Aplicaciones lineales.

Tema 4
Aplicaciones lineales.
Definición 4.1 – Sea f : V −→ W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W .
Se dice que f es una aplicación lineal si:
a) f (u + v) = f (u) + f (v); ∀u, v ∈ V ,
b) f (ku) = kf (u); ∀u ∈ V y ∀k ∈ IR.
Estas dos propiedades se pueden reunir en:
f (ku + lv) = kf (u) + lf (v);
∀u, v ∈ V,
∀k, l ∈ IR.
En general, se tiene que:
f (k1 u1 + k2 u2 + · · · + kr ur ) = k1 f (u1 ) + k2 f (u2 ) + · · · + kr f (ur )
∀u1 , u2 . . . . , ur ∈ V,
∀k1 , k2 , . . . , kr ∈ IR
Si una aplicación f : V −→ W es lineal y biyectiva, se dice que f es un isomorfismo entre
los espacios V y W .
Si V = W , entonces la aplicación lineal f : V −→ V recibe el nombre de operador lineal o
endomorfismo. Y si f es además biyectiva se dice que f es un automorfismo.
4.1
Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen.
Proposición 4.2 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces:
a) f (0 V ) = 0 W ;
b) f (−v) = −f (v);
0 V , 0 W son los ceros de V y W .
∀v ∈ V .
Definición 4.3 – Dada una aplicación lineal f : V −→ W , se define el núcleo de f , que se
denota por ker(f ) ó ker f , como el conjunto:
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0}
y se define la imagen de f , que se denota por img(f ) ó img f , como el conjunto
img f = {w ∈ W : ∃v ∈ V tal que f (v) = w}
Es sencillo probar que ker f es un subespacio vectorial de V e img f es subespacio vectorial
de W .
Definición 4.4 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se
denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f .
Álgebra Lineal.
48
4.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen.
Si f : V −→ W es una aplicación lineal y B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , la aplicación
lineal queda perfectamente determinada si conocemos las imágenes por f de los vectores de
la base B , ya que para todo v ∈ V existen k1 , k2 , . . . , kn ∈ IR únicos, tales que v =
k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn , con lo que
f (v) = f (k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn ) = k1 f (v1 ) + k2 f (v2 ) + · · · + kn f (vn )
Nótese, que de ésto se deduce que img f = lin{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )}
Teorema de la dimensión 4.5 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, con V un espacio
vectorial de dimensión n, entonces:
dim(ker f ) + dim(img f ) = n = dim(V )
Demostración:
Si la dim(ker f ) = n, entonces ker f = V , y f (v) = 0 ∀v ∈ V , luego img f = {0} que
tiene dimensión cero, por lo que se cumple
dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V
(n
+
0
=
n)
Si la dim(ker f ) = r < n, sea Bker = {u1 , . . . , ur } una base del ker f . Por la Proposición 3.11,
ésta base puede completarse hasta una base de V , BV = {u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vn }, y el conjunto imagen será por tanto
img f = lin{f (u1 ), . . . , f (ur ), f (vr+1 ), . . . , f (vn )}
= lin{0, . . . , 0, f (vr+1 ), . . . , f (vn )} = lin{f (vr+1 ), . . . , f (vn )}
Si probamos que el conjunto formado por esos n − r vectores es linealmente independiente, será
una base de la img f y habremos probado que
dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V
;
(r
+
n−r
=
n)
como querı́amos.
Probar la cuestión pendiente es sencillo, sean λr+1 , . . . , λn tales que
λr+1 f (vr+1 ) + · · · + λn f (vn ) = 0,
y por ser f una aplicación lineal
f (λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ) = 0
por lo que el vector
λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ∈ ker f
Ahora bien, como Bker es una base del ker f , se tiene que
λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = µ1 u1 + · · · + µr ur
para ciertos µ1 , . . . , µr . Luego
−µ1 u1 − · · · − µr ur + λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = 0
y −µ1 = · · · = −µr = λr+1 = · · · = λn = 0 por formar esos vectores una base de V . En
particular, con λr+1 = · · · = λn = 0 se prueba que el conjunto {f (vr+1 ), . . . , f (vn )} es un
conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la img f es
una base de ella.
Álgebra Lineal.
49
4.2 Aplicaciones matriciales
4.2
Aplicaciones matriciales
Consideremos la aplicación f : IRn −→ IRm definida por f (x) = Ax, siendo A una matriz fija
m × n y x ∈ IRn , x = (x1 , x2 , . . . , xn )t .
Como consecuencia de las operaciones sobre las matrices, la aplicación es lineal. A este tipo
de aplicaciones se les denomina aplicaciones matriciales.
El estudio de estas aplicaciones es fundamental ya que, como veremos, todas las aplicaciones
lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita acaban siendo aplicaciones matriciales al
usar coordenadas.
El núcleo de estas aplicaciones será:
ker f = {x ∈ IRn : Ax = 0},
es decir, el conjunto de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 .
La imagen de f coincide con el espacio de las columnas de la matriz A, Ec (A), pues
b ∈ img(f ) ⇐⇒ ∃x ∈ IRn tal que Ax = b
es decir, si tiene solución el sistema






a11
a21
..
.


⇐⇒ 



⇐⇒ x1 


a11
a21
..
.
am1
4.3
···
···
a1n
a2n
..
.
···
am1 am2 · · · amn


a12
a22
..
.







x1
x2
..
.

 
 
=
 
 
xn




 + x2 




a12
a22
..
.






 + · · · + xn 




am2
b1
b2
..
.



 ⇐⇒


bm
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
············
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn


a1n
a2n
..
.
amn


 
 
=
 

b1
b2
..
.



 ⇐⇒


bm


 
 
=
 
 
b1
b2
..
.



 ⇐⇒ b ∈ Ec (A)


bm
Matrices que representan aplicaciones lineales
Veremos que toda transformación o aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión
finita, se puede considerar como una aplicación matricial.
4.3.1
Aplicaciones lineales de IRn en IRm
Proposición 4.6 – Si f : IRn −→ IRm es una aplicación lineal, entonces f es una aplicación
matricial (es decir existe una matriz A tal que f (x) = Ax).
Demostración:
Sea B = {e1 , e2 , . . . , en } la base canónica de IRn , y sea A la matriz m × n que tiene a
los vectores f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) de IRm como sus vectores columna. Vamos a probar que
f (x) = Ax; ∀x ∈ IRn .
Álgebra Lineal.
50
4.3 Matrices que representan aplicaciones lineales
Se tiene que x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + · · · + xn en y por la linealidad de f ,
f (x) = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en ).
Por otra parte



Ax = 


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
···
· · · amn
am1 am2



= x1 


a11
a21
..
.

a1n
a2n
..
.





 + x2 




a12
a22
..
.







x1
x2
..
.


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
 
  a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
=
 
············



=

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
xn

a1n
a2n
..
.




 + · · · + xn 







 = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en ) = f (x)


amn
am2
am1

Luego efectivamente, f (x) = Ax, para A definida como indicamos.
A esta matriz A se la llama matriz estándar de f .
4.3.2
Aplicaciones lineales entre espacios cualesquiera
Vamos ahora a demostrar que a cualquier aplicación lineal f : V −→ W , con dim V = n y
dim W = m, se le puede asociar una aplicación matricial.
Sean B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio V y B 0 = {w1 , w2 , . . . , wm } una base de
W.
Todo v ∈ V se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de la base,
v = k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn , luego f (v) = k1 f (v1 ) + k2 f (v2 ) + · · · + kn f (vn ). Supongamos
que conocemos las imágenes de f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn ) expresadas en la base B 0 ,


f (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + · · · + am1 wm







f (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + · · · + am2 wm
·····················
f (vn ) = a1n w1 + a2n w2 + · · · + amn wm
por lo tanto
f (v) = k1 (a11 w1 + a21 w2 + · · · + am1 wm ) + k2 (a12 w1 + a22 w2 + · · · + am2 wm )
+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · + kn (a1n w1 + a2n w2 + · · · + amn wm )
= (k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n )w1 + (k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n )w2
+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · + (k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn )wm
que expresado en coordenadas




[f (v)]B 0 = 
k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n
k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n
···············
k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn


 
 
=
 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
a1n
a2n
..
.
···
am1 am2 · · · amn






k1
k2
..
.






kn
Luego, hemos encontrado que
³
[f (v)]B 0 =
Álgebra Lineal.
´
[f (v1 )]B 0
[f (v2 )]B 0
· · · [f (vn )]B 0
[v]B = A[v]B
51
4.4 Composición de aplicaciones lineales
Por tanto fijadas las bases B y B 0 en los espacios V y W , a cada aplicación lineal f se le puede
asociar una única matriz, Am×n , que recibe el nombre de matriz de f respecto de las bases
B y B0 .
Si tenemos un operador lineal f : V −→ V y consideramos que tenemos la misma base B en
el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la
base B .
Si tenemos que nos dicen que la matriz Am×n es la matriz de la aplicación lineal f : V −→ W
respecto de las bases B y B 0 . ¿Cómo calcularemos ker f e img f ?
Cálculo de ker f
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0} = {v ∈ V : [f (v)]B 0 = [0]B 0 } = {v ∈ V : A[v]B = [0]B 0 }
Luego para calcular ker f hallaremos las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 , y esas
soluciones constituirán las coordenadas de los vectores del ker f en la base B . El paso de
coordenadas a vectores es inmediato.
Cálculo de img f
Hemos visto que img f = lin{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )} luego para calcular una base de la
imagen hay que encontrar una base de ese subespacio. Pero un conjunto de vectores de un
espacio vectorial es base si lo es el conjunto formado por los vectores de coordenadas (ejercicio
3.15), luego basta con encontrar una base para el espacio de las columnas de la matriz A.
4.4
Composición de aplicaciones lineales
Definición 4.7 – Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación
compuesta de f y g , a la aplicación g ◦ f : V −→ U definida por
(g ◦ f )(v) = g(f (v)),
∀v ∈ V.
Proposición 4.8 – Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales, con dim V = n,
dim W = m y dim U = p, y sean B , B 0 y B 00 bases de V , W y U , respectivamente. Entonces:
a) g ◦ f es una aplicación lineal.
b) Si Am×n es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 0 , y Cp×m es la matriz
asociada a g respecto de las bases B 0 y B 00 , entonces CA es la matriz asociada a g ◦ f
respecto de las bases B y B 00 .
Demostración:
a)
(g ◦ f )(ku + lv) = g(f (ku + lv)) = g(kf (u) + lf (v)) = kg(f (u)) + lg(f (v))
= k(g ◦ f )(u) + l(g ◦ f )(v).
b) Teniendo en cuenta que [g(w)]B 00 = C[w]B 0 y [f (v)]B 0 = A[v]B ,
[(g ◦ f )(v)]B 00 = [g(f (v))]B 00 = C[f (v)]B 0 = CA[v]B ;
4.5
∀v ∈ V.
Teorema de Semejanza
Teorema de semejanza 4.9 – Sean f : V −→ V , con dim V = n, un operador lineal, A la
matriz de f respecto de la base B de V y A0 la matriz de f respecto de la base B 0 . Entonces
A0 = P −1 AP
siendo P la matriz de paso de la base B 0 a la base B .
Álgebra Lineal.
52
4.6 Ejercicios
Demostración:
A0 [v]B 0 = [f (v)]B 0 = P −1 [f (v)]B = P −1 A[v]B = P −1 AP [v]B 0
Como lo verifica para todo v ∈ V , (ver ejercicio 2.2) se llega a que A0 = P −1 AP .
Este resultado es un caso particular del siguiente más general:
Proposición 4.10 – Si f : V −→ W es una aplicación lineal, A la matriz de la aplicación f
respecto de las bases B1 de V y B2 de W y A0 es la matriz de f respecto de las bases B10 de
V y B20 de W , entonces
A0 = Q−1 AP
siendo P la matriz de paso de la base B10 a la base B1 y Q la matriz de paso de B20 a B2 .
Definición 4.11 – Dadas dos matrices A y B de orden n se dice que A y B son semejantes
si, y sólo si existe una matriz P inversible tal que B = P −1 AP .
Proposición 4.12 – Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases.
Demostración:
⇐=) Es el Teorema de Semejanza.
=⇒) A y B son semejantes ⇐⇒ ∃P inversible tal que B = P −1 AP .
Consideremos el operador lineal f : IRn −→ IRn definido por f (x) = Ax, luego A es la
matriz de f respecto de la base canónica. P es inversible luego sus columnas forman una base
de IRn , y por lo tanto P es la matriz de paso de la base formada por las columnas de P a la
base canónica. Por el Teorema de Semejanza B = P −1 AP es la matriz de f respecto a esa base
y A y B representan al mismo operador lineal respecto a bases distintas.
Corolario 4.13 – Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango.
4.6
Ejercicios
4.1 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales:
√ √
a) F : IR2 −→ IR2 / F (x, y) = ( 3 x, 3 y)
b) F : IR3 −→ IR2
/
F (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z).
c) F : M2x2 −→ IR / F
Ã
a b
c d
!
= a2 + b2 .
4.2 Sea T : IR3 −→ W la proyección ortogonal de IR3 sobre el plano W que tiene por ecuación
x + y + z = 0. Hallar una fórmula para T y calcular T (3, 8, 4).
4.3 Sean V un espacio vectorial y T : V −→ V la aplicación lineal tal que T (v) = 3v . ¿Cuál
es el núcleo de T ? ¿Cuál es la imagen de T ?.
4.4 Consideramos la base S = {v1 , v2 , v3 } de IR3 donde v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3) y
v3 = (1, 0, 10). Encontrar una fórmula para la transformación lineal T : IR3 −→ IR2 para
la que T (v1 ) = (1, 0), T (v2 ) = (0, 1) y T (v3 ) = (0, 1). Calcular T (1, 1, 1).
4.5 Sea A una matriz de tamaño 5 × 7 con rango 4.
Álgebra Lineal.
53
4.6 Ejercicios
a) ¿Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0 ?.
b) ¿Ax = b es compatible para todo b perteneciente a IR5 ? ¿Por qué?.

4.6 Sea T : IR3 −→ IR3 la aplicación lineal dada por la matriz

1 3 4


A= 3 4 7 
−2 2 0
a) Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas.
b) Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación.
4.7 Sea f : V −→ W una aplicación lineal. Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si
a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f (u) = f (v) ⇒
u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker(f ) = {0}.
4.8 Encontrar la matriz estándar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes:

a)
x1



 
T  x2  = 
x3


x1 + 2x2 + x3

x1 + 5x2

x3



b) T 
x1
x2
x3
x4
Ã
4.9 Sea T : IR2 −→ IR3 la transformación lineal definida por
T


 
 
=
 
x1
x2
!
x4
x1
x3
x1 − x3







x1 + 2x2


=  −x1 
0
a) Encontrar la matriz de T respecto de las bases: B = {u1 = (1, 3), u2 = (−2, 4)} y
B 0 = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 0, 0)}.
b) Usar la matriz obtenida en el apartado a) para calcular T (8, 3).
4.10 Se considera la aplicación fÃ: M2×2 (IR) −→
por: !
! M
Ã2×2 (IR) definida
!Ã
a11 a12
−1 2
a11 a12
f
=
a21 a22
0 1
a21 a22
a) Demostrar que f es lineal.
b) Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base canónica de
M2×2 (IR).
c) Hallar el núcleo y la imagen de f ası́ como sus dimensiones y bases.
d) Hallar la matriz
de
(Ã de f! respecto
Ã
! la
à base: ! Ã
!)
1 0
0 2
0 1
0 0
B=
,
,
,
0 0
1 0
2 0
0 1
4.11 Considerar la aplicación lineal T : IR4 −→ IR3 dada por la matriz


3 −2 1 0


6 2 1 
A= 1
−3 0 7 1
respecto de las bases:
B = {v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (2, 1, −1, −1), v3 = (1, 4, 1, −2), v4 = (6, 9, 4, 2)} y
B 0 = {w1 = (0, 8, 8), w2 = (−7, 8, 1), w3 = (−6, 9, 1)}.
Álgebra Lineal.
54
4.6 Ejercicios
a) Hallar [T (v1 )]B 0 , [T (v2 )]B 0 , [T (v3 )]B 0 , [T (v4 )]B 0 .
b) Encontrar T (v1 ), T (v2 ), T (v3 ), T (v4 ).
c) Hallar T (2, 2, 0, 0).
Ã
!
Ã
!
x1
x1 + 7x2
4.12 Sea T : IR2 −→ IR2 la aplicación lineal definida por T
=
.
x2
3x1 + 4x2
Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B 0 , siendo
B = {u1 = (2, 2), u2 = (4, −1)} y B 0 = {v1 = (1, 3), v2 = (−1, −1)}.
4.13 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(A) = det(B).
4.14 Probar por inducción que si A y B son matrices semejantes entonces An y B n también lo
son para cualquier n ∈ IN.
4.15 Dadoel operador linealT : IR3 −→ IR3 tal que [T (x)]B = A[x]B siendo:
−2
a
1


A =  1 −2a 1  y B = {u1 = (1, −1, 0), u2 = (0, 1, −1), u3 = (−1, 0, 0)}
1
a
−2
a) Hallar la matriz estándar de T .
b) Calcular los subespacios ker(T ) y img(T ) según los valores de a.
4.16 Sean T : V −→ W una transformación lineal y S = {v1 , v2 , ..., vn } un conjunto de vectores
de V . Demostrar que si el conjunto {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )} es linealmente independiente,
entonces S es linealmente independiente. ¿Es cierto el recı́proco?. Justificar la respuesta.

4.17 Sea T : IR3 −→ IR3 la aplicación lineal



x1
λx1 + µx2 + x3

 

T =  x2  =  x1 + λµx2 + x3  . Se pide:
x3
x1 + µx2 + λx3
a) Encontrar los valores de λ y µ para los cuáles la imagen de T sea IR3 . ¿Quién es en
ese caso el núcleo?.
b) Sea λ = 1. Encontrar una base del núcleo en ese caso.
c) Sea λ = 1 y µ = 0. Se pide:
c.1. Encontrar la matriz de T respecto de la base
B = {u1 = (−1, 0, 1), u2 = (0, 1, 0), u3 = (4, 1, 2)}.
c.2. Dada la base B 0 = {v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 1, 0), v3 = (−1, 1, −1)}, encontrar la
matriz de paso de B a B 0 .
c.3. Encontrar la matriz de T en la base B 0 aplicando el teorema de semejanza.
4.18 Sea T : IR3 −→ IR2 la aplicación lineal talque:
Ã
!
(
0
0
x + 2y + z = 0


(i) ker(T ) =
(ii) T  0  =
1
2x + y + z = 0
1


Ã
!
1
2


(iii) T  0  =
1
1
a) Calcular la matriz estándar.
b) Calcular las ecuaciones paramétricas de la imagen del subespacio x + y + z = 0.
4.19 Sea T un operador lineal sobre el espacio vectorial V . Demostrar que T ◦ T = 0 ⇐⇒
img(T ) ⊆ ker(T ). (Aquı́ 0 representa la aplicación nula).
Álgebra Lineal.
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4.6 Ejercicios
4.20 En el espacio vectorial real IR4 se definen los subespacios:
S1 = lin{(1, 4, 1, −1), (2, 3, 2, 3)},
S2 = lin{(1, 1, 1, −3), (3, −2, 3, −4)},
(
x2 − x4 = 0
S3 tiene por ecuaciones implı́citas
y
2x2 + 3x4 = 0
S4 = lin{(0, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 2)}.
Se considera la aplicación lineal f : IR4 −→ IR4 que cumple:
i) f (0, 1, 0, 0) = (−1, 3, 0, −1)
ii) ker(f ) = S1 ∩ S2
iii) f (S3 ) = S4
iv) f (1, 1, 0, −3) = (m, −5, n, 2)
v) f (1, −1, 1, −1) = (1, −2, a, b)
Se pide hallar la matriz estándar de f .
4.21 Dado el espacio vectorial P3 (IR), de las funciones polinómicas de grado menor o igual que
tres, se considera la aplicación f : P3 (IR)
−→
P3 (IR) definida por
f [P (x)] = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x). Se pide:
a) Probar que f es lineal.
b) Demostrar que img(f ) = ker(f ).
c) Si fuera f : P4 (IR) −→ P4 (IR), ¿se podrı́a dar img(f ) = ker(f )?. Razonarlo sin
calcular la imagen y el núcleo de f .
d) Probar que: ∀Q(x) ∈ img(f ), existe un único P (x) ∈ P3 (IR) que verifica que
f [P (x)] = Q(x) y P (0) = P 0 (0) = 0.
4.22 Sea f : IR4 −→ IR4 un operador lineal, del que se sabe que: f (1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, −1) y
f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0).
Hallar la matriz estándar de f en cada uno de los siguientes supuestos:
a) ker f = img f .
b) f ◦ f = Id (la identidad).
c) f ◦ f = f .
Álgebra Lineal.
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