Álgebra lineal y Geometrıa I SEMINARIO IV. 2.3. Matriz

Álgebra lineal y Geometrı́a I
Daniel Hernández Serrano
Darı́o Sánchez Gómez
Departamento de MATEMÁTICAS
SEMINARIO IV.
2.3. Matriz asociada a una aplicación lineal. Cambios de base.
23. Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal
f:
R3
→
R2
(x, y, z) 7→ (x + 3y − 2z, y − z)
en las bases {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 y {(1, −1), (1, 1)} de R2 .
24. Considérese la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0). Calcular su
matriz y a partir de ella:
a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.
b) Hallar Im f y el rango de f .
c) ¿Pertenece (6, −2, 0) al ker f ?.
25. Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 y {e1 , e2 , e3 } una base del mismo. Un endomorfismo T
de E verifica que:
T (e1 ) = e1 + e2 , T (e3 ) = e3 , ker T =< e1 + e2 >
Deducir la matriz de T y calcular Im T , ker T 2 y ker T 3 .
26. Calcular la matriz de la aplicación lineal T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) y cuyo núcleo
está generado por los vectores (0, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 3).
y−z
z−x
3
27. Sea T : R →Mat2×2 (R) la aplicación lineal T (x, y, z) =
. Se pide:
x + 2y − z 2x + y
a) Calcula la matriz de T en las bases usuales.
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b) Sean las bases C = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 0, 0)} de R3 y C 0 = ( 00 11 ) , 10 −1
, ( 2 1 ) , ( 02 01 ) de
0
Mat2×2 (k). Calcula la matriz de T en estas bases.
28. Sea B = {u1 , u2 , u3 } una base del espacio vectorial E.
a) Probar que los vectores u01 = 2u1 − u2 + u3 , u02 = u1 + u3 , u03 = 3u1 − u2 + 3u3 forman una
base de E.
b) Calcular las coordenadas del vector u = u1 − 4u3 en la base de (a).
0
0
0
c) Hallar las coordenadas respecto de la base inicial del vector v = −2u
.
1 + 3u2 + u3
2 −1 4
0 3. Hallar la
29. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en la base {e1 , e2 , e3 } es  1
−1 2 2
matriz de T en la base {e01 , e02 , e03 } siendo:
1
1
e1 = e01 , e2 = e02 , e3 = e03 + e01 − e02
2
2
30. Considera la aplicación:
f : R2 [x] −→ R2 [x]
p(x) 7→ p(−1) + p(1)(x − 1) + p(0)(x − 1)2
a)
b)
c)
d)
Demuestra que f es lineal.
Da la matriz de f asociada a la base estándar {1, x, x2 }.
2
Da la matriz de f asociada a la base B 0 = {−1, (x − 1), (x
− 1) }.
0
Da las coordenadas en la base B del vector f (2, 1, 1)B 0 .
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Álgebra Lineal y Geometrı́a I. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez
ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO IV.
24. Considérese la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0). Calcular su
matriz y a partir de ella:
a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio.
b) Hallar Im f y el rango de f .
c) ¿Pertenece (6, −2, 0) al ker f ?.
Solución: Sea {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} la base canónica de R3 . La matriz
asociada a f en la base canónica de R3 es aquella cuyas columnas son las imágenes de los vetores
{e1 , e2 , e3 }, y como:
f (e1 ) = (2, 0, 0) ,
f (e2 ) = (1, 0, 0) ,
f (e3 ) = (0, −1, 0)
la matriz es:

2 1
A = 0 0
0 0

0
−1
0
a) Calculemos una base de Kerf .
def. f
Kerf := {(x, y, z) ∈ R3 | f (x, y, z) = (0, 0, 0)} = {(x, y, z) ∈ R3 | (2x + y, −z, 0) = (0, 0, 0)} =
= {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y = 0, z = 0} = {(x, −2x, 0) | x ∈ R} = h(1, −2, 0)i
1 0 6= 0 se tiene que dimR Im f = rg(A) = 2 y una base es:
b) Como |A| = 0 y 0 −1
Im f = hf (e2 ), f (e3 )i
c) El vector (6, −2, 0) no pertence al núcleo pues f (6, −2, 0) = (10, 0, 0) 6= (0, 0, 0).
30. Considera la aplicación:
f : R2 [x] −→ R2 [x]
p(x) 7→ p(−1) + p(1)(x − 1) + p(0)(x − 1)2
a)
b)
c)
d)
Demuestra que f es lineal.
Da la matriz de f asociada a la base estándar {1, x, x2 }.
2
Da la matriz de f asociada a la base B 0 = {−1, (x − 1), (x
− 1) }.
0
0
Da las coordenadas en la base B del vector f (2, 1, 1)B .
Solución:
a) Demostraremos que es lineal por partes. Veamos primero que:
f λp(x) = λf p(x) ∀p(x) ∈ R2 [x] , ∀λ ∈ R.
En efecto:
f λp(x) = λp(−1) + λp(1)(x − 1) + λp(0)(x − 1)2 =
= λ p(−1) + p(1)(x − 1) + p(0)(x − 1)2 = λf p(x) .
Comprobemos ahora que:
f p(x) + q(x) = f p(x) + f q(x)
∀p(x), q(x) ∈ R2 [x],
∀λ, µ ∈ R.
f p(x) + q(x) = p(−1) + q(−1) + p(1) + q(1) (x − 1) + p(0) + q(0) (x − 1)2 =
= p(−1) + p(1)(x − 1) + p(0)(x − 1)2 + q(−1) + q(1)(x − 1) + q(0)(x − 1)2 =
= f p(x) + f q(x) .
Luego f es lineal.
b) Las columnas de la matriz A asociada a f son las imágenes de {1, x, x2 }.
f (1) = 1 + 1 · (x − 1) + 1 · (x − 1)2 = 1 − x + x2 ≡ (1, −1, 1)
f (x) = −1 + 1 · (x − 1) + 0 · (x − 1)2 = −2 + x ≡ (−2, 1, 0)
f (x2 ) = 1 + 1 · (x − 1) + 0 · (x − 1)2 = x ≡ (0, 1, 0)
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Es decir:

−2
1
0
1
A = −1
1
c) Se tiene el siguiente diagrama:
R3{1,x,x2 }
O
A
C
R3B 0

−1
donde C =  0
0
−1
1
0
A0

0
1 .
0
/ R3{1,x,x2 }
C −1
/ R3 0
B

1
−2 es la matriz de cambio de base de la base nueva:
1
B 0 = {−1, (x − 1), (x − 1)2 } = {(−1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1, −2, 1)}


−1 −1 −1
1
2 .
a la base antigua {1, x, x2 }. Su inversa vale C −1 =  0
0
0
1
La matriz de f en la base B 0 es:


1
2 −4
0.
A0 = C −1 · A · C = −1 0
−1 −1 1
0
d ) Las coordenadas en la base B del vector f (2, 1, 1)B 0 son:
   
  
0
2
1
2 −4
2
0  1 = −2 .
f (2, 1, 1)B 0 = A0 · 1 = −1 0
−2
1
−1 −1 1
1
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