Problemas de aplicación de funciones: Profesor Juan Diego Moreno Febrero 28 de 2.015 Ejemplo resuelto: 1) Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un costo de US$10 por ejemplar y estima que si vende el atlas a X dólares la unidad, se venderán aproximadamente 20(22 – X) copias cada mes. a) Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta del atlas como una función del precio. b) Dibuje la gráfica de esta función y utilícela para encontrar el precio óptimo de venta. c) Estime gráficamente la utilidad máxima d) Calcule el nivel de ventas para obtener la utilidad máxima. e) Determine el nivel de ventas para obtener una utilidad de US$500 mensuales f) Determine el intervalo de nivel de ventas que genera ganancias para la compañía g) Determine el intervalo de nivel de ventas que generan pérdidas para la compañía h) Demuestre matemáticamente que para un precio de venta de US$30 por unidad, la compañía genera una pérdida y calcúlela. Solución: Datos: Costo unitario = 10 US$/und Precio de venta = X US$/und Cantidad = 20(22 – X) und a) Sea: U = f(X) = ? Utilidad mensual como una función del precio X V = Ingreso por ventas C = Costo total de fabricación U=V–C V = Precio de venta x Cantidad = X . 20(22 – X) = 20X(22 – X) C = Costo unitario x Cantidad = 10 . 20(22 – X) = 200(22 – X) U = 20X(22 – X) – 200(22 – X) U = 440X – 20X2 – 4.400 + 200X Ley distributiva Simplificando términos semejantes y organizando obtenemos: U = -20X2 + 640X – 4.400 Utilidad como una función del precio b) U [US$/mes] X [US$/und] El precio óptimo de venta es el que genera la utilidad máxima. De la gráfica se observa que el precio óptimo de venta es 16 US$/und que es el que genera el punto más alto de la parábola: Po = 16 US$/und c) De la gráfica se estima que la utilidad máxima es el punto más alto de la parábola y corresponde aproximadamente a: Umax = 720 US$/mes d) Cantidad para Umax? Ejemplos propuestos: 2) El precio de un producto en el mercado está dado como una función de la cantidad semanal demandada asi: P = f(Q) = 1.200 – 3Q, en donde P es el precio unitario y Q es la cantidad. a) Determine los ingresos totales del fabricante como una función de la cantidad demandada. b) Calcule el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante y determine el ingreso máximo. c) Dibuje la función de ingresos totales, hallada en el numeral “a” d) Calcule el ingreso semanal que genera un nivel de ventas de 150 unidades e indíquelo sobre la gráfica 3) En una empresa de correo, el número de horas-trabajador necesarias para distribuir los nuevos directorios a x% de viviendas en cierta comunidad rural está dada por la siguiente función: ( )= 600 300 − a) Determine el dominio de la función b) ¿Para que valores de x, tiene f(x) una interpretación práctica en este contexto? justifique brevemente su respuesta c) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los nuevos directorios al primer 50% de las viviendas? d) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los directorios a toda la comunidad? e) ¿Cuántas horas-trabajador se requieren para distribuir los directorios a la 3 a cuarta parte de la comunidad? f) ¿Qué porcentaje de viviendas de la comunidad habrán recibido los directorios al cabo de 150 horas-trabajador? g) Explique intuitivamente como varían las horas trabajador a medida que aumenta el porcentaje de viviendas. 4) La función de demanda para el producto de un fabricante es P = 1.000 - 2Q, en donde P es el precio en dólares por unidad cuando existe una demanda semanal Q por parte de los consumidores. a) Obtener los ingresos totales del fabricante como una función de la demanda semanal. b) Trazar la gráfica de los ingresos totales. c) ¿Cual es el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante? d) ¿Cuales son los ingresos máximos del fabricante? e) ¿Cuales son los niveles de producción del fabricante, para los cuales no hay ingresos? f) Determine los niveles de producción del fabricante, para los cuales los ingresos totales son de 100.000 dólares. 5) Un estudio reciente de los costos de uso de automóviles compactos en Estados Unidos, arrojó que el costo promedio en centavos de dolar por milla, está dado por la siguiente expresión: C(x) = + 18 donde x denota el número de millas en miles, recorridas por el automóvil en un año. a) Determine el dominio de la función b) ¿Para que valores de x, tiene C(x) una interpretación práctica en este contexto? justifique brevemente su respuesta c) Determine el costo promedio de uso de un automóvil compacto que recorre 6.000 millas por año. d) Determine el número de millas recorridas por año, como una función del costo de uso. e) Determine el número de millas por año que recorre un automóvil de este tipo, cuyo costo promedio de uso es de 1 dólar con 30 centavos por milla. f) Explique intuitivamente como varía el costo promedio de uso del automóvil, a medida que aumenta el número de millas recorridas por año. 6) 7) 8)