = (
(x), . . . ,
(x))
dxi
dxi
dxi
y tiene sentido estudiar si esta función es continua, tiene derivadas parciales, es diferenciable, etc.
La importancia de este tipo de estudio es evidente en los distintos teoremas que vamos a
demostrar en este capı́tulo. En primer Lugar,
Teorema (Condiciones Suficientes de Diferenciabilidad).
Sea U abierto en Rn, F : U −→Rm, y x ∈ U .Si existen todas las
dF
df1
dfm
derivadas parciales de F ,
, i = 1, . . . , n, en
=
,...,
dxi
dxi
dxi
dF
todos los puntos de U , y las funciones
: U −→ Rm son continuas
dxi
en x, entonces F es diferenciable en x.
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Para que F sea diferenciable en x basta que cada una de las componentes fj de F lo sea. Ası́
que bastará demostrar que el teorema es cierto para funciones con valores reales, f : U −→ R,
y aplicarlo luego a cada una de las componentes de F .
Ası́ pues, supongamos que f es una función de U en R, tal que existen todas las derivadas
df
, 1 ≤ i ≤ n, en todos los puntos de U , y que las funciones definidas por esas
parciales
dxi
derivadas parciales son continuas en un punto x de U .
Tenemos que demostrar que
f (x + ~h) − f (x) − df (x)(~h)
=0
k~hk
cuando ~h tiende a cero.
En esa expresión,
df (x)(~h) =< ∇f (x), ~h >=
JJ
II
J
I
n
X
df
(x)hi
dxi
i=1
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
U
x + h = x + hn
h
x + h0 = x
x + h1
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
x + h2
Por otro lado, dado un vector
~h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn , definimos
los vectores
→0
−
h = (0, . . . , 0)
→1
−
h = (h1 , 0 . . . , 0)
→2
−
h = (h1 , h2 , 0, . . . , 0)
..
.
−
→
hn = (h1 , h2 , . . . , hn ) = h
y consideramos la poligonal de
→
−
vértices x + hi , 0 ≤ i ≤ n.
Si k~hk es suficientemente
pequeña, todos los segmentos
−−→
→
−
[x + hi−1 , x + hi ] estarán
contenidos en U .
Si calculamos la diferencia f (x + ~h) − f (x) sumando y restando los valores de f en todos los
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
vértices de esa poligonal, y ordenamos adecuadamente el resultado, podemos poner
→
−
−
→
f (x + ~h) − f (x) = f (x + hn ) − f (x + h0 ) =
−−→
−−→
→
−
→
−
−
→
= f (x + hn ) − f (x + hn−1 ) + f (x + hn−1 ) − · · · + f (x + h1 ) − f (x + h0 ) =
n X
→i
−
−−
→
i−1
=
f (x + h ) − f (x + h )
i=1
Funciones de clase C p
→
−
−−→
Consideramos ahora uno cualquiera de esos sumandos, f (x + hi ) − f (x + hi−1 ); si escribimos
→
−
−−→
las coordenadas de los vectores x + hi y x + hi−1 , tenemos
→
−
f (x + hi ) = f (x1 + h1 , . . . , xi−1 + hi−1 , xi + hi , xi+1 , . . . , xn )
−−→
f (x + hi−1 ) = f (x1 + h1 , . . . , xi−1 + hi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn )
Teorema de Taylor
Los dos puntos sólo se diferencian en la coordenada i-ésima. Podemos definir la función
Funciones de clase C 1
g(t) = f (x1 + h1 , . . . , xi−1 + hi−1 , t, xi+1 , . . . , xn )
JJ
II
J
I
−−→
→
−
para t ∈ [xi , xi + hi ] (g(t) es la función f definida sólo en el segmento [x + hi−1 , x + hi ]) de
modo que
→
−
−−→
f (x + hi ) − f (x + hi−1 ) = g(xi + hi ) − g(xi )
La función g(t) es una función real de una sola variable real, continua y derivable (por las
hipótesis sobre la existencia de todas las derivadas parciales de f en todos los puntos de U ).
Además,
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
g 0 (t) =
df
(x1 + h1 , . . . , xi−1 + hi−1 , t, xi+1 , . . . , xn )
dxi
Por tanto podemos aplicar a g el Teorema del Valor Medio en el intervalo [xi , xi + hi ], de
modo que
g(xi + hi ) − g(xi ) = g 0 (ti )(xi + hi − xi ) =
df
(x1 + h1 , . . . , xi−1 + hi−1 , ti , xi+1 , . . . , xn )hi
=
dxi
para algún punto ti del intervalo [xi , xi + hi ]
−−→
→
−
Si llamamos por comodidad yi = (x1 +h1 , . . . , xi−1 +hi−1 , ti , xi+1 , . . . , xn ) ∈ [x+hi−1 , x+ hi ],
nos queda
→
−
−−→
df
f (x + hi ) − f (x + hi−1 ) =
(yi )hi
dxi
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Volviendo al principio de la demostración, tenemos
f (x + ~h) − f (x) − df (x)(~h)
=
k~hk
→
−i
−−
→ Pn
Pn i−1
f
(x
+
h
)
−
f
(x
+
h
) − i=1
i=1
=
k~hk
Pn df
Pn df
i=1 dxi (yi )hi −
i=1 dxi (x)hi
=
=
k~hk
df
df
n
X dxi (yi ) − dxi (x) hi
=
k~hk
i=1
df
(xi )hi
dxi
=
Tomando módulos, y aplicando la desigualdad triangular en el sumatorio
f (x + ~h) − f (x) − df (x)(~h) =
~
khk
n
n X df
X
|hi |
df
df
df
≤
dxi (yi ) − dxi (x)
dxi (yi ) − dxi (x) ~ ≤
khk
i=1
i=1
ya que cada
|hi |
≤1
k~hk
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Si hacemos por fin que ~h tienda a cero, todos los puntos yi que están en los segmentos
−−→
→
−
[x + hi−1 , x + hi ] tienen que tender forzosamente a x. Y como por hipótesis las derivadas
parciales de f son continuas en x, cada uno de los sumandos de la expresión anterior
df
df
dxi (yi ) − dxi (x)
tiende a cero.
Luego efectivamente f es diferenciable en x, como querı́amos demostrar.
J(Volver al enunciado)
N
Observaciones:
El teorema da sólo una condición suficiente para que F sea diferenciable en x, pero no es necesaria:
hay funciones diferenciables cuyas derivadas parciales no son funciones continuas, igual que en
una variable hay funciones derivables cuya derivada no es continua.
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Ejemplo 1. Sea
2
x sen(1/x)
f (x) =
0
si
si
x 6= 0
x=0
Comprobar que f es derivable en todo R, pero su derivada no es continua en x = 0
En efecto, si x 6= 0,
f 0 (x) = 2x sen(1/x) + x2 cos(1/x)(−1/x2 ) = 2x sen(1/x) − cos(1/x)
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
y
f (t) − f (0)
t2 sen(1/t)
= lim
= lim t sen(1/t) = 0
t→0
t→0
t→0
t
t
f 0 (0) = lim
f es derivable en todo punto de R, pero la función f 0 (x) no es continua en x = 0, ya que
x sen(1/x) tiende a cero, pero cos(1/x) no tiene lı́mite (oscila de −1 a 1) cuando x tiende a
cero.
El teorema anterior da lugar a la siguiente definición:
Definición (Funciones de Clase C 1 ).
Sea U un abierto en Rn , y F : U −→ Rm . Se dice que F es de clase C 1 en U , y se escribe F ∈
dF
C 1 (U ), si existen todas las derivadas parciales
(x) para todo x ∈ U , para todo i = 1, . . . , n,
dxi
dF
y las funciones
: U −→ Rm son continuas en U
dxi
Si escribimos las componentes de F , F = (f1 , . . . , fm ), F es de clase C 1 en U si existen
todas las derivadas parciales de todas las componentes de F en todos los puntos de U , y las
funciones
dfj
: U −→ R
dxi
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase
C1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
son continuas en x para todo x ∈ U , para todo i = 1, . . . , n y para todo j = 1, . . . , m
Según el teorema, las funciones de clase C 1 en U son diferenciables en todos los puntos de
U . Se suele llamar D(U ) al conjunto de todas las funciones diferenciables en U en Rm , y C(U )
al conjunto de las funciones continuas de U en Rm , y se tiene
C 1 (U ) ⊂ D(U ) ⊂ C(U )
donde los contenido son estrictos (hay funciones continuas que no son diferenciables, y funciones
diferenciables que no de clase C 1 )
2. Funciones de clase C p
Por otro lado, si
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
dF
tiene derivadas parciales, serı́an
dxi
d dF
(
)(x) = lim
t→0
dxj dxi
dF
(x
dxi
+ tej ) −
dF
(x)
dxi
t
Si i 6= j se escribe
d2 F
(x)
dxj dxi
d2 F
(x).
dx2i
Estas derivadas se llaman derivadas segundas de F en x, y verifican
y si j = i, se escribe
d2 F
(x) =
dxi dxj
d2 f1
d2 f2
d2 fm
(x),
(x), . . . ,
(x)
dxi dxj
dxi dxj
dxi dxj
Si estas derivadas segundas existen para todo x ∈ U , se pueden considerar las funciones
correspondientes en U , y volver a estudiar si son continuas, tienen derivadas parciales, etc.
Ejemplo 2. Sea f (x, y) = x2 y 3 . Calcular las derivadas primeras y segundas de f en cada punto
de R2
En cualquier punto (x, y) se tiene
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
df
(x, y) = 2xy 3
dx
df
(x, y) = 3x2 y 2
dy
d2 f
(x, y) = 2y 3
dx2
d2 f
d2 f
d2 f
(x, y) = 6x2 y
(x, y) = 6xy 2
(x, y) = 6xy 2
dydx
dxdy
dy 2
(
xy(x2 −y 2 )
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 +y 2
Ejemplo 3. Sea f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
Calcular las derivadas segundas de f en (0, 0).
En primer lugar si (x, y) 6= (0, 0), podemos calcular as derivadas parciales
df
(y(x2 − y 2 ) + xy2x)(x2 + y 2 ) − xy(x2 − y 2 )2x
(x, y) =
dx
(x2 + y 2 )2
y(x4 + 4x2 y 2 − y 4 )
=
(x2 + y 2 )2
df
(x(x2 − y 2 ) − xy2y)(x2 + y 2 ) − xy(x2 − y 2 )2y
(x, y) =
dy
(x2 + y 2 )2
x(x4 − 4x2 y 2 − y 4 )
=
(x2 + y 2 )2
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
En (0, 0)
df
f (t, 0) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lim
= lim
=0
t→0
t→0
dx
t
t
y
df
f (0, t) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lim
= lim
=0
t→0
t→0
dy
t
t
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Ahora calculamos las derivadas segundas en (0, 0)
d2 f
(0, 0) = lim
t→0
dx2
df
(t, 0)
dx
−
t
df
(0, 0)
dx
d2 f
(0, 0) = lim
t→0
dy 2
df
(0, t)
dx
−
t
df
(0, 0)
dx
d2 f
(0, 0) = lim
t→0
dydx
df
(0, t)
dx
−
t
0−0
=0
t→0
t
= lim
0−0
=0
t→0
t
= lim
df
(0, 0)
dx
= lim
t→0
−t5
t4
−0
= −1
t
y
d2 f
(0, 0) = lim
t→0
dxdy
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
df
(t, 0)
dy
−
t
df
(0, 0)
dx
= lim
t→0
t5
t4
−0
=1
t
N
d2 f
d2 f
(0, 0) y
(0, 0)
dxdy
dydx
son distintas, no es habitual, sino que lo más frecuente es que sean iguales, como consecuencia
del siguiente teorema
La situación que aparece en este ejemplo, en el que las dos derivadas
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Cp
Teorema (Igualdad de las derivadas cruzadas).
Sea U abierto en Rn, y F : U −→ Rm una función de clase C 1
en U . Supongamos que para todo x ∈ U existen las dos derivadas
d2F
d2F
d2F
(x) y
(x), y que las funciones
: U −→ Rm y
dxidxj
dxj dxi
dxidxj
2
dF
d2F
d2F
m
: U −→ R son continuas. Entonces
(x) =
(x)
dxj dxi
dxidxj
dxj dxi
para todo x ∈ U
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
En primer lugar, vamos a simplificar un poco las condiciones del enunciado: si escribimos las
componentes de F , F = (f1 , . . . , fm ), entonces
2
d2 F
d f1
d2 fm
(x) =
(x), . . . ,
(x)
dxi dxj
dxi dxj
dxi dxj
y será suficiente demostrar de las derivadas segundas de cada componente son iguales. Ası́ que
bastará demostrar el teorema para funciones con valores en R, y aplicarlo a cada componente de
F por separado.
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Además, para calcular derivadas de f respecto de las variables xi y xj , en un punto fijo
x0 = (x01 , . . . , x0n ) de U , podemos sustituir primero todas las variables distintas de xi y xj por el
valor de las coordenadas correspondientes del punto x0 , y luego calcular las derivadas respecto
de esas dos variables y sustituir.
Es decir, si llamamos
g(xi , xj ) = f (x01 , . . . .x0i−1 , xi , x0i+1 , . . . , x0j−1 , xj , x0j+1 , . . . , x0n )
(g es la función f sobre el plano que pasa por x0 y es paralelo a los ejes xi y xj ) entonces
d2 f
d2 g
(x0 ) =
(x0i , x0j )
dxi dxj
dxi dxj
x03
Funciones de clase
C1
x0 = (x01 , x02 , x03 )
Funciones de clase C p
g(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 , x03 )
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
x02
x01
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
En consecuencia, será suficiente demostrar el teorema para funciones de dos variables, y
aplicarlo a la función g.
Ası́ pues, suponemos que U es un conjunto abierto de R2 y f : U −→ R es una función tal
d2 f
d2 f
que existen
(x, y) y
(x, y) en todos los puntos de U , y que estas derivadas segundas
dxdy
dydx
son funciones continuas en U .
(x0 , y0 + j)
(x0 , y0 )
(x0 + h, y0 + j)
(x0 + h, y0 )
Teorema de Taylor
Sea (x0 , y0 ) un punto fijo en U , y
sean h y j dos números reales
distintos de cero. Si |h| y |j| son
suficientemente pequeños,
podemos asegurar que el
rectángulo de vértices (x0 , y0 ),
(x0 + h, y0 ), (x0 , y0 + j) y
(x0 + h, y0 + j) está contenido en
U.
Definimos el cociente
JJ
II
J
I
(I) =
f (x0 + h, y0 + j) − f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 + j) + f (x0 , y0 )
hj
La demostración del teorema va a consistir en calcular el lı́mite de este cociente cuando h y j
tienden a cero. Según cómo hagamos el lı́mite, saldrá una de las derivadas segundas, o la otra.
Como el lı́mite tiene que ser único, las dos derivadas tienen que ser iguales.
Primer Paso:
Definimos la función
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
φ(x) = f (x, y0 + j) − f (x, y0 )
en el intervalo [x0 , x0 + h], de modo que
(I) =
φ(x0 + h) − φ(x0 )
hj
Esta función φ es continua y derivable por las hipótesis sobre f , puesto que para existir la
d2 f
, tiene que existir la derivada primera de
derivada segunda de f en todos los puntos de U ,
dydx
f respecto de x en todos los puntos de U . Además
φ0 (x) =
JJ
II
J
I
(II)
df
df
(x, y0 + j) − (x, y0 )
dx
dx
Entonces podemos aplicar el Teorema del Valor Medio a φ, y tendremos
df
df
0
φ(x0 + h) − φ(x0 ) = φ (µ)h =
(µ, y0 + j) − (µ, y0 ) · h
dx
dx
para algún µ ∈ [x0 , x0 + h].
Sustituyendo en (II), tenemos
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase
C1
(I) =
df
(µ, y0
dx
+ j) −
hj
df
(µ, y0 )
dx
·h
=
df
(µ, y0
dx
df
df
d2 f
(µ, y0 + j) − (µ, y0 ) =
(µ, ν) · j
dx
dx
dydx
para algún ν ∈ [y0 , y0 + j], y sustituyendo en (III)
(I) =
JJ
II
J
I
df
(µ, y0 )
dx
(III)
df
(µ, y) como función de y en el intervalo [y0 , y0 + j].
Consideramos ahora en el numerador
dx
Otra vez las hipótesis sobre f aseguran que ésta es una función continua y derivable, y su derivada
d2 f
es
(µ, y). Aplicando el Teorema del Valor Medio
dydx
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
+ j) −
j
d2 f
(µ, ν)
dydx
y0 + j
ν
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
y0
x0
µ
xo + h
Por último, si ahora h y j tienden a cero, necesariamente el punto (µ, ν) tiende a (x0 , y0 ), y
como por hipótesis las derivadas segundas de f son continuas, se tiene
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
lim
(I) =
(h,j)→(0,0)
d2 f
d2 f
(µ, ν) =
(x0 , y0 )
(h,j)→(0,0) dydx
dydx
lim
Segundo paso:
Repetimos ahora el mismo esquema de demostración, pero partiendo de la función
JJ
II
ψ(y) = f (x0 + h, y) − f (x0 , y)
J
I
definida en [y0 , y0 + j], de modo que ahora
(I) =
ψ(y0 + j) − ψ(y0 )
hj
(IV )
Como antes, ψ(y) es continua y derivable, y
ψ 0 (y) =
df
df
(x0 + h, y) − (x0 , y)
dy
dy
Aplicando el Teorema del Valor Medio a ψ(y),
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
ψ 0 (α) · j
(I) =
=
hj
df
(x0
dy
+ h, α) −
h
Y también considerando
df
(x0 , α)
dy
= (V )
df
(x, α) como función de x en [x0 , x0 +h], es derivable, y su derivada
dy
d2 f
(x, α). Aplicando otra vez el Teorema del Valor Medio a esta función y sustituyendo en
dxdy
(V ), tenemos
es
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
(I) =
d2 f
(β, α)
dxdy
h
·h
=
d2 f
(β, α)
dxdy
para algún β ∈ [x0 , x0 + h]
Por último, si h y j tienden a cero, el punto (β, α) tiende a (x0 , y0 ), y por la continuidad de
las derivadas parciales de f
lim
(h,j)→(0,0)
(I) =
d2 f
d2 f
(β, α) =
(x0 , y0 )
(h,j)→(0,0) dxdy
dxdy
lim
Como hemos dicho, el lı́mite tiene que ser único, luego las dos derivadas segundas tienen que
ser iguales, y esto termina la demostración.
N
J(Volver al enunciado)
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Esta propiedad da lugar a las siguientes definiciones:
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Definición (Funciones de clase C p y C ∞ ).
Sea U un conjunto abierto de Rn , y F : U −→ Rm . Se dice que F es de clase C p en U , y se
escribe F ∈ C p (U ), si existen todas las derivadas parciales hasta el orden p de F en todos los
dk F
dp F
puntos de U ,
(x), y las funciones
: U −→ Rm son continuas en U .
dxi1 . . . dxik
dxi1 . . . dxip
Se dice que F es de clase C ∞ en U , y se escribe F ∈ C ∞ (U ), si es de clase C p para todo
p ∈ N.
Observaciones:
1. La clase de una función depende de la función, y del conjunto donde está definida.
2. Sea F : U −→ Rm , F = (f1 , . . . , fm ). Si existen derivadas de orden p de F , serán
dp F
dp f1
dp fm
(x) =
(x), . . .
(x)
dxi1 . . . dxip
dxi1 . . . dxip
dxi1 . . . dxip
Es decir, F es de clase C p en U si y sólo si cada una de las funciones componentes
fj : U −→ R lo es.
3. C p (U ) ⊂ C p−1 (U ) ⊂ · · · ⊂ C 1 (U ) ⊂ D(U ) ⊂ C(U ) y los contenidos son estrictos.
4. Si F ∈ C p (U ), para cada k entre 1 y p las derivadas de orden k son de clase C p−k
5. Además, al calcular una derivada parcial de orden k ≥ 2, no importa el orden de derivación.
Por ejemplo
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
d3 f
d3 f
=
dxdydz
dzdydx
puesto que
2 d3 f
d
df
=
=
dxdydz
dx dydz
d2
df
=
=
dxdz dy
2 d
df
=
=
dz dxdy
2 d
df
=
dx dzdy
d2
df
=
dzdx dy
2 d
df
d3 f
=
dz dydx
dzdydx
6. El sı́mbolo general para una derivada de orden k ≥ 2 puede ser
dk F
(x)
dxi1 . . . dxik
indicando todas las derivadas parciales que intervienen en el cálculo, o
dk F
dxa11 . . . dxann
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
con a1 + · · · + an = k, aj ≥ 0, indicando el número de veces que interviene la derivada
respecto de cada una de las variables.
Definición (Matriz Hessiana).
Sea U un abierto de Rn , y f : U −→ R se llama matriz Hessiana de f en un punto x ∈ U a la
matriz

 2
d2 f
d2 f
d f
(x)
(x)
.
.
.
(x)
2
dx2 dx1
dxn dx1

 dx1.
.
..
.


..
..
..
H(f )(x) = 
.

d2 f
d2 f
d2 f
(x)
...
(x)
dx1 dxn
dx2 dxn
dx2
n
Si f es de clase C 2 , la matriz Hessiana es una matriz simétrica.
JJ
II
J
I
Ejemplo 4. Funciones potenciales de funciones de clase C 1
Dada una función F : U −→ Rn definida en un abierto U de Rn , se plantea en ocasiones el
problema de saber si F puede ser el gradiente de una función f : U −→ R. Cuando existe, esa
función f se denomina función potencial de F .
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
En ese caso, F = (f1 , . . . , fn ), y cada componente de F serı́a la derivada parcial i-ésima de
la función potencial f
fi (x) =
df
(x)
dxi
Si la función F es además de clase C 1 , sus derivadas parciales son continuas, y tenemos
dfi
d
df
d2 f
(x) =
(x) =
(x)
dxj
dxj dxi
dxj dxi
Aplicando el teorema anterior, como las derivadas segundas de f son continuas, deberı́an ser
iguales.
dfi
d2 f
d2 f
dfj
(x) =
(x) =
(x) =
(x)
dxj
dxj dxi
dxi dxj
dxi
En resumen, para que una función F : U −→ Rn de clase C 1 tenga una función potencial enN
U
es condición necesaria que sus derivadas cruzadas sean iguales.
Este es un problema que aparece con frecuencia en distintos modelos de la fı́sica, como en el
estudio de la energı́a y las leyes de conservación de la energı́a: el nombre de energı́a potencial
está relacionado con esta propiedad.
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Ejemplo 5. Estudiar si puede existir alguna función f : R2 −→ R tal que
df
(x, y) = 4x2 y 2 − 3y 4
dx
II
J
I
df
(x, y) = 2x4 y − 12xy 3
dy
Si llamamos F = (f1 , f2 ), donde f1 (x, y) = 4x2 y 2 − 3y 4 y f2 (x, y) = 2x4 y − 12xy 3 , el
problema pregunta si existe alguna función potencial de F . Como las componentes de F son
funciones de clase C 1 en R2 (las derivadas parciales de f1 y f2 son polinomios, ası́ que son
df2
df1
(x, y) =
(x, y), pero
continuas), para que pueda existir una función potencial deberı́a ser
dy
dx
Teorema de Taylor
JJ
y
df1
(x, y) = 8x2 y + 12y 3
dy
y
df2
(x, y) = 8x3 y − 12y 3
dx
Son distintas, ası́ que la respuesta al problema es no.
N
3. Teorema de Taylor
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
La clase de derivación de una función juega un papel fundamental en los problemas de aproximación de funciones, en los que se trata de encontrar métodos para obtener de forma aproximada
el valor de una función en un punto, y para controlar los márgenes de error en esa aproximación.
Uno de estos métodos de aproximación consiste en construir el Polinomio de Taylor. El Teorema
de Taylor permite construir para una función de clase C p el polinomio de grado p − 1 que mejor
aproxima a la función, en un entorno de un punto dado.
Antes de demostrar el teorema, veamos un par de observaciones sobre la fórmula de un
polinomio de n variables.
Un polinomio de grado m de n variables es una función del tipo
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
pm (x1 , . . . , xn ) = a0 + [a1 x1 + · · · + an xn ] +
+ [a11 x21 + a12 x1 x2 + · · · + ann x2n ] + . . .
+ [a1...1 xm
1 + · · · + a12..m x1 ...xm + . . . ]
es decir, sumas de monomios formados por productos de constantes y como mucho m variables,
escogidas entre x1 , . . . , xn , repetidas o no.
Pueden escribirse dos fórmulas compactas que describen la forma de cualquier polinomio de
grado m
pm (x1 , . . . , xn ) = a0 + [
n
X
ai1 xi1 ] + [
i1 =1
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
m
X
II
J
I
n
X

ai1 ,...,ij xi1 . . . xij 
i1 ,...,ij =1
C1
Funciones de clase C p
JJ


j=1
Teorema de Taylor
ai1 ,...,im xi1 . . . xim ]
i1 ,...,im =1
pm (x1 , . . . , xn ) = a0 +
Funciones de clase
ai1 ,i2 xi1 xi2 ] + . . .
i1 ,i2 =1
n
X
··· + [
n
X
indicando para cada j entre 1 y m todos los posibles productos de j variables repetidas o no, en
todos los órdenes posibles.
O bien
"
#
m
X
X
pm (x1 , . . . , xn ) =
ai1 ,...,in xi11 . . . xinn
j=0
i1 +···+in =j;ik ∈N
indicando para cada j entre 0 y m cuántas veces aparece cada una de las variables x1 , . . . , xn (es
decir, agrupando los sumandos donde aparecen las mismas variables).
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
Teorema (Teorema de Taylor).
Sea U un abierto de Rn, y f : U −→ R una función de clase C p(U ).
Si x e y son dos puntos de U tales que el segmento [y, x] está totalmente contenido en U , entonces existe un punto en el segmento
[y, x], z ∈ [y, x] tal que
i
hP
n
df
(y)(x
−
y
)
+ ...
f (x) = f (y) +
i1
i1
i1 =1 dxi1
hP
i
n
dk f
1
+ k!
,...,ik =1 dxi1 ...dxik (y)(xi1 − yi1 ) . . . (xik − yik ) + . . .
hi1P
i
n
dp−1 f
1
(y)(x
−
y
)
.
.
.
(x
−
y
)
+
+ (p−1)!
i
i
i
i
1
1
p−1
dxi1 ...dxip−1
hP i1 ,...,ip−1 =1
ip−1
p
n
d f
+ p!1
i1 ...ip =1 dxi ...dxi (z)(xi1 − yi1 ) . . . (xip − yip )
1
p
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Estudiamos la función f sólo sobre el segmento [y, x], para lo que definimos la función
JJ
II
J
I
G(t) = y + t(x − y)
en el intervalo [0, 1]. La imagen de G es el segmento [y, x], G es continua y diferenciable, y
dG(t) = x − y en cualquier punto t.
Y consideramos f sobre el segmento [y, x] mediante la composición h(t) = f ◦ G(t) definida
en [0, 1]
h(t) es una función real de una variable, continua en [0, 1], y por la regla de la cadena
diferenciable, y
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
dh(t) = df (G(t)) ◦ dG(t)
Escribiendo las matrices correspondientes
n
X
df
0
(G(t))(xi − yi )
h (t) = < ∇f (G(t)), x − y >=
dxi
i=1
n X
df
=
◦ G (t)(xi1 − yi1 )
dx
i
1
i =1
1
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
En cada sumando, la función
df
◦ G es otra vez una función real de variable real, definida
dxi1
en [0, 1], continua y derivable, y
0
n X
df
h (t) =
◦ G (t)(xi1 − yi1 ) =
dxi1
i1 =1
" n #
n
X
X
d2 f
=
◦ G (t)(xi2 − yi2 ) (xi1 − yi1 )
dx
dx
i
i
2
1
i =1 i =1
00
1
2
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
Repitiendo el mismo procedimiento, h se podrá derivar tantas veces como se puedan obtener
todas las derivadas parciales de f . Si f es de clase C p , también h es de clase C p , y en general,
si 1 ≤ k ≤ p la derivada de orden k de h es
n
X
dk f
(k)
h (t) =
◦ G (t)(xi1 − yi1 ) . . . (xik − yik )
dx
.
.
.
dx
i
i
1
k
i ,...,i =1
1
k
Aplicando el Teorema de Taylor de funciones reales de una variable a la función h(t) en el
intervalo [0, 1], existirá algún s ∈ [0, 1] tal que
1
1
h(1) = h(0) + h0 (0) + h00 (0) + · · · + h(k) (0) + . . .
2
k!
1
1
h(p−1) (0) + h(p) (s)
··· +
(p − 1)!
p!
Y sustituyendo cada derivada de h por las expresiones que hemos calculado antes
h(1) = f (G(1)) = f (x)
JJ
II
J
I
h(0) = f (G(0)) = f (y)
n
X
dk f
(k)
h (0) =
(y) (xi1 − yi1 ) . . . (xik − yik )
dxi1 . . . dxik
i ,...,i =1
1
k
y
n
X
(p)
h (s) =
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase
C1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
i1 ,...,ip =1
dp f
(G(s)) (xi1 − yi1 ) . . . (xip − yip )
dxi1 . . . dxip
Se obtiene la fórmula del enunciado, con z = G(s) ∈ [y, x]
J(Volver al enunciado)
N
Observaciones:
1. Si y es un punto fijo de U , el Teorema de Taylor permite expresar la función f (x) como
suma de un polinomio de grado (p − 1), que denominamos Polinomio de Taylor de grado
(p − 1) de f entorno a y,
"
#
n
X
df
Py(p−1) (x) = f (y) +
(y)(xi1 − yi1 ) + . . .
dxi1
i1 =1


n
p−1
X
1
d f

(y)(xi1 − yi1 ) . . . (xip−1 − yip−1 )
(p − 1)! i ,...,i =1 dxi1 . . . dxip−1
1
p−1
y una expresión que llamamos Resto de Taylor de grado p de f entorno al punto y

Ryp (x) =
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
1 
p! i
n
X
1 ...ip
p

df
(z)(xi1 − yi1 ) . . . (xip − yip )
dx
.
.
.
dx
i
i
p
1
=1
Según el Teorema,
f (x) = Py(p−1) (x) + Ryp (x)
donde hay una cierta indeterminación, ya que se sabe que existe el punto z ∈ [y, x], pero
no se sabe cuál es.
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Desde aquı́ una parte de la teorı́a relativa al Teorema de Taylor desarrolla técnicas para
estimar el valor del Resto de Taylor, dependiendo del grado del desarrollo hasta el que se
pueda llegar, según la clase de derivación de f , o dependiendo de la proximidad entre el
punto y y el punto x. La estimación del resto es especialmente importante en los métodos
de cálculo aproximado de funciones, ya que en algunos casos es mucho más sencillo calcular
el valor de un polinomio Pyk (x) que el valor de la función f (x).
2. Como U es abierto, podemos encontrar una bola cerrada centrada en y contenida en U .
Si aplicamos el Teorema de Taylor en esa bola, y tenemos en cuenta que al ser compacta
las derivadas parciales de f serán funciones acotadas, podemos demostrar que
Ryp (x)
lim
=0
x→y kx − ykp−1
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
En efecto, si acotamos cada derivada parcial
dp f
dxi . . . dxi (z) ≤ K
p
1
entonces
n
p
X
|xi1 − yi1 | . . . |xip − yip |
|Ryp (x)|
d
f
≤
(z)
≤
kx − ykp−1 i ,...,i =1 dxi1 . . . dxip kx − ykp−1
1
≤
JJ
II
J
I
p
n
X
i1 ,...,ip
Kkx − ykp
≤ M kx − yk
kx − ykp−1
=1
que tiende a cero cuando x tiende a y.
Esta es una propiedad fundamental del Polinomio de Taylor: escrito de otra forma, si f es
una función de clase C p (U ), existe un polinomio de grado (p − 1) tal que
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
f (x) − Pyp−1 (x)
=0
x→y
kx − ykp−1
lim
(p−1)
De hecho el polinomio Py
Si f es de clase C p , también lo es de clase C k para cada k menor que p, luego para cada k
habrá un polinomio de grado k − 1 que cumple una propiedad como esa. Para una función
de una variable, si k = 2, el polinomio de grado 1 es la ecuación de la recta tangente a f
en el punto y. Si k = 3, tendremos una parábola que aproxima a la gráfica de f cerca del
punto y
Por ejemplo, para la función
f x) = x3 − x + 1
f 0 (x) = 3x2 − 1,
JJ
II
J
I
(x) es el único que lo cumple.
f (1) = 1,
f 00 (x) = 6x,
f 0 (1) = 2,
f 000 (x) = 6
f 00 (1) = 6,
f 000 (1) = 6
El polinomio de grado 1 entorno a x = 1 es
P11 (x) = f (1) + f 0 (1)(x − 1) = 1 + 2(x − 1)
y el polinomio de grado 2 es
1
P12 (x) = f (1) + f 0 (1)(x − 1) + f 00 (1)(x − 1)2 = 1 + 2(x − 1) + 3(x − 1)2
2
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Geométricamente, esto significa
que, para una función f de
clase C p , el polinomio de Taylor
de grado (p − 1) es el
polinomio de ese grado que
mejor aproxima a la función f
cerca del punto y.
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
El polinomio de grado 3 es
Teorema de Taylor
1
1
P13 (x) = f (1) + f 0 (1) = (x − 1) + f 00 (1)(x − 1)2 + f 000 (1)(x − 1)3 =
2
6
2
3
= 1 + 2(x − 1) + 3(x − 1) + (x − 1) =
= 1 + 2x − 2 + 3x2 − 6x + 3 + x3 − 3x2 + 3x − 1 =
= x3 − x + 1 = f (x)
JJ
II
J
I
que coincide con f
3. El teorema de Taylor no se puede generalizar para funciones vectoriales, con valores en Rm .
Como mucho, se puede aplicar a cada componente de f por separado, pero no se puede
asegurar que el punto zi ∈ [y, x] que se obtenga para cada componente fi de F sea el
mismo para todas las componentes.
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
4. En el término general del Polinomio de Taylor,
n
X
i1 ,...,ik =1
dk f
(y) (xi1 − yi−1 ) . . . (xik − yik )
dxi1 . . . dxik
el sumatorio se extiende a todas las posibles derivadas de orden k: todas las formas posibles
de ordenar k variables entre n, repetidas o no. Como f es de clase C p , muchas de estas
derivadas son iguales, y pueden agruparse.
Para recordar la fórmula, y saber cuáles son todas las derivadas posibles distintas, puede
pensarse en otro caso parecido y ya conocido: la potencia k-ésima de n sumandos:
k
(a1 + · · · + an ) =
n
X
i1 ,...,ik =1
En algunos textos se escribe
ai1 . . . aik
n
X
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase
Teorema de Taylor
JJ
II
J
I
Cp
dk f
(y) (xi1 − yi−1 ) . . . (xik − yik ) =
dxi1 . . . dxik
i1 ,...,ik =1
k
d
d
=
(x1 − y1 ) + · · · +
(xn − yn ) f (y)
dx1
dxn
Esta expresión de la derecha se llama un operador; no es realmente una operación de
potencia, sino un sı́mbolo que representa las operaciones que hay que efectuar con la
función f y sus variables.
Por ejemplo, en el caso de dos variables, se tiene que el término general de grado k del
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
polinomio de Taylor de una función f (x, y) entorno a un punto (x0 , y0 ) es
k
k
d
d
k d f
(x − x0 ) + (y − y0 ) f (x0 , y0 ) =
(x , y )(x − xo )k +
0 dxk 0 0
dx
dy
dk f
k
= +
(x , y )(x − x0 )k−1 (y − y0 ) +
1 dxk−1 dy 0 0
dk f
k
+ ...
(x0 , y0 )(x − x0 )k−j (y − y0 )j +
k−j
j
j
dx dy
k
k d f
(x , y )(y − y0 )k
+ ...
k dy k 0 0
Ejemplo 6. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f (x, y) = x2 y entorno al
punto (1, −1)
Teorema de Taylor
f (1, −1) = −1
JJ
II
J
I
df
(x, y)
dx
= 2xy
d2 f
(x, y) = 2x
dxdy
d3 f
(x, y) = 0
dy 3
df
(x, y)
dy
= x2
d3
(x, y)
dx3 f
=0
d2 f
(x, y)
dx2
= 2y
d3 f
(x, y)
dx2 dy
=2
d2 f
(x, y)
dy 2
=0
d3 f
(x, y)
dxdy 2
=0
y todas las derivadas de orden cuarto son nulas.
Entonces
f (x, y) = f (1, −1) +
Funciones de
Clase C 1 .
Funciones de
clase C p .
Teorema de
Taylor
Funciones de clase C 1
Funciones de clase C p
Teorema de Taylor
df
df
(1, −1)(x − 1) + (1, −1)(y + 1)+
dx
dy
1 d2 f
d2 f
2
+
(1,
−1)(x
−
1)
+
2
(1, −1)(x − 1)(y + 1)+
2 dx2
dxdy
d2 f
2
+ 2 (1, −1)(y + 1) +
dy
1 d3 f
d3 f
3
+
(1, −1)(x − 1) + 3 2 (1, −1)(x − 1)2 (y + 1)+
3
3! dx
dx dy
3
d3
df
2
3
(1, −1)(x − 1)(y + 1) + 3 (1, −1)(y − 1) =
+3
dxdy 2
dy
= −1 − 2(x − 1) + (y + 1) − (x − 1)2 + 2(x − 1)(y + 1) + (x − 1)2 (y + 1)
JJ
II
J
I